Permutări: definiție și formulă: pe scurt

O permutare a unei mulțimi cu $n$ elemente este o așezare a tuturor elementelor într-o ordine, fiecare apărând exact o dată. Numărul lor, $P_n$, se demonstrează cu regula produsului: $n$ variante pentru prima poziție, $n-1$ pentru a doua, …, $1$ pentru ultima, deci $$P_n=n!=n(n-1)(n-2)\cdots 1.$$ Convenția $P_0=1$ corespunde singurului mod de a ordona zero elemente: nu ordonezi nimic.

O problemă este de permutări doar dacă trece trei teste: se folosesc toate elementele, ordinea contează, iar elementele sunt distincte. Dacă nu se folosesc toate elementele, e vorba de aranjamente; dacă ordinea nu contează, de combinări; dacă elementele se repetă, formula nu se aplică direct.

Anagramele unui cuvânt cu litere distincte se numără la fel: un cuvânt cu $n$ litere distincte are $P_n=n!$ anagrame (inclusiv cuvântul original). O poziție fixată (de exemplu, «începe cu litera X») dispare din calcul — rămâi cu permutările celor $n-1$ elemente libere. La ecuații cu $P_n$, înlocuiești $P_n$ cu $n!$ și rezolvi ca la factoriale, verificând că soluția este naturală.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $P_6$.

   • a) $720$
   • b) $36$
   • c) $6$
   • d) $5040$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $720$

   $P_6=6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720$.

2. Câte anagrame are cuvântul «BIROU» (litere distincte)?

   • a) $25$
   • b) $120$
   • c) $60$
   • d) $20$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $120$

   Cuvântul are $5$ litere distincte ($B,I,R,O,U$), deci $P_5=5!=120$ de anagrame.

3. $4$ prieteni se așază pe $4$ scaune numerotate. În câte moduri?

   • a) $4$
   • b) $16$
   • c) $24$
   • d) $12$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $24$

   Se folosesc toți cei $4$ prieteni, o singură dată, iar ordinea contează (scaunele sunt numerotate): $P_4=4!=24$.