Acasă · Lecții · clasa a X-a · Natura unui triunghi determinată din lungimile laturilor

Natura unui triunghi determinată din lungimile laturilor

Un dulgher primește trei scânduri, de $60$ cm, $80$ cm și $100$ cm, și trebuie să le prindă într-un cadru triunghiular care să aibă un colț perfect drept. Nu are echer destul de mare și nici raportor. Are doar o ruletă. Și totuși, înainte să dea prima bătaie de ciocan, știe deja răspunsul: cadrul va avea un colț drept, pentru că $6 0^{2} + 8 0^{2} = 3600 + 6400 = 10000 = 10 0^{2}$ . Trei numere i-au spus forma unei figuri pe care nu a construit-o încă.

Meseriașii folosesc trucul acesta de mii de ani, sub numele de „regula $3$ – $4$ – $5$ ". Ce vei învăța în această lecție este versiunea lui completă: din trei lungimi poți afla nu doar dacă triunghiul are un unghi drept, ci și dacă toate unghiurile lui sunt ascuțite sau dacă unul dintre ele este obtuz — fără raportor, fără calculator, fără să desenezi nimic. Totul se reduce la o singură comparație între trei numere ridicate la pătrat, iar explicația ei stă în teorema cosinusului, pe care ai învățat-o în lecțiile anterioare.

Ce vei învăța

Vei ști să verifici, înainte de orice, dacă trei lungimi date pot forma un triunghi.
Vei ști să identifici, într-un triunghi, care unghi este cel mai mare, doar privind laturile.
Vei ști să decizi dacă un triunghi este ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic, comparând $a^{2}$ cu $b^{2} + c^{2}$ , unde $a$ este latura cea mai mare.
Vei ști să explici criteriul pornind de la semnul cosinusului din teorema cosinusului.
Vei ști să recunoști reciproca teoremei lui Pitagora ca un caz particular al acestui criteriu.
Vei ști să rezolvi probleme practice de verificare a unghiurilor drepte pe teren, în construcții și în ateliere.

Hai să descoperim împreună

1. Întrebarea zero: există triunghiul?

Înainte de a discuta ce fel de triunghi avem, trebuie să știm dacă avem vreunul. Trei numere pozitive formează un triunghi dacă și numai dacă fiecare dintre ele este mai mic decât suma celorlalte două — aceasta este inegalitatea triunghiului, cunoscută din gimnaziu:

$a < b + c, b < a + c, c < a + b .$

În practică e de ajuns să verifici o singură inegalitate: cea în care latura cea mai mare stă singură în stânga. Dacă cea mai lungă latură este mai scurtă decât suma celorlalte două, celelalte două inegalități se îndeplinesc automat.

Exemplu: lungimile $3$ , $4$ , $8$ nu pot forma un triunghi, pentru că $3 + 4 = 7 < 8$ . Cele două scânduri scurte, puse cap la cap, nu ajung dintr-un capăt în celălalt al scândurii lungi. Lungimile $4$ , $7$ , $9$ formează un triunghi, pentru că $4 + 7 = 11 > 9$ .

✏️Ilustrație: două desene alăturate — la stânga, segmentele de 3 și 4 unități articulate la capetele unui segment de 8, care nu se ating; la dreapta, segmentele de 4 și 7 pe un segment de 9, închizând un triunghi

2. Un singur unghi decide totul

Un triunghi se numește ascuțitunghic dacă toate cele trei unghiuri sunt ascuțite, dreptunghic dacă are un unghi drept și obtuzunghic dacă are un unghi obtuz. Observă că lista este completă și fără suprapuneri: într-un triunghi suma unghiurilor este $18 0^{\circ}$ , deci nu pot exista două unghiuri drepte sau obtuze în același timp.

De aici rezultă o economie de muncă imensă: ca să stabilești natura unui triunghi, este suficient să te uiți la cel mai mare unghi. Dacă el e ascuțit, toate sunt ascuțite. Dacă e drept, triunghiul e dreptunghic. Dacă e obtuz, e obtuzunghic.

