Planul complex. Imaginea geometrică și afixul

Timp de aproape trei secole, numerele complexe au fost folosite cu un fel de jenă. Apăreau în calcule, dădeau răspunsuri corecte, dar nimeni nu putea spune ce sunt; Descartes le-a numit „imaginare" tocmai pentru că nu părea să le corespundă nimic real. Situația s-a schimbat abia în jurul anului $1800$, când Caspar Wessel, Jean-Robert Argand și, mai ales, Carl Friedrich Gauss au avut aceeași idee simplă: dacă un număr complex are două componente reale, atunci el poate fi desenat ca un punct în plan.

Ideea a schimbat totul. Deodată conjugatul a devenit o oglindire, modulul o distanță, iar adunarea o deplasare. Un capitol de algebră a căpătat o față vizuală, iar problemele grele de geometrie au început să se rezolve cu calcule de numere complexe. Lecția de azi construiește exact acest dicționar între algebră și desen: fiecărui număr complex îi asociem un punct, fiecărui punct un număr, și învățăm cum arată în plan noțiunile pe care le-am studiat până acum.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este planul complex și cum se numesc cele două axe ale lui.
• Vei ști să desenezi imaginea geometrică a unui număr complex și să scrii afixul unui punct dat prin coordonate.
• Vei ști să recunoști dintr-o privire unde se află numerele reale, cele pur imaginare și cum se distribuie numerele pe cadrane.
• Vei ști că modulul este distanța până la origine și că numerele cu același modul se află pe un cerc centrat în $O$.
• Vei ști cele trei simetrii de bază: $\bar{z}$ față de axa reală, $-z$ față de origine, $-\bar{z}$ față de axa imaginară.
• Vei ști să descrii geometric mulțimi definite prin condiții simple: $\mathrm{Re}z=2$, $\mathrm{Im}z=-1$, $|z|=5$, $|z|\le 3$.

Hai să descoperim împreună

1. Dicționarul dintre numere și puncte

Un număr complex scris în formă algebrică, $z=a+bi$, este determinat de perechea ordonată $(a,b)$ de numere reale: partea reală și partea imaginară. Dar exact o pereche ordonată de numere reale determină și un punct într-un reper cartezian. Cele două lumi au aceeași „materie primă", deci le putem lipi una de alta.

Definiție. Fixăm în plan un reper cartezian $xOy$. Numărului complex $z=a+bi$ îi asociem punctul $M(a,b)$, numit imaginea geometrică a lui $z$. Reciproc, numărul $z=a+bi$ se numește afixul punctului $M$. Planul înzestrat cu această corespondență se numește planul complex (sau planul lui Gauss, ori diagrama lui Argand).

Notația uzuală este $M(z)$: „punctul $M$ de afix $z$". Corespondența este bijectivă — fiecare număr complex are exact o imagine, fiecare punct are exact un afix — pentru că egalitatea a două numere complexe înseamnă egalitatea ambelor componente, iar două puncte coincid exact când au aceleași coordonate.

Cele două axe primesc nume noi:

• axa $Ox$ se numește axa reală, pentru că pe ea se află imaginile numerelor reale ($b=0$);
• axa $Oy$ se numește axa imaginară, pentru că pe ea se află imaginile numerelor pur imaginare ($a=0$).

Originea $O$ are afixul $0$. Punctul de coordonate $(1,0)$ are afixul $1$, iar punctul $(0,1)$ are afixul $i$ — cele două „unități" ale sistemului.

2. Cine unde stă

Să citim planul complex ca pe o hartă.

Exemple. $3+4i$ are imaginea $M(3,4)$, în cadranul I. $-2+5i$ are imaginea în cadranul II. $-3-4i$ este în cadranul III, iar $4-3i$ în cadranul IV. Numărul $5$ se reprezintă pe axa reală, iar $-2i$ pe axa imaginară, sub origine.

Un exercițiu tipic sună: „în ce cadran se află imaginea numărului $(2+i)(1+3i)$?". Efectuăm produsul: $(2+i)(1+3i)=2+6i+i+3i^2=-1+7i$. Partea reală este negativă, cea imaginară pozitivă, deci imaginea este în cadranul II. Reține procedeul: întâi aduci numărul la forma algebrică, apoi citești semnele.

