Cum folosesc conjugata la o limită 0/0 cu radical?

Amplifici cu conjugata ca să apară factorul care se simplifică. Pentru limₓ→ 4 (√x-2)/(x-4) înmulțești cu √x+2: numărătorul devine x-4, se simplifică și rămâne 1/(√x+2), cu limita 1/4.

Ce limită are √(x²+10x)-x la minus infinit?

La -∞ radicalul tinde la +∞, iar -x tinde tot la +∞, deci suma lor tinde la +∞: nu există niciun caz exceptat și nicio conjugată nu e necesară. Aceeași expresie dă 5 la +∞.

Ce este expresia conjugată la limite?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Trucul conjugatei

Expresia conjugată a lui $A - B$ este $A + B$ , iar produsul lor este $A - B^{2}$ , fără radical. La o limită de tipul $\infty - \infty$ amplifici cu ea, iar diferența devine o fracție. De exemplu, $x^{2} + 10 x - x = \frac{10 x}{x ^{2} + 10 x + x}$ ; împărțind prin $x$ , fracția tinde la $\frac{10}{2} = 5$ la $+ \infty$ . Conjugata se alege astfel încât termenii cei mai mari să se reducă.

Când scazi două mărimi care urcă amândouă fără oprire, rezultatul nu se poate ghici: aceeași formă poate da infinit, zero sau un număr oarecare, după cât de repede urcă fiecare. Dacă în scădere intră un radical de ordinul al doilea, ai o singură unealtă — înmulțești și împarți cu expresia conjugată, folosind că $(A - B) (A + B) = A - B^{2}$ , cu al doilea termen ridicat la pătrat. Termenii cei mai mari se anulează, iar diferența devine un raport pe care îl știi rezolva.

Operația nu încheie exercițiul, ci doar mută problema: rămâne un raport de două mărimi care cresc, iar el se lămurește împărțind sus și jos prin $x$ . Ca probă rapidă în dreapta: expresia $x^{2} + b x - x$ se așază pe $\frac{b}{2}$ .

Capcana. În stânga, scăderea devine o adunare de mărimi pozitive și crește nemărginit; nehotărâtă e acolo suma $x^{2} + b x + x$ . Tot acolo, împărțirea prin $x$ scoate din radical un modul care se citește $- x$ , deci apare un minus, iar cele două capete dau rezultate opuse. Și ca să împarți prin $x$ ceva aflat sub radical, radicandul se împarte la $x^{2}$ .

De reținut

$(A - B) (A + B) = A - B^{2}$
după amplificare, diferența devine o fracție rezolvată prin compararea gradelor
la $- \infty$ , $x^{2} = - x$

Greșeala tipică

Se amplifică doar numărătorul cu conjugata și se uită numitorul; amplificarea înseamnă înmulțirea cu aceeași expresie sus și jos, altfel valoarea se schimbă.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este produsul $(x^{2} + 17 x - x) (x^{2} + 17 x + x)$ ?
- a) $x^{2} + 16 x$
- b) $17 x$
- c) $2 x^{2} + 17 x$
- d) $17 x^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $17 x$

Se aplică identitatea $(A - B) (A + B) = A - B^{2}$ , cu $A = x^{2} + 17 x$ și $B = x$ : produsul este $x^{2} + 17 x - x^{2} = 17 x$ . Varianta a) nu ridică al doilea termen la pătrat și scade doar $x$ , obținând $x^{2} + 16 x$ , c) adună în loc să scadă, iar d) ridică la pătrat și coeficientul. Anularea termenilor de gradul al doilea este chiar motorul metodei.
Calculează $x \to + \infty lim (x^{2} + 9 x - x)$ .
- a) $9$
- b) $\frac{9}{2}$
- c) $0$
- d) $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{9}{2}$

