Cum calculez suma numerelor cu cifre permutate?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Permutări

Nu scrii toate numerele. Cu $n$ cifre distincte și nenule, fiecare cifră stă pe fiecare poziție de $(n - 1)!$ ori, deci suma este $(n - 1)! \cdot S \cdot 11 \dots 1$ , cu $S$ suma cifrelor și $n$ cifre de $1$ . Exemplu: cu $1$ , $4$ , $7$ , $9$ se formează $4! = 24$ de numere; $S = 21$ , iar suma lor este $3! \cdot 21 \cdot 1111 = 126 \cdot 1111 = 139986$ .

O permutare a unei mulțimi finite este un șir care conține fiecare element al mulțimii exact o dată. O mulțime nu reține nicio ordine, dar un șir da, iar numărul șirurilor posibile pentru $n$ elemente este $P_{n} = n!$ . Formula vine din regula produsului: locurile se completează pe rând, iar la fiecare pas rămâne un element mai puțin de ales, de la $n$ variante până la una singură.

Înainte de a folosi formula, verifici trei lucruri: sunt tot atâtea locuri câte obiecte, fiecare obiect apare o dată, iar schimbul a două obiecte produce o situație nouă. Când un obiect poate reveni, rezultatul este o putere, dată direct de regula produsului; când locurile sunt mai multe decât obiectele, numărătoarea trece la aranjamente.

În lista ordonată lexicografic, șirurile cu același prim element stau unele după altele, câte $(n - 1)!$ într-o grupă. Sărind grupe întregi, găsești locul pe care stă un număr sau ce număr stă pe un loc dat. Tot din aceste grupe vine suma tuturor numerelor obținute prin permutarea unor cifre: fiecare cifră apare de $(n - 1)!$ ori pe fiecare poziție.

De reținut

o mulțime cu $n$ elemente are $P_{n} = n!$ permutări
fiecare element stă pe fiecare poziție în $(n - 1)!$ permutări
suma numerelor cu $n$ cifre permutate: $(n - 1)! \cdot S \cdot 11 \dots 1$

Greșeala tipică

Se înmulțește suma cifrelor cu $n!$ în loc de $(n - 1)!$ ; pe o poziție fixată, o cifră apare în $(n - 1)!$ numere, adică $6$ din $24$ la patru cifre.

Exerciții din această mini-lecție

Câte permutări are mulțimea ${p, q, r, s, t}$ ?
- a) $5$
- b) $25$
- c) $120$
- d) $3125$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $120$

Mulțimea are $5$ elemente, deci $P_{5} = 5! = 120$ . Varianta $3125 = 5^{5}$ ar permite repetarea elementelor, iar $25$ înmulțește doar două etape.
Se scriu în ordine crescătoare numerele formate cu cifrele $3$ , $4$ , $6$ , $8$ , fiecare folosită o dată. Pe ce loc este $8634$ ?
- a) $22$
- b) $23$
- c) $24$
- d) $19$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $23$

Grupele care încep cu $3$ , $4$ și $6$ au câte $3! = 6$ numere, deci $18$ numere stau înainte. În grupa lui $8$ vin întâi cele care încep cu $83$ și cu $84$ , câte $2$ , adică încă $4$ . Urmează $8634$ , cel mai mic număr care începe cu $86$ : locul $18 + 4 + 1 = 23$ .
Care este suma tuturor numerelor de trei cifre formate cu cifrele $2$ , $5$ , $8$ , fiecare folosită o dată?
- a) $3330$
- b) $1665$
- c) $555$
- d) $5550$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3330$

Pe fiecare poziție fiecare cifră apare de $2! = 2$ ori, deci suma pe poziție este $2 \cdot 15 = 30$ , iar totalul este $30 \cdot 111 = 3330$ .

Întrebări conexe

Cât este media numerelor formate prin permutarea cifrelor $1$ , $4$ , $7$ , $9$ ?

Media se obține împărțind suma la numărul permutărilor: $\frac{139 986}{24} = 5832, 75$ . Pe un drum mai scurt, pe fiecare poziție cifra medie este $\frac{21}{4} = 5, 25$ , iar media este $5, 25 \cdot 1111 = 5832, 75$ .

Câte anagrame are cuvântul ACID și câte încep cu o vocală?

Literele sunt distincte, deci anagramele sunt $4! = 24$ . Pentru cele care încep cu vocală, prima literă este $A$ sau $I$ , iar celelalte trei se permută în $3! = 6$ feluri: $2 \cdot 6 = 12$ anagrame, adică jumătate.

De câte ori cresc permutările când adaug un element mulțimii?

Din $P_{n + 1} = (n + 1) \cdot n!$ rezultă că numărul permutărilor se înmulțește cu $n + 1$ . O mulțime cu $6$ elemente are $720$ de permutări, iar una cu $7$ are $5040$ , de $7$ ori mai multe.

În câte ordini se pot adăuga patru reactivi într-un vas?

Fiecare reactiv se adaugă o singură dată, iar ordinea contează, pentru că reacțiile intermediare diferă. Sunt $4! = 24$ de ordini. Dacă un reactiv trebuie pus primul, rămân $3! = 6$ ordini pentru ceilalți.

Câte numere de cinci cifre distincte se formează cu $0$ , $2$ , $4$ , $6$ , $8$ ?

Toate ordonările sunt $5! = 120$ , dar cele care încep cu $0$ nu sunt numere de cinci cifre. Acestea sunt $4! = 24$ , deci rămân $120 - 24 = 96$ de numere, toate pare.

Oamenii mai întreabă și: suma tuturor numerelor formate cu aceleași cifre · suma numerelor obținute prin permutarea cifrelor · de câte ori apare fiecare cifră pe o poziție · suma permutărilor cifrelor unui număr