Polinoame peste un corp: formă și operații (M2, științe ale naturii)

Un cititor de coduri de bare citește o secvență de cifre și trebuie să decidă, într-o fracțiune de secundă, dacă a citit-o corect. Metoda pe care o folosește nu e o listă de verificări, ci un calcul cu polinoame — numai că polinoamele acelea nu au coeficienți numere obișnuite, ci clase de resturi, adică numere care „se învârt în cerc" la un anumit prag. Lecția de față, din suplimentul de clasa a XII-a pentru profilul științe ale naturii (M2), face exact pasul care deschide toată această lume: coeficienții unui polinom nu mai sunt neapărat numere reale, ci pot fi luați din orice corp — inclusiv dintr-unul cu trei elemente. Tema se dă la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al II-lea.

Lecția aceasta intră în suplimentul de programă pentru Bacalaureatul M2 2027–2029: polinoamele cu coeficienți într-un corp comutativ sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), pe când programa nouă a clasei a XII-a nu le mai cuprinde. Nu pornim însă de la zero. Din forma algebrică și gradul unui polinom și din operațiile cu polinoame, ambele de clasa a IX-a, ai deja toată mecanica de calcul, cu coeficienți reali. Aici nu o reluăm: o mutăm într-un corp oarecare și cheltuim cuvintele exact pe ce se schimbă.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii forma algebrică a unui polinom cu coeficienți într-un corp $K$ și să recunoști cazurile $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, ${\mathbb{Z}}_2$, ${\mathbb{Z}}_3$.
• Vei ști să decizi când sunt egale două polinoame, comparând coeficient cu coeficient, și de ce comparația se face după reducere.
• Vei ști să aduni și să scazi polinoame cu coeficienți clase de resturi, fără să pierzi termenii care se anulează.
• Vei ști să înmulțești un polinom cu un scalar — a treia operație cerută de programa de examen — și să spui ce se întâmplă cu gradul.
• Vei ști să înmulțești două polinoame peste un corp, reducând fiecare coeficient pe măsură ce îl obții.
• Vei ști să prevezi gradul sumei și gradul produsului și să dai cazul de margine în care gradul sumei scade.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „polinom cu coeficienți într-un corp"?

Începe de la ce ai deja. Un polinom cu coeficienți reali se scrie $f=a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$: o listă finită de numere, fiecare lipit de o putere a nedeterminatei $X$. Singurul lucru pe care l-am folosit vreodată despre acele numere este că se pot aduna și înmulți după regulile obișnuite, iar cele nenule se pot și inversa. Or, exact aceste trei lucruri le are, prin definiție, orice corp.

Un polinom cu coeficienți în corpul comutativ $K$ este o expresie de forma $f=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$, în care $n$ este un număr natural, iar toți coeficienții $a_0,a_1,\dots ,a_n$ aparțin lui $K$; mulțimea tuturor acestor expresii se notează $K[X]$. Când $a_n$ nu este elementul nul al corpului ($0$ în $\mathbb{Q}$ și $\mathbb{R}$, $\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_p$), numărul $n$ se numește gradul lui $f$ și se scrie $\mathrm{grad}f$, iar $a_n$ este coeficientul dominant; iar când coeficientul dominant este elementul unitate ($1$, respectiv $\hat{1}$) spunem despre polinom că e monic. Despre polinomul nul nu se vorbește ca având un grad.

Scrierea e tot cea din clasa a IX-a: nedeterminata cu literă mare, polinoame notate $f$, $g$, $h$, iar $a_0$ numit termen liber. Ce e nou e doar de unde vin coeficienții:

Ultimele două rânduri sunt noutatea. Clasele de resturi modulo un număr prim $p$ formează un corp — faptul acesta se stabilește la corpuri numerice și clase modulo $p$ — iar corpul acela are doar $p$ elemente. Reține de pe acum o deosebire care surprinde: oricât de mic ar fi $K$, mulțimea $K[X]$ rămâne infinită, fiindcă gradele pot crește oricât.

2. Ce se schimbă, concret, când coeficienții sunt clase?

Un singur lucru: fiecare coeficient obținut se aduce, imediat, în mulțimea celor $p$ clase. Regulile de calcul rămân neatinse.

Ia $g=X+\hat{2}$ și $h=\hat{2}{X}^2+\hat{1}$, amândouă din ${\mathbb{Z}}_3[X]$, și desfă produsul termen cu termen, exact ca la clasa a IX-a. Obții patru bucăți: $X\cdot \hat{2}{X}^2=\hat{2}{X}^3$, apoi $X\cdot \hat{1}=X$, apoi $\hat{2}\cdot \hat{2}{X}^2=\hat{4}{X}^2$ și, în fine, $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}$. Aici intervine reducerea: $\hat{4}=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_3$, pentru că $4$ și $1$ dau același rest la împărțirea cu $3$. Adunând bucățile:

$$(X+\hat{2})(\hat{2}{X}^2+\hat{1})=\hat{2}{X}^3+X^2+X+\hat{2}.$$

Observă cât de puțin s-a schimbat față de calculul cu numere: aceeași desfacere, aceeași grupare după puteri, doar că la sfârșit fiecare coeficient a fost adus în mulțimea $\{\hat{0},\hat{1},\hat{2}\}$. Sfatul practic, pe care îl vei folosi la fiecare exercițiu: redu pe parcurs, nu la final. Dacă lași $\hat{4}$, $\hat{6}$, $\hat{9}$ nereduse până la ultimul rând, numerele cresc și odată cu ele crește și numărul de ocazii de a greși.

