Nedeterminările reduse la l'Hôspital (M2, științe ale naturii)

Regula pe care ai învățat-o în lecția precedentă are o limitare pe care merită să o rostești cu voce tare: ea vorbește despre un raport. Dacă în fața ta stă un produs de forma $x\ln x$ sau o diferență de forma $\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}$, teorema nu are ce deriva, pentru că nu are numărător și numitor. Iar asemenea expresii apar des în clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), și în problemele de la Subiectul al III-lea al bacalaureatului M2, unde o funcție de tipul „polinom înmulțit cu exponențială" se studiază la capete de domeniu.

Soluția nu este o teoremă nouă, ci o rescriere. Un produs se poate transforma într-o fracție, o diferență de fracții se poate strânge la una singură — iar după transformare recunoști un caz $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$ și aplici regula lui l'Hôspital exact ca înainte. Lecția de astăzi este, prin urmare, despre traducere: cum aduci o expresie la forma pe care regula o poate citi și, la fel de important, când nu ai deloc nevoie de ea.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă reducerea la un raport și de ce nicio nedeterminare nu se rezolvă fără ea.
• Vei ști să transformi un produs de tipul $0\cdot \infty$ într-o fracție, în cele două feluri posibile.
• Vei ști să alegi dintre cele două transformări pe cea care duce la un calcul scurt.
• Vei ști să strângi o diferență de tipul $\infty -\infty$ la o singură fracție și să recunoști noul caz.
• Vei ști să te oprești la timp: multe nedeterminări se rezolvă algebric, fără nicio derivată.
• Vei ști ce cazuri cere programa de examen M2 și ce cazuri rămân la mate-info.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă reducerea la un raport?

Ia produsul $x\ln x$ pentru valori tot mai mici, pozitive, ale lui $x$. Primul factor se apropie de zero, al doilea coboară spre minus infinit; unul „trage" produsul spre $0$, celălalt spre infinit, iar cine câștigă nu se vede din simboluri. Scrii deci simbolic $0\cdot \infty$ și spui că ai o nedeterminare — un semnal că mai e de lucru, nu un rezultat.

Reducerea la un raport este operația prin care un produs sau o diferență nedeterminată se rescrie ca o singură fracție, pentru ca regula lui l'Hôspital să se poată aplica. Ea nu schimbă funcția și nici limita: schimbă doar forma în care e scrisă, iar forma este exact ce cere enunțul teoremei.

Programa de examen M2 (OMEN 4430/2014) numește explicit trei cazuri exceptate la calculul limitelor: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ și $0\cdot \infty$, iar regulile lui l'Hôspital sunt date pentru primele două. Al treilea nu se rezolvă direct, ci se aduce la unul dintre primele două — de aici și numele lecției. Diferența $\infty -\infty$ nu apare pe listă ca nume, dar apare în practică, de fiecare dată când scazi două fracții sau doi radicali, și se tratează după același principiu.

2. Cum transformi un produs $0\cdot \infty$ într-un raport?

Orice factor se poate muta la numitor, cu condiția să fie răsturnat. Regula de scriere e una singură și trebuie ținută minte literal:

$$f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}=\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}.$$

Ai deci două traduceri posibile pentru același produs, amândouă corecte. Dacă îl cobori pe $g$, obții de regulă un caz $\frac{0}{0}$; dacă îl cobori pe $f$, obții $\frac{\infty }{\infty }$. Fiindcă regula lui l'Hôspital le acoperă pe amândouă, alegerea nu e o chestiune de corectitudine, ci de lungime a calculului.

Atenție la o greșeală de scriere care pare mică și strică totul: produsul $f\cdot g$ nu este $\frac{f}{g}$. Între cele două expresii diferența e un răsturnat, iar limitele lor nu au, în general, nicio legătură. Dacă după transformare ai impresia că expresia s-a simplificat suspect de mult, verifică întâi dacă mai e egală cu cea de la care ai plecat — de exemplu înlocuind $x$ cu un număr comod și comparând valorile.

