Infinit minus infinit: trucul conjugatei (M2, științe ale naturii)

Un drum de munte urcă $100$ de metri pe o distanță de doi kilometri măsurați pe hartă. Cu cât este drumul real mai lung decât distanța de pe hartă? Răspunsul se obține scăzând două numere care cresc amândouă odată cu lungimea traseului, iar diferența lor — spre deosebire de fiecare în parte — se apropie liniștit de o valoare pe care o poți spune dinainte. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), situația aceasta poartă un nume, $\infty -\infty$, și se rezolvă cu o singură unealtă, amplificarea cu conjugata; la Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) ea apare la Subiectul al III-lea, în problemele de analiză matematică, inclusiv atunci când se caută asimptota oblică a unui grafic.

Ai văzut în lecția precedentă că un caz exceptat este o formă care nu-și trădează rezultatul. Diferența a două mărimi care cresc amândouă nemărginit este exact așa: din ea poate ieși $+\infty$, poate ieși $0$, poate ieși orice număr. Lecția de astăzi îți dă rețeta pentru forma în care apare la M2 — o diferență în care intervine un radical de ordinul al doilea — și, în plus, capcana de la capătul din stânga al axei, acolo unde aceeași expresie își schimbă comportarea.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști din prima privire când o diferență duce la cazul $\infty -\infty$ și când, dimpotrivă, rezultatul se citește direct.
• Vei ști să scrii expresia conjugată a unei diferențe cu radical și să o folosești pentru a amplifica fracția.
• Vei ști să duci calculul până la capăt: după amplificare rămâne un raport, pe care îl rezolvi comparând gradele.
• Vei ști de ce la $-\infty$ nedeterminarea se mută de la diferență la sumă și cum intervine acolo egalitatea dintre radicalul unui pătrat și modul.
• Vei ști să calculezi cu cât se lungește un drum din cauza unei diferențe de nivel și să dai rezultatul cu unitatea de măsură potrivită.
• Vei ști să redactezi rezolvarea în forma completă, cu identitatea de amplificare scrisă explicit.

Hai să descoperim împreună

1. Când apare diferența a două mărimi care cresc amândouă?

Să privim expresia $\sqrt{x^2+8x}-x$ pentru valori mari ale lui $x$. Primul termen crește nemărginit, al doilea la fel, deci suntem tentați să scriem „$\infty -\infty$" și să ne oprim. Numai că tocmai aceasta este problema.

Nedeterminarea $\infty -\infty$ este situația în care se scad două funcții care tind amândouă la infinit, cu același semn, iar rezultatul nu se poate afla din cele două limite luate separat: după cum cresc cele două mărimi, diferența lor poate avea limită finită, poate fi infinită sau poate să nu existe.

Ea nu apare pe lista celor trei cazuri exceptate numite de programa de examen M2 — $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ și $0\cdot \infty$ —, pentru un motiv practic: se reduce la ele. Toată lecția constă în a face reducerea aceasta, iar unealta se cheamă amplificare cu conjugata. Pentru contextul complet al celor trei, recitește lecția despre operațiile cu limite și cazurile exceptate.

2. De ce nu se poate decide rezultatul dinainte?

Trei diferențe, toate de forma „infinit minus infinit" la $+\infty$, dau trei răspunsuri complet diferite:

Prima coloană explodează, a doua se stinge spre zero, a treia se așază pe un număr. Verifică singur două dintre valori: $\sqrt{101}-\sqrt{100}\approx 0,0499$ și $\sqrt{10800}-100\approx 3,92$. Prin urmare, scrierea $\infty -\infty$ nu este un rezultat, ci un semnal.

Din cele trei, prima se rezolvă fără unelte noi: $x^2-x=x(x-1)$, iar produsul a doi factori care cresc nemărginit crește nemărginit, potrivit regulii din lecția despre limitele funcțiilor polinomiale și raționale. Celelalte două au radicali, iar acolo factorul comun nu ajută: acolo intră în scenă conjugata.

3. Ce este expresia conjugată?

Ai întâlnit-o în clasa a IX-a, când ai scăpat de radicali de la numitorul unei fracții, la raționalizarea numitorilor cu expresia conjugată. Ideea se sprijină pe o singură identitate, formula diferenței de pătrate:

$$\left(\sqrt{A}-B\right)\left(\sqrt{A}+B\right)=A-B^2.$$

Expresia $\sqrt{A}+B$ se numește conjugata lui $\sqrt{A}-B$. Înmulțindu-le, radicalul dispare, pentru că ridicarea la pătrat îl desface. Atenție la partea dreaptă: al doilea termen apare la pătrat, nu așa cum era scris. Este greșeala pe care o fac cei mai mulți elevi la primul contact.