Și unde stă cel mai mare unghi? Într-un triunghi, unghiului mai mare i se opune latura mai mare (proprietate știută din gimnaziu). Deci cel mai mare unghi este cel opus celei mai lungi laturi. Nu trebuie să calculezi trei unghiuri; unul singur, cel bine ales, hotărăște.

Convenția lecției. Notăm cu $a$ cea mai lungă latură și cu $b$ , $c$ celelalte două. Atunci unghiul de examinat este $A$ , cel opus laturii $a$ .

3. Semnul cosinusului spune tot

Teorema cosinusului, scrisă pentru unghiul $A$ , dă

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} .$

Numitorul $2 b c$ este mereu un număr pozitiv, fiind un produs de lungimi. Prin urmare semnul lui $cos A$ este exact semnul numărătorului $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ . Iar semnul cosinusului este, în intervalul $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ , o etichetă pentru tipul unghiului — ai văzut asta în lecția despre sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze:

$cos A > 0 ⟺ A$ este ascuțit;
$cos A = 0 ⟺ A$ este drept;
$cos A < 0 ⟺ A$ este obtuz.

Punem cap la cap cele două observații și obținem criteriul. Nu mai avem nevoie nici de valoarea cosinusului, nici de tabele, nici de calculator: ne interesează doar dacă $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ este pozitiv, nul sau negativ.

4. Criteriul, în trei rânduri

Fie un triunghi cu laturile $b$ , $c$ și $a$ , unde $a$ este cea mai lungă.

Comparație	Semnul lui $cos A$	Unghiul $A$	Triunghiul este
$a^{2} < b^{2} + c^{2}$	pozitiv	ascuțit	ascuțitunghic
$a^{2} = b^{2} + c^{2}$	zero	drept	dreptunghic
$a^{2} > b^{2} + c^{2}$	negativ	obtuz	obtuzunghic

Reține sensul intuitiv: cu cât latura mare crește, cu atât unghiul din fața ei se deschide. Când pătratul ei depășește suma pătratelor celorlalte două, unghiul a trecut de $9 0^{\circ}$ .

Atenție la o capcană. Criteriul funcționează doar dacă $a$ este cea mai mare latură. Dacă iei la întâmplare o latură și compari, poți primi un răspuns fals. De exemplu, pentru triunghiul cu laturile $2$ , $3$ , $4$ avem $2^{2} + 4^{2} = 20 > 3^{2} = 9$ , ceea ce arată doar că unghiul opus lui $3$ este ascuțit — adevărat, dar irelevant. Triunghiul este de fapt obtuzunghic, pentru că $2^{2} + 3^{2} = 13 < 4^{2} = 16$ .

5. Balamaua: de ce criteriul e credibil

Imaginează-ți laturile $b$ și $c$ ca două brațe metalice prinse într-o balama, în vârful $A$ . Lungimile lor rămân fixe; se schimbă doar deschiderea balamalei, adică unghiul $A$ , iar odată cu ea se schimbă și distanța $a$ dintre capetele libere.

La deschidere mică, $a$ este mic.
La deschidere de exact $9 0^{\circ}$ , teorema lui Pitagora dă $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .
Când continui să deschizi peste $9 0^{\circ}$ , capetele se depărtează, deci $a$ crește, iar $a^{2}$ trece peste $b^{2} + c^{2}$ .

Teorema cosinusului măsoară exact acest lucru: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ . Termenul $- 2 b c cos A$ este corecția față de Pitagora. La unghi ascuțit corecția e negativă și micșorează pe $a$ ; la unghi obtuz e pozitivă și îl mărește. Pitagora este cazul de mijloc, în care corecția dispare.