3. Pe care dintre cei doi factori îl cobori?

Criteriul practic este: coboară factorul a cărui răsturnare se derivează ușor, adică o putere a lui $x$, și lasă sus logaritmul sau exponențiala. Motivul e simplu: ${\left(\frac{1}{x^n}\right)}^{\prime }$ rămâne tot o putere a lui $x$, în timp ce răsturnarea unui logaritm duce la $\frac{1}{{\ln }^{2}x}$ înmulțit cu încă un factor, adică la o expresie mai grea decât cea de la care ai plecat.

Ia produsul $2x\ln (3x)$ pentru $x\to 0$, $x>0$. Coborând puterea, scrii $\frac{\ln (3x)}{\frac{1}{2x}}$, iar derivatele sunt $\frac{1}{x}$ sus și $-\frac{1}{2x^2}$ jos: raportul lor se simplifică la $-2x$, care tinde la $0$. Coborând în schimb logaritmul, ai fi ajuns la o fracție cu logaritm la numitor și, după derivare, la o expresie mai complicată decât produsul inițial — semn sigur că ai ales invers.

Există și situații în care alegerea nu se pune: la $\left(x^3+4\right)e^{-x}$, pentru $x\to +\infty$, scrierea $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ face transformarea de la sine, iar raportul $\frac{x^3+4}{e^x}$ este gata de derivat. De aceea, ori de câte ori vezi un exponent negativ, prima mișcare este să-l muți la numitor.

4. Cum transformi o diferență $\infty -\infty$?

Aici instrumentul e numitorul comun. Două fracții care cresc amândouă nemărginit se scad, de fapt, una din alta abia după ce sunt aduse la același numitor; abia atunci vezi ce rămâne. Rescrierea

$$\frac{1}{u(x)}-\frac{1}{v(x)}=\frac{v(x)-u(x)}{u(x)v(x)}$$

transformă diferența într-un raport, care de obicei este de tipul $\frac{0}{0}$ și intră direct sub regulă.

Trei precauții, toate verificabile pe loc. Prima: la aducerea la același numitor, fiecare fracție se înmulțește cu ce îi lipsește, iar semnul minus se distribuie pe tot numărătorul celei de-a doua. A doua: după transformare, tipul cazului se calculează din nou — poate fi $\frac{0}{0}$, dar poate fi și un raport perfect determinat, și atunci ai terminat. A treia: dacă la numitor rămâne ceva care se anulează, iar la numărător nu, limita nu e un număr, ci $+\infty$ sau $-\infty$, cu semn care se citește pe fiecare parte.

Când în diferență apar radicali, drumul e altul, mai scurt: amplificarea cu expresia conjugată, făcută în lecția despre nedeterminarea infinit minus infinit rezolvată cu conjugata. Derivatele nu ajută acolo aproape niciodată, pentru că radicalii se reproduc la fiecare derivare în loc să dispară.

5. Când nu ai nevoie de derivate?

Mai des decât crezi. O diferență de fracții raționale se simplifică, de obicei, complet: la $\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2+x}$ numitorul comun este $x(x+1)$, numărătorul devine $x$, iar după simplificare rămâne $\frac{1}{x+1}$, a cărei limită în $0$ se citește prin înlocuire. Nicio derivată, două rânduri de calcul.

La fel stau lucrurile cu diferențele de tipul „fracție minus polinom" la infinit — $\frac{x^2+3x}{x+2}-x$ se strânge la $\frac{x}{x+2}$ — și cu diferențele de radicali, unde conjugata rezolvă totul. Regula practică de la examen: mai întâi algebra, apoi derivatele. Derivarea e o unealtă puternică, dar și lentă, iar la o probă de trei ore fiecare minut contează.

Există și un motiv mai adânc decât economia de timp. Un calcul algebric scurt e ușor de verificat cu ochii; un lanț de două-trei derivări nu, iar o greșeală de semn la mijlocul lui nu se mai vede. Cu cât metoda e mai simplă, cu atât rezultatul e mai sigur.

6. De ce nu apare cazul $1^{\infty }$ la M2?

Pentru că rezolvarea lui cere logaritmarea expresiei și, imediat după, o limită fundamentală cu numărul $e$ — instrumente care nu sunt în programa de științe ale naturii. Lista limitelor pe care le cere programa de examen M2 cuprinde funcția de gradul I și de gradul al II-lea, funcția putere și funcția radical de ordinul $2$ și $3$, raportul a două funcții de grad cel mult $2$, exponențiala și logaritmul; limitele fundamentale nu sunt pe ea.