3. Modulul, văzut ca distanță

Am definit în lecția Modulul unui număr complex mărimea $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. În planul complex ea are un sens imediat. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic cu catetele $|a|$ și $|b|$, distanța de la origine la $M(a,b)$ este

$$OM=\sqrt{(a-0{)}^2+(b-0{)}^2}=\sqrt{a^2+b^2}=|z|.$$

Modulul unui număr complex este distanța de la origine până la imaginea lui geometrică.

Consecința cea mai utilă: toate numerele cu același modul se află la aceeași distanță de origine, deci imaginile lor sunt pe un cerc cu centrul în $O$. Mulțimea $\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=5\}$ este cercul de centru $O$ și rază $5$. Pe el se află, printre altele, cele $12$ puncte cu coordonate întregi:

$$\pm 5,\pm 5i,\pm 3\pm 4i,\pm 4\pm 3i.$$

(Le poți verifica pe toate: $3^2+4^2=4^2+3^2=5^2+0^2=25$.)

La fel, $|z|\le 3$ descrie discul închis de centru $O$ și rază $3$ — cercul împreună cu interiorul lui —, iar $|z|>3$ exteriorul acestuia.

4. Cele trei simetrii

Aici planul complex își arată prima dată forța: operații algebrice pe care le-am definit prin formule devin mișcări vizibile.

Pornim de la $z=a+bi$, cu imaginea $M(a,b)$, și privim trei numere înrudite cu el:

• Conjugatul $\bar{z}=a-bi$ are imaginea $(a,-b)$: același $x$, $y$ schimbat de semn. Deci imaginea lui $\bar{z}$ este simetrica lui $M$ față de axa reală.
• Opusul $-z=-a-bi$ are imaginea $(-a,-b)$: ambele coordonate schimbate de semn, adică simetrica față de origine.
• Numărul $-\bar{z}=-a+bi$ are imaginea $(-a,b)$, adică simetrica față de axa imaginară.

Exemplu. Pentru $z=3+4i$ obținem punctele $(3,4)$, $(3,-4)$, $(-3,-4)$ și $(-3,4)$. Ele sunt vârfurile unui dreptunghi cu centrul în origine, cu laturile de lungimi $6$ și $8$, deci cu aria $48$ și perimetrul $28$. Toate patru se află pe cercul de rază $5$, ceea ce confirmă din nou proprietatea $|z|=|\bar{z}|=|-z|$.

Acesta este exact conținutul cerinței din programă „reprezentarea grafică a numerelor complexe și a simetriei dintre un număr și conjugatul său": faptul algebric din lecția Conjugatul unui număr complex, $\overline{a+bi}=a-bi$, și faptul geometric „oglindire față de axa reală" sunt același lucru, spus în două limbi.

5. Numărul complex ca vector

Există o a doua lectură a imaginii geometrice, la fel de utilă: în loc de punctul $M$, putem privi vectorul de poziție $\overrightarrow{OM}$, adică săgeata de la origine la $M$. Cele două lecturi sunt echivalente, pentru că un vector cu originea fixată în $O$ este complet determinat de vârful său.

Lectura vectorială are un avantaj: face vizibile operațiile. Lungimea săgeții este $|z|$, iar direcția ei va deveni, în lecțiile despre forma trigonometrică, al doilea parametru care descrie numărul. Adunarea a două numere complexe va deveni adunarea a doi vectori, după regula paralelogramului — subiectul lecției următoare, Interpretarea geometrică a operațiilor și a modulului.

Reține deci ambele imagini: numărul complex ca punct (când vorbim despre poziții, despre mulțimi de puncte) și ca vector (când vorbim despre operații, despre deplasări).

6. Mulțimi de puncte descrise prin condiții

Un tip de exercițiu care apare des: se dă o condiție asupra lui $z$ și se cere să descrii, în plan, mulțimea imaginilor. Iată cazurile de bază, toate obținute prin trecerea la coordonate ($z=x+yi$, imagine $M(x,y)$):

Metoda generală, pe care merită să o scrii de fiecare dată: notezi $z=x+yi$, traduci condiția într-o relație între $x$ și $y$, apoi recunoști figura. De exemplu, condiția $\mathrm{Re}z=\mathrm{Im}z$ devine $x=y$: prima bisectoare a axelor, dreapta care trece prin origine și prin toate punctele cu abscisa egală cu ordonata.