✏️Ilustrație: trei poziții ale unei balamale cu brațele fixe b și c — la 60°, la 90° și la 120° — cu distanța a marcată punctat și crescând de la stânga la dreapta

6. Reciproca teoremei lui Pitagora, ca un caz particular

Linia din mijloc a tabelului este o teoremă pe care o cunoști din clasa a VII-a: dacă într-un triunghi pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, atunci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus acelei laturi. Ceea ce ai câștigat acum este contextul: reciproca lui Pitagora nu e o regulă izolată, ci una dintre cele trei ramuri ale aceleiași comparații.

Tripletele de numere naturale care verifică egalitatea se numesc triplete pitagoreice. Cele mai folosite în practică sunt $(3, 4, 5)$ , $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ , $(7, 24, 25)$ , $(20, 21, 29)$ , $(9, 40, 41)$ și $(12, 35, 37)$ , împreună cu toți multiplii lor: $(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$ , $(30, 40, 50)$ și așa mai departe. Merită memorate primele două — apar în probleme mai des decât orice altă combinație.

7. Rețeta, în patru pași

Ordonează cele trei lungimi crescător și notează cu $a$ pe cea mai mare.
Verifică existența: este $a < b + c$ ? Dacă nu, triunghiul nu există și te oprești aici.
Calculează $b^{2} + c^{2}$ și $a^{2}$ .
Compară și citește răspunsul din tabel.

Aplicăm rețeta pe patru seturi de lungimi.

$4$ , $5$ , $6$ : cea mai mare este $6$ ; $4 + 5 = 9 > 6$ , deci triunghiul există. $4^{2} + 5^{2} = 41$ , iar $6^{2} = 36$ . Cum $41 > 36$ , triunghiul este ascuțitunghic.
$2$ , $3$ , $4$ : $2 + 3 = 5 > 4$ , există. $2^{2} + 3^{2} = 13 < 16 = 4^{2}$ , deci obtuzunghic.
$9$ , $12$ , $15$ : $9 + 12 = 21 > 15$ , există. $81 + 144 = 225 = 1 5^{2}$ , deci dreptunghic (este tripletul $3$ – $4$ – $5$ înmulțit cu $3$ ).
$5$ , $5$ , $7$ : $5 + 5 = 10 > 7$ , există. $25 + 25 = 50$ , iar $7^{2} = 49$ . Cum $50 > 49$ , triunghiul este ascuțitunghic — la limită, dar ascuțitunghic. Ochiul liber ar fi pariat pe „drept"; aritmetica hotărăște altfel.

Ultimul exemplu arată de ce criteriul e prețios: diferența dintre $50$ și $49$ nu se vede pe desen, dar se vede în calcul.

8. Când o latură este o literă

Criteriul se poate folosi și „invers": cunoști două laturi și cauți valorile celei de-a treia care dau un anumit tip de triunghi.

Fie laturile $3$ , $4$ și $m$ , cu $m > 0$ . Întâi condiția de existență: $m < 3 + 4 = 7$ și $m > 4 - 3 = 1$ , deci $m \in (1, 7)$ .

Dacă $m \leq 4$ , cea mai mare latură este $4$ și comparăm $16$ cu $9 + m^{2}$ . Pentru $m > 7 \approx 2, 65$ triunghiul e ascuțitunghic, pentru $m = 7$ e dreptunghic, iar pentru $1 < m < 7$ e obtuzunghic.
Dacă $m > 4$ , cea mai mare latură este $m$ și comparăm $m^{2}$ cu $9 + 16 = 25$ : pentru $m < 5$ ascuțitunghic, pentru $m = 5$ dreptunghic, pentru $5 < m < 7$ obtuzunghic.

Dacă $m$ este număr natural, valorile posibile sunt $2, 3, 4, 5, 6$ , iar triunghiul iese obtuzunghic exact pentru $m = 2$ (laturile $2, 3, 4$ ) și $m = 6$ (laturile $3, 4, 6$ ).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un triunghi ascuțitunghic

Stabiliți natura triunghiului cu laturile $6$ , $7$ și $9$ .

Rezolvare. Cea mai mare latură este $a = 9$ ; celelalte, $b = 6$ și $c = 7$ . Existența: $6 + 7 = 13 > 9$ ✓.