Pe expresia noastră, cu $A=x^2+8x$ și $B=x$, produsul se calculează imediat:

$$\left(\sqrt{x^2+8x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+8x}+x\right)=x^2+8x-x^2=8x.$$

Priviți rezultatul: dintr-o diferență de mărimi mari a ieșit un polinom de gradul întâi. Termenii de gradul al doilea s-au anulat, și tocmai anularea aceasta este motorul întregii metode.

4. Cum se face amplificarea, pas cu pas?

A amplifica o expresie înseamnă a o înmulți și a o împărți cu aceeași cantitate, ceea ce nu-i schimbă valoarea atât timp cât acea cantitate este diferită de zero. Pentru $x>0$, conjugata $\sqrt{x^2+8x}+x$ este o sumă de mărimi pozitive, deci sigur nenulă, iar amplificarea este legitimă:

$$\sqrt{x^2+8x}-x=\frac{\left(\sqrt{x^2+8x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+8x}+x\right)}{\sqrt{x^2+8x}+x}=\frac{8x}{\sqrt{x^2+8x}+x}.$$

Rețeta are trei pași și se repetă identic la orice exercițiu de acest tip:

1. constați cazul: amândoi termenii diferenței cresc nemărginit, deci ai $\infty -\infty$;
2. amplifici cu conjugata, adică schimbi semnul dintre cei doi termeni și înmulțești sus și jos cu expresia obținută, spunând într-o propoziție de ce ea nu se anulează;
3. calculezi limita fracției rămase, care este acum un raport obișnuit.

5. De ce se schimbă totul la capătul din stânga?

La $-\infty$ expresia $\sqrt{x^2+8x}-x$ nu mai este nedeterminată deloc: pentru $x$ negativ, $-x$ este pozitiv, deci diferența este o sumă de două mărimi care cresc nemărginit, iar limita ei este $+\infty$. Nedeterminarea se mută pe cealaltă expresie, $\sqrt{x^2+8x}+x$, și tot cu conjugata se rezolvă — de data aceasta conjugata este $\sqrt{x^2+8x}-x$, care, pentru $x<-8$, este strict pozitivă:

$$\sqrt{x^2+8x}+x=\frac{8x}{\sqrt{x^2+8x}-x}.$$

Pentru a calcula limita fracției trebuie împărțit numărătorul și numitorul prin $x$, iar aici intervine capcana. Scoaterea lui $x$ de sub radical se face prin egalitatea $\sqrt{x^2}=|x|$, iar modulul unui număr negativ este opusul lui:

$$\frac{\sqrt{x^2+8x}}{x}=-\sqrt{\frac{x^2+8x}{x^2}}=-\sqrt{1+\frac{8}{x}},x<0.$$

Semnul minus din față este tot ce trebuie reținut din acest paragraf. Cu el, numitorul împărțit prin $x$ tinde la $-1-1=-2$, iar limita căutată este

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+8x}+x\right)=\frac{8}{-2}=-4.$$

Compară cu rezultatul de la celălalt capăt, $4$: aceeași funcție de sub radical, aceeași conjugată, rezultate opuse. De aceea, la o limită cu radical, prima întrebare este întotdeauna „spre care capăt merge $x$?".

6. Ce faci cu fracția rămasă?

După amplificare nu ai terminat: ai schimbat un caz exceptat cu altul. Fracția $\frac{8x}{\sqrt{x^2+8x}+x}$ are numărătorul și numitorul care cresc amândouă nemărginit, deci este de tipul $\frac{\infty }{\infty }$. Ea se rezolvă însă cu o rețetă pe care o ai deja: se compară „greutățile" de sus și de jos. La numărător avem $8x$; la numitor, pentru $x>0$, radicalul se comportă ca $x$, deci numitorul se comportă ca $2x$. Raportul tinde așadar la $\frac{8}{2}=4$:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+8x}-x\right)=4.$$

Scris cu toate etapele, calculul arată așa: se împarte și sus, și jos prin $x$, se ține cont că $\frac{\sqrt{x^2+8x}}{x}=\sqrt{1+\frac{8}{x}}$ pentru $x>0$, iar fracția devine $\frac{8}{\sqrt{1+\frac{8}{x}}+1}$, al cărei numitor tinde la $2$. Reține regula rapidă, valabilă la $+\infty$: pentru $\sqrt{x^2+bx}-x$ limita este $\frac{b}{2}$, jumătate din coeficientul lui $x$ de sub radical.

7. Unde mai întâlnești tehnica în științe și la examen?

Drumul de munte din deschidere este exemplul cel mai simplu. Dacă distanța pe hartă este $d$ metri, iar urcarea este de $h$ metri, lungimea reală a traseului este $\sqrt{d^2+h^2}$, iar surplusul față de distanța de pe hartă este $\sqrt{d^2+h^2}-d$. Cu $h=100$ de metri, surplusul este de circa $41$ de metri pe o distanță de $100$ de metri, dar de numai un metru pe o distanță de cinci kilometri: cu cât traseul e mai lung, cu atât aceeași urcare adaugă mai puțin, iar limita surplusului este $0$.

