Primitiva care trece printr-un punct dat (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

O sondă de temperatură lăsată într-un vas, un senzor de presiune montat pe o butelie, o riglă pusă lângă o plantă la începutul experimentului — toate au în comun un gest care pare banal: se notează valoarea de la care se pleacă. Fără ea, măsurătorile de după spun doar cât s-a schimbat mărimea, nu și cât este ea. Matematica din clasa a XII-a de la științe ale naturii (M2) descrie exact această situație: din derivata unei mărimi afli forma funcției, dar nu și poziția ei; poziția o dă o singură informație suplimentară, luată dintr-un punct. E și tiparul de cerință care apare la bacalaureatul M2, la Subiectul al III-lea.

Lecția aceasta arată cum se trece de la familia tuturor primitivelor la una singură, cea cerută de problemă, și cum se scrie răspunsul complet, ca la examen. Cerințele de acest fel se dau la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al III-lea, fiindcă programa de examen conține capitolul de primitive; tema rămâne și în programa nouă, la domeniul Analiză matematică, pentru proba MAT_P2 din 2030. Este și pasul care pregătește unitatea următoare, cea de ecuații diferențiale, unde condiția din enunț va purta chiar numele de condiție inițială.

Ce vei învăța

Vei ști să treci de la mulțimea primitivelor la o primitivă anume, folosind o condiție dată în enunț.
Vei ști să recunoști condiția sub toate formele în care apare: $F (x_{0}) = y_{0}$ , „graficul trece prin punctul $A$ ", „ $F$ se anulează în $x_{0}$ ".
Vei ști de ce, pe un interval, prin fiecare punct trece exact o primitivă, nici mai multe, nici niciuna.
Vei ști să scrii răspunsul complet — funcția, nu doar valoarea constantei — și să faci proba în două verificări.
Vei ști să folosești o condiție luată dintr-un model din științe, cu unitate de măsură la fiecare rezultat.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu ajunge „mulțimea primitivelor"?

Ai văzut, la Mulțimea primitivelor. Integrala nedefinită, că răspunsul unui calcul de primitive nu este o funcție, ci o familie întreagă: dacă $F$ este o primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ , atunci toate primitivele lui $f$ pe $I$ se obțin adunându-i o constantă. Scrierea consacrată este $\int f (x) d x = F (x) + C$ , unde $C$ este mulțimea funcțiilor constante pe $I$ .

Familia aceasta e o binefacere la calcul și o încurcătură la aplicații. Un fizician care vrea să știe presiunea la minutul al zecelea nu poate lucra cu o infinitate de răspunsuri; îi trebuie unul. Iar problema se rezolvă cu o singură informație în plus.

Ia funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{8}{x ^{3}}$ . Primitivele ei sunt funcțiile de forma $- \frac{4}{x ^{2}} + c$ , cu $c$ număr real — se verifică imediat derivând. Cere acum, în plus, ca primitiva căutată să ia în punctul $2$ valoarea $3$ . Înlocuim: $- \frac{4}{2 ^{2}} + c = 3$ , adică $- 1 + c = 3$ , de unde $c = 4$ . Familia infinită s-a redus la o singură funcție, $F (x) = - \frac{4}{x ^{2}} + 4$ , iar ea este răspunsul.

Observă unde s-a făcut saltul: constanta nu a fost aleasă, ci determinată. O ecuație de gradul întâi cu necunoscuta $c$ a hotărât totul.

Condiția inițială este informația suplimentară din enunț — o valoare a primitivei într-un punct al intervalului de lucru — care alege din familie o singură funcție; ea se scrie întotdeauna ca o egalitate de forma $F (x_{0}) = y_{0}$ , cu $x_{0}$ luat din intervalul pe care lucrezi.

2. Câte primitive trec printr-un punct dat?

Exact una — și merită văzut de ce, pentru că același argument explică și de ce cerința are întotdeauna un singur răspuns.

Faptul de la care pornim e cel din lecția anterioară a capitolului: luate pe același interval, oricare două primitive ale lui $f$ se deosebesc doar printr-o constantă. Presupune atunci că $F$ și $G$ , amândouă primitive ale lui $f$ pe intervalul $I$ , trec prin același punct $A (x_{0}, y_{0})$ , adică $F (x_{0}) = y_{0}$ și $G (x_{0}) = y_{0}$ . Diferența lor este o constantă, $F - G = k$ ; calculată în $x_{0}$ , această constantă valorează $y_{0} - y_{0} = 0$ . Deci $k = 0$ , adică $F = G$ peste tot pe $I$ . Cele două primitive nu erau, de fapt, două.