Un ultim exemplu, cu parametru: pentru ce valori reale ale lui $m$ imaginea numărului $z=(m-2)+(m+1)i$ se află pe axa imaginară? Condiția „pe axa imaginară" înseamnă parte reală nulă: $m-2=0$, deci $m=2$, iar atunci $z=3i$. ✓

7. De ce a contat atât de mult această idee

Merită să înțelegi de ce reprezentarea în plan a fost, istoric, un moment de cotitură. Înainte de ea, $i$ era un simbol pe care îl manipulai după reguli, sperând să nu greșești. După ea, $i$ a devenit punctul $(0,1)$, iar înmulțirea cu $i$ o rotație — vei vedea în lecțiile despre forma trigonometrică că înmulțirea cu $i$ rotește orice punct cu $90^{\circ }$ în jurul originii. (Verifică pe $z=3+4i$: $iz=i(3+4i)=-4+3i$, adică punctul $(3,4)$ ajunge în $(-4,3)$, exact ca după un sfert de tură.)

De aici încolo, întreg capitolul are două fețe: una de calcul și una de desen. Când o problemă pare grea într-una din limbi, o traduci în cealaltă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Imagini și afixe

a) Determinați imaginile geometrice ale numerelor $z_1=4-3i$, $z_2=-6$, $z_3=5i$. b) Scrieți afixul punctului $P(-6,8)$ și calculați distanța de la $P$ la origine.

Rezolvare. a) $z_1$ are imaginea $(4,-3)$, în cadranul IV; $z_2$ are imaginea $(-6,0)$, pe axa reală; $z_3$ are imaginea $(0,5)$, pe axa imaginară.

b) Afixul lui $P$ este $z=-6+8i$, iar distanța până la origine este $|z|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

Exemplul 2 — Dreptunghiul simetriilor

Fie $z=3+4i$. Reprezentați imaginile numerelor $z$, $\bar{z}$, $-z$, $-\bar{z}$ și arătați că ele sunt vârfurile unui dreptunghi. Calculați aria acestui dreptunghi.

Rezolvare. Cele patru numere sunt $3+4i$, $3-4i$, $-3-4i$, $-3+4i$, cu imaginile $(3,4)$, $(3,-4)$, $(-3,-4)$, $(-3,4)$.

Punctele au abscisele $\pm 3$ și ordonatele $\pm 4$, deci sunt vârfurile dreptunghiului cu laturile paralele cu axele, de dimensiuni $6$ (pe orizontală) și $8$ (pe verticală). Aria este $6\cdot 8=48$, iar perimetrul $2(6+8)=28$.

Observație: toate patru se află pe cercul de rază $|z|=5$, deci dreptunghiul este înscris în acest cerc, iar diagonalele lui sunt diametre.

Exemplul 3 — Cadranul unui produs

În ce cadran se află imaginea geometrică a numărului $z=(2+i)(1+3i)$?

Rezolvare. Efectuăm înmulțirea: $z=2+6i+i+3i^2=2+7i-3=-1+7i$. Cum $\mathrm{Re}z=-1<0$ și $\mathrm{Im}z=7>0$, imaginea se află în cadranul II.

Greșeala clasică aici este să judeci cadranul „pe factori", uitându-te la $2+i$ (cadranul I) și $1+3i$ (cadranul I) și trăgând concluzia că produsul e tot în cadranul I. Nu funcționează: înmulțirea nu păstrează cadranele.

Exemplul 4 — Puncte întregi pe un cerc

Determinați toate numerele complexe $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{Z}$, pentru care $|z|=13$.

Rezolvare. Condiția devine $a^2+b^2=169$. Căutăm perechile de pătrate perfecte cu suma $169$: $0+169$, $25+144$ și $144+25$. Rezultă $(a,b)\in \{(\pm 13,0),(0,\pm 13),(\pm 5,\pm 12),(\pm 12,\pm 5)\}$, adică douăsprezece numere:

$$\pm 13,\pm 13i,\pm 5\pm 12i,\pm 12\pm 5i.$$

Toate au imaginile pe cercul de centru $O$ și rază $13$, așezate simetric față de ambele axe și față de origine.