3. Când sunt egale două polinoame?

Răspunsul e cel știut, dar merită spus apăsat, pentru că peste clase are un colț ascuțit: două polinoame sunt egale exact atunci când au același grad și coeficienții lor coincid, putere cu putere. Egalitatea nu se verifică pe valori, ci pe lista de coeficienți.

Colțul ascuțit e acesta: „coincid" înseamnă coincid ca elemente ale lui $K$, deci după reducere. În ${\mathbb{Z}}_3$, un coeficient scris $\hat{5}$ și unul scris $\hat{2}$ sunt același coeficient, iar un coeficient scris $\hat{6}$ este chiar $\hat{0}$, adică termenul lipsește. De aceea forma pe care o dai unui răspuns este întotdeauna cea redusă, cu coeficienți din $\{\hat{0},\hat{1},\dots ,\widehat{p-1}\}$.

Ia întrebarea în forma cu parametru, așa cum apare la examen: se dau două polinoame din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ care diferă printr-un singur coeficient, iar unul dintre ele îl conține pe $m$; se cere valoarea lui $m$ pentru care cele două sunt egale. Drumul e scurt și e mereu același: compari coeficienții puterii în care stă parametrul, scrii condiția obținută și abia apoi o rezolvi în corp; ceilalți coeficienți, dacă deja coincid, nu mai cer nimic. Regula de redactare: condiția se scrie înaintea valorii, nu se deduce la sfârșit.

4. Cum se adună și cum se scade?

Coeficient cu coeficient, ca la clasa a IX-a. Ce trebuie urmărit e că peste un corp finit doi coeficienți nenuli pot avea suma nulă, deci un termen poate să dispară cu totul — situație fără corespondent când numerele sunt pozitive.

Fie, în ${\mathbb{Z}}_3[X]$, polinoamele

$$f=\hat{2}{X}^3+\hat{2}{X}^2+X+\hat{2},g=X^2+X+\hat{1}.$$

Pentru sumă, aduni pe coloane: la $X^3$ rămâne $\hat{2}$, fiindcă $g$ nu are termen de gradul al treilea; la $X^2$ ai $\hat{2}+\hat{1}=\hat{3}=\hat{0}$, deci termenul dispare; la $X$ ai $\hat{1}+\hat{1}=\hat{2}$; termenii liberi dau $\hat{2}+\hat{1}=\hat{3}=\hat{0}$, deci dispare și el. Așadar

$$f+g=\hat{2}{X}^3+\hat{2}X.$$

Pentru diferență, scazi adunând opusul, calculat în corp: în ${\mathbb{Z}}_3$ avem $-\hat{1}=\hat{2}$ și $-\hat{2}=\hat{1}$. La $X^2$ obții $\hat{2}-\hat{1}=\hat{2}+\hat{2}=\hat{4}=\hat{1}$; la $X$ obții $\hat{1}-\hat{1}=\hat{0}$, deci un termen dispare și aici; termenul liber devine $\hat{2}-\hat{1}=\hat{2}+\hat{2}=\hat{1}$:

$$f-g=\hat{2}{X}^3+X^2+\hat{1}.$$

Un caz care merită văzut o dată: în ${\mathbb{Z}}_2$, scăderea este adunarea, fiindcă $-\hat{1}=\hat{1}$. Acolo $f-g$ și $f+g$ sunt același polinom, iar $f+f$ este polinomul nul, oricare ar fi $f$. Nu e o curiozitate fără urmări: pe ea se sprijină toate schemele de control al erorilor care lucrează cu biți.

5. Ce înseamnă înmulțirea unui polinom cu un scalar?

Programa de examen cere, la acest capitol, trei operații: adunarea, înmulțirea și înmulțirea cu un scalar. A treia e cea mai simplă și e ușor de trecut cu vederea tocmai de aceea.

Un scalar este un element al corpului $K$, iar produsul dintre scalarul $\alpha$ și polinomul $f$ este polinomul $\alpha f$ obținut înmulțind fiecare coeficient al lui $f$ cu $\alpha$. Cu $\alpha =\hat{2}$ și $f=X^3+\hat{2}{X}^2$ în ${\mathbb{Z}}_3[X]$ obții, coeficient cu coeficient, $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}$ și $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{1}$:

$$\hat{2}f=\hat{2}{X}^3+X^2.$$

Două observații care se cer reținute. Prima: cât timp $\alpha \ne 0$, gradul nu se schimbă, pentru că într-un corp produsul dintre un scalar nenul și coeficientul dominant nenul este tot nenul — dacă ar fi zero, înmulțind cu inversul lui $\alpha$ am obține că însuși coeficientul dominant e zero. A doua: înmulțirea cu un scalar este un caz particular al înmulțirii a două polinoame, acela în care unul dintre factori are gradul zero; o tratăm separat fiindcă apare tot timpul și fiindcă se face dintr-o privire.

