Natura triunghiului din laturi: pe scurt

Din trei lungimi poți afla, fără raportor, dacă triunghiul este ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic. Pasul zero este mereu inegalitatea triunghiului: cea mai mare latură trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două, altfel triunghiul nici nu există.

Natura triunghiului e hotărâtă de cel mai mare unghi, care este opus celei mai mari laturi. Cu $a$ notată chiar acea latură cea mai mare, criteriul complet este: $a^2<b^2+c^2\Rightarrow$ ascuțitunghic; $a^2=b^2+c^2\Rightarrow$ dreptunghic (este exact **reciproca teoremei lui Pitagora**); $a^2>b^2+c^2\Rightarrow$ obtuzunghic.

Explicația stă în teorema cosinusului: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, iar numitorul fiind pozitiv, semnul lui $\cos A$ este dat de numărător — exact comparația din criteriu.

Greșeli frecvente: compararea cu o altă latură decât cea mai mare (trebuie ordonate lungimile întâi), sărirea peste verificarea existenței triunghiului, confuzia dintre „isoscel/echilateral” (despre laturi) și „ascuțitunghic/dreptunghic/obtuzunghic” (despre unghiuri) — un triunghi poate fi, de exemplu, isoscel și obtuzunghic simultan — și ridicarea la pătrat doar a unei părți din inegalitate.

Exerciții din această mini-lecție

1. Criteriul naturii triunghiului, cu $a$ latura cea mai mare, spune că triunghiul este obtuzunghic dacă:

   • a) $a^2>b^2+c^2$
   • b) $a^2=b^2+c^2$
   • c) $a<b+c$
   • d) $a^2<b^2+c^2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $a^2>b^2+c^2$

   Când pătratul laturii celei mai mari depășește suma celorlalte două pătrate, unghiul opus ei este obtuz.

2. Pot forma un triunghi segmentele de $4$ cm, $5$ cm și $10$ cm?

   • a) da, obtuzunghic
   • b) nu, nu se poate forma un triunghi
   • c) da, dreptunghic
   • d) da, ascuțitunghic
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) nu, nu se poate forma un triunghi

   $4+5=9<10$, deci inegalitatea triunghiului este încălcată — nu există niciun triunghi cu aceste lungimi.

3. Un triunghi cu laturile $5$, $5$ și $9$ este simultan:

   • a) echilateral și dreptunghic
   • b) scalen și dreptunghic
   • c) isoscel și obtuzunghic
   • d) isoscel și ascuțitunghic
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) isoscel și obtuzunghic

   Are două laturi egale (isoscel). Latura mare e $9$: $9^2=81$ față de $5^2+5^2=50$; cum $81>50$, este obtuzunghic.