La examen, tehnica lucrează în spatele asimptotei oblice: acolo se calculează diferența dintre funcție și o dreaptă, adică exact o expresie de tipul acesta, și se cere limita ei — vezi lecția despre asimptota oblică și cele două limite care o determină. În modelul oficial al probei M_șt-nat, a doua problemă a Subiectului al III-lea pornește de la funcția $f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}$, adică exact forma pe care o studiem aici — cerințele ei fiind însă de calcul integral.

8. Cum arată răspunsul care ia punctajul întreg

Ordinea de redactare, aceeași la orice exercițiu de acest tip:

1. constatarea: se scrie ce limită are fiecare termen și se numește cazul $\infty -\infty$;
2. amplificarea: se scrie identitatea, cu conjugata la numărător și la numitor, și se precizează într-o propoziție că ea nu se anulează pe vecinătatea capătului de lucru;
3. calculul fracției: se împarte prin $x$, cu semnul corect al radicalului dacă se lucrează la $-\infty$;
4. limita finală, cu rezultat numeric.

Un răspuns care începe direct cu fracția sare peste pasul întâi; unul care se oprește la fracție lasă nescrise ultimele două.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei diferențe, trei rezultate

Pentru fiecare dintre expresiile $x^2-x$, $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ și $\sqrt{x^2+8x}-x$, calculați valoarea în $x=100$ și spuneți ce limită are expresia la $+\infty$.

Rezolvare. Valorile în $x=100$: prima dă $10000-100=9900$; a doua, $\sqrt{101}-10\approx 0,0499$; a treia, $\sqrt{10800}-100\approx 3,92$.

Limitele: prima expresie se scrie $x(x-1)$, produs de doi factori care cresc nemărginit, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^2-x\right)=+\infty$. A doua se amplifică cu $\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$ și devine $\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$, cu numitorul care crește nemărginit, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)=0$. A treia, calculată în §6, are limita $4$.

Din aceeași formă $\infty -\infty$ au ieșit $+\infty$, $0$ și un număr nenul. Asta arată de ce niciun rezultat nu poate fi scris fără prelucrare.

Exemplul 2 — Amplificarea cu conjugata, pas cu pas

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+10x}-x\right)$.

Rezolvare. Constatarea: $\sqrt{x^2+10x}$ crește nemărginit și $x$ la fel, deci avem cazul $\infty -\infty$.

Amplificarea: conjugata este $\sqrt{x^2+10x}+x$, sumă de mărimi pozitive pentru $x>0$, deci nenulă:

$$\sqrt{x^2+10x}-x=\frac{x^2+10x-x^2}{\sqrt{x^2+10x}+x}=\frac{10x}{\sqrt{x^2+10x}+x}.$$

Calculul fracției: împărțim numărătorul și numitorul prin $x$, pozitiv, deci radicalul se împarte fără schimbare de semn:

$$\frac{10x}{\sqrt{x^2+10x}+x}=\frac{10}{\sqrt{1+\frac{10}{x}}+1}.$$

Numitorul tinde la $1+1=2$, prin urmare

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+10x}-x\right)=5.$$

Rezultatul se potrivește cu regula rapidă: jumătate din coeficientul lui $x$ de sub radical. Control numeric: pentru $x=1000$, $\sqrt{1010000}-1000\approx 4,9876$.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+26x}-x\right)$. Amplifică fără greșeală și ajunge la fracția $\frac{26x}{\sqrt{x^2+26x}+x}$; apoi simplifică prin $x$ și scrie $\frac{26}{\sqrt{x+26}+1}$, de unde conchide că limita este $0$. Găsiți greșeala și duceți calculul până la capăt.

Rezolvare. Primii doi pași sunt corecți: cazul este într-adevăr $\infty -\infty$, iar produsul cu conjugata dă la numărător $x^2+26x-x^2=26x$. Greșeala apare la împărțirea prin $x$, și e una de sub radical: elevul a împărțit radicandul tot prin $x$, ca și cum radicalul ar lăsa să treacă orice factor. Sub un radical de ordinul al doilea intră însă $x^2$, nu $x$, pentru că numai un pătrat iese întreg de acolo. Scrierea corectă, pentru $x>0$, este $$\frac{\sqrt{x^2+26x}}{x}=\sqrt{\frac{x^2+26x}{x^2}}=\sqrt{1+\frac{26}{x}}.$$ Cu ea, fracția devine $\frac{26}{\sqrt{1+\frac{26}{x}}+1}$, iar numitorul tinde la $1+1=2$, deci limita căutată este $13$, nu $0$. Se potrivește și cu regula rapidă: jumătate din coeficientul lui $x$ de sub radical.