În ${\mathbb{Z}}_2$ operația aceasta este de-a dreptul goală: scalarii sunt doar $\hat{0}$ și $\hat{1}$, deci $\alpha f$ este fie polinomul nul, fie chiar $f$. Merită spus, ca să nu cauți acolo un calcul care nu există.

6. Cum se înmulțesc două polinoame peste un corp?

Schema e cea din clasa a IX-a și nu se schimbă: fiecare termen al primului înmulțit cu fiecare termen al celui de-al doilea; bucățile se strâng pe coloane, după puteri, iar coeficientul fiecărei coloane se aduce la clasa lui. Pe litere, coeficientul lui $X^m$ în produsul $fg$ se obține adunând toate produsele $a_i{b}_j$ pentru care $i+j=m$ — adică „mergi pe diagonală".

Ca să nu pierzi termeni, folosește ordinea: scrie întâi toate produsele de puteri, apoi adună pe fiecare coloană, abia apoi redu. La un polinom de gradul al doilea înmulțit cu unul de gradul întâi ai șase produse parțiale și patru coloane; numără-le înainte de a aduna — dacă îți ies mai puține, ai sărit un termen.

Aici se ascunde și greșeala pe care o face mai toată lumea la prima întâlnire cu clasele: se calculează corect toate produsele, dar se uită reducerea unuia singur. Rezultatul arată aproape bine și tocmai de aceea trece neobservat. Reflexul care te scapă: niciun coeficient al unui răspuns final nu are voie să fie scris în afara mulțimii $\{\hat{0},\hat{1},\dots ,\widehat{p-1}\}$.

7. Ce se întâmplă cu gradul?

Două reguli, una fermă și una elastică.

La produs, gradele se adună: dacă $f$ și $g$ sunt nenule, atunci $\mathrm{grad}(fg)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g$. Motivul se vede într-un rând: singurul loc din care poate veni un termen de grad $n+m$ este produsul celor doi coeficienți dominanți, iar acel produs este nenul — dacă ar fi zero, înmulțind cu inversul primului dintre ei am obține că al doilea este zero, ceea ce contrazice ipoteza. Aici se folosește, și e singurul loc din lecție unde se folosește, faptul că $K$ este corp: într-un corp orice element nenul are invers.

La sumă, egalitatea nu mai e garantată, ci doar inegalitatea $\mathrm{grad}(f+g)\le \max (\mathrm{grad}f,\mathrm{grad}g)$. Cazul de margine îl ai chiar sub ochi: dacă cele două polinoame au același grad și coeficienții lor dominanți se anulează reciproc, gradul sumei scade. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, două polinoame de gradul al treilea cu coeficienții dominanți $\hat{1}$ și $\hat{2}$ dau o sumă de grad cel mult $2$, fiindcă $\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$. Scăderea poate merge oricât de departe: dacă $g=-f$, suma este polinomul nul, care nici măcar nu are grad.

8. Ce se cere efectiv la examenul M2 din materia aceasta?

Merită făcută o distincție de calendar, pentru că cele două generații de elevi dau examene diferite. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen — cea din 2014 — conține, la elemente de algebră, capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ", iar primul lui rând este chiar „Forma algebrică a unui polinom, operații (adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar)". Corpurile numite acolo sunt $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ și ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim — de aceea lecția lucrează cu clase de resturi, nu doar cu numere.

Cât despre locul din probă, sursa cea mai apropiată este modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii. Acolo se scrie că toate subiectele sunt obligatorii, că se acordă zece puncte din oficiu și că timpul de lucru este de trei ore; cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte. Subiectul al II-lea are două probleme: prima este un calcul cu matrice și determinanți, a doua este despre un polinom. Sistemele de ecuații și structurile algebrice nu apar în acel model; pe amândouă le cere programa de examen din 2014. Cerințele din lecție sunt construite pe rândul de programă de mai sus, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Elevii care intră în clasa a XII-a pe programa nouă nu mai au acest capitol la clasă; pentru ei, polinoamele stau în clasa a IX-a, cu coeficienți reali.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Gradul, discutat după un parametru

Se consideră $f=(m+\hat{1})X^3+(\hat{2}m+\hat{1})X^2+X+\hat{1}$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$, cu $m\in {\mathbb{Z}}_3$. Determină gradul lui $f$, discutând după $m$.

Rezolvare. Ne uităm de sus în jos și ne oprim la primul coeficient nenul. Coeficientul lui $X^3$ este $m+\hat{1}$ și se anulează exact pentru $m=\hat{2}$, fiindcă $\hat{2}+\hat{1}=\hat{3}=\hat{0}$.

Pentru $m\in \{\hat{0},\hat{1}\}$ coeficientul dominant este nenul, deci $\mathrm{grad}f=3$.