La mate-info situația e alta: acolo se studiază toate cele șapte cazuri, inclusiv $1^{\infty }$, ${\infty }^0$ și $0^0$, tocmai fiindcă limitele fundamentale fac parte din materie. Dacă dai peste un exercițiu cu exponent variabil într-o culegere, verifică întâi pentru ce profil e scrisă: e foarte probabil o problemă de M1.

La M2 rămân deci de tradus exact două forme: produsul $0\cdot \infty$ și diferența $\infty -\infty$. Sunt puține, se recunosc dintr-o privire și, odată transformate, se rezolvă cu aceeași regulă. De aceea lecția aceasta e scurtă ca teorie și lungă ca exercițiu.

7. Cum se scrie transformarea la examen?

Transformarea este un pas punctat, deci se scrie, nu se face în minte. Ordinea pe foaie: numești cazul inițial („produs de tipul $0\cdot \infty$"), scrii expresia rescrisă ca raport, constați noul caz („devine $\frac{0}{0}$"), verifici condițiile regulii, derivezi, tragi concluzia despre limita cerută, nu despre ultimul raport obținut.

Un detaliu de redactare care contează: precizează de la început dacă limita este laterală. La produsele care conțin $\ln x$ și la punctul $0$, funcția e definită numai pentru $x>0$, deci se scrie $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }$, nu $\underset{x\to 0}{\lim }$. Nu e pedanterie: o limită bilaterală într-un punct unde funcția nu e definită de ambele părți pur și simplu nu are sens.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un produs $0\cdot \infty$ cu logaritmi

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\ln (x+3)-\ln x\right)$.

Rezolvare. Cazul: primul factor crește nemărginit; al doilea, folosind proprietățile logaritmilor, se scrie $\ln \frac{x+3}{x}$, iar raportul din logaritm tinde la $1$, deci paranteza tinde la $\ln 1=0$. Avem un produs de tipul $0\cdot \infty$.

Transformarea: coborâm factorul $x$, adică îl răsturnăm la numitor:

$$x\left(\ln (x+3)-\ln x\right)=\frac{\ln (x+3)-\ln x}{\frac{1}{x}}.$$

Noul caz: numărătorul tinde la $0$, numitorul tinde la $0$, deci $\frac{0}{0}$.

Aplicarea: derivata numărătorului este $\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x}=\frac{-3}{x(x+3)}$, iar a numitorului, $-\frac{1}{x^2}$. Raportul lor este

$$\frac{-3}{x(x+3)}\cdot \left(-x^2\right)=\frac{3x}{x+3},$$

care tinde la $3$. Prin urmare $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\ln (x+3)-\ln x\right)=3$.

Exemplul 2 — Un produs $0\cdot \infty$ cu exponențială

Calculați $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x$.

Rezolvare. Cazul: pentru $x\to -\infty$, primul factor scade nemărginit, iar $e^x$ tinde la $0$: produs de tipul $0\cdot \infty$.

Transformarea: exponențiala se răstoarnă imediat, fiindcă $e^x=\frac{1}{e^{-x}}$, deci $x{e}^x=\frac{x}{e^{-x}}$.

Noul caz: numărătorul tinde la $-\infty$, numitorul la $+\infty$, deci $\frac{\infty }{\infty }$.

Aplicarea: derivatele sunt $1$ și $-e^{-x}$, iar raportul $\frac{1}{-e^{-x}}=-e^x$ tinde la $0$. Așadar $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0$.

Rezultatul merită reținut ca fapt: la $-\infty$, exponențiala stinge orice polinom, oricât de mare i-ar fi gradul, pentru că se apropie de zero mai repede decât crește el.

Exemplul 3 — O diferență $\infty -\infty$ de fracții

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)$.

Rezolvare. Cazul: fiecare fracție crește nemărginit în modul, cu același semn de fiecare parte a lui $0$, deci scrierea simbolică este $\infty -\infty$.