Exemplul 5 — Mulțimi din plan

Descrieți mulțimea imaginilor geometrice ale numerelor complexe $z$ care verifică: a) $\mathrm{Im}z=-1$; b) $2\le |z|\le 4$; c) $\mathrm{Re}z=\mathrm{Im}z$.

Rezolvare. Notăm $z=x+yi$, cu imaginea $M(x,y)$.

a) Condiția devine $y=-1$: o dreaptă orizontală, paralelă cu axa reală, situată cu o unitate sub ea.

b) Condiția spune că distanța până la origine este cel puțin $2$ și cel mult $4$: o coroană circulară (un „inel") cuprinsă între cercurile de raze $2$ și $4$, ambele incluse.

c) Condiția devine $x=y$: prima bisectoare a axelor, dreapta de ecuație $y=x$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numărul complex $z=3-4i$ și punctele $M$, $N$ de afixe $z$, respectiv $\bar{z}$.

a) Determinați coordonatele punctelor $M$ și $N$.

b) Calculați $|z|$.

c) Arătați că triunghiul $OMN$ este isoscel și calculați aria lui.

Rezolvare. a) $M(3,-4)$ și, cum $\bar{z}=3+4i$, $N(3,4)$.

b) $|z|=\sqrt{9+16}=5$.

c) $OM=|z|=5$ și $ON=|\bar{z}|=5$, deci $OM=ON$ și triunghiul $OMN$ este isoscel cu vârful în $O$. Baza $MN$ este verticală, de lungime $|4-(-4)|=8$, iar înălțimea din $O$ este distanța de la origine la dreapta $x=3$, adică $3$. Prin urmare

$${\mathcal{S}}_{OMN}=\frac{MN\cdot 3}{2}=\frac{8\cdot 3}{2}=12.$$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu desen acolo unde se cere. La mulțimi de puncte, notează întotdeauna $z=x+yi$ înainte de a traduce condiția.

1. Reprezintă în planul complex numerele $3+4i$, $-2+5i$, $-3-4i$, $4-3i$, $5$ și $-2i$, precizând pentru fiecare cadranul sau axa pe care se află.

2. Scrie afixul punctului $M(-6,8)$ și calculează distanța de la $M$ la origine.

3. Pentru $z=3+4i$, determină imaginile numerelor $z$, $\bar{z}$, $-z$, $-\bar{z}$ și arată că ele formează un dreptunghi. Calculează aria și perimetrul acestuia.

4. Determină afixele punctelor situate pe axa reală la distanța $7$ de origine, apoi pe cele situate pe axa imaginară la distanța $7$ de origine.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Imaginea geometrică a unui număr pur imaginar se află pe axa reală."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două numere complexe conjugate au imaginile simetrice față de axa reală."

7. Descrie mulțimea imaginilor numerelor complexe cu $\mathrm{Re}z=2$.

8. Descrie mulțimea imaginilor numerelor complexe cu $\mathrm{Im}z=-1$.

9. Descrie mulțimea imaginilor numerelor cu $|z|=5$ și scrie patru numere cu părți întregi care aparțin acestei mulțimi.

10. Descrie mulțimea imaginilor numerelor cu $|z|\le 3$, apoi pe cea a numerelor cu $2\le |z|\le 4$.

11. Descrie mulțimea imaginilor numerelor cu $\mathrm{Re}z=\mathrm{Im}z$.

12. Determină toate numerele complexe $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{Z}$, pentru care $|z|=13$.

13. (Problemă aplicată.) Un radar plasat în punctul $O$ folosește axa reală pentru direcția est și axa imaginară pentru direcția nord, cu unitatea de $1$ km. O navă se află la $20$ km est și $21$ km nord. Scrie afixul poziției navei și calculează distanța până la radar.

14. În ce cadran se află imaginea geometrică a numărului $(2+i)(1+3i)$? Dar a numărului $\frac{1+i}{1-i}$?

15. Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care imaginea numărului $z=(m-2)+(m+1)i$ se află pe axa imaginară.

16. Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care imaginea numărului $z=(m+1)+(m^2-1)i$ se află pe axa reală.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $z=3-4i$, iar $M$ și $N$ sunt punctele de afixe $z$ și $\bar{z}$. a) Determinați coordonatele lui $M$ și $N$. b) Calculați $|z|$. c) Arătați că triunghiul $OMN$ este isoscel și calculați aria lui.

18. (Provocare.) Fie $z\ne 0$. Arată că imaginile numerelor $z$, $iz$, $-z$ și $-iz$ sunt vârfurile unui pătrat cu centrul în origine. Verifică pe $z=3+4i$ și calculează aria pătratului obținut.

Răspunsuri și explicații

1. $3+4i\to (3,4)$, cadranul I; $-2+5i\to (-2,5)$, cadranul II; $-3-4i\to (-3,-4)$, cadranul III; $4-3i\to (4,-3)$, cadranul IV; $5\to (5,0)$, pe axa reală; $-2i\to (0,-2)$, pe axa imaginară.

2. Afixul este $z=-6+8i$, iar distanța este $|z|=\sqrt{36+64}=10$.

3. Imaginile sunt $(3,4)$, $(3,-4)$, $(-3,-4)$, $(-3,4)$ — vârfurile unui dreptunghi cu laturile paralele cu axele, de dimensiuni $6$ și $8$. Aria: $48$; perimetrul: $28$. Toate patru punctele se află pe cercul de rază $5$.

4. Pe axa reală: $z=7$ și $z=-7$ (imaginile $(7,0)$ și $(-7,0)$). Pe axa imaginară: $z=7i$ și $z=-7i$. În toate cazurile $|z|=7$.

5. Fals. Un număr pur imaginar are partea reală nulă, deci imaginea lui are abscisa $0$ și se află pe axa imaginară. Pe axa reală se află imaginile numerelor reale.

6. Adevărat. $z=a+bi$ are imaginea $(a,b)$, iar $\bar{z}=a-bi$ are imaginea $(a,-b)$: aceeași abscisă, ordonate opuse, adică simetrie față de axa $Ox$, care este chiar axa reală.

7. Cu $z=x+yi$, condiția devine $x=2$: o dreaptă verticală, paralelă cu axa imaginară, la distanța $2$ de ea, în dreapta.

8. Condiția devine $y=-1$: o dreaptă orizontală, paralelă cu axa reală, situată cu o unitate mai jos.

9. Mulțimea este cercul de centru $O$ și rază $5$ (ecuația $x^2+y^2=25$). Patru numere cu părți întregi: $3+4i$, $-4+3i$, $5$, $-5i$. (În total există $12$ astfel de numere.)

10. $|z|\le 3$ este discul închis de centru $O$ și rază $3$ (cercul plus interiorul). $2\le |z|\le 4$ este coroana circulară dintre cercurile de raze $2$ și $4$, ambele incluse.

11. Condiția devine $x=y$: prima bisectoare a axelor, dreapta de ecuație $y=x$, care trece prin origine și prin punctele $(1,1)$, $(2,2)$ și așa mai departe.

12. Din $a^2+b^2=169$ obținem descompunerile $169=0+169=25+144=144+25$, deci numerele sunt $\pm 13$, $\pm 13i$, $\pm 5\pm 12i$ și $\pm 12\pm 5i$ — în total $12$ numere, cu imaginile pe cercul de rază $13$.

13. Afixul este $z=20+21i$, iar distanța până la radar este $|z|=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$ km.

14. $(2+i)(1+3i)=-1+7i$, cu partea reală negativă și cea imaginară pozitivă: cadranul II. Iar $\frac{1+i}{1-i}=i$, care este pur imaginar: imaginea $(0,1)$ se află pe axa imaginară, nu într-un cadran.

15. „Pe axa imaginară" înseamnă parte reală nulă: $m-2=0$, deci $m=2$. Atunci $z=3i$, iar imaginea este $(0,3)$. ✓

16. „Pe axa reală" înseamnă parte imaginară nulă: $m^2-1=0$, deci $m\in \{-1,1\}$. Pentru $m=1$ obținem $z=2$ (imaginea $(2,0)$), iar pentru $m=-1$ obținem $z=0$, cu imaginea în origine — punct care aparține axei reale, deci ambele valori convin.