$b^{2} + c^{2} = 36 + 49 = 85, a^{2} = 81.$

Cum $85 > 81$ , avem $cos A > 0$ , deci unghiul $A$ este ascuțit, iar triunghiul este ascuțitunghic. (Cine vrea valoarea exactă: $cos A = \frac{85 - 81}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}$ , un număr pozitiv foarte mic — unghiul e ascuțit, dar aproape drept, aproximativ $87, 3^{\circ}$ .) $■$

Exemplul 2 — Un triunghi obtuzunghic și unghiul vinovat

Arătați că triunghiul cu laturile $7$ , $8$ și $13$ este obtuzunghic și precizați care unghi este obtuz.

Rezolvare. $a = 13$ , $b = 7$ , $c = 8$ . Existența: $7 + 8 = 15 > 13$ ✓.

$b^{2} + c^{2} = 49 + 64 = 113 < 169 = a^{2} .$

Triunghiul este obtuzunghic, iar unghiul obtuz este cel opus laturii de $13$ . Aici merită mers până la capăt, cu procedeul din lecția despre aflarea unghiurilor din laturi:

$cos A = \frac{113 - 169}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{- 56}{112} = - \frac{1}{2} \Rightarrow m (∠ A) = 12 0^{\circ} .$

Celelalte două unghiuri sunt obligatoriu ascuțite, pentru că suma lor este $6 0^{\circ}$ . $■$

Exemplul 3 — Dreptunghic, fără nicio urmă de trigonometrie

Arătați că triunghiul cu laturile $5$ , $12$ , $13$ este dreptunghic și calculați aria lui.

Rezolvare. $5 + 12 = 17 > 13$ ✓. Comparăm: $5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2}$ . Egalitate, deci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii de $13$ .

Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt și bază, și înălțime una pentru cealaltă, deci

$S = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30.$

Observă că nu am folosit niciun cosinus: criteriul l-a înlocuit complet. $■$

Exemplul 4 — Capcana „pare drept"

Stabiliți natura triunghiului cu laturile $11$ , $13$ și $20$ .

Rezolvare. $a = 20$ , iar $11 + 13 = 24 > 20$ ✓. Atunci $1 1^{2} + 1 3^{2} = 121 + 169 = 290$ , iar $2 0^{2} = 400$ . Cum $290 < 400$ , triunghiul este obtuzunghic.

Cât de obtuz? $cos A = \frac{290 - 400}{2 \cdot 11 \cdot 13} = \frac{- 110}{286} = - \frac{5}{13}$ , de unde, cu un instrument digital, $m (∠ A) \approx 112, 6^{\circ}$ . Un desen la scară mică ar fi putut sugera un unghi drept; numerele nu lasă loc de îndoială. $■$

Exemplul 5 — Trei lungimi care nu formează nimic

Există un triunghi cu laturile $3$ , $4$ și $8$ ? Dar unul cu laturile $6$ , $9$ și $12$ ? În caz afirmativ, stabiliți-le natura.

Rezolvare. Pentru $3$ , $4$ , $8$ : $3 + 4 = 7 < 8$ , deci inegalitatea triunghiului nu este îndeplinită și triunghiul nu există. Aici discuția se oprește; nu are sens să comparăm pătratele.

Pentru $6$ , $9$ , $12$ : $6 + 9 = 15 > 12$ ✓, triunghiul există. $6^{2} + 9^{2} = 36 + 81 = 117 < 144 = 1 2^{2}$ , deci este obtuzunghic. De altfel, laturile sunt $2$ , $3$ , $4$ înmulțite cu $3$ : triunghiurile asemenea au aceleași unghiuri, deci și aceeași natură. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $A B C$ se știe că $A B = 6$ , $A C = 9$ și $B C = 12$ . a) Arătați că unghiul $A$ este obtuz. b) Calculați $cos A$ .

