Ce limită are e^(x)-x² la plus infinit?

Scrii e^(x)(1- x²/e^(x)). Raportul x²/e^(x) tinde la 0 după două aplicări ale regulii: 2x/e^(x), apoi 2/e^(x). Paranteza tinde la 1, deci limita este +∞: exponențiala câștigă în fața oricărui polinom.

Ce limită are x²/(x-1)-x la plus infinit?

Aduci la același numitor: (x²-x²+x)/(x-1)= x/(x-1), care tinde la 1. Rezultatul spune că graficul lui x²/(x-1) se apropie de dreapta y=x+1: este ordonata la origine a asimptotei oblice.

Cum aplic l'Hôspital la infinit minus infinit?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Nedeterminări reduse

Regula lucrează doar pe rapoarte, deci aduci întâi diferența la o singură fracție, cu numitor comun. Apare de obicei $\frac{0}{0}$ , iar abia atunci aplici regula sau simplifici. De exemplu, în $x \to 1$ , $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x ^{2} - 1} = \frac{x + 1 - 2}{x ^{2} - 1} = \frac{x - 1}{x ^{2} - 1}$ , caz $\frac{0}{0}$ . Raportul derivatelor, $\frac{1}{2 x}$ , dă limita $\frac{1}{2}$ ; simplificarea cu $x - 1$ dă același rezultat. Numeric, la $x = 1, 001$ expresia valorează aproximativ $0, 4998$ .

Programa de examen M_șt-nat numește, între cazurile exceptate la calculul limitelor, produsul $0 \cdot \infty$ , dar dă regula lui l'Hôspital numai pentru rapoarte. De aici sarcina temei: traducerea unui produs sau a unei diferențe într-o singură fracție.

Produsul. Un factor se răstoarnă și coboară la numitor: $f \cdot g = \frac{f}{1/ g}$ , niciodată $\frac{f}{g}$ . Dintre cele două traduceri posibile se alege aceea care duce la numitor o putere a lui $x$ , fiindcă răsturnarea ei se derivează simplu, pe când răsturnarea unui logaritm complică expresia. Un exponent negativ se mută singur: $e^{- 5 x} = \frac{1}{e ^{5 x}}$ .

Diferența. Două fracții se strâng la același numitor, cu minusul distribuit pe tot numărătorul celei de-a doua. Când apar radicali, drumul scurt este amplificarea cu expresia conjugată: derivarea reproduce radicalul la fiecare pas, în loc să-l scoată.

Ce se verifică după traducere. Tipul cazului se recalculează — fracția obținută poate fi $\frac{0}{0}$ , poate fi $\frac{\infty}{\infty}$ , poate fi perfect determinată. Scrierile $0 \cdot \infty$ și $\infty - \infty$ nu înseamnă vreo operație și nu au valoare; ele doar numesc o situație în care încă nu se știe nimic. Profilul de științe ale naturii cere doar cele două traduceri de mai sus; puterile cu exponent variabil s-ar rezolva cu limitele fundamentale legate de $e$ , absente din programa lui.

De reținut

$\infty - \infty$ se aduce la o singură fracție înainte de orice derivare
după aducere apare de obicei $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$
alternativ, se dă factor comun termenul care crește cel mai repede

Greșeala tipică

Se aplică regula lui l'Hôspital direct pe diferență, derivând fiecare termen; regula este valabilă doar pentru rapoarte, deci întâi se aduce diferența la o fracție.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează $x \to + \infty lim (4 x^{2} + 20 x - 2 x)$ .
- a) $0$
- b) $5$
- c) $10$
- d) $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5$

Amplificând cu conjugata, expresia devine $\frac{20 x}{4 x ^{2} + 20 x + 2 x} = \frac{20}{4 + \frac{20}{x} + 2}$ , care tinde la $\frac{20}{4} = 5$ . Varianta c) ia „jumătate din coeficientul lui $x$ " fără să țină seama de cei doi factori $2$ de la numitor, a) citește $\infty - \infty$ ca pe un $0$ , iar d) presupune că radicalul crește mai repede decât $2 x$ .
Calculează $x \to 3 lim (\frac{6}{x ^{2} - 9} - \frac{1}{x - 3})$ .
- a) $- \frac{1}{6}$
- b) $\frac{1}{6}$
- c) $0$
- d) limita nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \frac{1}{6}$

