Punctele $$A(0, 0)$$, $$B(6, 0)$$ și $$C(5, 1)$$ sunt vârfurile unui triunghi. Ce natură are triunghiul $$ABC$$?

obtuzunghic, cu unghiul obtuz în $$C$$

obtuzunghic, cu unghiul obtuz în $$A$$

Pentru ce latură devine triunghiul obtuzunghic?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Natura triunghiului din laturi

Discuți după care latură este cea mai lungă. Pentru laturile $6$ , $8$ și $x$ : dacă $x$ este cea mai lungă, triunghiul e obtuzunghic când $x^{2} > 36 + 64 = 100$ , iar existența cere $x < 14$ , deci $10 < x < 14$ . Dacă cea mai lungă este $8$ , cerem $64 > 36 + x^{2}$ , adică $x < 27 \approx 5, 29$ , cu $x > 2$ pentru existență. Pentru $x = 10$ triunghiul este dreptunghic.

Un triunghi poate avea toate unghiurile ascuțite, un unghi drept sau un unghi obtuz, iar felul lui se hotărăște privind un singur unghi: cel mai mare, care stă mereu în fața celei mai lungi laturi. Dacă notăm cu $a$ acea latură, comparăm $a^{2}$ cu $b^{2} + c^{2}$ . Când $a^{2}$ este mai mic, triunghiul este ascuțitunghic; când cele două numere sunt egale, este dreptunghic; când $a^{2}$ le depășește, este obtuzunghic.

Motivul vine din formula cosinusului unui unghi scris cu laturile: numitorul $2 b c$ e pozitiv, deci semnul cosinusului îl dă numărătorul $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ , iar un cosinus negativ înseamnă unghi obtuz.

Înainte de orice comparație verifici că latura cea mai lungă e mai scurtă decât suma celorlalte două. Dacă vârfurile sunt date în reper, lucrezi direct cu pătratele distanțelor, fără radicali, ca verdictul să rămână exact. O latură necunoscută se discută pe cazuri, după cine devine latura cea mai lungă. Când lungimile vin din măsurători, te încrezi în concluzie numai dacă semnul diferenței dintre pătrate rezistă la erorile instrumentului.

De reținut

$a$ cea mai lungă: $a^{2} < b^{2} + c^{2}$ ascuțitunghic, $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ dreptunghic, $a^{2} > b^{2} + c^{2}$ obtuzunghic
înaintea comparației verifici $a < b + c$
în reper se lucrează cu pătratele distanțelor

Greșeala tipică

Se cere doar $x^{2} > 100$ pentru un triunghi obtuzunghic cu laturile $6$ , $8$ , $x$ și se uită condiția de existență $x < 14$ ; pentru $x = 15$ triunghiul nici nu există.

Exerciții din această mini-lecție

Un triunghi are laturile $8$ , $15$ și $16$ . Ce natură are?
- a) obtuzunghic
- b) ascuțitunghic
- c) dreptunghic
- d) nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ascuțitunghic

Latura cea mai lungă este $16$ : $8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289 > 256 = 1 6^{2}$ , deci triunghiul este ascuțitunghic.
Punctele $A (0, 0)$ , $B (6, 0)$ și $C (5, 1)$ sunt vârfurile unui triunghi. Ce natură are triunghiul $A B C$ ?
- a) ascuțitunghic
- b) dreptunghic în $C$
- c) obtuzunghic, cu unghiul obtuz în $C$
- d) obtuzunghic, cu unghiul obtuz în $A$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) obtuzunghic, cu unghiul obtuz în $C$

$A B^{2} = 36$ , $A C^{2} = 25 + 1 = 26$ , $B C^{2} = 1 + 1 = 2$ . Latura cea mai lungă este $A B$ , iar $26 + 2 = 28 < 36$ , deci unghiul din $C$ este obtuz.
Un triunghi are laturile $8$ , $9$ și $t$ , unde $t$ este latura cea mai lungă. Pentru ce valori ale lui $t$ triunghiul este obtuzunghic?
- a) $145 < t < 17$
- b) $9 < t < 145$
- c) $t > 145$
- d) $9 < t < 17$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $145 < t < 17$

Obtuzunghic înseamnă $t^{2} > 64 + 81 = 145$ , iar existența cere $t < 8 + 9 = 17$ . Rămâne $145 < t < 17$ .