Rezolvare. Cu notațiile obișnuite, $a = B C = 12$ , $b = A C = 9$ , $c = A B = 6$ . Latura cea mai mare este $a$ , deci unghiul cel mai mare este $A$ .

a) $b^{2} + c^{2} = 81 + 36 = 117$ , iar $a^{2} = 144$ . Cum $117 < 144$ , numărătorul din formula cosinusului este negativ, deci $cos A < 0$ și unghiul $A$ este obtuz.

b) $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{117 - 144}{2 \cdot 9 \cdot 6} = \frac{- 27}{108} = - \frac{1}{4}$ .

Control rapid: $cos A \in (- 1, 0)$ , exact ce trebuie pentru un unghi obtuz. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu scrie mai întâi care este latura cea mai mare, apoi verifică existența triunghiului și abia pe urmă compară pătratele.

1. Stabilește natura triunghiului cu laturile $4$ , $5$ , $6$ .

2. Stabilește natura triunghiului cu laturile $5$ , $12$ , $13$ .

3. Stabilește natura triunghiului cu laturile $2$ , $3$ , $4$ .

4. Stabilește natura triunghiului cu laturile $6$ , $7$ , $9$ .

5. Stabilește natura triunghiului cu laturile $7$ , $9$ , $12$ .

6. Stabilește natura triunghiului cu laturile $20$ , $21$ , $29$ .

7. Există un triunghi cu laturile $3$ , $4$ , $8$ ? Justifică.

8. Stabilește natura triunghiului cu laturile $11$ , $13$ , $20$ .

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un triunghi cu laturile $5$ , $5$ și $7$ este obtuzunghic."

10. Stabilește natura triunghiului cu laturile $13$ , $14$ , $15$ .

11. (Problemă aplicată.) Un teren triunghiular are laturile de $30$ m, $40$ m și $50$ m. Ce fel de triunghi formează și care este aria terenului?

12. Stabilește natura triunghiului cu laturile $4$ , $7$ , $9$ .

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă într-un triunghi cu laturile $a$ , $b$ , $c$ are loc $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ , atunci triunghiul este ascuțitunghic."

14. Arată că triunghiul cu laturile $9$ , $40$ , $41$ este dreptunghic și calculează-i aria.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $A B C$ , $A B = 7$ , $A C = 8$ și $B C = 13$ . Arătați că $m (∠ A) = 12 0^{\circ}$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $A B C$ , $A B = 5$ , $A C = 12$ și $B C = 13$ . Arătați că triunghiul este dreptunghic și calculați aria sa.

17. Determină valorile numărului natural $m$ pentru care triunghiul cu laturile $3$ , $4$ și $m$ este obtuzunghic.

18. (Provocare.) Laturile unui triunghi sunt trei numere naturale consecutive. Determină toate triunghiurile obtuzunghice de acest fel.

Răspunsuri și explicații

1. $a = 6$ ; $4 + 5 = 9 > 6$ ✓. $4^{2} + 5^{2} = 41 > 36 = 6^{2}$ , deci ascuțitunghic.

2. $a = 13$ ; $5 + 12 = 17 > 13$ ✓. $25 + 144 = 169 = 1 3^{2}$ , deci dreptunghic (triplet pitagoreic clasic).

3. $a = 4$ ; $2 + 3 = 5 > 4$ ✓. $4 + 9 = 13 < 16$ , deci obtuzunghic. Unghiul obtuz este cel opus laturii de $4$ .

4. $a = 9$ ; $6 + 7 = 13 > 9$ ✓. $36 + 49 = 85 > 81$ , deci ascuțitunghic — la limită, dar ascuțitunghic.

5. $a = 12$ ; $7 + 9 = 16 > 12$ ✓. $49 + 81 = 130 < 144$ , deci obtuzunghic.

6. $a = 29$ ; $20 + 21 = 41 > 29$ ✓. $400 + 441 = 841 = 2 9^{2}$ , deci dreptunghic. Este tripletul pitagoreic $(20, 21, 29)$ .

7. Nu. $3 + 4 = 7 < 8$ , deci inegalitatea triunghiului nu este îndeplinită: cele două laturi scurte, întinse cap la cap, sunt mai scurte decât a treia și nu se pot închide.