Pentru $m=\hat{2}$ polinomul începe de la gradul al doilea, iar coeficientul de acolo este $\hat{2}\cdot \hat{2}+\hat{1}=\hat{4}+\hat{1}=\hat{1}+\hat{1}=\hat{2}$, deci nenul. Atunci $f=\hat{2}{X}^2+X+\hat{1}$ și $\mathrm{grad}f=2$.

Răspuns: gradul este $3$ pentru $m\in \{\hat{0},\hat{1}\}$ și $2$ pentru $m=\hat{2}$. Observă că nu există valoare a lui $m$ pentru care ambii coeficienți să se anuleze: primul cere $m=\hat{2}$, al doilea ar cere $\hat{2}m=\hat{2}$, adică $m=\hat{1}$.

Exemplul 2 — Adunare și scădere peste $\mathbb{Q}$

Se consideră $f=6X^2-9$ și $g=-7X+4$ din $\mathbb{Q}[X]$. Calculează $f+g$ și $f-g$ și precizează gradul fiecăruia.

Rezolvare. Adunăm pe coloane: la $X^2$ rămâne $6$, la $X$ vine numai $-7$, iar termenii liberi dau $-9+4=-5$. Deci $f+g=6X^2-7X-5$, de gradul al doilea.

Pentru diferență schimbăm semnele lui $g$: $f-g=6X^2+7X-13$, tot de gradul al doilea. Aici gradul nu putea să scadă, pentru că numai unul dintre polinoame are termen de gradul al doilea — cazul de margine din secțiunea 7 cere ca ambele să aibă același grad.

Exemplul 3 — Înmulțirea cu un scalar, în două corpuri

a) În $\mathbb{Q}[X]$, calculează $\frac{2}{3}h$ pentru $h=9X^2-6X+12$.

b) În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, calculează $\hat{2}u$ pentru $u=\hat{2}{X}^2+X+\hat{2}$.

Rezolvare. a) Înmulțim fiecare coeficient: $\frac{2}{3}\cdot 9=6$, $\frac{2}{3}\cdot (-6)=-4$, $\frac{2}{3}\cdot 12=8$. Deci $\frac{2}{3}h=6X^2-4X+8$. Gradul a rămas $2$, cum era de așteptat pentru un scalar nenul.

b) La fel, dar cu reducere: $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}=\hat{1}$, $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}$, $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{1}$. Deci $\hat{2}u=X^2+\hat{2}X+\hat{1}$, tot de gradul al doilea. Observă că toți coeficienții s-au schimbat, deși gradul nu.

Exemplul 4 — Un produs în ${\mathbb{Z}}_3[X]$

Calculează $(\hat{2}X+\hat{2})(X^2+\hat{2})$ în ${\mathbb{Z}}_3[X]$ și verifică formula gradului.

Rezolvare. Desfacem, termen cu termen: $\hat{2}X\cdot X^2=\hat{2}{X}^3$; $\hat{2}X\cdot \hat{2}=\hat{4}X=X$; $\hat{2}\cdot X^2=\hat{2}{X}^2$; $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}=\hat{1}$. Nu există coloane de adunat, fiindcă cele patru puteri sunt diferite:

$$(\hat{2}X+\hat{2})(X^2+\hat{2})=\hat{2}{X}^3+\hat{2}{X}^2+X+\hat{1}.$$

Formula gradului: $1+2=3$, iar produsul are într-adevăr gradul $3$. Coeficientul dominant al rezultatului este $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}$, adică exact produsul coeficienților dominanți.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev a calculat, în ${\mathbb{Z}}_3[X]$, produsul $(\hat{2}X+\hat{1})(X+\hat{2})$ și a scris:

„$\hat{2}X\cdot X=\hat{2}{X}^2$; $\hat{2}X\cdot \hat{2}=\hat{4}X$; $\hat{1}\cdot X=X$; $\hat{1}\cdot \hat{2}=\hat{2}$. Deci produsul este $\hat{2}{X}^2+\hat{5}X+\hat{2}$."

Găsește greșeala și scrie răspunsul corect.

Rezolvare. Toate cele patru produse parțiale sunt corecte; greșeala e că niciunul dintre coeficienții adunați nu a fost redus. Pe coloana lui $X$ avem $\hat{4}X+X$; reducem întâi $\hat{4}=\hat{1}$, apoi adunăm: $\hat{1}+\hat{1}=\hat{2}$. Scrierea $\hat{5}X$ nu e greșită ca număr — $\hat{5}=\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_3$ —, dar nu e o formă de răspuns: un răspuns final are coeficienții în $\{\hat{0},\hat{1},\hat{2}\}$. Produsul corect scris este

$$(\hat{2}X+\hat{1})(X+\hat{2})=\hat{2}{X}^2+\hat{2}X+\hat{2}.$$

Reține tiparul: greșeala nu a fost de calcul, ci de formă a răspunsului, iar ea se strecoară exact acolo unde coeficientul obținut e mai mare decât modulul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră polinoamele $f=\hat{2}{X}^2+\hat{2}X+\hat{2}$ și $g=\hat{2}{X}^2+\hat{1}$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$.

a) Calculează $f+g$ și $f-g$.

b) Calculează $\hat{2}g$ și precizează gradul rezultatului.

c) Determină $n\in {\mathbb{Z}}_3$ pentru care polinomul $h=\hat{2}{X}^2+nX+\hat{2}$ este egal cu $f$.