17. a) $M(3,-4)$ și $N(3,4)$. b) $|z|=5$. c) $OM=ON=5$, deci triunghiul e isoscel; baza $MN$ are lungimea $8$, iar înălțimea din $O$ este $3$, deci aria este $\frac{8\cdot 3}{2}=12$.

18. Cele patru numere au același modul, pentru că $|iz|=|i||z|=|z|$, deci imaginile lor sunt pe cercul de rază $|z|$ cu centrul în $O$. Perechile $z$, $-z$ și $iz$, $-iz$ sunt diametral opuse, deci segmentele care le unesc sunt două diametre. Ele sunt și perpendiculare: cu $M(z)$ și $N(iz)$ avem $|z-iz{|}^2=|z{|}^2\cdot |1-i{|}^2=2|z{|}^2=|z{|}^2+|iz{|}^2$, deci, prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul $OMN$ este dreptunghic în $O$. Un patrulater cu diagonalele congruente, perpendiculare și care se înjumătățesc este un pătrat. Verificare pe $z=3+4i$: $iz=-4+3i$, $-z=-3-4i$, $-iz=4-3i$; $z-iz=7+i$, cu $|7+i{|}^2=50=2\cdot 25$ ✓, iar laturile au lungimea $\sqrt{(3+4{)}^2+(4-3{)}^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, iar aria este $(5\sqrt{2}{)}^2=50$. (Se confirmă și cu formula pentru pătrat cu diagonala $d=10$: $\mathcal{S}=\frac{d^2}{2}=50$.)

De reținut

• Planul complex: numărului $z=a+bi$ îi corespunde punctul $M(a,b)$, numit imaginea geometrică a lui $z$; reciproc, $z$ este afixul lui $M$. Corespondența este bijectivă.
• Axele: $Ox$ = axa reală (imaginile numerelor reale), $Oy$ = axa imaginară (imaginile numerelor pur imaginare); originea are afixul $0$.
• Modulul = distanța până la origine: $|z|=OM$. Numerele cu același modul au imaginile pe un cerc centrat în $O$.
• Simetriile: $\bar{z}$ este simetricul lui $z$ față de axa reală, $-z$ față de origine, $-\bar{z}$ față de axa imaginară.
• Mulțimi de puncte: notezi $z=x+yi$, traduci condiția într-o relație între $x$ și $y$ și recunoști figura: $\mathrm{Re}z=c$ dă o dreaptă verticală, $\mathrm{Im}z=c$ una orizontală, $|z|=r$ un cerc, $|z|\le r$ un disc.

Greșeli frecvente

• Confunzi axele. Numerele reale stau pe axa orizontală, cele pur imaginare pe cea verticală. Un număr ca $-2i$ are imaginea $(0,-2)$, nu $(-2,0)$.
• Reprezinți $z=a+bi$ prin punctul $(a,bi)$. Coordonatele unui punct sunt numere reale: imaginea lui $3+4i$ este $(3,4)$, nu $(3,4i)$.
• Judeci cadranul înainte de a aduce numărul la forma algebrică. Pentru $(2+i)(1+3i)$ trebuie întâi efectuat produsul; abia apoi citești semnele.
• Confunzi „pe axă" cu „într-un cadran". Punctele de pe axe nu aparțin niciunui cadran; un răspuns de tipul „cadranul I, pentru că $z=5$" este greșit.
• Uiți să incluzi sau să excluzi frontiera. $|z|=3$ este doar cercul, $|z|\le 3$ este discul închis, $|z|<3$ este interiorul fără cerc. La fel, „pur imaginar" exclude originea.

Aplică acasă

1. Harta afixelor. Desenează pe o foaie de matematică un reper cartezian și marchează imaginile numerelor $2+3i$, $-4+i$, $-2-5i$, $3-3i$, $6$, $-4i$. Notează lângă fiecare punct cadranul sau axa și calculează, pentru trei dintre ele, distanța până la origine.

