Primitive trigonometrice și cu arctangentă (M2, științe ale naturii)

Un braț robotic care baleiază o suprafață, tensiunea dintr-o priză, aerul care intră și iese din plămâni — toate se descriu cu sinus și cosinus, iar când vrei să treci de la viteza unui asemenea proces la mărimea acumulată, ai nevoie de primitivele funcțiilor trigonometrice. Lecția aceasta, de clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), închide tabelul primitivelor cu ultimele șase rânduri: cele patru trigonometrice și cele două care, surprinzător, duc înapoi la arctangentă și la arcsinus. La bacalaureatul M2, materia de analiză — deci și primitivele — stă la Subiectul al III-lea.

Tabelul a fost deschis la Tabelul primitivelor uzuale: puteri și radicali, cu rândurile 1–5, și completat la Primitive cu exponențială și logaritm, cu rândurile 6–8; aici se adaugă rândurile 9–14 și nimic nu se retipărește. Tema se cere la amândouă examenele: programa de examen din 2014, valabilă pentru sesiunile 2027–2029, cuprinde la analiză rândul „Primitive uzuale", iar funcțiile trigonometrice inverse sunt și ele în programa aceea, la clasa a X-a; programa nouă, pe care se sprijină proba MAT_P2 din 2030, cere la unitatea XII.3 „Tabelul primitivelor uzuale".

Ce vei învăța

• Vei ști cele patru primitive trigonometrice de bază și regula de semn cu care nu le mai confunzi.
• Vei ști să deduci singur derivatele arctangentei și arcsinusului, pornind de la identitățile care le definesc.
• Vei ști să recunoști, dintr-o privire, când o fracție duce la arctangentă și când un radical duce la arcsinus.
• Vei ști de ce la un rând apare factorul $\frac{1}{a}$ în față, iar la celălalt nu.
• Vei ști să alegi intervalul de lucru la funcțiile trigonometrice, unde domeniul are goluri.
• Vei ști ce nu cuprinde tabelul acestui profil și unde se rezolvă acele funcții.

Hai să descoperim împreună

1. De ce stă minusul la primitiva sinusului?

O primitivă a sinusului este funcția $-\cos x$, iar o primitivă a cosinusului este funcția $\sin x$; amândouă sunt valabile pe tot $\mathbb{R}$, pentru că sinusul și cosinusul sunt definite și continue peste tot.

Rândurile 9 și 10 se citesc direct din derivatele trigonometrice, cu singura grijă de a urmări semnul. Din ${\left(\cos x\right)}^{\prime }=-\sin x$ rezultă ${\left(-\cos x\right)}^{\prime }=\sin x$, iar din ${\left(\sin x\right)}^{\prime }=\cos x$ rezultă că primitiva cosinusului nu are niciun semn în plus. Nimic nu se memorează separat: ambele ies din aceeași pereche de formule de derivare, întoarse.

Cele două se încurcă între ele mai des decât orice altceva din tabel, așa că merită o regulă de memorare care se poate verifica în două secunde: minusul apare la primitiva sinusului, pentru că el vine din derivata cosinusului. Dacă ai o îndoială, derivează ce ai scris; nu există elev care să greșească semnul de două ori după ce a făcut proba o dată.

Un calcul complet, cu amândouă rândurile deodată: pentru $3\cos x-5\sin x$, primul termen dă $3\sin x$, al doilea dă $5\cos x$, fiindcă minusul din enunț se întâlnește cu minusul din formulă. Rezultă $\int \left(3\cos x-5\sin x\right)dx=3\sin x+5\cos x+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$. Observă că amândouă rândurile lucrează pe toată axa reală: sinusul și cosinusul sunt definite și continue peste tot, deci nu apar restricții de domeniu.

2. Ce se schimbă la rândurile cu pătrate la numitor?

Următoarele două rânduri vin din derivatele tangentei și cotangentei, pe care le ai în tabelul derivatelor. Din ${\left(\mathrm{tg}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ se citește imediat că primitiva lui $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ este $\mathrm{tg}x$; din ${\left(\mathrm{ctg}x\right)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ rezultă ${\left(-\mathrm{ctg}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, deci primitiva lui $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ este $-\mathrm{ctg}x$. Și aici minusul vine din derivată, nu din senin, iar el stă la funcția al cărei nume începe cu „co".

Deosebirea față de primele două rânduri este domeniul. Funcția $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ nu e definită acolo unde cosinusul se anulează, adică în punctele $\frac{\pi }{2}+k\pi$, cu $k$ întreg; funcția $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ nu e definită în punctele $k\pi$. Domeniile lor sunt reuniuni de intervale, nu intervale, iar primitivele se definesc pe câte un interval. De aceea enunțurile precizează intervalul de lucru — de pildă $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ pentru prima dintre ele: fiecare asemenea interval se întinde între două zerouri vecine ale numitorului.

Un rezultat scris fără această precizare e incomplet, chiar dacă expresia lui e corectă — exact ca la rândul cu logaritm din lecția precedentă.

3. Ce nu găsești în tabelul acestui profil?

Merită spus limpede, ca să nu cauți degeaba. Tabelul dă primitivele funcțiilor $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ și $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, dar nu dă primitivele lui $\mathrm{tg}x$ și $\mathrm{ctg}x$. Motivul e simplu: nicio funcție din tabelul derivatelor nu are ca derivată tangenta, deci rândul nu se poate obține prin citire inversă. El se obține prin schimbarea de variabilă, metodă care la profilul științe ale naturii se învață abia la integrala definită; până acolo, dacă în enunț apare tangenta sub semnul integralei, întreabă-te întâi dacă nu cumva o identitate trigonometrică o transformă în ceva din tabel.