Amplificăm cu conjugata $x^{2} + 9 x + x$ , sumă de mărimi pozitive pentru $x > 0$ , deci nenulă: expresia devine $\frac{9 x}{x ^{2} + 9 x + x}$ . Împărțim prin $x$ pozitiv, ținând cont că $\frac{x ^{2} + 9 x}{x} = 1 + \frac{9}{x}$ : rămâne $\frac{9}{1 + \frac{9}{x} + 1}$ , cu numitorul care tinde la $2$ . Limita este $\frac{9}{2}$ . Varianta a) uită împărțirea la $2$ , c) presupune că diferența se stinge, iar d) citește forma nedeterminată drept rezultat.
Calculează $x \to - \infty lim (x^{2} + 34 x + x)$ .
- a) $17$
- b) $+ \infty$
- c) $- \infty$
- d) $- 17$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- 17$

La capătul din stânga expresia nehotărâtă este suma, nu diferența. Amplificăm cu $x^{2} + 34 x - x$ , strict pozitivă acolo: obținem $\frac{34 x}{x ^{2} + 34 x - x}$ . Împărțind prin $x$ negativ, radicalul aduce semnul minus, fiindcă $x^{2} = ∣ x ∣ = - x$ , deci numitorul tinde la $- 1 - 1 = - 2$ și limita este $\frac{34}{- 2} = - 17$ . Varianta a) uită modulul, iar b) și c) opresc calculul la eticheta nedeterminării.

Întrebări conexe

Care este conjugata lui $x + 5 - x$ ?

Este $x + 5 + x$ , iar produsul lor este $(x + 5) - x = 5$ . Amplificând, $x + 5 - x = \frac{5}{x + 5 + x}$ , care tinde la $0$ la $+ \infty$ , fiindcă numitorul crește nemărginit. Diferența dintre doi radicali apropiați devine astfel tot mai mică.

Când nu apare cazul infinit minus infinit la o diferență cu radical?

Când termenii cresc cu viteze diferite. De exemplu, $4 x^{2} + 1 - x = x (4 + \frac{1}{x ^{2}} - 1)$ , iar paranteza tinde la $1$ , deci limita la $+ \infty$ este $+ \infty$ . Conjugata e necesară doar când coeficienții dominanți se reduc, ca la $x^{2} + \dots - x$ .

Cum folosesc conjugata la o limită $\frac{0}{0}$ cu radical?

Amplifici cu conjugata ca să apară factorul care se simplifică. Pentru $x \to 4 lim \frac{x - 2}{x - 4}$ înmulțești cu $x + 2$ : numărătorul devine $x - 4$ , se simplifică și rămâne $\frac{1}{x + 2}$ , cu limita $\frac{1}{4}$ .

Ce limită are $x^{2} + 10 x - x$ la minus infinit?

La $- \infty$ radicalul tinde la $+ \infty$ , iar $- x$ tinde tot la $+ \infty$ , deci suma lor tinde la $+ \infty$ : nu există niciun caz exceptat și nicio conjugată nu e necesară. Aceeași expresie dă $5$ la $+ \infty$ .

Cât este limita lui $x (x^{2} + 1 - x)$ la plus infinit?

Amplifici paranteza cu conjugata: $x^{2} + 1 - x = \frac{1}{x ^{2} + 1 + x}$ . Expresia devine $\frac{x}{x ^{2} + 1 + x}$ ; împărțind prin $x$ , numitorul tinde la $2$ , deci limita este $\frac{1}{2}$ . Cazul inițial era $\infty \cdot 0$ , transformat de conjugată într-o fracție obișnuită.

Oamenii mai întreabă și: expresia conjugată la limite · conjugata unei diferențe cu radical · amplificarea cu conjugata la limite · ce este conjugata la radicali

Ce este expresia conjugată la limite?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Care este conjugata lui x+5​−x​?

Când nu apare cazul infinit minus infinit la o diferență cu radical?

Cum folosesc conjugata la o limită 00​ cu radical?

Ce limită are x2+10x​−x la minus infinit?

Cât este limita lui x(x2+1​−x) la plus infinit?

Continuă cu

Care este conjugata lui $x + 5 - x$ ?

Cum folosesc conjugata la o limită $\frac{0}{0}$ cu radical?

Ce limită are $x^{2} + 10 x - x$ la minus infinit?

Cât este limita lui $x (x^{2} + 1 - x)$ la plus infinit?