Citirea geometrică e cea care se ține minte: graficele primitivelor unei funcții sunt aceeași curbă, mutată pe verticală. Ele umplu banda de deasupra intervalului fără să se intersecteze vreodată, iar fiecare punct al benzii e atins de o singură curbă din familie. A da o condiție înseamnă a înfige un cui în punctul acela: din toată familia rămâne o singură curbă.

Atenție la ipoteza de care depinde totul: intervalul. Argumentul de mai sus folosește faptul că diferența a două primitive e constantă, iar acesta e adevărat pe un interval, nu pe o mulțime cu puncte scoase. Când domeniul se rupe în bucăți — situație discutată la Ce funcții admit primitive —, fiecare bucată își are constanta ei, deci o singură condiție nu mai ajunge.

3. Sub ce forme apare condiția în enunț?

Aceeași informație e formulată în trei feluri, iar deosebirea dintre ele e numai de limbaj. Merită să le traduci, din reflex, în aceeași egalitate:

Cum sună enunțul	Ce scrii pe hârtie
„primitiva $F$ cu $F (x_{0}) = y_{0}$ "	$F (x_{0}) = y_{0}$
„primitiva al cărei grafic trece prin punctul $A (x_{0}, y_{0})$ "	$F (x_{0}) = y_{0}$
„primitiva care se anulează în $x_{0}$ "	$F (x_{0}) = 0$

A treia formă e cea care păcălește cel mai des, pentru că verbul „se anulează" trimite gândul la funcția $f$ , nu la primitiva ei. Citește-o pe îndelete: cine se anulează este $F$ , funcția pe care tocmai o construiești. Mai apare, ceva mai rar, și o a patra formulare — „primitiva care în $x_{0}$ ia aceeași valoare ca $f$ " —, dar și ea se traduce tot într-o egalitate de acest fel, cu $y_{0}$ calculat înainte din expresia lui $f$ .

Traducerea se face înainte de orice calcul, și merită scrisă pe hârtie chiar dacă pare de prisos. Motivul e practic: după ce ai integrat, atenția e prinsă de expresia obținută, iar enunțul se recitește în grabă. Un rând scris din timp, de felul „condiția este $F (2) = 7$ ", te scutește de singura greșeală care nu se mai repară la sfârșit — aceea de a fi determinat constanta din altă condiție decât cea cerută.

4. În ce ordine se scriu pașii?

Ordinea contează, pentru că fiecare rând sprijină rândul următor. Ia funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{4}{x ^{2}} - 6 x$ , și cerința: determină primitiva $F$ cu $F (1) = 0$ .

Rândul întâi — familia, cu constantă cu tot. Se integrează termen cu termen, folosind liniaritatea: $F (x) = - \frac{4}{x} - 3 x^{2} + c$ . Constanta se scrie de la început; fără ea, rândul următor n-ar avea ce determina.

Rândul al doilea — condiția, transformată în ecuație. Se înlocuiește $x$ cu $1$ : $F (1) = - 4 - 3 + c = - 7 + c$ . Cum enunțul cere $F (1) = 0$ , obținem ecuația $- 7 + c = 0$ .

Rândul al treilea — răspunsul, ca funcție. Din ecuație, $c = 7$ , deci $F (x) = - \frac{4}{x} - 3 x^{2} + 7$ . Aici se termină rezolvarea: răspunsul este o funcție, nu numărul $7$ . Cine se oprește la valoarea constantei a făcut tot calculul și a lăsat cerința fără răspuns.

5. Cum se face proba, în două verificări?

Proba are două jumătăți, iar cele mai multe greșeli scapă tocmai pentru că se face doar una.

Prima jumătate — derivezi înapoi. Pentru funcția obținută mai sus, $(- \frac{4}{x} - 3 x^{2} + 7)^{'} = \frac{4}{x ^{2}} - 6 x$ , adică exact $f$ . Constanta a dispărut la derivare, ceea ce e firesc: derivata oricărei constante este nulă. Prin urmare, această verificare confirmă forma primitivei, dar nu spune nimic despre constantă.