Reține de aici o regulă de lucru proprie radicalilor: ca să împarți prin $x$ o expresie aflată sub un radical de ordinul al doilea, împarți radicandul prin $x^2$ — pătratul este singurul care iese întreg de sub radical, iar orice altă simplificare schimbă funcția. Control numeric: pentru $x=1000$, $\sqrt{1026000}-1000\approx 12,92$ — aproape de $13$, departe de $0$.

Exemplul 4 — Același tipar, la capătul din stânga

Calculați $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+10x}+x\right)$.

Rezolvare. Pentru $x<-10$ expresia de sub radical este pozitivă, deci funcția are sens. Primul termen tinde la $+\infty$, al doilea la $-\infty$: avem cazul $\infty -\infty$. Conjugata este de data aceasta $\sqrt{x^2+10x}-x$, strict pozitivă pe domeniul de lucru:

$$\sqrt{x^2+10x}+x=\frac{10x}{\sqrt{x^2+10x}-x}.$$

Împărțim prin $x$, ținând cont că acum $x$ este negativ, deci $\frac{\sqrt{x^2+10x}}{x}=-\sqrt{1+\frac{10}{x}}$:

$$\frac{10x}{\sqrt{x^2+10x}-x}=\frac{10}{-\sqrt{1+\frac{10}{x}}-1}.$$

Numitorul tinde la $-1-1=-2$, deci

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+10x}+x\right)=-5.$$

Control numeric: pentru $x=-1000$, $\sqrt{990000}-1000\approx -5,0126$. Rezultatul este opusul celui de la $+\infty$, iar singura cauză este semnul modulului.

Exemplul 5 — Cu cât se lungește un drum din cauza urcării

Un traseu turistic urcă $100$ de metri, iar distanța lui măsurată pe hartă este de $d$ metri. Lungimea reală a traseului este $L(d)=\sqrt{d^2+10000}$, în metri. a) Calculați surplusul de lungime față de distanța de pe hartă pentru $d=100$ m și pentru $d=5000$ m. b) Determinați $\underset{d\to +\infty }{\lim }\left(L(d)-d\right)$ și interpretați rezultatul.

Rezolvare. a) Pentru $d=100$: $L(100)=\sqrt{20000}\approx 141,42$, deci surplusul este de aproximativ $41,42$ de metri. Pentru $d=5000$: $L(5000)=\sqrt{25010000}\approx 5001,00$, deci surplusul este de aproximativ un metru.

b) Avem cazul $\infty -\infty$; amplificăm cu conjugata $\sqrt{d^2+10000}+d$, pozitivă pentru $d>0$:

$$\sqrt{d^2+10000}-d=\frac{10000}{\sqrt{d^2+10000}+d}.$$

Numărătorul este constant, iar numitorul crește nemărginit, deci limita este $0$:

$$\underset{d\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{d^2+10000}-d\right)=0.$$

Interpretarea: pe trasee lungi, o urcare de $100$ de metri nu se mai simte în lungimea drumului — pe cinci kilometri adaugă un metru, pe cincizeci de kilometri ar adăuga zece centimetri. De aceea hărțile dau distanța pe orizontală fără să greșească practic nimic, iar diferența contează numai pe porțiunile scurte și abrupte. Modelul presupune pantă constantă pe tot traseul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+2x+5}-x$. a) Arătați că $f(0)=\sqrt{5}$. b) Arătați că $f(x)=\frac{2x+5}{\sqrt{x^2+2x+5}+x}$, pentru orice $x\ge 0$. c) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$.

Rezolvare.

a) Expresia de sub radical este $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4>0$ pentru orice $x$ real, deci funcția este bine definită pe $\mathbb{R}$. Înlocuind, $f(0)=\sqrt{5}-0=\sqrt{5}$.

b) Pentru $x\ge 0$, suma $\sqrt{x^2+2x+5}+x$ este strict pozitivă, deci amplificarea este permisă:

$$\sqrt{x^2+2x+5}-x=\frac{x^2+2x+5-x^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+x}=\frac{2x+5}{\sqrt{x^2+2x+5}+x}.$$

c) Raportul obținut este de tipul $\frac{\infty }{\infty }$. Împărțim prin $x$, pozitiv:

$$\frac{2x+5}{\sqrt{x^2+2x+5}+x}=\frac{2+\frac{5}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}+1}.$$

Numărătorul tinde la $2$, numitorul la $1+1=2$, deci

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+2x+5}-x\right)=1.$$

De la examen la lecție. Cele trei cerințe au forma din modelul oficial al probei M_șt-nat: o valoare calculată, o identitate de arătat și o limită. Punctul b) este pasul-cheie al rezolvării, iar în modelul oficial el este cerut explicit, tocmai pentru ca rezolvarea să nu sară peste amplificare. Când scrii identitatea, precizează întotdeauna pe ce mulțime este valabilă.