Numitorul comun este $(x - 3) (x + 3)$ , iar numărătorul devine $6 - (x + 3) = 3 - x$ . După simplificare rămâne $\frac{- ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{- 1}{x + 3}$ , deci limita este $- \frac{1}{6}$ . Varianta b) pierde semnul la distribuirea minusului, c) tratează $\infty - \infty$ ca pe o scădere de numere, iar d) se oprește înainte de simplificare.
Un elev scrie: „ $x \to + \infty lim (5 x^{2} - x^{3}) = \infty - \infty = 0$ ". Care este răspunsul corect?
- a) $0$
- b) $+ \infty$
- c) $- 1$
- d) $- \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- \infty$

Simbolul $\infty - \infty$ numește o situație, nu un rezultat. Dând factor comun, $5 x^{2} - x^{3} = x^{2} (5 - x)$ , iar pentru $x \to + \infty$ primul factor crește nemărginit, al doilea scade nemărginit, deci produsul tinde la $- \infty$ . Varianta c) împarte diferența la $x^{3}$ ca și cum ar fi un raport, b) se uită numai la primul termen, iar a) este chiar greșeala elevului.

Întrebări conexe

Cât este limita lui $x - ln x$ la plus infinit?

Dai factor comun $x$ : $x (1 - \frac{l n x}{x})$ . Cu l'Hôspital, $\frac{l n x}{x}$ are limita $lim \frac{1/ x}{1} = 0$ , deci paranteza tinde la $1$ , iar produsul tinde la $+ \infty$ . Termenul $x$ crește mai repede decât $ln x$ .

Ce limită are $e^{x} - x^{2}$ la plus infinit?

Scrii $e^{x} (1 - \frac{x ^{2}}{e ^{x}})$ . Raportul $\frac{x ^{2}}{e ^{x}}$ tinde la $0$ după două aplicări ale regulii: $\frac{2 x}{e ^{x}}$ , apoi $\frac{2}{e ^{x}}$ . Paranteza tinde la $1$ , deci limita este $+ \infty$ : exponențiala câștigă în fața oricărui polinom.

Cât este limita lui $\frac{1}{l n x} - \frac{1}{x - 1}$ în 1?

Aduci la numitor comun: $\frac{x - 1 - l n x}{( x - 1 ) l n x}$ , caz $\frac{0}{0}$ . O primă derivare dă tot $\frac{0}{0}$ ; după amplificarea cu $x$ și încă o derivare, raportul devine $\frac{1}{l n x + 2}$ , cu limita $\frac{1}{2}$ . Numeric, la $x = 1, 0001$ expresia este aproape $0, 5$ .

Ce limită are $\frac{x ^{2}}{x - 1} - x$ la plus infinit?

Aduci la același numitor: $\frac{x ^{2} - x ^{2} + x}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$ , care tinde la $1$ . Rezultatul spune că graficul lui $\frac{x ^{2}}{x - 1}$ se apropie de dreapta $y = x + 1$ : este ordonata la origine a asimptotei oblice.

Cum verific numeric o limită de tipul infinit minus infinit?

Calculezi expresia pentru o valoare foarte apropiată de punct sau foarte mare. Pentru $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x ^{2} - 1}$ la $x = 1, 001$ se obține $1000 - 999, 50 \approx 0, 4998$ , aproape de $\frac{1}{2}$ . Proba nu înlocuiește calculul, dar prinde greșelile de semn.

Oamenii mai întreabă și: infinit minus infinit cu l'Hôspital · nedeterminarea infinit minus infinit · cum aduc o diferență la o fracție la limite · diferență de fracții la limită

Cum aplic l'Hôspital la infinit minus infinit?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât este limita lui x−lnx la plus infinit?

Ce limită are ex−x2 la plus infinit?

Cât este limita lui lnx1​−x−11​ în 1?

Ce limită are x−1x2​−x la plus infinit?

Cum verific numeric o limită de tipul infinit minus infinit?

Continuă cu

Cât este limita lui $x - ln x$ la plus infinit?

Ce limită are $e^{x} - x^{2}$ la plus infinit?

Cât este limita lui $\frac{1}{l n x} - \frac{1}{x - 1}$ în 1?

Ce limită are $\frac{x ^{2}}{x - 1} - x$ la plus infinit?