A doua jumătate — reverifici condiția. Înlocuiești în funcția finală: $F (1) = - 4 - 3 + 7 = 0$ , exact cât cerea enunțul. Abia acum răspunsul e controlat pe amândouă direcțiile.

De reținut: o greșeală la calculul primitivei se vede la prima verificare, o greșeală de semn sau de aritmetică la aflarea constantei se vede numai la a doua. Amândouă iau, împreună, mai puțin de un minut.

6. Cum arată o condiție într-un model din științe?

Un pluviometru dintr-o livadă măsoară apa de ploaie adunată într-un vas cilindric. În timpul unei averse care ține cinci ore, intensitatea ploii scade liniar și se modelează prin $r (t) = 6 - t$ , exprimată în milimetri pe oră, unde $t$ este timpul în ore, $0 \leq t \leq 5$ . Modelul e coerent fizic pe acest interval, pentru că $6 - t > 0$ acolo: apa se adună, nu scade. La începutul aversei, vasul arăta deja $40$ de milimetri, rămași de la ploile anterioare.

Cantitatea adunată $h$ este o funcție a cărei derivată este intensitatea ploii, deci $h$ este o primitivă a lui $r$ . Familia este $h (t) = 6 t - \frac{t ^{2}}{2} + c$ , iar condiția $h (0) = 40$ dă direct $c = 40$ . Legea completă este

$h (t) = 6 t - \frac{t ^{2}}{2} + 40 (milimetri), 0 \leq t \leq 5.$

Cu ea se răspunde la orice întrebare a măsurătorii: după patru ore, $h (4) = 24 - 8 + 40 = 56$ de milimetri. Reține două lucruri de redactare: unitatea de măsură se scrie la fiecare rezultat, iar intervalul de valabilitate se declară — dincolo de a cincea oră modelul nu a fost verificat și nu se extrapolează.

7. Ce urmează după lecția aceasta?

Ai lucrat aici cu o egalitate în care se dă derivata unei funcții necunoscute și se cere funcția, plus o valoare care fixează răspunsul. Exact aceasta este structura unei ecuații diferențiale simple, tema unității următoare. Condiția din enunț va purta acolo numele de condiție inițială, fiindcă în cele mai multe modele ea se dă la momentul $t = 0$ , iar familia de soluții obținută înainte de a o folosi se va numi soluție generală.

Diferența va fi una singură, dar importantă: acolo necunoscuta apare și în membrul drept al egalității, nu doar sub semnul derivatei, așa că integrarea directă nu mai e de ajuns. Pasul cu constanta, în schimb, rămâne exact cel învățat aici — se scrie familia, se înlocuiește punctul, se rezolvă ecuația de gradul întâi. Merită deci exersat până devine automat: este singura bucată din capitolul următor pe care o stăpânești deja.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Condiția scrisă direct

Determină primitiva $F$ a funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{5}{x} - 2$ , cu $F (1) = 3$ .

Rezolvare. Funcția este continuă pe intervalul $(0, + \infty)$ , deci admite primitive acolo. Familia lor, obținută termen cu termen, este $F (x) = 5 ln x - 2 x + c$ . Punem condiția, ținând minte că $ln 1 = 0$ : $F (1) = 5 \cdot 0 - 2 + c = - 2 + c$ , iar din $- 2 + c = 3$ rezultă $c = 5$ . Răspunsul este $F (x) = 5 ln x - 2 x + 5$ . Proba: derivata lui $5 ln x - 2 x + 5$ este $\frac{5}{x} - 2$ , iar $F (1) = 0 - 2 + 5 = 3$ .

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un elev primește cerința „determinați primitiva $F$ a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 6 x - 8$ , cu $F (2) = 1$ " și scrie: „ $F (x) = 3 x^{2} - 8 x$ , apoi $F (2) = 12 - 16 = - 4$ , deci $c = 5$ ." Ce a greșit?

Rezolvare. Sunt două defecte, iar al doilea vine din primul. Întâi, familia a fost scrisă fără constantă: corect este $F (x) = 3 x^{2} - 8 x + c$ . Din cauza asta, al doilea rând calculează o valoare care nu are legătură cu cerința. Apoi, chiar dacă numărul $5$ este cel corect — din $- 4 + c = 1$ chiar rezultă $c = 5$ —, rezolvarea se oprește la constantă și nu scrie funcția cerută. Răspunsul complet este $F (x) = 3 x^{2} - 8 x + 5$ , cu proba $F (2) = 12 - 16 + 5 = 1$ .