Să exersăm

Ordinea de redactare: constatarea cazului, amplificarea cu conjugata, calculul fracției, limita finală.

1. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6}-x\right)$.

2. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+14x}-x\right)$.

3. Calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+14x}+x\right)$.

4. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x+4}-\sqrt{x}\right)$.

5. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^3-11x\right)$ și spune de ce aici nu ai nevoie de conjugată.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două funcții au amândouă limita $+\infty$ la $+\infty$, atunci diferența lor are limita $0$."

7. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2+3x}-2x\right)$.

8. Arată că $\left(\sqrt{9x^2-15x}-3x\right)\left(\sqrt{9x^2-15x}+3x\right)=-15x$, apoi spune ce semn are $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{9x^2-15x}-3x\right)$ și calculează-l.

9. Arată că $\frac{\sqrt{25x^2-4x}}{x}=-\sqrt{25-\frac{4}{x}}$ pentru orice $x<0$, apoi calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{25x^2-4x}}{x}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+2x}-x\right)$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+4x+5}-x$. Arată că $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+2x}+x\right)$.

13. (Problemă aplicată.) Timpul, în secunde, în care un corp lăsat să cadă liber parcurge $h$ metri este $t(h)=\sqrt{\frac{h}{5}}$, cu accelerația gravitațională luată $10$ m/s². Calculează cu cât crește timpul de cădere când înălțimea urcă de la $20$ la $21$ de metri și de la $80$ la $81$ de metri, apoi arată că $\underset{h\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{h+1}-\sqrt{h}\right)=0$ și explică ce înseamnă asta pentru metrul adăugat.

14. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)$.

15. Explică, în două propoziții, de ce amplificarea cu conjugata este o transformare legitimă și ce trebuie verificat înainte de a o folosi.

16. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{9x^2+6x}-3x\right)$.

17. Calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{9x^2+6x}+3x\right)$.

18. (Provocare.) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+5x}-\sqrt{x^2+x}\right)$ și arată că rezultatul este exact jumătate din diferența coeficienților lui $x$ de sub cei doi radicali.

Răspunsuri și explicații

1. Amplificăm cu $\sqrt{x^2+6}+x$: expresia devine $\frac{6}{\sqrt{x^2+6}+x}$, cu numărător constant și numitor care crește nemărginit, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6}-x\right)=0$.

2. Amplificăm cu $\sqrt{x^2+14x}+x$, sumă pozitivă pentru $x>0$: expresia devine $\frac{14x}{\sqrt{x^2+14x}+x}$. Împărțind prin $x$ pozitiv, numitorul tinde la $1+1=2$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+14x}-x\right)=7$, adică jumătate din coeficientul lui $x$ de sub radical.

3. Conjugata este acum $\sqrt{x^2+14x}-x$, strict pozitivă pentru $x<0$, iar expresia devine $\frac{14x}{\sqrt{x^2+14x}-x}$. Împărțind prin $x$ negativ, radicalul aduce semnul minus, deci numitorul tinde la $-1-1=-2$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+14x}+x\right)=-7$.

4. Amplificăm cu $\sqrt{x+4}+\sqrt{x}$ și obținem $\frac{4}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}$; numitorul crește nemărginit, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x+4}-\sqrt{x}\right)=0$.

5. Se dă factor comun: $x^3-11x=x\left(x^2-11\right)$, produs de doi factori care cresc nemărginit, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^3-11x\right)=+\infty$. Conjugata este de folos numai când în diferență apare un radical, pentru că ea servește la desființarea lui.

6. Fals. Perechea $x^2$ și $x$ are amândouă limitele $+\infty$, dar diferența $x^2-x$ are limita $+\infty$; perechea $\sqrt{x^2+8x}$ și $x$ are tot amândouă limitele $+\infty$, iar diferența lor are limita $4$. Singurul lucru adevărat este că limita diferenței nu se poate afla din cele două limite luate separat.

7. Amplificăm cu $\sqrt{4x^2+3x}+2x$: obținem $\frac{3x}{\sqrt{4x^2+3x}+2x}$, iar prin împărțire la $x$ pozitiv numitorul tinde la $2+2=4$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2+3x}-2x\right)=\frac{3}{4}$.