8. $a = 20$ ; $11 + 13 = 24 > 20$ ✓. $121 + 169 = 290 < 400$ , deci obtuzunghic, cu $cos A = - \frac{5}{13}$ .

9. Fals. Cea mai mare latură este $7$ , iar $5^{2} + 5^{2} = 50 > 49 = 7^{2}$ . Triunghiul este ascuțitunghic, chiar dacă doar cu o unitate „scăpare". Este exact situația în care ochiul se înșală, iar comparația pătratelor nu.

10. $a = 15$ ; $13 + 14 = 27 > 15$ ✓. $169 + 196 = 365 > 225$ , deci ascuțitunghic. Toate unghiurile sunt sub $9 0^{\circ}$ (cel mai mare are aproximativ $67, 4^{\circ}$ ).

11. $30 + 40 = 70 > 50$ ✓ și $900 + 1600 = 2500 = 5 0^{2}$ , deci terenul este dreptunghic, cu unghiul drept între laturile de $30$ m și $40$ m. Aria: $S = \frac{30 \cdot 40}{2} = 600$ m². (Este tripletul $3$ – $4$ – $5$ înmulțit cu $10$ — exact „regula dulgherului" din deschidere, la altă scară.)

12. $a = 9$ ; $4 + 7 = 11 > 9$ ✓. $16 + 49 = 65 < 81$ , deci obtuzunghic.

13. Fals. Comparația are sens doar dacă latura din dreapta este cea mai mare. Contraexemplu: triunghiul cu laturile $a = 2$ , $b = 4$ , $c = 3$ verifică $a^{2} + b^{2} = 4 + 16 = 20 > 9 = c^{2}$ , dar este obtuzunghic, pentru că latura mare este $4$ , iar $2^{2} + 3^{2} = 13 < 16$ .

14. $9 + 40 = 49 > 41$ ✓ și $81 + 1600 = 1681 = 4 1^{2}$ , deci triunghiul este dreptunghic, cu catetele $9$ și $40$ . Aria: $S = \frac{9 \cdot 40}{2} = 180$ .

15. $a = B C = 13$ , $b = A C = 8$ , $c = A B = 7$ . Din teorema cosinusului,

$cos A = \frac{64 + 49 - 169}{2 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{- 56}{112} = - \frac{1}{2},$

iar singurul unghi din $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ cu cosinusul $- \frac{1}{2}$ este $12 0^{\circ}$ . Deci $m (∠ A) = 12 0^{\circ}$ .

16. Latura cea mai mare este $B C = 13$ , iar $A B^{2} + A C^{2} = 25 + 144 = 169 = B C^{2}$ . Prin reciproca teoremei lui Pitagora, unghiul $A$ este drept. Aria: $S = \frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30$ .

17. Condiția de existență dă $m \in (1, 7)$ , deci $m \in {2, 3, 4, 5, 6}$ . Analizăm fiecare valoare, luând mereu latura cea mai mare:

$m = 2$ : laturile $2, 3, 4$ , iar $4 + 9 = 13 < 16$ — obtuzunghic;
$m = 3$ : laturile $3, 3, 4$ , iar $9 + 9 = 18 > 16$ — ascuțitunghic;
$m = 4$ : laturile $3, 4, 4$ , iar $9 + 16 = 25 > 16$ — ascuțitunghic;
$m = 5$ : laturile $3, 4, 5$ — dreptunghic;
$m = 6$ : laturile $3, 4, 6$ , iar $9 + 16 = 25 < 36$ — obtuzunghic.

Răspuns: $m \in {2, 6}$ .