Exemplul 3 — Primitiva care se anulează

Determină primitiva funcției $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{6}{x ^{2} + 1}$ , care se anulează în punctul $1$ .

Rezolvare. Rândul din tabel care se recunoaște aici este cel al arctangentei, deci familia primitivelor este $F (x) = 6 arctg x + c$ . Condiția „se anulează în $1$ " înseamnă $F (1) = 0$ . Cum $arctg 1 = \frac{π}{4}$ , avem $F (1) = 6 \cdot \frac{π}{4} + c = \frac{3 π}{2} + c$ , iar din $\frac{3 π}{2} + c = 0$ rezultă $c = - \frac{3 π}{2}$ . Răspunsul este $F (x) = 6 arctg x - \frac{3 π}{2}$ . Constanta nu e obligată să fie un număr întreg sau măcar rațional; ea iese cum o hotărăște condiția.

Exemplul 4 — Graficul trece printr-un punct

Determină primitiva funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 3 e^{x} - 4 x$ , al cărei grafic trece prin punctul $A (0, 4)$ .

Rezolvare. Traducem condiția geometrică: graficul trece prin $A (0, 4)$ înseamnă $F (0) = 4$ . Familia primitivelor este $F (x) = 3 e^{x} - 2 x^{2} + c$ . Cum $e^{0} = 1$ , obținem $F (0) = 3 - 0 + c = 3 + c$ , iar din $3 + c = 4$ rezultă $c = 1$ . Răspunsul este $F (x) = 3 e^{x} - 2 x^{2} + 1$ . Proba: $(3 e^{x} - 2 x^{2} + 1)^{'} = 3 e^{x} - 4 x$ , iar $F (0) = 3 + 1 = 4$ .

Exemplul 5 — O condiție dintr-un model de chimie

Dintr-o soluție suprasaturată se depune un cristal pe un germene de cristalizare. Viteza de depunere se modelează prin $m^{'} (t) = \frac{3}{2} t + 4$ , măsurată în miligrame pe oră, unde $t$ este timpul în ore, $0 \leq t \leq 10$ . La începutul observației, germenele avea masa de $100$ de miligrame. Determină legea masei și valoarea ei după patru ore.

Rezolvare. Masa este o primitivă a vitezei ei de variație, deci $m (t) = \frac{3 t ^{2}}{4} + 4 t + c$ , în miligrame. Condiția de la început este $m (0) = 100$ , de unde $c = 100$ . Legea este $m (t) = \frac{3 t ^{2}}{4} + 4 t + 100$ , valabilă pentru $0 \leq t \leq 10$ . După patru ore, $m (4) = 12 + 16 + 100 = 128$ de miligrame. Modelul e coerent: viteza $\frac{3}{2} t + 4$ este pozitivă pe tot intervalul, deci masa crește, așa cum arată și rezultatul; ea crește cu timpul pentru că suprafața pe care se depune cristalul se mărește pe măsură ce el se formează.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 2 x + \frac{6}{x ^{2}}$ .

a) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe intervalul $(0, + \infty)$ .

b) Determină primitiva $F$ a lui $f$ al cărei grafic trece prin punctul $A (1, 4)$ .

c) Arată că funcția $F$ de la punctul b) este strict crescătoare pe $(0, + \infty)$ .

Rezolvare. a) Al doilea termen se citește ca o putere cu exponent negativ, iar primitiva ei este $- \frac{6}{x}$ ; primul termen dă $x^{2}$ . Prin urmare mulțimea primitivelor este $x^{2} - \frac{6}{x} + C$ . Controlul se face derivând: $(x^{2} - \frac{6}{x})^{'} = 2 x + \frac{6}{x ^{2}}$ .

b) Condiția geometrică se traduce prin $F (1) = 4$ . Scriem $F (x) = x^{2} - \frac{6}{x} + c$ și înlocuim: $F (1) = 1 - 6 + c = - 5 + c$ . Din $- 5 + c = 4$ rezultă $c = 9$ , deci $F (x) = x^{2} - \frac{6}{x} + 9$ . Proba condiției: $F (1) = 1 - 6 + 9 = 4$ .

c) Monotonia se citește din semnul derivatei, ca în clasa a XI-a, la monotonia cu ajutorul derivatei. Aici derivata este chiar funcția din enunț: $F^{'} (x) = f (x) = 2 x + \frac{6}{x ^{2}}$ . Pe intervalul $(0, + \infty)$ ambii termeni sunt strict pozitivi, deci $F^{'} (x) > 0$ , prin urmare $F$ este strict crescătoare acolo.