Transformarea: numitorul comun este $x\left(e^x-1\right)$:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}=\frac{e^x-1-x}{x\left(e^x-1\right)}.$$

Noul caz: numărătorul tinde la $1-1-0=0$, numitorul tinde la $0$, deci $\frac{0}{0}$.

Prima aplicare: derivata numărătorului este $e^x-1$, iar a numitorului, $e^x-1+x{e}^x$. Raportul $\frac{e^x-1}{e^x-1+x{e}^x}$ este tot $\frac{0}{0}$.

A doua aplicare: derivatele sunt $e^x$ și $2e^x+x{e}^x$, iar raportul $\frac{e^x}{2e^x+x{e}^x}=\frac{1}{2+x}$ tinde la $\frac{1}{2}$.

Concluzia: limita cerută este $\frac{1}{2}$. Observă simplificarea cu $e^x$ făcută la ultimul pas: fără ea, calculul ar fi continuat inutil.

Exemplul 4 — O diferență care nu are nevoie de derivate

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)$.

Rezolvare. Cazul: ambii termeni cresc nemărginit, deci $\infty -\infty$. Aici derivarea nu ajută: radicalul rămâne radical oricâte derivate ai calcula.

Transformarea: amplificăm cu expresia conjugată $\sqrt{x^2+6x}+x$, care este nenulă pentru $x>0$:

$$\sqrt{x^2+6x}-x=\frac{x^2+6x-x^2}{\sqrt{x^2+6x}+x}=\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}.$$

Dând factor forțat pe $x>0$ la numitor, expresia devine $\frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1}$, iar pentru $x\to +\infty$ paranteza de sub radical tinde la $1$. Prin urmare $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)=3$.

Reține alegerea metodei: radicali înseamnă conjugată, nu derivate. Regula lui l'Hôspital rămâne pentru fracții și pentru produse cu exponențiale sau logaritmi.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)$ și scrie: „amândouă fracțiile tind la infinit, deci diferența lor este $\infty -\infty =0$". Găsiți greșeala și calculați corect limita.

Rezolvare. Greșeala este de principiu: $\infty$ nu este un număr, deci nu se poate scădea din el însuși. Scrierea $\infty -\infty$ nu este o operație, ci numele unei situații în care încă nu se știe nimic — exact ca $\frac{0}{0}$. Ea poate duce la orice rezultat, după cum arată și acest exemplu.

Calculul corect: numitorul comun este $x^2$, deci

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}.$$

Pentru $x\to 0$, numărătorul tinde la $-1$, iar numitorul la $0$ prin valori strict pozitive, oricare ar fi partea din care se apropie $x$. Raportul tinde deci la $-\infty$, din ambele părți.

Diferența dintre $0$, răspunsul elevului, și $-\infty$, răspunsul corect, e cea mai bună demonstrație că simbolul nu se calculează, ci se traduce.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2(\ln x-2)$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=x(2\ln x-3)$, $x\in (0,+\infty )$. b) Calculați $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)$. c) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x^2\ln x}$.

Rezolvare.

a) Regula produsului, cu $u(x)=x^2$ și $v(x)=\ln x-2$: $$f^{\prime }(x)=2x(\ln x-2)+x^2\cdot \frac{1}{x}=2x\ln x-4x+x=x(2\ln x-3).$$

b) Cazul: $x^2$ tinde la $0$, iar $\ln x-2$ scade nemărginit, deci produs de tipul $0\cdot \infty$; limita este laterală, fiindcă domeniul este $(0,+\infty )$.

Transformarea: coborâm puterea lui $x$, adică scriem produsul ca $\frac{\ln x-2}{\frac{1}{x^2}}$, raport de tipul $\frac{\infty }{\infty }$.

Aplicarea: derivatele sunt $\frac{1}{x}$ și $-\frac{2}{x^3}$, iar raportul lor este $-\frac{x^2}{2}$, care tinde la $0$. Prin urmare $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=0$.

c) Simplificând cu $x^2$, raportul devine $\frac{\ln x-2}{\ln x}$, de tipul $\frac{\infty }{\infty }$. Derivatele sunt $\frac{1}{x}$ și $\frac{1}{x}$, iar raportul lor este constant, egal cu $1$. Așadar $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x^2\ln x}=1$.