8. Produsul este de forma $\left(\sqrt{A}-B\right)\left(\sqrt{A}+B\right)=A-B^2$, cu $A=9x^2-15x$ și $B=3x$, deci este egal cu $9x^2-15x-9x^2=-15x$. Semnul se citește din fracție: la $+\infty$ numărătorul $-15x$ este negativ, iar numitorul $\sqrt{9x^2-15x}+3x$ este pozitiv, deci limita este negativă. Împărțind prin $x$ pozitiv, numitorul tinde la $3+3=6$, prin urmare $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{9x^2-15x}-3x\right)=-\frac{15}{6}=-\frac{5}{2}$.

9. Pentru $x<0$ produsul $x\left(25x-4\right)$ este pozitiv, deci radicalul are sens. Scoatem pătratul de sub radical: $\sqrt{25x^2-4x}=\sqrt{x^2}\cdot \sqrt{25-\frac{4}{x}}=|x|\cdot \sqrt{25-\frac{4}{x}}=-x\sqrt{25-\frac{4}{x}}$, fiindcă modulul unui număr negativ este opusul lui. Împărțind prin $x$ rămâne $\frac{\sqrt{25x^2-4x}}{x}=-\sqrt{25-\frac{4}{x}}$, iar cum $\frac{4}{x}$ tinde la $0$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{25x^2-4x}}{x}=-5$.

10. Amplificăm cu $\sqrt{x^2+2x}+x$ și obținem $\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}$; împărțind prin $x$ pozitiv, numitorul tinde la $2$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+2x}-x\right)=1$.

11. Expresia de sub radical este $(x+2{)}^2+1>0$, deci funcția e definită pe $\mathbb{R}$. Amplificând, $f(x)=\frac{4x+5}{\sqrt{x^2+4x+5}+x}$ pentru $x\ge 0$; numărătorul împărțit prin $x$ tinde la $4$, numitorul la $2$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+4x+5}-x\right)=2$.

12. Pentru $x<-2$ radicalul are sens. Amplificăm cu $\sqrt{x^2+2x}-x$ și obținem $\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x}$; împărțind prin $x$ negativ, numitorul tinde la $-1-1=-2$, deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+2x}+x\right)=-1$.

13. Avem $t(20)=\sqrt{4}=2$ secunde și $t(21)=\sqrt{4,2}\approx 2,0494$ secunde, deci creșterea este de aproximativ $0,0494$ secunde; apoi $t(80)=\sqrt{16}=4$ secunde și $t(81)=\sqrt{16,2}\approx 4,0249$, deci creșterea este de aproximativ $0,0249$ secunde. Creșterea este, de fapt, $t(h+1)-t(h)=\frac{\sqrt{h+1}-\sqrt{h}}{\sqrt{5}}$, deci comportarea ei o dă diferența celor doi radicali. Pentru limită, amplificăm cu $\sqrt{h+1}+\sqrt{h}$: expresia devine $\frac{1}{\sqrt{h+1}+\sqrt{h}}$, cu numitorul care crește nemărginit, deci $\underset{h\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{h+1}-\sqrt{h}\right)=0$. Interpretare: cu cât corpul cade de mai sus, cu atât un metru în plus adaugă mai puțin timp, pentru că el este parcurs cu o viteză deja mare.

14. Amplificăm cu $\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}$: numărătorul devine $\left(x^2+x\right)-\left(x^2-x\right)=2x$, deci expresia este $\frac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}$. Împărțind prin $x$ pozitiv, numitorul tinde la $1+1=2$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)=1$.

15. Este legitimă pentru că înseamnă înmulțire și împărțire cu aceeași expresie, iar o asemenea operație nu schimbă valoarea fracției. Înainte de a o folosi trebuie verificat că expresia cu care amplifici nu se anulează pe vecinătatea capătului în care lucrezi — altfel împărțirea nu ar avea sens acolo.

16. Amplificăm cu $\sqrt{9x^2+6x}+3x$ și obținem $\frac{6x}{\sqrt{9x^2+6x}+3x}$; împărțind prin $x$ pozitiv, numitorul tinde la $3+3=6$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{9x^2+6x}-3x\right)=1$.

17. Aceeași amplificare, cu conjugata $\sqrt{9x^2+6x}-3x$, dar $x$ este negativ, deci radicalul împărțit prin $x$ aduce semnul minus: numitorul tinde la $-3-3=-6$, prin urmare $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{9x^2+6x}+3x\right)=-1$.

18. Amplificăm cu suma celor doi radicali: numărătorul devine $\left(x^2+5x\right)-\left(x^2+x\right)=4x$, iar expresia este $\frac{4x}{\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{x^2+x}}$. Împărțind prin $x$ pozitiv, numitorul tinde la $1+1=2$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+5x}-\sqrt{x^2+x}\right)=2$. Coeficienții lui $x$ de sub radicali sunt $5$ și $1$, iar jumătatea diferenței lor este tot $2$: amplificarea lasă la numărător exact diferența lor înmulțită cu $x$, iar numitorul se comportă ca $2x$.