18. Fie laturile $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ , cu $n$ natural, $n \geq 2$ . Existența cere $(n - 1) + n > n + 1$ , adică $n > 2$ , deci $n \geq 3$ . Cea mai mare latură este $n + 1$ , iar condiția de obtuzunghi este

$(n - 1)^{2} + n^{2} < (n + 1)^{2} ⟺ n^{2} - 2 n + 1 + n^{2} < n^{2} + 2 n + 1 ⟺ n^{2} - 4 n < 0 ⟺ n < 4.$

Împreună cu $n \geq 3$ rămâne doar $n = 3$ , adică triunghiul cu laturile $2$ , $3$ , $4$ . Este singurul triunghi obtuzunghic cu laturi numere naturale consecutive. (Pentru $n = 4$ ies laturile $3, 4, 5$ , dreptunghic; pentru $n \geq 5$ , toate sunt ascuțitunghice.)

De reținut

Pasul zero este mereu inegalitatea triunghiului: cea mai mare latură trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două. Fără ea, discuția despre natură nu are obiect.
Natura unui triunghi e hotărâtă de cel mai mare unghi, iar acesta este opus celei mai mari laturi.
Criteriul, cu $a$ latura cea mai mare: $a^{2} < b^{2} + c^{2}$ → ascuțitunghic; $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ → dreptunghic; $a^{2} > b^{2} + c^{2}$ → obtuzunghic.
Explicația stă în teorema cosinusului: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ , iar numitorul fiind pozitiv, semnul cosinusului este semnul numărătorului.
Cazul de egalitate este chiar reciproca teoremei lui Pitagora, iar triunghiurile asemenea au aceeași natură, pentru că au aceleași unghiuri.

Greșeli frecvente

Se compară cu latura greșită. Se ia prima latură din enunț în loc de cea mai lungă. Ordonează întotdeauna lungimile înainte de a scrie ceva.
Se sare peste verificarea existenței. Pentru $3$ , $4$ , $8$ cineva calculează $9 + 16 = 25 < 64$ și scrie „obtuzunghic", deși triunghiul nu există deloc.
Se confundă natura triunghiului cu tipul lui după laturi. „Isoscel" și „echilateral" descriu laturile; „ascuțitunghic, dreptunghic, obtuzunghic" descriu unghiurile. Un triunghi poate fi isoscel și obtuzunghic în același timp.
Se crede că „aproape egal" înseamnă „drept". Pentru $5$ , $5$ , $7$ diferența dintre $50$ și $49$ este de o unitate, dar concluzia se schimbă complet. Compară exact, nu aproximativ.
Se ridică la pătrat doar o parte. Se scrie $a < b^{2} + c^{2}$ sau $a^{2} < b + c$ . În criteriu se ridică la pătrat toate cele trei laturi; inegalitatea triunghiului, în schimb, se scrie fără pătrate.

Aplică acasă

Colțul drept din casă. Alege un colț de cameră, de masă sau de ușă. Măsoară cu ruleta $60$ cm pe o direcție și $80$ cm pe cealaltă, marchează cele două puncte și măsoară distanța dintre ele. Dacă iese $100$ cm, colțul e drept; dacă iese mai mult, unghiul e obtuz; dacă iese mai puțin, e ascuțit. Notează abaterea în milimetri — vei fi surprins câte colțuri „drepte" nu sunt.
Trei bețe și un verdict. Taie trei bețișoare (sau paie) de $5$ , $5$ și $7$ cm și încă trei de $5$ , $5$ și $8$ cm. Formează cele două triunghiuri și pune-le alături. Primul este ascuțitunghic ( $50 > 49$ ), al doilea obtuzunghic ( $50 < 64$ ). Poți vedea diferența cu ochiul liber? Verifică apoi cu un raportor.
Harta cu trei repere. Pe o hartă digitală, alege trei locuri din orașul tău și măsoară cu instrumentul de măsurare cele trei distanțe dintre ele. Aplică criteriul și spune ce fel de triunghi formează. Repetă cu alte trei repere până găsești unul aproape dreptunghic, apoi verifică pe hartă dacă unghiul chiar arată așa.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă teorema cosinusului dintr-un instrument de calcul într-un instrument de decizie: nu ne mai interesează cât are unghiul, ci doar dacă e mai mic, egal sau mai mare decât $9 0^{\circ}$ . Este exact competența X.CS.5.1 din programă, care cere „stabilirea naturii unui triunghi când se cunosc dimensiunile laturilor". Elevul trebuie să rețină trei lucruri, în ordine: verificarea existenței, alegerea laturii mari, comparația pătratelor.