Să exersăm

1. Determină primitiva $F$ a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 6 x^{2} + 4 x$ , cu $F (1) = 0$ .

2. Determină primitiva $F$ a funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{3}{x} + 6 x^{2}$ , cu $F (1) = 5$ .

3. Determină primitiva $F$ a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 5 e^{x} + 3$ , cu $F (0) = 1$ .

4. Determină primitiva $F$ a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 2 sin x + 4$ , cu $F (0) = 7$ .

5. Determină primitiva $F$ a funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 3 x + 4 x$ , cu $F (4) = 50$ .

6. Determină primitiva $F$ a funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{12}{x ^{4}}$ , cu $F (1) = 1$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $F$ este primitiva funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x$ , care se anulează în $2$ , atunci $2$ este singurul punct în care $F$ se anulează."

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină primitiva funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 4 x^{3} - \frac{6}{x ^{2}}$ , al cărei grafic trece prin punctul $A (1, 5)$ .

9. Determină primitiva $F$ a funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{7}{x} - 3 x^{2}$ , cu $F (1) = - 1$ .

10. Determină primitiva funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x^{4} - 2 x$ , al cărei grafic trece prin punctul $B (1, 3)$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină primitiva $F$ a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{8}{x ^{2} + 1} - 3$ , cu $F (0) = 7$ .

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Fie $f$ continuă pe intervalul $I$ și $x_{0} \in I$ . Dacă $F$ este primitiva lui $f$ cu $F (x_{0}) = 4$ , iar $G$ este primitiva lui $f$ cu $G (x_{0}) = 10$ , atunci $G (x) = F (x) + 6$ pentru orice $x \in I$ ."

13. (Problemă aplicată.) Iarna, frontul de îngheț coboară în sol cu viteza $r (t) = \frac{t}{2} + 3$ , în centimetri pe zi, pentru $0 \leq t \leq 8$ . La începutul observației, solul era înghețat până la adâncimea de $12$ centimetri. Determină legea adâncimii $h$ și adâncimea frontului după șase zile.

14. Determină primitiva $F$ a funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{8}{x} + e^{x}$ , cu $F (1) = e + 5$ .

15. Un elev rezolvă cerința „determinați primitiva funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{2}{x}$ , care se anulează în $1$ " și scrie condiția sub forma $F (- 1) = 0$ . Explică de ce condiția lui nu se poate folosi și scrie răspunsul corect.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că funcția $F : (0, + \infty) \to R$ , $F (x) = x^{3} + \frac{2}{x}$ , este o primitivă a funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 3 x^{2} - \frac{2}{x ^{2}}$ , apoi determină primitiva lui $f$ care se anulează în punctul $1$ .

17. Determină primitiva $F$ a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 3 cos x - 2$ , cu $F (π) = 1$ .

18. (Provocare.) Se știe că o primitivă $F$ a funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{a}{x ^{2}}$ , unde $a$ este un număr real, verifică $F (1) = 3$ și $F (2) = 8$ . Determină numărul $a$ și funcția $F$ .

Răspunsuri și explicații

1. $F (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} + c$ ; din $F (1) = 2 + 2 + c = 4 + c$ și $4 + c = 0$ rezultă $c = - 4$ , deci $F (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4$ .

2. $F (x) = 3 ln x + 2 x^{3} + c$ ; cum $ln 1 = 0$ , avem $F (1) = 0 + 2 + c = 2 + c$ , iar din $2 + c = 5$ rezultă $c = 3$ , deci $F (x) = 3 ln x + 2 x^{3} + 3$ .

3. $F (x) = 5 e^{x} + 3 x + c$ ; din $F (0) = 5 + 0 + c = 5 + c$ și $5 + c = 1$ rezultă $c = - 4$ , deci $F (x) = 5 e^{x} + 3 x - 4$ .

4. $F (x) = - 2 cos x + 4 x + c$ ; cum $cos 0 = 1$ , avem $F (0) = - 2 + c$ , iar din $- 2 + c = 7$ rezultă $c = 9$ , deci $F (x) = - 2 cos x + 4 x + 9$ . Atenție la semn: primitiva sinusului este cosinusul cu minus.