De reținut

• Diferența a două mărimi care cresc amândouă nemărginit nu are un rezultat dinainte știut: din aceeași formă $\infty -\infty$ pot ieși $+\infty$, $0$ sau orice număr, după cum arată cei doi termeni.
• Prezența unui radical de ordinul al doilea în diferență cere o singură unealtă, amplificarea cu conjugata, sprijinită pe identitatea $\left(\sqrt{A}-B\right)\left(\sqrt{A}+B\right)=A-B^2$, în care al doilea termen apare la pătrat.
• Amplificarea nu încheie exercițiul: ea schimbă $\infty -\infty$ în $\frac{\infty }{\infty }$, iar fracția rămasă se rezolvă împărțind numărătorul și numitorul prin $x$.
• La $-\infty$ nedeterminarea se mută pe sumă, iar la împărțirea prin $x$ radicalul aduce un semn minus, pentru că $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ pentru $x$ negativ; de aceea rezultatele de la cele două capete sunt opuse.
• Regula rapidă de control, valabilă la $+\infty$: limita expresiei $\sqrt{x^2+bx}-x$ este $\frac{b}{2}$, iar un calcul numeric pe o valoare moderată confirmă răspunsul în câteva secunde.

Greșeli frecvente

• Amplifici numai numărătorul. A amplifica o fracție cere ca aceeași cantitate să apară și sus, și jos; dacă scrii doar produsul de la numărător, ai schimbat funcția, iar rezultatul nu mai are nicio legătură cu enunțul.
• Uiți pătratul în formula conjugatei. Identitatea este $\left(\sqrt{A}-B\right)\left(\sqrt{A}+B\right)=A-B^2$, nu $A-B$. La $\sqrt{x^2+8x}-x$ produsul este $x^2+8x-x^2$, adică $8x$ — dacă nu ridici $x$ la pătrat, obții un numărător fals.
• Te oprești după amplificare. Fracția rezultată este tot un caz exceptat, de tipul $\frac{\infty }{\infty }$; exercițiul se încheie abia după împărțirea prin $x$ și calculul limitei fracției.
• Cauți nedeterminarea la aceeași expresie, la amândouă capetele. La $-\infty$ diferența $\sqrt{x^2+8x}-x$ este o sumă de mărimi pozitive și are limita $+\infty$, fără nimic de prelucrat; acolo expresia nedeterminată este suma $\sqrt{x^2+8x}+x$.
• Crezi că $\infty -\infty$ este $0$, „pentru că se scad două lucruri la fel". Cele două infinituri nu sunt numere și nu sunt „la fel"; exemplele din §2 dau $+\infty$, $0$ și $4$ pornind de la aceeași formă.

Aplică acasă

1. Scara sprijinită de perete. Ia o riglă lungă sau o scară de lungime cunoscută $L$, sprijin-o de perete și măsoară distanța $d$ de la bază la perete, apoi înălțimea $h$ la care ajunge capătul de sus. Verifică pe două-trei poziții că $h=\sqrt{L^2-d^2}$ și calculează de fiecare dată diferența $L-h$. Observă cât de mică este ea când $d$ este mic: aceasta e aceeași diferență de radicali, văzută cu mâna.

2. Traseul cu diferență de nivel. Alege pe o hartă sau într-o aplicație de trasee un drum de doi kilometri cu o urcare de circa $100$ de metri și calculează lungimea reală cu formula $\sqrt{d^2+h^2}$. Repetă pentru trasee de cinci și de zece kilometri, cu aceeași urcare, și notează de fiecare dată surplusul față de distanța pe orizontală. Scrie în două rânduri de ce surplusul scade, deși urcarea rămâne aceeași.

3. Explică în trei propoziții. Alege pe cineva din familie sau un coleg și explică-i de ce $\sqrt{x^2+8x}-x$ nu tinde la zero, deși ambii termeni cresc nemărginit, și de ce înmulțirea cu $\sqrt{x^2+8x}+x$ rezolvă problema. Cere-i apoi să-ți repete explicația cu cuvintele lui: dacă o poate reface, ai înțeles lecția; dacă nu, află unde s-a rupt firul și rescrie acel pas.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la unitatea XI.2 „Limite de funcții și continuitate", în conținutul „Calculul limitelor: limitele funcțiilor studiate". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029. O precizare cinstită despre listele oficiale: programa de examen (OMEN 4430/2014) numește trei cazuri exceptate — $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ și $0\cdot \infty$ — și nu trece diferența $\infty -\infty$ printre ele; tema de față intră totuși în programa de examen prin două conținuturi ale ei, „calculul limitelor pentru funcția radical" și „asimptotele graficului funcțiilor studiate: verticale, orizontale și oblice", pentru că determinarea asimptotei oblice cere tocmai limita unei diferențe de acest tip. De aceea exercițiile marcate aici sunt de tip Bacalaureat M2, iar ele apar la Subiectul al III-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial al probei, nu se presupune: în modelul publicat, a doua problemă a Subiectului al III-lea pornește de la funcția $f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}$.