Rezolvare. a) La $X^2$: $\hat{2}+\hat{2}=\hat{4}=\hat{1}$. La $X$: numai $f$ are termen, deci $\hat{2}$. Termen liber: $\hat{2}+\hat{1}=\hat{3}=\hat{0}$, deci dispare. Așadar $f+g=X^2+\hat{2}X$.

Pentru diferență: la $X^2$ avem $\hat{2}-\hat{2}=\hat{0}$, deci termenul de gradul al doilea dispare; la $X$ rămâne $\hat{2}$; termenul liber este $\hat{2}-\hat{1}=\hat{1}$. Așadar $f-g=\hat{2}X+\hat{1}$, un polinom de gradul întâi — exemplul cel mai scurt de scădere a gradului.

b) $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{1}$ și $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}$, deci $\hat{2}g=X^2+\hat{2}$, de gradul al doilea. Gradul nu s-a schimbat, pentru că scalarul este nenul.

c) Egalitatea a două polinoame înseamnă coeficienți egali, putere cu putere. Coeficienții lui $X^2$ coincid deja ($\hat{2}=\hat{2}$), la fel și termenii liberi ($\hat{2}=\hat{2}$), deci rămâne condiția $n=\hat{2}$.

Să exersăm

La fiecare calcul peste ${\mathbb{Z}}_p$, redu fiecare coeficient înainte de a scrie rezultatul și verifică la final gradul obținut.

1. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, scrie coeficientul dominant, termenul liber și gradul polinomului $\hat{2}{X}^3+X^2+\hat{2}$.

2. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, calculează $(\hat{2}{X}^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}X)+(\hat{2}{X}^2+\hat{2})$.

3. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, calculează $(\hat{2}{X}^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}X+\hat{1})-(X^2+X)$.

4. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) În $\mathbb{Q}[X]$, calculează $(2X-7)(X^2+6)$ și precizează gradul rezultatului.

5. În $\mathbb{Q}[X]$, calculează $(X^2-11X+8)\cdot (-6X+3)$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, dacă $f$ și $g$ au gradul al doilea, iar suma lor este nenulă, atunci suma are gradul cel puțin $1$."

7. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, calculează $\hat{2}f$ pentru $f=\hat{2}{X}^3+\hat{2}X+\hat{1}$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, calculează $X\cdot (\hat{2}{X}^2+X+\hat{1})$ și precizează gradul rezultatului.

9. În $\mathbb{Q}[X]$, calculează $\frac{3}{5}h$ pentru $h=10X^2-15X+20$.

10. Determină $m\in {\mathbb{Z}}_3$ pentru care polinoamele $m{X}^2+\hat{2}X$ și $X^2+\hat{2}X$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ sunt egale.

11. (Problemă aplicată.) Concentrația, în miligrame pe litru, a unui reactant este descrisă de $c(t)=8t^2-21t+30$, iar cea a unui al doilea reactant de $d(t)=-6t^2+9t+32$, cu $t$ timpul în minute, $t\in [0,3]$. Scrie polinomul care dă concentrația totală și precizează-i gradul.

12. În ${\mathbb{Z}}_2[X]$, calculează $f+f$ pentru $f=X^3+X^2$ și explică rezultatul.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În ${\mathbb{Z}}_3[X]$ există un polinom $f$ de gradul al doilea pentru care $\hat{2}f=f$."

14. În $\mathbb{Q}[X]$, calculează $(3X+8)(X^2-6)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f=\hat{2}{X}^3+\hat{2}{X}^2+\hat{1}$ și $g=X^2+\hat{1}$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$. a) Calculează $f+g$. b) Calculează $\hat{2}f$. c) Precizează gradul lui $f+g$ și pe cel al lui $\hat{2}f$.

16. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, determină $n\in {\mathbb{Z}}_3$ astfel încât suma polinoamelor $n{X}^3+X$ și $X^3+\hat{2}$ să aibă gradul cel mult $1$.

17. Explică, în două-trei fraze, de ce înmulțirea cu un scalar nenul nu schimbă gradul unui polinom, oricare ar fi corpul coeficienților.

18. (Provocare.) În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, determină toate perechile $(\alpha ,\beta )$ de elemente din ${\mathbb{Z}}_3$ pentru care $\alpha \cdot (X^2+\hat{2})+\beta \cdot (\hat{2}{X}^2+X)=\hat{2}X+\hat{1}$.

Răspunsuri și explicații

1. Coeficientul dominant este $\hat{2}$, termenul liber este $\hat{2}$, iar gradul este $3$. Coeficientul lui $X$ este $\hat{0}$ — termenul lipsește, dar gradul se citește de la puterea cea mai mare cu coeficient nenul.