De la examen la lecție. În modelul oficial al probei M_șt-nat publicat pentru sesiunea 2026, prima problemă de analiză cere derivata unei funcții, o limită și o inegalitate; aici, după derivata de la a), urmează două limite la capetele domeniului, exact cele care se folosesc mai târziu la tabelul de variație. Punctul b) arată și de ce merită scrisă limita laterală: la $0$ funcția nu e definită la stânga, iar precizarea aceasta se scrie.

Să exersăm

Înainte de orice derivată, scrie ce fel de nedeterminare ai și în ce raport o transformi.

1. Transformă în raport, fără să calculezi limita, produsul din $\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}$ și precizează tipul noului caz.

2. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}$.

3. Calculează $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\sqrt{x}\ln x$.

4. Scrie ca o singură fracție expresia $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x^2-9}$ și explică de ce, pentru $x\to 3$, rezultatul nu este un număr.

5. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+2x}-x\right)$.

6. Spune, fără calcule, care dintre expresiile $x\ln x$, $\frac{\ln x}{x}$ și $x+\ln x$ sunt nedeterminate pentru $x\to 0$, $x>0$, și de ce tip.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f(x)\to 0$ și $g(x)\to +\infty$, atunci produsul $f(x)g(x)$ tinde la $0$."

8. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)$.

9. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2}{x+1}-x\right)$.

10. Calculează $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right)$.

11. (Problemă aplicată.) Un termometru scos dintr-o incintă caldă indică temperatura $T(t)=20+5e^{-0,2t}$ grade Celsius, la $t$ minute după scoatere, iar temperatura camerei este de $20$ de grade Celsius. Diferența față de cameră este $D(t)=5e^{-0,2t}$. Calculează $\underset{t\to +\infty }{\lim }tD(t)$ și explică ce spune rezultatul despre viteza cu care dispare diferența.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln x$. Arată că $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }x\ln x=0$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2+1\right)e^{-x}$. Arată că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^2+1\right)e^{-x}=0$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează $\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}\right)$.

15. Scrie produsul $x\ln x$, pentru $x\to 0$, $x>0$, în ambele feluri posibile ca raport și spune care variantă duce la un calcul mai scurt.

16. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{x}$.

17. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{\ln (x+1)}-\frac{1}{x}\right)$.

18. (Provocare.) Determină numărul real $m$ pentru care $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+mx}-x\right)=3$.

Răspunsuri și explicații

1. Produsul se scrie $\frac{x}{e^x}$, fiindcă $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$. Noul caz este $\frac{\infty }{\infty }$.

2. Cu raportul de mai sus, derivatele dau $\frac{1}{e^x}$, care tinde la $0$. Deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$.

3. Caz $0\cdot \infty$, limită laterală. Coborâm radicalul: $\frac{\ln x}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$, caz $\frac{\infty }{\infty }$. Derivata numărătorului este $\frac{1}{x}$, iar a numitorului, cu regula câtului, $-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$; raportul lor este $-2\sqrt{x}\to 0$. Deci $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\sqrt{x}\ln x=0$.

4. Numitorul comun este $(x-3)(x+3)$, iar numărătorul devine $(x+3)-1=x+2$, deci expresia este $\frac{x+2}{(x-3)(x+3)}$. Pentru $x\to 3$ numărătorul tinde la $5$, iar numitorul la $0$: nu mai există nedeterminare, dar nici limită finită. La dreapta lui $3$ raportul tinde la $+\infty$, la stânga la $-\infty$, deci limita nu există.

5. Amplificând cu conjugata, expresia devine $\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1}$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+2x}-x\right)=1$.

6. $x\ln x$ este nedeterminată, de tipul $0\cdot \infty$. $\frac{\ln x}{x}$ nu este: numărătorul scade nemărginit, numitorul tinde la $0$ prin valori pozitive, deci raportul tinde la $-\infty$. $x+\ln x$ nu este nedeterminată: primul termen tinde la $0$, al doilea la $-\infty$, deci suma tinde la $-\infty$.

