Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int\left(4\sin x+\cos x\right)dx$$ este:

$$-4\cos x+\sin x+\mathcal{C}$$

$$-4\cos x-\sin x+\mathcal{C}$$

Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}+169}\,dx$$ este:

$$\dfrac{1}{13}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{13}+\mathcal{C}$$

$$\operatorname{arctg}\dfrac{x}{13}+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{169}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{169}+\mathcal{C}$$

$$\arcsin\dfrac{x}{13}+\mathcal{C}$$

Pe intervalul $$(-9,9)$$, $$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{81-x^{2}}}\,dx$$ este:

$$\arcsin\dfrac{x}{9}+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{9}\arcsin\dfrac{x}{9}+\mathcal{C}$$

$$\arcsin\dfrac{x}{81}+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{9}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{9}+\mathcal{C}$$

Ce primitivă are 1/sin²x?

Pe (0,π), primitivele sunt - ctgx+ C. Semnul minus vine din derivata cotangentei, (ctgx)'=- 1/sin²x. Intervalul se alege între două zerouri consecutive ale sinusului, unde funcția este continuă.

Ce primitivă are tg²x?

Folosești tg²x= 1/cos²x-1, care vine din identitatea fundamentală. Pe (- π/2, π/2) primitivele sunt tgx-x+ C. Derivând, 1/cos²x-1= tg²x. Fără această rescriere, tabelul nu conține niciun rând pentru pătratul tangentei, așa că identitatea trigonometrică face tot lucrul.

Ce primitivă are 1/√(9 − x²)?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Primitive trigonometrice și cu arctangentă

Pe intervalul $(- 3, 3)$ , primitivele sunt $arcsin \frac{x}{3} + C$ . Aici nu apare niciun factor în față, spre deosebire de rândul cu arctangentă. Verificare: derivata lui $arcsin \frac{x}{3}$ este $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x ^{2}}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{9 - x ^{2}} = \frac{1}{9 - x ^{2}}$ . Cu un coeficient, $\int \frac{5}{16 - x ^{2}} d x = 5 arcsin \frac{x}{4} + C$ , pe $(- 4, 4)$ . Intervalul este cel pe care radicalul e definit și nenul.

Șase rânduri încheie lista. Patru se citesc de-a dreptul din derivatele funcțiilor trigonometrice, cu luare-aminte la semn: minusul apare acolo unde perechea de derivare începe cu „co”, adică la sinus și la funcția cu sinus pătrat sub linie. La rândurile cu pătrat la numitor domeniul e ciuruit, așa că intervalul ales intră în răspuns.

Ultimele două uimesc: pleci de la o fracție cât se poate de obișnuită și ajungi la o funcție trigonometrică inversă. Derivatele trebuincioase lipsesc din lista clasei a XI-a, dar se obțin îndată, pornind de la egalitățile care definesc inversele și derivând ambii membri.

Amănuntul care schimbă totul: la arctangentă rămâne în față factorul $\frac{1}{a}$ , pe când la arcsinus nu rămâne nimic, fiindcă cei doi $a$ se simplifică între ei.

Recunoașterea are trei întrebări. Apare vreun radical sub linie? Dacă nu, iar dedesubt stă o adunare de pătrate, ai arctangentă. Dacă apare, iar sub radical un număr e micșorat cu pătratul literei, ai arcsinus, pe un interval mărginit. Cât face $a$ ? Radicalul numărului liber, care poate fi și irațional.

La fracțiile trigonometrice, primul gest e împărțirea bucată cu bucată.

De reținut

$\int \frac{1}{a ^{2} - x ^{2}} d x = arcsin \frac{x}{a} + C$ pe $(- a, a)$ , fără factor în față
$\int \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$
$\int sin x d x = - cos x + C$ și $\int \frac{1}{s i n ^{2} x} d x = - ctg x + C$

Greșeala tipică

Se pune factorul $\frac{1}{a}$ și la arcsinus, scriind $\frac{1}{3} arcsin \frac{x}{3}$ ; derivând se obține $\frac{1}{3 9 - x ^{2}}$ , deci factorul nu are ce căuta acolo.