5. Rândul radicalului dă $3 \cdot \frac{2 x x}{3} = 2 x x$ , iar rândul puterii dă $2 x^{2}$ , deci $F (x) = 2 x x + 2 x^{2} + c$ . În $4$ : $2 \cdot 4 \cdot 2 + 32 + c = 48 + c$ , iar din $48 + c = 50$ rezultă $c = 2$ , deci $F (x) = 2 x x + 2 x^{2} + 2$ .

6. Termenul se citește ca putere cu exponent negativ, iar primitiva lui este $- \frac{4}{x ^{3}}$ . Atunci $F (x) = - \frac{4}{x ^{3}} + c$ , iar din $F (1) = - 4 + c$ și $- 4 + c = 1$ rezultă $c = 5$ , deci $F (x) = - \frac{4}{x ^{3}} + 5$ .

7. Fals. Primitivele lui $f$ sunt $x^{2} + c$ , iar condiția $F (2) = 0$ dă $4 + c = 0$ , deci $F (x) = x^{2} - 4$ . Această funcție se anulează și în $- 2$ : condiția din enunț fixează valoarea primitivei într-un singur punct, nu numărul zerourilor ei.

8. $F (x) = x^{4} + \frac{6}{x} + c$ , fiindcă primitiva lui $- \frac{6}{x ^{2}}$ este $\frac{6}{x}$ . Condiția se scrie $F (1) = 5$ : din $1 + 6 + c = 7 + c$ și $7 + c = 5$ rezultă $c = - 2$ , deci $F (x) = x^{4} + \frac{6}{x} - 2$ .

9. $F (x) = 7 ln x - x^{3} + c$ ; din $F (1) = 0 - 1 + c = - 1 + c$ și $- 1 + c = - 1$ rezultă $c = 0$ , deci $F (x) = 7 ln x - x^{3}$ . Constanta poate să iasă nulă — asta nu înseamnă că lipsea, ci că punctul din enunț era chiar pe curba fără translație.

10. $F (x) = x^{5} - x^{2} + c$ ; condiția geometrică se scrie $F (1) = 3$ , iar $F (1) = 1 - 1 + c = c$ , deci $c = 3$ și $F (x) = x^{5} - x^{2} + 3$ .

11. $F (x) = 8 arctg x - 3 x + c$ ; cum $arctg 0 = 0$ , avem $F (0) = c$ , iar din $c = 7$ rezultă $F (x) = 8 arctg x - 3 x + 7$ .

12. Adevărat. Cele două primitive diferă printr-o constantă pe $I$ , iar valoarea acelei constante, calculată în $x_{0}$ , este $10 - 4 = 6$ ; prin urmare $G - F = 6$ peste tot, adică $G = F + 6$ . Se vede și invers: $F + 6$ are aceeași derivată ca $F$ , deci e tot o primitivă a lui $f$ , iar în $x_{0}$ ia exact valoarea cerută.

13. $h (t) = \frac{t ^{2}}{4} + 3 t + c$ , în centimetri; condiția $h (0) = 12$ dă $c = 12$ , deci $h (t) = \frac{t ^{2}}{4} + 3 t + 12$ , pentru $0 \leq t \leq 8$ . După șase zile, $h (6) = 9 + 18 + 12 = 39$ de centimetri. Viteza de coborâre este pozitivă pe tot intervalul, deci frontul coboară, cum cere modelul.

14. $F (x) = 8 ln x + e^{x} + c$ ; din $F (1) = 0 + e + c$ și $e + c = e + 5$ rezultă $c = 5$ , deci $F (x) = 8 ln x + e^{x} + 5$ .

15. Punctul $- 1$ nu aparține intervalului de lucru $(0, + \infty)$ , deci egalitatea $F (- 1) = 0$ nici măcar nu are sens: funcția $F$ nu este definită acolo. Condiția corectă este $F (1) = 0$ . Cum $F (x) = 2 ln x + c$ și $ln 1 = 0$ , obținem $c = 0$ , deci $F (x) = 2 ln x$ .

