Cum calculez valoarea unui polinom modulo 5?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Polinoame peste un corp

Ce e nou. Un polinom $f=a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$ din $K[X]$ are coeficienții într-un corp $K$ — $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ sau clasele de resturi luate față de un număr prim. Gradul e dat de cea mai înaltă putere al cărei coeficient nu e nul, polinomul nul nu are grad, iar mulțimea $K[X]$ rămâne infinită oricât de mic ar fi $K$.

Calculul. Regulile nu se schimbă; se adaugă un singur gest, acela de a duce fiecare coeficient obținut în clasa lui, de preferat pe parcurs. Peste ${\mathbb{Z}}_p$ doi coeficienți nenuli pot avea suma nulă, așa că un termen poate să dispară cu totul — anularea e un rezultat, nu o greșeală. Un coeficient lăsat nereduse nu e greșit ca număr, dar nu e formă de răspuns.

A treia operație. Înmulțirea cu un scalar trece fiecare coeficient printr-un element al corpului; cât timp scalarul nu e nul, gradul rămâne același, fiindcă doi factori nenuli dintr-un corp nu pot avea produsul zero.

Gradele. La produs se adună, fără excepție. La sumă are loc numai o inegalitate: când gradele coincid, iar coeficienții dominanți se sting unul pe altul, gradul scade, uneori până la o constantă sau chiar la polinomul nul.

De reținut

• în ${\mathbb{Z}}_p$ se reduce fiecare rezultat modulo $p$
• valoarea unui polinom într-o clasă este tot o clasă
• un coeficient poate deveni $\hat{0}$, iar termenul lui dispare

Greșeala tipică

La evaluarea unui polinom în ${\mathbb{Z}}_5$ se lasă rezultatul $37$; valoarea se reduce la clasa ei, $\hat{2}$, fiindcă $37=5\cdot 7+2$.

Exerciții din această mini-lecție

1. În $\mathbb{Q}[X]$, suma $(4X^2-7)+(3X^3+7)$ este:

   • a) $3X^3+4X^2$
   • b) $3X^3+4X^2+14$
   • c) $3X^3+4X^2-14$
   • d) $7X^5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $3X^3+4X^2$

   Adunăm pe coloane, după puteri: la $X^3$ vine numai $3$, la $X^2$ numai $4$, iar termenii liberi dau $-7+7=0$, deci termenul liber dispare. Rezultatul este $3X^3+4X^2$, de gradul $3$. Variantele b) și c) adună, respectiv scad cei doi termeni liberi în loc să-i vadă anulându-se, iar d) adună gradele și coeficienții, ceea ce nu se face nici la sumă, nici la produs.

2. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, rezultatul înmulțirii polinomului $\hat{2}{X}^4+X^3+\hat{2}$ cu scalarul $\hat{2}$ este:

   • a) $\hat{2}{X}^4+\hat{2}{X}^3+\hat{1}$
   • b) $X^4+\hat{2}{X}^3+\hat{1}$
   • c) $X^4+\hat{2}{X}^3+\hat{2}$
   • d) $\hat{2}{X}^4+X^3+\hat{1}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $X^4+\hat{2}{X}^3+\hat{1}$

   Înmulțim fiecare coeficient cu $\hat{2}$ și reducem: $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}=\hat{1}$ la $X^4$, $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}$ la $X^3$, iar la termenul liber $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{1}$. Rezultatul este $X^4+\hat{2}{X}^3+\hat{1}$, tot de gradul $4$, fiindcă scalarul e nenul. Variantele a) și d) lasă neschimbat coeficientul lui $X^4$, iar c) îl lasă neschimbat pe cel liber — semn că înmulțirea nu a fost dusă până la ultimul coeficient.

3. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$ se consideră $f=(m+\hat{2})X^4+X+\hat{1}$, cu $m\in {\mathbb{Z}}_3$. Gradul lui $f$ este egal cu $1$ pentru:

   • a) $m=\hat{0}$
   • b) $m=\hat{1}$
   • c) $m=\hat{2}$
   • d) nicio valoare a lui $m$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $m=\hat{1}$

   Gradul scade la $1$ numai dacă se anulează coeficientul lui $X^4$: condiția $m+\hat{2}=\hat{0}$ dă $m=\hat{1}$, fiindcă $\hat{1}+\hat{2}=\hat{3}=\hat{0}$. Atunci $f=X+\hat{1}$, într-adevăr de gradul $1$. Pentru $m=\hat{0}$ și $m=\hat{2}$ coeficientul dominant este $\hat{2}$, respectiv $\hat{1}$, deci gradul rămâne $4$.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: valoarea unui polinom în Z5 · evaluarea polinomului cu clase de resturi · cât face f de 3 în Z5 · funcția polinomială modulo p