Lecția verifică patru lucruri: (1) că elevul numește cazul exceptat înainte de a prelucra; (2) că scrie identitatea de amplificare complet, cu conjugata sus și jos, și spune pe ce mulțime este valabilă; (3) că duce calculul până la capăt, împărțind prin $x$; (4) că folosește semnul corect al radicalului la capătul din stânga. Patru întrebări de control, de pus oral: „Ce limită are fiecare dintre cei doi termeni?"; „Cu ce amplifici și de ce ai voie?"; „Ce caz exceptat ai după amplificare?"; „Spre ce capăt merge $x$ și ce se schimbă din cauza asta?". Semne că a înțeles: scrie conjugata fără ezitare, pune pătratul la al doilea termen și verifică rezultatul pe o valoare numerică. Pasul dinaintea acestei lecții a fost cel despre operațiile cu limite și cazurile exceptate la M2, iar continuarea firească este lecția despre asimptotele verticale și orizontale.

Întrebări frecvente

Cu ce diferă lecția aceasta de cea de la mate-info (M1)? La matematică-informatică se studiază mai multe tipare deodată: factorul forțat la polinoame, diferențele de fracții într-un punct finit și conjugata de ordinul al treilea, pentru radicali cubici. La științe ale naturii rămâne o singură tehnică, amplificarea cu conjugata de ordinul al doilea. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: nedeterminările cu radicali tratează și celelalte tipare.

La ce subiect apare la bacalaureatul M2 o limită cu radicali? La Subiectul al III-lea, în problemele de analiză matematică, în legătură cu asimptota oblică a unui grafic: acolo se cere limita diferenței dintre funcție și o dreaptă, care are exact forma studiată aici. În modelul oficial al probei, a doua problemă a acestui subiect pornește de la o funcție cu radical, cu cerințe de calcul integral.

De ce $\infty -\infty$ nu este zero? Pentru că $\infty$ nu este un număr, ci descrierea unei comportări, iar două mărimi pot crește amândouă nemărginit cu viteze diferite. Expresiile $x^2-x$, $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ și $\sqrt{x^2+8x}-x$ au aceeași formă și limitele $+\infty$, $0$ și $4$. Rezultatul se poate afla numai după prelucrare: scăderea se face între numere, iar până nu prelucrezi expresia nu ai două numere pe care să le scazi.

De unde știu că după amplificare am terminat? Nu ai terminat: amplificarea schimbă $\infty -\infty$ într-un raport de tipul $\frac{\infty }{\infty }$, care cere încă un pas. Împarți numărătorul și numitorul prin $x$, calculezi limita fiecăruia și abia atunci scrii rezultatul. Exercițiul se încheie cu un număr, nu cu o fracție. Semnul că ai ajuns la capăt este că în răspuns nu mai apare nici variabila, nici vreun radical, ci doar o valoare.

Ce fac dacă sub radical apare un coeficient în fața lui $x^2$? Procedezi exact la fel, dar ai grijă la termenul cu care compari. La $\sqrt{4x^2+3x}-2x$ conjugata este $\sqrt{4x^2+3x}+2x$, iar la împărțirea prin $x$ radicalul se comportă ca $2x$, deci numitorul tinde la $4$, nu la $2$. Rezultatul este $\frac{3}{4}$. Regula pe scurt: din $\sqrt{a^2{x}^2+bx}$ iese în față factorul $a$, acela este termenul pe care îl scazi și cu care compari la numitor.

Cum verific rapid dacă rezultatul e corect? Înlocuiește o valoare moderată, de pildă $x=1000$, și compară. Pentru $\sqrt{x^2+10x}-x$ obții aproximativ $4,9876$, foarte aproape de $5$. Evită valorile uriașe: la ele, scăderea a două numere aproape egale pierde cifre pe afișajul calculatorului și poate da chiar zero. Ai și o probă pe formă: la $\sqrt{x^2+bx}-x$ limita este jumătate din $b$, iar un rezultat depărtat de ea arată un semn greșit sau un pătrat uitat.

Unde voi mai folosi amplificarea cu conjugata? La determinarea asimptotei oblice, unde se calculează limita diferenței dintre funcție și dreapta găsită, și mai târziu la calculul derivatei din definiție, atunci când funcția conține un radical. Este una dintre puținele tehnici de calcul care revin în toate unitățile de analiză matematică ale clasei a XI-a.