2. La $X^3$ rămâne $\hat{2}$; la $X^2$ avem $\hat{2}+\hat{2}=\hat{1}$; la $X$ rămâne $\hat{2}$; termenul liber este $\hat{2}$. Rezultatul este $\hat{2}{X}^3+X^2+\hat{2}X+\hat{2}$.

3. Scădem coeficient cu coeficient: la $X^3$ rămâne $\hat{2}$; la $X^2$ avem $\hat{2}-\hat{1}=\hat{1}$; la $X$ avem $\hat{2}-\hat{1}=\hat{1}$; termenul liber rămâne $\hat{1}$, fiindcă al doilea polinom nu are termen liber. Rezultatul este $\hat{2}{X}^3+X^2+X+\hat{1}$.

4. Desfacem: $2X\cdot X^2=2X^3$, $2X\cdot 6=12X$, $-7\cdot X^2=-7X^2$, $-7\cdot 6=-42$. Nu avem coloane de adunat, deci rezultatul este $2X^3-7X^2+12X-42$, de gradul $3=1+2$.

5. Desfacem: $-6X^3+3X^2+66X^2-33X-48X+24$. Adunând pe coloane, $3+66=69$ și $-33-48=-81$, deci rezultatul este $-6X^3+69X^2-81X+24$, de gradul $3$.

6. Fals. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$ coloanele se anulează una câte una, independent una de alta: dacă se anulează și cea a lui $X^2$, și cea a lui $X$, dar termenul liber nu, suma rămâne o constantă nenulă, adică un polinom de gradul $0$. Contraexemplu: $f=\hat{2}{X}^2+\hat{2}X$ și $g=X^2+X+\hat{2}$ au amândouă gradul $2$, iar $f+g=\hat{2}$. Secțiunea 7 dă marginea de sus, „cel mult", și cazul extrem în care suma e chiar polinomul nul; cazul din mijloc — o constantă nenulă — se construiește, anulând două coloane și lăsând-o pe a treia.

7. Înmulțim fiecare coeficient cu $\hat{2}$: $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{1}$, $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{1}$, $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}$. Rezultatul este $X^3+X+\hat{2}$, tot de gradul $3$.

8. Înmulțirea cu $X$ ridică fiecare putere cu o unitate, fără să schimbe coeficienții: $\hat{2}{X}^3+X^2+X$. Gradul este $3=1+2$.

9. $\frac{3}{5}\cdot 10=6$, $\frac{3}{5}\cdot (-15)=-9$, $\frac{3}{5}\cdot 20=12$, deci $\frac{3}{5}h=6X^2-9X+12$.

10. Comparăm coeficienții: cei ai lui $X$ coincid, iar din egalitatea coeficienților lui $X^2$ rezultă $m=\hat{1}$.

11. Concentrația totală este $c(t)+d(t)=2t^2-12t+62$ miligrame pe litru, un polinom de gradul al doilea. Coeficienții lui $t^2$ nu s-au anulat ($8-6=2$), deci gradul s-a păstrat. Toate cele trei mărimi rămân pozitive pe tot intervalul $[0,3]$, cum se cuvine unor concentrații: cea mai mică valoare a lui $d$ se atinge la capătul din dreapta, $d(3)=-54+27+32=5$ mg/L, iar suma dă acolo $18-36+62=44$ mg/L.

12. În ${\mathbb{Z}}_2$ avem $\hat{1}+\hat{1}=\hat{0}$, deci fiecare coeficient se anulează cu el însuși: $f+f$ este polinomul nul. Consecința: acolo scăderea și adunarea sunt aceeași operație, iar $-f=f$.

13. Fals. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, egalitatea $\hat{2}f=f$ se citește pe coeficienți: $\hat{2}{a}_k=a_k$ pentru fiecare $k$. Scăzând, rămâne $(\hat{2}-\hat{1})a_k=a_k=\hat{0}$, fiindcă $\hat{2}-\hat{1}=\hat{1}$. Toți coeficienții ar fi deci nuli, adică $f$ ar fi polinomul nul — care nu are grad, cu atât mai puțin gradul al doilea.

14. Produsele parțiale sunt $3X^3$, $-18X$, $8X^2$ și $-48$. Nu există coloane de adunat, deci rezultatul este $3X^3+8X^2-18X-48$, de gradul $3$.

15. a) La $X^3$ rămâne $\hat{2}$; la $X^2$, $\hat{2}+\hat{1}=\hat{0}$, deci termenul dispare; niciunul dintre polinoame nu are termen de gradul întâi; termenul liber este $\hat{1}+\hat{1}=\hat{2}$. Deci $f+g=\hat{2}{X}^3+\hat{2}$. b) Înmulțim fiecare coeficient cu $\hat{2}$: $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{1}$ la $X^3$ și la $X^2$, iar $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}$ la termenul liber, deci $\hat{2}f=X^3+X^2+\hat{2}$. c) Amândouă au gradul $3$: la sumă, pentru că numai $f$ are termen de gradul al treilea, iar la produsul cu scalarul, pentru că scalarul e nenul.