7. Fals. Simbolul $0\cdot \infty$ nu are valoare. Cu $f(x)=\frac{1}{x}$ la $+\infty$: produsul $\frac{1}{x}\cdot 3x$ este constant egal cu $3$, produsul $\frac{1}{x}\cdot x^2=x$ tinde la $+\infty$, iar produsul $\frac{1}{x}\cdot \sqrt{x}$ tinde la $0$. Trei rezultate diferite pentru același tip de caz.

8. Caz $0\cdot \infty$. Transformarea $\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}$ dă $\frac{0}{0}$; derivata numărătorului este $-\frac{1}{x^2}{e}^{\frac{1}{x}}$, a numitorului $-\frac{1}{x^2}$, iar raportul lor este $e^{\frac{1}{x}}\to e^0=1$. Deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)=1$.

9. Numitorul comun este $x+1$: expresia devine $\frac{x^2-x(x+1)}{x+1}=\frac{-x}{x+1}$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2}{x+1}-x\right)=-1$. Nicio derivată.

10. Cu $x^2-4=(x-2)(x+2)$, numitorul comun este $(x-2)(x+2)$, iar numărătorul devine $(x+2)-4=x-2$. După simplificare rămâne $\frac{1}{x+2}$, deci $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right)=\frac{1}{4}$.

11. Caz $0\cdot \infty$: $t$ crește nemărginit, iar $D(t)$ tinde la $0$. Transformarea $\frac{5t}{e^{0,2t}}$ dă $\frac{\infty }{\infty }$; derivatele sunt $5$ și $0,2e^{0,2t}$, iar raportul $\frac{25}{e^{0,2t}}$ tinde la $0$. Rezultatul spune că diferența de temperatură se stinge mai repede decât crește timpul: chiar înmulțită cu $t$, ea tot se apropie de zero.

12. Caz $0\cdot \infty$, limită laterală. Transformarea $\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$ dă $\frac{\infty }{\infty }$; derivatele sunt $\frac{1}{x}$ și $-\frac{1}{x^2}$, iar raportul lor este $-x\to 0$. Deci $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }x\ln x=0$.

13. Caz $0\cdot \infty$; cu $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ se obține $\frac{x^2+1}{e^x}$, de tipul $\frac{\infty }{\infty }$. Prima aplicare dă $\frac{2x}{e^x}$, tot nedeterminat; a doua dă $\frac{2}{e^x}\to 0$. Deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^2+1\right)e^{-x}=0$.

14. Cu $x^2-1=(x-1)(x+1)$, numărătorul devine $(x+1)-2=x-1$, iar după simplificare rămâne $\frac{1}{x+1}$. Deci $\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}\right)=\frac{1}{2}$.

15. Prima variantă: $\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$, caz $\frac{\infty }{\infty }$, în care derivata numitorului este $-\frac{1}{x^2}$, tot o putere a lui $x$, deci raportul derivatelor se simplifică dintr-o mișcare. A doua variantă: $\frac{x}{\frac{1}{\ln x}}$, caz $\frac{0}{0}$, unde derivata numitorului conține ${\ln }^{2}x$ și expresia se complică. Prima variantă este cea scurtă, fiindcă acolo a coborât puterea lui $x$, nu logaritmul.

16. Caz $\frac{\infty }{\infty }$; derivata numărătorului este $\frac{2x}{1+x^2}$, a numitorului $1$, iar raportul tinde la $0$. Deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{x}=0$.

17. Caz $\infty -\infty$. Numitorul comun dă $\frac{x-\ln (x+1)}{x\ln (x+1)}$, de tipul $\frac{0}{0}$. Prima aplicare dă $\frac{1-\frac{1}{x+1}}{\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}}$; amplificând cu $x+1$, raportul devine $\frac{x}{(x+1)\ln (x+1)+x}$, tot $\frac{0}{0}$. A doua aplicare dă $\frac{1}{\ln (x+1)+2}\to \frac{1}{2}$. Deci $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{\ln (x+1)}-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}$.

18. Amplificând cu conjugata, expresia devine $\frac{mx}{\sqrt{x^2+mx}+x}=\frac{m}{\sqrt{1+\frac{m}{x}}+1}$, care tinde la $\frac{m}{2}$. Condiția $\frac{m}{2}=3$ dă $m=6$.