16. Verificarea: $(x^{3} + \frac{2}{x})^{'} = 3 x^{2} - \frac{2}{x ^{2}}$ , adică exact $f (x)$ , iar $F$ e derivabilă pe $(0, + \infty)$ — deci $F$ este o primitivă a lui $f$ acolo. Primitivele lui $f$ sunt atunci $x^{3} + \frac{2}{x} + c$ . Condiția în punctul $1$ dă $1 + 2 + c = 3 + c$ , iar din $3 + c = 0$ rezultă $c = - 3$ , deci funcția căutată este $x^{3} + \frac{2}{x} - 3$ .

17. $F (x) = 3 sin x - 2 x + c$ ; cum $sin π = 0$ , avem $F (π) = - 2 π + c$ , iar din $- 2 π + c = 1$ rezultă $c = 1 + 2 π$ , deci $F (x) = 3 sin x - 2 x + 1 + 2 π$ .

18. Aici sunt două necunoscute, $a$ și constanta, deci e nevoie de două condiții — dar amândouă pe același interval, nu pe bucăți diferite. Primitivele sunt $F (x) = - \frac{a}{x} + c$ . Prima condiție dă $- a + c = 3$ , a doua dă $- \frac{a}{2} + c = 8$ . Scăzându-le, obținem $\frac{a}{2} = 5$ , deci $a = 10$ , iar din prima relație $c = 13$ . Prin urmare $f (x) = \frac{10}{x ^{2}}$ și $F (x) = - \frac{10}{x} + 13$ . Proba: $F (1) = - 10 + 13 = 3$ și $F (2) = - 5 + 13 = 8$ .

De reținut

Mulțimea primitivelor este o familie; o condiție din enunț alege din ea o singură funcție.
Constanta se scrie de la primul rând și se determină dintr-o ecuație de gradul întâi, nu se alege.
Pe un interval, prin fiecare punct trece exact o primitivă, pentru că două primitive diferă printr-o constantă, iar constanta se anulează dacă graficele au un punct comun.
Răspunsul cerut este funcția, scrisă complet; valoarea constantei este un pas intermediar, nu răspunsul.
Proba are două jumătăți: derivarea înapoi confirmă forma, iar înlocuirea în punctul din enunț confirmă constanta.

Greșeli frecvente

Traduci greșit „se anulează în $x_{0}$ ". Elevii scriu $f (x_{0}) = 0$ în loc de $F (x_{0}) = 0$ și rezolvă altă problemă. Cine se anulează este primitiva pe care o construiești, nu funcția din enunț.
Te oprești la valoarea constantei. „ $c = 5$ " nu este un răspuns la cerința „determinați primitiva": răspunsul este funcția, scrisă în întregime, cu domeniul ei.
Faci proba doar prin derivare. Derivarea confirmă forma primitivei, dar șterge constanta; o greșeală de aritmetică la determinarea ei trece neobservată. A doua verificare, înlocuirea în punctul din enunț, durează cinci secunde.
Pui condiția într-un punct din afara intervalului. Dacă funcția e definită pe $(0, + \infty)$ , o egalitate de tipul $F (- 2) = 3$ nu are sens. Punctul din condiție se caută întâi pe domeniu, apoi se folosește.
Uiți unitatea de măsură la problemele cu model. Un rezultat scris „masa este $39$ " nu e complet: se scriu miligrame, kilopascali, milimetri, după caz, iar intervalul pe care modelul e valabil se precizează o dată.

Aplică acasă

Familia desenată. Ia funcția $f (x) = 3 x^{2} - 8 x$ și desenează pe aceeași foaie graficele primitivelor ei pentru trei valori diferite ale constantei. Alege apoi un punct oarecare de pe foaie și verifică, tot din desen, că prin el trece o singură curbă din familie; determină prin calcul care este ea.
Trei formulări, o singură ecuație. Scrie același exercițiu în cele trei feluri din tabelul de la subsecțiunea 3, ca și cum l-ai da unui coleg, și roagă-l să scrie de fiecare dată condiția pe hârtie, fără să rezolve. Dacă obține de fiecare dată aceeași egalitate, traducerea e învățată.
Experimentul cu rigla. Măsoară, din două în două zile, înălțimea unei plante de apartament sau lungimea unui fir de fasole pus la încolțit. Notează valoarea de la început, estimează din date viteza de creștere și scrie legea înălțimii ca primitivă a ei. Compară apoi predicția modelului cu măsurătoarea reală de peste o săptămână.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică patru lucruri măsurabile: dacă elevul scrie constanta din primul rând; dacă traduce corect condiția din enunț, indiferent de forma în care e dată; dacă încheie rezolvarea cu funcția, nu cu numărul; și dacă face amândouă verificările. Sunt patru deprinderi scurte, iar lipsa oricăreia se vede imediat în rezolvare.