16. Suma este $(n+\hat{1})X^3+X+\hat{2}$. Ca gradul să fie cel mult $1$, coeficientul lui $X^3$ trebuie să fie nul: $n+\hat{1}=\hat{0}$, deci $n=\hat{2}$. Atunci suma este $X+\hat{2}$, într-adevăr de gradul întâi.

17. Pentru că gradul se citește de la coeficientul dominant, iar acesta se înmulțește cu scalarul. Într-un corp, produsul a două elemente nenule este nenul: dacă $\alpha a_n=0$ cu $\alpha \ne 0$, atunci, înmulțind cu inversul lui $\alpha$, obținem $a_n=0$. Deci noul coeficient dominant rămâne nenul, pe aceeași poziție.

18. Coeficientul lui $X^2$ în membrul stâng este $\alpha +\hat{2}\beta$, cel al lui $X$ este $\beta$, iar termenul liber este $\hat{2}\alpha$. Comparând cu $\hat{2}X+\hat{1}$ obținem trei condiții: $\alpha +\hat{2}\beta =\hat{0}$, $\beta =\hat{2}$ și $\hat{2}\alpha =\hat{1}$. Din a treia, înmulțind cu $\hat{2}$, rezultă $\alpha =\hat{2}$; a doua dă $\beta =\hat{2}$; verificăm prima: $\hat{2}+\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{2}+\hat{1}=\hat{0}$ ✓. Singura pereche este $(\hat{2},\hat{2})$.

De reținut

• Un polinom cu coeficienți în corpul $K$ are forma $a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$ cu toți $a_k\in K$; gradul se citește de la cea mai mare putere cu coeficient nenul, iar polinomul nul nu are grad.
• Două polinoame sunt egale exact când coeficienții lor coincid, putere cu putere, după reducere — nu când iau aceleași valori.
• Peste ${\mathbb{Z}}_p$, regulile de calcul sunt cele știute, cu o singură adăugire: fiecare coeficient obținut se reduce, de preferat pe parcurs; de aceea un termen poate să dispară, cum se întâmplă când $\hat{2}+\hat{1}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_3$.
• Înmulțirea cu un scalar înseamnă înmulțirea fiecărui coeficient cu acel element al corpului; pentru un scalar nenul, gradul rămâne neschimbat.
• La produs gradele se adună, iar la sumă are loc numai $\mathrm{grad}(f+g)\le \max (\mathrm{grad}f,\mathrm{grad}g)$, cu scădere atunci când coeficienții dominanți se anulează reciproc.

Greșeli frecvente

• Coeficientul lăsat neredus la răspunsul final. Se scrie $\hat{5}X$ sau $\hat{4}{X}^2$ și se consideră încheiat calculul. Numărul e corect, forma nu: într-un răspuns din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ coeficienții sunt $\hat{0}$, $\hat{1}$ sau $\hat{2}$. Verifică ultimul rând, coeficient cu coeficient, înainte de a trage linia.
• Termenul dispărut, luat drept termen uitat. Când pe o coloană iese $\hat{0}$, termenul chiar nu mai există în rezultat; elevul se întoarce și-l recalculează, crezând că a greșit. Anularea e un rezultat, nu o eroare.
• Opusul calculat cu semnul minus scris în față. În ${\mathbb{Z}}_3$, opusul lui $\hat{1}$ este $\hat{2}$, nu „$-\hat{1}$" lăsat așa. Scade întotdeauna adunând opusul deja redus, altfel te trezești cu clase scrise cu minus în răspuns.
• Gradul sumei presupus egal cu cel mai mare dintre grade. E adevărat de cele mai multe ori, dar nu întotdeauna: dacă cele două polinoame au același grad, coeficienții dominanți se pot anula. Verifică întâi acea coloană, apoi scrie gradul.
• Reducerea făcută abia la sfârșit. Nu e greșită, dar înmulțește riscul: cu $\hat{9}$, $\widehat{12}$ și $\widehat{16}$ pe hârtie, o adunare greșită trece neobservată. Redu la fiecare pas și lucrezi tot timpul cu trei numere.

Aplică acasă

1. Cele nouă produse. Scrie toate cele șase polinoame de gradul întâi din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ și alege trei dintre ele. Înmulțește fiecare pereche ordonată, cu repetiție — de aceea ies nouă produse —, și notează, pentru fiecare, gradul obținut. Verifică pe listă că gradul a fost de fiecare dată $2$ și explică, în două rânduri, de ce nu putea fi altul.

2. Același polinom, alt corp. Ia expresia $X^2+4X+6$ și citește-o pe rând ca polinom din $\mathbb{Q}[X]$, apoi din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ și din ${\mathbb{Z}}_2[X]$, reducând coeficienții. Scrie cele trei forme una sub alta și notează ce termeni dispar în fiecare caz. Vei vedea că același șir de coeficienți poate da polinoame de grade diferite.

3. Un model din laborator, adunat. Caută în manualul de chimie sau de biologie două mărimi descrise prin polinoame de gradul al doilea în aceeași variabilă, cu aceeași unitate de măsură. Scrie polinomul sumei și pe cel al diferenței, notează gradul fiecăruia și spune ce mărime fizică reprezintă fiecare. Verifică dacă diferența are sens pe tot intervalul de timp al modelului.