De reținut

• Regula lui l'Hôspital cere un raport; un produs sau o diferență se rescriu întâi ca o singură fracție, iar rescrierea este un pas punctat la examen.
• Un produs se coboară după formula $f\cdot g=\frac{f}{1/g}$ — niciodată $\frac{f}{g}$ — și se alege varianta în care la numitor ajunge o putere a lui $x$, nu un logaritm.
• O diferență de fracții se strânge la numitor comun; una cu radicali se amplifică cu expresia conjugată, iar acolo derivatele nu ajută.
• Simbolurile $0\cdot \infty$ și $\infty -\infty$ nu sunt operații și nu au valoare: ele numesc situații în care rezultatul poate fi orice număr sau infinit.
• La științe ale naturii se cer numai aceste două traduceri; cazurile cu exponent variabil, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$ și $0^0$, cer limitele fundamentale cu $e$ și rămân la profilul matematică-informatică.

Greșeli frecvente

• Scrii $0\cdot \infty =0$. Un factor care se stinge și unul care crește pot da orice: $\frac{1}{x}\cdot 3x$ dă $3$, $\frac{1}{x}\cdot x^2$ crește nemărginit, iar $\frac{1}{x}\cdot \sqrt{x}$ se stinge. Simbolul numește o situație, nu un rezultat.
• Desparți limita unei diferențe în două limite. Scrierea „$\lim (f-g)=\lim f-\lim g=\infty -\infty =0$" este dublu greșită: regula de descompunere cere ca ambele limite să fie finite, iar scăderea infiniților nu este definită.
• Răstorni greșit factorul. Produsul $f\cdot g$ devine $\frac{f}{1/g}$, nu $\frac{f}{g}$. A doua expresie este altă funcție; proba se face în cinci secunde, înlocuind $x$ cu un număr comod și comparând valorile.
• Nu recalculezi tipul cazului după transformare. Fracția obținută nu este automat $\frac{0}{0}$: poate fi $\frac{\infty }{\infty }$, poate fi perfect determinată, iar atunci limita se citește direct, fără nicio derivată.
• Pierzi un semn la numitorul comun. La $\frac{1}{u}-\frac{1}{v}$ numărătorul este $v-u$, cu minusul distribuit pe toată expresia scăzută; o paranteză uitată acolo schimbă rezultatul, iar greșeala nu se mai vede în rândurile următoare.

Aplică acasă

1. Cartonașul de traducere. Scrie pe un cartonaș cele două traduceri ale lecției — produsul devine fracție prin răsturnarea unui factor, diferența devine fracție prin numitor comun — și ține-l la vedere o săptămână. Pe spate notează, de fiecare dată când întâlnești o limită de acest tip, dacă s-a rezolvat cu derivate sau fără. La sfârșitul săptămânii vei avea, cu datele tale, proporția reală dintre cele două situații.

2. Cât face, de fapt, $0\cdot \infty$? Construiește trei perechi de funcții care, pentru $x\to +\infty$, dau produse de tipul $0\cdot \infty$ cu limite diferite: una cu limita $0$, una cu o limită finită nenulă și una care crește nemărginit. Pornește de la $\frac{1}{x}$ înmulțit, pe rând, cu $\sqrt{x}$, cu $5x$ și cu $x^2$. Scrie-le în caiet: este dovada, cu mâna ta, că simbolul nu are valoare.

3. Proba numerică și limita calculatorului. Calculează valorile expresiei din exemplul 3 pentru $x=0,1$; $0,01$; $0,001$ și notează cum se apropie de $0,5$. Coboară apoi la $x=10^{-8}$ și la $x=10^{-10}$: calculatorul îți va da un rezultat aiurea. Explică de ce — scazi două numere foarte mari, aproape egale, iar aparatul păstrează doar zece cifre. Este motivul pentru care limita se calculează, nu se măsoară.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la capitolul „Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor", sub enunțul „Teorema lui l'Hôspital (fără demonstrație)". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, a cărei programă (OMEN 4430/2014) numește explicit, între cazurile exceptate la calculul limitelor, produsul $0\cdot \infty$, și dă regulile lui l'Hôspital pentru $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$; de aceea exercițiile de aici poartă marcajul de examen. Diferența $\infty -\infty$ nu figurează ca nume în niciuna dintre cele două programe, dar apare inevitabil la scăderea a două fracții sau a doi radicali și se reduce la cazurile numite. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Ce nu conține lecția, și de ce: cazurile cu exponent variabil. Ele se rezolvă prin logaritmare urmată de o limită fundamentală cu numărul $e$, iar limitele fundamentale nu sunt în programa profilului. Un elev care lucrează dintr-o culegere comună celor două profiluri va da peste ele; merită să știe de la început că nu sunt materia lui, ca să nu piardă timp.