Întrebări bune de control: „De ce e suficient să analizăm un singur unghi?" (pentru că doar cel mai mare poate fi drept sau obtuz); „De unde știm care e cel mai mare unghi?" (e opus celei mai mari laturi); „De ce semnul lui $cos A$ este semnul numărătorului?" (numitorul $2 b c$ este mereu pozitiv); „Ce se întâmplă dacă folosim o latură care nu e cea mai mare?" (obținem o informație adevărată, dar despre alt unghi, deci fără valoare pentru concluzie). Semne că a înțeles: ordonează laturile din reflex, se oprește imediat când inegalitatea triunghiului nu se verifică și nu confundă clasificarea după laturi cu cea după unghiuri.

La Bacalaureat, cerința apare de obicei sub forma „arătați că triunghiul $A B C$ este dreptunghic" sau „arătați că unghiul $A$ este obtuz", uneori urmată de calculul ariei sau al unui cosinus. Rezolvarea completă cere menționarea explicită a laturii celei mai mari și scrierea comparației; simpla afirmație „se vede că e obtuz" nu primește punctaj. Pentru continuare, lecția următoare, despre teorema sinusurilor, adaugă a doua relație de bază a unității, iar cine vrea demonstrația teoremei cosinusului o găsește în lecția de clasa a IX-a despre teorema cosinusului.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama dacă un triunghi este ascuțitunghic sau obtuzunghic doar din laturi? Iei latura cea mai mare, o notezi $a$ , și compari $a^{2}$ cu suma pătratelor celorlalte două. Dacă $a^{2}$ este mai mic, triunghiul e ascuțitunghic; dacă e egal, dreptunghic; dacă e mai mare, obtuzunghic.

De ce trebuie neapărat latura cea mai mare? Pentru că natura triunghiului e dată de cel mai mare unghi, iar acesta este opus celei mai mari laturi. O comparație făcută cu altă latură îți spune ceva adevărat despre alt unghi, dar nu răspunde la întrebare.

Ce fac dacă cele trei numere nu formează un triunghi? Te oprești și scrii asta ca răspuns. Dacă cea mai mare lungime este mai mare sau egală cu suma celorlalte două, figura nu se închide, iar comparația pătratelor nu mai are niciun sens.

Criteriul acesta este același lucru cu reciproca teoremei lui Pitagora? Reciproca lui Pitagora este doar cazul de egalitate. Criteriul din lecție o cuprinde și adaugă celelalte două situații, cele de inegalitate strictă, care nu se pot trata cu Pitagora.

Un triunghi isoscel poate fi obtuzunghic? Da. De exemplu, triunghiul cu laturile $5$ , $5$ și $8$ este isoscel și obtuzunghic, pentru că $25 + 25 = 50 < 64$ . „Isoscel" descrie laturile, „obtuzunghic" descrie unghiurile; cele două clasificări sunt independente.

Câte unghiuri obtuze poate avea un triunghi? Cel mult unul. Două unghiuri obtuze ar da o sumă mai mare de $18 0^{\circ}$ , ceea ce este imposibil. Din același motiv, un triunghi nu poate avea nici două unghiuri drepte.

Trebuie calculator pentru a stabili natura unui triunghi? Nu. Criteriul cere doar trei ridicări la pătrat și o comparație. Calculatorul sau tabelele trigonometrice devin utile abia dacă vrei și valoarea unghiului, nu doar tipul lui.

Două triunghiuri asemenea au aceeași natură? Da. Asemănarea păstrează unghiurile, deci și tipul lor. De aceea $(2, 3, 4)$ , $(4, 6, 8)$ și $(6, 9, 12)$ sunt toate obtuzunghice, cu exact aceleași unghiuri.