Pentru părinți și profesori

Lecția face o singură trecere, dar una importantă: de la „polinom cu coeficienți numere" la „polinom cu coeficienți într-un corp". Mecanica de calcul e cea din clasa a IX-a și nu trebuie reînvățată; ce se cere în plus este disciplina reducerii și înțelegerea faptului că un termen poate dispărea. Pentru un elev de la științe ale naturii, partea cea mai utilă e chiar aceasta: un calcul care arată identic, dar se face într-o mulțime cu trei elemente, e prima ocazie de a vedea că regulile de algebră nu depind de natura numerelor, ci de proprietățile operațiilor.

De urmărit în caiet: (1) fiecare coeficient al răspunsului final este redus; (2) la discuția de grad cu parametru sunt parcurse toate cazurile, nu doar cel „principal"; (3) la scădere se folosește opusul redus, nu semnul minus lăsat în față; (4) la produs, numărul de produse parțiale este numărat înainte de adunare. Întrebări de control: „Când sunt egale două polinoame?"; „De ce poate scădea gradul la sumă, dar nu la produs?"; „Ce înseamnă înmulțirea cu un scalar și ce face ea cu gradul?"; „Câte polinoame de gradul întâi există în ${\mathbb{Z}}_3[X]$?". Semn că elevul a înțeles: reduce pe parcurs, nu la sfârșit, și nu se sperie când o coloană dă zero.

Programa și examenul. Lecția aceasta intră în suplimentul de programă pentru Bacalaureat M2 2027–2029: polinoamele cu coeficienți într-un corp comutativ sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), la capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ", pe când programa nouă a clasei a XII-a (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu le mai cuprinde. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare la Subiectul al II-lea. Pentru generația care intră pe programa nouă, polinoamele se studiază la clasa a IX-a, cu coeficienți reali, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) ele sunt în domeniul Algebră. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă un polinom cu coeficienți într-un corp?

Înseamnă că numerele care înmulțesc puterile nedeterminatei nu mai sunt neapărat reale, ci sunt luate dintr-o mulțime $K$ în care se poate aduna, înmulți și în care orice element nenul are invers. Corpurile folosite la acest capitol sunt $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ și ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim. Mulțimea tuturor acestor polinoame se notează $K[X]$ și rămâne infinită, oricât de mic ar fi $K$.

Cum se adună și se înmulțesc polinoame cu coeficienți clase de resturi?

Exact ca peste numerele reale, cu o singură adăugire: fiecare coeficient obținut se reduce modulo $p$. La adunare se lucrează pe coloane, iar un termen poate să dispară dacă suma coeficienților lui dă $\hat{0}$. La înmulțire se desface fiecare termen cu fiecare, se grupează după puteri și abia apoi se citește rezultatul, cu toți coeficienții reduși.

Ce este înmulțirea unui polinom cu un scalar?

Este operația prin care fiecare coeficient al polinomului se înmulțește cu un element al corpului, numit scalar. Rezultatul are aceleași puteri, dar alți coeficienți. Dacă scalarul este nenul, gradul nu se schimbă, pentru că într-un corp produsul a două elemente nenule rămâne nenul. Programa de examen o numește explicit, alături de adunare și înmulțire.

De ce poate scădea gradul la sumă, dar nu la produs?

Pentru că la sumă coeficienții dominanți se adună și se pot anula reciproc — în ${\mathbb{Z}}_3$, de pildă, $\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$ —, în timp ce la produs coeficientul de grad maxim este chiar produsul celor doi coeficienți dominanți, iar într-un corp un astfel de produs nu poate fi nul. De aceea la produs are loc egalitate, iar la sumă doar inegalitate.

Când sunt egale două polinoame cu coeficienți clase?

Când au aceiași coeficienți, putere cu putere, comparați după reducere. Scrierile $\hat{5}X$ și $\hat{2}X$ desemnează același termen în ${\mathbb{Z}}_3[X]$, iar un coeficient care se reduce la $\hat{0}$ înseamnă că termenul lipsește. Egalitatea nu se decide comparând valorile celor două polinoame, ci listele lor de coeficienți.

Se dau polinoamele peste un corp și la mate-info (M1)? Ce diferă?

Da, la ambele profiluri, în același supliment de programă pentru sesiunile 2027–2029, dar cu adâncime diferită. La mate-info se studiază și structura mulțimii $K[X]$, elementele ei inversabile și numărarea polinoamelor peste ${\mathbb{Z}}_p$; la științe ale naturii programa cere doar forma algebrică și cele trei operații. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții.

La ce subiect apare tema aceasta la bacalaureatul M2?

La Subiectul al II-lea, cel de algebră: programa de examen din 2014 așază acolo atât structurile algebrice, cât și polinoamele. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, Subiectul al II-lea are două probleme cu câte trei cerințe; cerința de polinoame pornește, în acel model, de la un polinom dat. Continuarea firească a lecției este teorema împărțirii cu rest și schema lui Horner.