Lecția verifică patru lucruri: (1) recunoașterea tipului de nedeterminare înainte de orice calcul; (2) scrierea corectă a transformării, cu factorul răsturnat, nu doar mutat; (3) recalcularea tipului după transformare; (4) alegerea între algebră și derivate. Întrebări de control, de pus oral: „Cât face $0\cdot \infty$?"; „Cum scrii $x\ln x$ ca raport și de ce alegi varianta aceea?"; „Ce faci când în diferență apar radicali?"; „De ce limita din exemplul 6 se ia numai la dreapta?". Semne că elevul a înțeles: numește cazul înainte de a scrie ceva, încearcă întâi numitorul comun și abia apoi derivatele, și precizează singur când limita este laterală. Cu aceste limite calculate, drumul continuă spre studiul propriu-zis al funcțiilor, începând cu monotonia citită din semnul derivatei.

Întrebări frecvente

Cum transform un produs de tipul $0\cdot \infty$ într-o fracție? Răstorni unul dintre factori și îl muți la numitor: $f\cdot g=\frac{f}{1/g}$. Ai două variante, amândouă corecte; alege-o pe cea în care la numitor ajunge o putere a lui $x$, pentru că răsturnarea ei se derivează simplu, în timp ce răsturnarea unui logaritm complică expresia.

Ce cazuri se cer la M2 și ce cazuri rămân la mate-info (M1)? La științe ale naturii se cer produsul $0\cdot \infty$ și diferența $\infty -\infty$, ambele reduse la un raport. Cazurile cu exponent variabil cer limitele fundamentale cu $e$, care nu sunt în programă. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: nedeterminările reduse la L'Hôpital le tratează pe toate șapte.

La ce subiect al bacalaureatului M2 apar aceste limite? La Subiectul al III-lea, în problemele de analiză matematică. Ele apar ca limite la capetele domeniului unei funcții de tipul „polinom înmulțit cu exponențială" sau „produs cu logaritm", adică exact valorile care se trec apoi în tabelul de variație al funcției studiate.

De ce nu pot aplica regula direct unei diferențe? Pentru că enunțul teoremei vorbește despre un raport de două funcții și despre derivatele lor luate separat. O diferență nu are numărător și numitor, deci nu există ce deriva „sus" și ce deriva „jos". Abia după aducerea la același numitor expresia capătă forma cerută.

Ce fac dacă în diferență apar radicali? Amplifici cu expresia conjugată, nu derivezi. Produsul dintre o diferență și conjugata ei scapă de radicali și lasă o expresie polinomială, din care limita iese în două rânduri. Derivarea, în schimb, reproduce radicalul la fiecare pas și nu duce nicăieri.

De ce unele limite din lecție se calculează doar la dreapta punctului? Pentru că funcția nu este definită de cealaltă parte. La expresiile care conțin $\ln x$, domeniul este $(0,+\infty )$, deci punctul $0$ nu are nicio vecinătate la stânga inclusă în domeniu, iar singura limită cu sens este cea la dreapta, scrisă cu condiția $x>0$ sub semnul limitei.

Cum îmi dau seama că nu am nevoie de derivate? Dacă expresia conține numai polinoame, fracții raționale sau radicali, încearcă întâi algebra: numitor comun, simplificare, factor forțat, conjugată. De cele mai multe ori limita iese în două rânduri. Derivatele devin necesare abia când în expresie apar $e^x$ sau $\ln x$, care nu se simplifică prin niciun artificiu algebric.