Dificultatea nu stă în calcul, ci în schimbarea de obiect: până acum răspunsul unui exercițiu de primitive era o familie, iar de aici înainte este o funcție anume. Elevii care nu fac această trecere scriu corect toată rezolvarea și pierd punctul de la final, pentru că răspund cu valoarea constantei. Merită cerut, de câteva ori, ca ultimul rând să înceapă cu „ $F (x) =$ ".

A doua sursă de pierderi e recitirea grăbită a enunțului. Cele trei formulări din lecție spun același lucru, dar arată atât de diferit încât elevul care nu le-a exersat pe toate trei traduce din memorie, nu din text. Un exercițiu bun de cinci minute, acasă, este să i se citească cu voce tare o cerință și să scrie numai condiția, fără să rezolve nimic.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Ce cere enunțul: familia sau o funcție anume?"; „Unde ai scris constanta?"; „Cum se traduce condiția pe hârtie?"; „Cum verifici că răspunsul e bun — de două ori, nu o dată?". Semne că a înțeles: scrie $+ c$ automat; recunoaște că „graficul trece prin $A$ " și „ $F (x_{0}) = y_{0}$ " sunt același lucru; și, la problemele cu model, pune unitatea de măsură fără să i se ceară.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținutul „Noțiunea de primitivă, mulțimea primitivelor unei funcții continue". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține rândul „Primitivele unei funcții definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcții continue" — deci tema se dă și în acele sesiuni, la Subiectul al III-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce scriu în ultimul rând, când mi se cere o primitivă cu condiție?

Funcția, scrisă în întregime. „ $c = 5$ " nu e un răspuns la cerința „determinați primitiva": e doar pasul de dinaintea lui. Ultimul rând începe cu „ $F (x) =$ " și conține expresia completă, cu valoarea constantei pusă la locul ei; dacă enunțul a precizat domeniul, merită repetat și el.

Cum traduc cerința „primitiva care se anulează în $x_{0}$ "?

Se traduce prin $F (x_{0}) = 0$ , cu accentul pe litera $F$ : cine se anulează este primitiva pe care o construiești, nu funcția din enunț. E formularea care păcălește cel mai des, fiindcă verbul „se anulează" e folosit de obicei despre $f$ . După traducere, rezolvarea merge exact ca la celelalte formulări.

Poate să iasă zero constanta de integrare?

Da, și nu e nicio greșeală. Înseamnă doar că punctul din condiție se afla chiar pe curba scrisă fără translație. Important e să fi scris constanta de la început și să fi obținut valoarea $0$ dintr-o ecuație, nu să fi omis constanta și să pari că ai ajuns la același rezultat.

Ce fac dacă punctul din condiție nu e în intervalul de lucru?

Nu îl folosești: dacă funcția e definită pe $(0, + \infty)$ , o egalitate scrisă în $- 2$ nu are sens, fiindcă primitiva nici nu e definită acolo. Verifică întâi apartenența punctului la interval, apoi scrie condiția. Când enunțul pare să ceară așa ceva, cel mai des e vorba de o citire greșită a domeniului.

Cum verific dacă am aflat bine constanta?

Înlocuiești punctul din enunț în funcția finală și te uiți dacă obții valoarea cerută. Verificarea prin derivare nu ajunge: ea confirmă forma primitivei, dar constanta dispare la derivare, așa că o greșeală de semn sau de calcul făcută la determinarea ei trece nevăzută. Cele două verificări se fac împreună.

Se dă și la mate-info (M1) tema aceasta?

Da, cu aceeași rețetă, dar pe funcții obținute cu metode pe care programa ta nu le are — integrarea prin părți și schimbarea de variabilă apar acolo chiar în capitolul de primitive. Pentru comparație, primitiva cu condiție la mate-info (M1) conține și cerințe despre convexitatea primitivei obținute.

La ce subiect apare la Bacalaureatul M2?

La Subiectul al III-lea, singurul care conține analiză matematică. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, a doua problemă a acestui subiect are trei cerințe legate, construite în jurul integralelor; determinarea unei primitive apare acolo ca pas de calcul. Programa de examen conține rândul despre primitivele unei funcții definite pe un interval.