2. Colecția de puncte întregi pe cerc. Găsește toate punctele cu coordonate întregi de pe cercul $|z|=25$. Indiciu: caută descompuneri ale lui $625$ în sumă de două pătrate — vei găsi mai multe decât te aștepți, iar asta explică de ce $25$ este un modul „bogat".

3. Orașul tău în plan complex. Ia o hartă, alege un punct de reper drept origine și axa est–vest drept axă reală. Notează afixele a patru locuri (școală, magazin, parc, casă), apoi verifică prin calcul care dintre ele este cel mai apropiat de origine. Compară rezultatul cu ce arată harta.

Pentru părinți și profesori

Lecția construiește puntea dintre algebra numerelor complexe și geometria planului: fiecărui număr îi corespunde un punct și invers. Este momentul în care capitolul devine vizual, iar noțiuni care păreau formale — conjugatul, modulul, opusul — capătă un înțeles imediat: oglindire, distanță, simetrie față de origine. Vocabularul care trebuie fixat este precis: imagine geometrică (punctul asociat unui număr) și afix (numărul asociat unui punct), noțiuni inverse una alteia și adesea confundate.

Ce verifică lecția: reprezentarea corectă a unui număr prin punctul de coordonate $(a,b)$, identificarea cadranului după semnele componentelor, calculul distanței la origine ca modul, cele trei simetrii și traducerea unei condiții algebrice într-o figură. Întrebări bune de control: „Pe ce axă se află imaginea lui $-5i$?"; „Ce figură descrie condiția $|z|=4$?"; „Cum se numește numărul asociat unui punct dat?". Semne că a înțeles: desenează întâi și abia apoi calculează, iar la mulțimi de puncte notează sistematic $z=x+yi$.

La Bacalaureat M1, planul complex apare de obicei împreună cu modulul: se cer coordonatele imaginilor, distanțe între ele, natura unui triunghi format cu originea. Din clasa a XI-a încolo, aceeași reprezentare susține forma trigonometrică, formula lui Moivre și rădăcinile de ordinul $n$, care se așază pe un cerc în vârfurile unui poligon regulat.

Întrebări frecvente

Ce este planul complex? Este planul cartezian obișnuit, în care fiecărui număr complex $z=a+bi$ îi corespunde punctul $M(a,b)$. Axa orizontală se numește axă reală, iar cea verticală axă imaginară. Mai poartă și numele de planul lui Gauss sau diagrama lui Argand.

Ce înseamnă imaginea geometrică a unui număr complex? Este punctul din plan de coordonate egale cu partea reală și partea imaginară ale numărului. Imaginea lui $3+4i$ este punctul $(3,4)$, iar imaginea lui $-2i$ este punctul $(0,-2)$.

Ce este afixul unui punct? Este numărul complex asociat punctului: dacă $M$ are coordonatele $(a,b)$, afixul lui este $z=a+bi$. „Afix" și „imagine geometrică" sunt noțiuni inverse una alteia — se trece de la punct la număr, respectiv de la număr la punct.

Unde se află numerele reale în planul complex? Pe axa orizontală, numită tocmai de aceea axă reală, pentru că partea lor imaginară este nulă. Numerele pur imaginare se află pe axa verticală, iar numărul $0$ în origine.

Cum se vede conjugatul pe desen? Ca o oglindire față de axa reală: $z$ și $\bar{z}$ au aceeași abscisă și ordonate opuse. Împreună cu $-z$ (simetric față de origine) și $-\bar{z}$ (simetric față de axa imaginară), cele patru puncte formează un dreptunghi cu centrul în origine.

Ce figură descrie condiția $|z|=r$? Un cerc cu centrul în origine și raza $r$, pentru că modulul este distanța până la origine. Condiția $|z|\le r$ descrie discul închis, iar $|z|<r$ interiorul cercului, fără frontieră.

Cum aflu în ce cadran se află imaginea unui număr complex? Aduci numărul la forma algebrică $a+bi$ și citești semnele: $a>0$ și $b>0$ înseamnă cadranul I, $a<0$ și $b>0$ cadranul II, $a<0$ și $b<0$ cadranul III, $a>0$ și $b<0$ cadranul IV. Dacă una dintre componente este nulă, imaginea se află pe o axă, nu într-un cadran.