Câte primitive trec printr-un punct dat?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Primitiva cu condiție

Rezultatul unui calcul de primitive este o familie, nu o funcție. O informație suplimentară, luată dintr-un punct al intervalului de lucru, reduce familia la un singur element; ea se numește condiție inițială și ia întotdeauna forma unei egalități $F(x_0)=y_0$.

Aceeași informație apare în enunțuri sub trei înfățișări: valoarea primitivei într-un punct, trecerea graficului printr-un punct dat, anularea primitivei într-un punct. Ultima păcălește cel mai ușor — verbul pare să vorbească despre $f$, dar subiectul lui este $F$, funcția care tocmai se construiește. Traducerea în egalitate se așterne pe hârtie înaintea oricărui calcul.

Pașii nu se pot inversa. Se scrie familia, cu constanta de la bun început; se înlocuiește punctul și iese o ecuație de gradul întâi; se scrie, la capăt, funcția. Numărul găsit pentru constantă rămâne un pas de mijloc, iar cine se oprește acolo lasă cerința fără răspuns. Constanta are voie să iasă nulă.

Controlul merge pe două direcții: derivarea readuce funcția din enunț, dar șterge constanta, în timp ce înlocuirea punctului o verifică tocmai pe ea. Unicitatea se explică scurt — două primitive ale aceleiași funcții se deosebesc printr-un număr, iar numărul acela dispare dacă graficele lor au un punct comun. La proba actuală, analiza matematică se cere în Subiectul al III-lea.

De reținut

• fiecare punct al intervalului se află pe graficul unei singure primitive
• pașii: scrii familia cu $c$, impui condiția, scrii funcția întreagă
• proba: derivezi rezultatul și verifici valoarea în punctul dat

Greșeala tipică

Se răspunde cu valoarea constantei, $c=3$, în loc de funcție; cerința este primitiva, deci ultimul rând trebuie să fie $F(x)=2x^3-2x+3$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=8x+3$, cu $F(1)=2$, este:

   • a) $F(x)=4x^2+3x+2$
   • b) $F(x)=4x^2+3x-5$
   • c) $F(x)=4x^2+3x+5$
   • d) $F(x)=4x^2+3x$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $F(x)=4x^2+3x-5$

   Familia primitivelor este $F(x)=4x^2+3x+c$. Din $F(1)=4+3+c=7+c$ și $7+c=2$ rezultă $c=-5$, deci $F(x)=4x^2+3x-5$. Varianta a) ia drept constantă chiar valoarea din condiție, $F(1)=9$; la c) avem $F(1)=12$; la d) constanta lipsește și $F(1)=7$. Nicio altă variantă nu verifică egalitatea cerută.

2. Primitiva funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+1$, care se anulează în punctul $3$, este:

   • a) $F(x)=x^3+x-30$
   • b) $F(x)=x^3+x+30$
   • c) $F(x)=x^3+x-24$
   • d) $F(x)=x^3+x-12$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $F(x)=x^3+x-30$

   „Se anulează în $3$" se traduce prin $F(3)=0$, nu prin $f(3)=0$. Familia este $F(x)=x^3+x+c$, iar $F(3)=27+3+c=30+c$; din $30+c=0$ rezultă $c=-30$. Celelalte trei variante sunt tot primitive ale lui $f$, dar dau în $3$ valorile $60$, $6$ și, respectiv, $18$.

3. Primitiva funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2-4x$, al cărei grafic trece prin punctul $A(-1,5)$, este:

   • a) $F(x)=2x^3-2x^2+5$
   • b) $F(x)=2x^3-2x^2+1$
   • c) $F(x)=2x^3-2x^2+9$
   • d) $F(x)=2x^3-2x^2-9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $F(x)=2x^3-2x^2+9$

   Condiția geometrică se traduce prin $F(-1)=5$. Familia este $F(x)=2x^3-2x^2+c$, iar $F(-1)=-2-2+c=-4+c$; din $-4+c=5$ rezultă $c=9$. Varianta a) ia constanta egală cu ordonata punctului și dă $F(-1)=1$; b) dă $F(-1)=-3$; d) dă $F(-1)=-13$.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: primitiva care trece printr-un punct · câte primitive au graficul printr-un punct · unicitatea primitivei cu condiție · primitiva cu condiție inițială