Întrebări conexe

Ce natură are triunghiul cu vârfurile $A (0, 0)$ , $B (4, 0)$ și $C (1, 3)$ ?

Lucrezi cu pătratele distanțelor: $A B^{2} = 16$ , $A C^{2} = 1 + 9 = 10$ , $B C^{2} = 9 + 9 = 18$ . Cea mai lungă latură este $B C$ , iar $16 + 10 = 26 > 18$ , deci unghiul din $A$ este ascuțit și triunghiul este ascuțitunghic. Radicalii nu sunt necesari.

Este triunghiul cu laturile $7$ , $24$ și $25$ dreptunghic?

Compari pătratul laturii celei mai lungi cu suma celorlalte: $7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625 = 2 5^{2}$ . Egalitatea arată că triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii $25$ . Tripletele de acest fel se recunosc rapid prin calcul.

Ce natură are triunghiul cu laturile $3$ , $5$ și $7$ ?

Latura cea mai lungă este $7$ : $7^{2} = 49$ , iar $3^{2} + 5^{2} = 34$ . Cum $49 > 34$ , unghiul opus laturii $7$ este obtuz. Teorema cosinusului arată chiar $cos = \frac{34 - 49}{30} = - \frac{1}{2}$ , adică un unghi de $12 0^{\circ}$ .

Ce natură au triunghiurile cu laturile $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ ?

Compari $(n + 2)^{2}$ cu $n^{2} + (n + 1)^{2}$ . Pentru $n = 2$ : $16 > 13$ , obtuzunghic. Pentru $n = 3$ : $25 = 25$ , dreptunghic. Pentru $n = 4$ : $36 < 41$ , ascuțitunghic. De la $n = 4$ încolo toate sunt ascuțitunghice, fiindcă diferența $n^{2} + (n + 1)^{2} - (n + 2)^{2} = (n - 3) (n + 1)$ devine pozitivă.

Când este obtuzunghic un triunghi isoscel cu laturile egale de $5$ ?

Unghiul obtuz poate fi doar cel din vârf, opus bazei $b$ . Cerem $b^{2} > 25 + 25 = 50$ , adică $b > 52 \approx 7, 07$ , iar existența cere $b < 10$ . Deci triunghiul este obtuzunghic pentru $52 < b < 10$ și dreptunghic pentru $b = 52$ .

Formează trei țăruși de pe teren, la $30$ , $40$ și $55$ m unul de altul, un triunghi obtuzunghic?

Compari pătratul distanței celei mai mari cu suma celorlalte două pătrate: $5 5^{2} = 3025$ , iar $3 0^{2} + 4 0^{2} = 2500$ . Cum $3025 > 2500$ , unghiul opus laturii de $55$ m este obtuz. Existența e asigurată: $55 < 30 + 40$ .

Oamenii mai întreabă și: triunghi obtuzunghic cu o latură necunoscută · pentru ce x este triunghiul obtuzunghic · natura triunghiului cu parametru · latura pentru care triunghiul are unghi obtuz

Pentru ce latură devine triunghiul obtuzunghic?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Ce natură are triunghiul cu vârfurile A(0,0), B(4,0) și C(1,3)?

Este triunghiul cu laturile 7, 24 și 25 dreptunghic?

Ce natură are triunghiul cu laturile 3, 5 și 7?

Ce natură au triunghiurile cu laturile n, n+1, n+2?

Când este obtuzunghic un triunghi isoscel cu laturile egale de 5?

Formează trei țăruși de pe teren, la 30, 40 și 55 m unul de altul, un triunghi obtuzunghic?