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ , $\int (4 sin x + cos x) d x$ este:
- a) $4 cos x - sin x + C$
- b) $- 4 cos x - sin x + C$
- c) $- 4 cos x + sin x + C$
- d) $4 cos x + sin x + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 4 cos x + sin x + C$

Primitiva sinusului poartă minusul, deci din $4 sin x$ iese $- 4 cos x$ ; primitiva cosinusului este curată, deci din $cos x$ iese $sin x$ . Rezultatul este $- 4 cos x + sin x + C$ , valabil pe toată axa reală. Celelalte trei variante pun minusul unde nu e locul lui: la primitiva cosinusului, la amândouă sau la niciuna.
Pe $R$ , $\int \frac{1}{x ^{2} + 169} d x$ este:
- a) $arctg \frac{x}{13} + C$
- b) $\frac{1}{13} arctg \frac{x}{13} + C$
- c) $\frac{1}{169} arctg \frac{x}{169} + C$
- d) $arcsin \frac{x}{13} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1}{13} arctg \frac{x}{13} + C$

Numitorul este o sumă de pătrate, $x^{2} + 1 3^{2}$ , deci $a = 13$ și rândul este cel cu arctangentă, unde factorul $\frac{1}{a}$ din față este obligatoriu. Fără el, derivata ar ieși de treisprezece ori mai mare. Varianta c) ia drept $a$ chiar termenul liber, iar d) confundă rândul cu cel al arcsinusului, care cere radical la numitor.
Pe intervalul $(- 9, 9)$ , $\int \frac{1}{81 - x ^{2}} d x$ este:
- a) $\frac{1}{9} arcsin \frac{x}{9} + C$
- b) $arcsin \frac{x}{81} + C$
- c) $\frac{1}{9} arctg \frac{x}{9} + C$
- d) $arcsin \frac{x}{9} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $arcsin \frac{x}{9} + C$

Sub radical se scade pătratul variabilei dintr-un număr, deci este rândul arcsinusului, cu $a = 9$ , fiindcă $81 = 9^{2}$ . Acolo nu apare niciun factor în față: cele două apariții ale lui $a$ se simplifică la derivare. Varianta a) împrumută factorul de la arctangentă, b) ia drept $a$ termenul liber, iar c) alege rândul greșit.

Întrebări conexe

Ce primitivă are $\frac{1}{s i n ^{2} x}$ ?

Pe $(0, π)$ , primitivele sunt $- ctg x + C$ . Semnul minus vine din derivata cotangentei, $(ctg x)^{'} = - \frac{1}{s i n ^{2} x}$ . Intervalul se alege între două zerouri consecutive ale sinusului, unde funcția este continuă.

Cum integrez $\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1}$ ?

Adaugi și scazi $1$ la numărător: $\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x ^{2} + 1}$ . Pe $R$ integrala este $x - arctg x + C$ . Derivând, $1 - \frac{1}{1 + x ^{2}} = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1}$ , deci rezultatul se confirmă. Trucul de a adăuga și a scădea același număr transformă fracția într-o sumă de rânduri din tabel, fără nicio metodă nouă.

Cu cât cresc primitivele lui $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ de la $1$ la $3$ ?

Primitivele sunt $arctg x + C$ , iar diferența nu depinde de constantă: $arctg 3 - arctg 1 = \frac{π}{3} - \frac{π}{4} = \frac{π}{12} \approx 0, 26$ . Valoarea aceasta este chiar integrala definită a funcției între cele două capete. Unghiurile se exprimă în radiani, fiindcă arctangenta dă valori în radiani.

Cum integrez $cos x - 2 sin x$ ?

Folosești liniaritatea și cele două rânduri trigonometrice: $\int cos x d x = sin x$ , iar $\int sin x d x = - cos x$ . Rezultatul este $sin x + 2 cos x + C$ ; derivând se obține $cos x - 2 sin x$ , deci semnele sunt corecte. Minusul apare la primitiva sinusului, fiindcă derivata cosinusului are semnul minus, în timp ce cosinusul se integrează fără schimbare de semn.

Cum aflu poziția unui corp care oscilează, știind viteza lui?

Dacă viteza este $v (t) = 0, 6 cos 3 t$ m/s, poziția este o primitivă: $x (t) = 0, 2 sin 3 t + C$ . Derivata lui $0, 2 sin 3 t$ este $0, 2 \cdot 3 cos 3 t = 0, 6 cos 3 t$ . Cu $x (0) = 0$ , constanta este $0$ , iar amplitudinea mișcării este $0, 2$ m.

Ce primitivă are $tg^{2} x$ ?

Folosești $tg^{2} x = \frac{1}{c o s ^{2} x} - 1$ , care vine din identitatea fundamentală. Pe $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ primitivele sunt $tg x - x + C$ . Derivând, $\frac{1}{c o s ^{2} x} - 1 = tg^{2} x$ . Fără această rescriere, tabelul nu conține niciun rând pentru pătratul tangentei, așa că identitatea trigonometrică face tot lucrul.

Oamenii mai întreabă și: primitiva lui 1 supra radical din 9 minus x pătrat · integrala care dă arcsinus · primitiva cu arcsin · integrala din 1 supra radical din a pătrat minus x pătrat

Ce primitivă are 1/√(9 − x²)?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Ce primitivă are sin2x1​?

Cum integrez x2+1x2​?

Cu cât cresc primitivele lui 1+x21​ de la 1 la 3​?

Cum integrez cosx−2sinx?