Tot în afara tabelului acestui profil rămân fracțiile de forma $\frac{P(x)}{Q(x)}$ cu numitor de gradul al doilea care se descompune în factori, precum și radicalii de forma $\sqrt{x^2+a^2}$ de la numitor. Nu pentru că ar fi imposibile, ci pentru că drumul spre ele trece prin descompunerea în fracții simple, temă din suplimentul de bacalaureat M2, nu printr-un rând memorat. Reține deci granița: tabelul de aici e lista pe care o folosești din reflex, nu lista tuturor primitivelor care se pot calcula vreodată.

4. De unde vine arctangenta?

Ultimele două rânduri sunt cele care surprind: pornești de la o fracție rațională, cât se poate de banală, și ajungi la o funcție trigonometrică inversă. Ca să le obținem, avem nevoie de două derivate pe care tabelul de clasa a XI-a nu le conține, dar pe care le putem deduce singuri din identitățile care definesc funcțiile inverse, studiate la funcțiile arctangentă și arccotangentă.

Pornim de la egalitatea $\mathrm{tg}\left(\mathrm{arctg}x\right)=x$, adevărată pentru orice $x$ real, și derivăm ambii membri cu regula funcțiilor compuse, fixată la derivarea funcțiilor compuse. În stânga apare derivata tangentei, calculată în punctul $\mathrm{arctg}x$, înmulțită cu derivata căutată; în dreapta apare $1$. Notând $t=\mathrm{arctg}x$, scriem

$$\frac{1}{{\cos }^{2}t}\cdot {\left(\mathrm{arctg}x\right)}^{\prime }=1.$$

Acum folosim identitatea fundamentală sub forma $\frac{1}{{\cos }^{2}t}=1+{\mathrm{tg}}^{2}t$, obținută împărțind ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$ la ${\cos }^{2}t$. Cum $\mathrm{tg}t=x$, factorul din stânga devine $1+x^2$ și rezultă ${\left(\mathrm{arctg}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$ pe $\mathbb{R}$.

Rândul din tabel se scrie însă cu un parametru, pentru că în enunțuri numitorul rar este chiar $x^2+1$. Pentru $a>0$, derivăm funcția $\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}$, tot cu regula funcțiilor compuse: derivata parantezei interioare este $\frac{1}{a}$, deci obținem $\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{a^2}}\cdot \frac{1}{a}$, iar aducând la același numitor rezultă $\frac{1}{x^2+a^2}$. Factorul $\frac{1}{a}$ din față este, deci, obligatoriu: fără el derivata ar ieși de $a$ ori mai mare decât trebuie.

Pe un caz concret: pentru $a=6$ avem $\int \frac{1}{x^2+36}dx=\frac{1}{6}\mathrm{arctg}\frac{x}{6}+\mathcal{C}$, pe tot $\mathbb{R}$, fiindcă numitorul nu se anulează niciodată.

5. De ce la arcsinus nu apare factorul din față?

Aceeași metodă, pornită de la altă identitate. Din $\sin \left(\arcsin x\right)=x$, valabilă pentru $x\in (-1,1)$, derivând obținem $\cos \left(\arcsin x\right)\cdot {\left(\arcsin x\right)}^{\prime }=1$. Numărul $\arcsin x$ se află, prin definiție, în intervalul $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ — vezi funcțiile arcsinus și arccosinus —, iar acolo cosinusul nu e negativ, deci $\cos \left(\arcsin x\right)=\sqrt{1-x^2}$. Rezultă ${\left(\arcsin x\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ pe $(-1,1)$.

Acum vine deosebirea care se cere reținută. Derivăm $\arcsin \frac{x}{a}$, pentru $a>0$: derivata funcției din interior este $\frac{1}{a}$, iar sub radical rămâne $1-\frac{x^2}{a^2}$, adică $\frac{a^2-x^2}{a^2}$, al cărui radical este $\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$. Cele două apariții ale lui $a$ se simplifică între ele, iar rezultatul este chiar $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$, fără niciun factor rămas în față. La arctangentă factorul $\frac{1}{a}$ se scrie, la arcsinus nu — e singura capcană a acestor două rânduri, și se verifică prin derivare în zece secunde.

Pe un caz concret: pentru $a=4$ avem $\int \frac{1}{\sqrt{16-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{4}+\mathcal{C}$, pe intervalul $(-4,4)$. Capetele sunt excluse pentru că acolo radicalul de la numitor se anulează.

6. Ultimele șase rânduri

Blocul al treilea al tabelului, cu care lista se încheie. Peste tot $a>0$, iar $\mathcal{C}$ este familia constantelor alese pe intervalul din ultima coloană.

7. Cum recunoști rândul potrivit, într-o privire?

Toată dificultatea ultimelor două rânduri stă în citirea numitorului, iar deciziile sunt trei, luate în ordine.

Întâi: există radical la numitor? Dacă nu, și numitorul e o sumă de pătrate, mergi la rândul 13 și nu uita factorul din față. Dacă da, treci la a doua întrebare.

A doua: care termen stă primul sub radical? Dacă sub radical se scade pătratul variabilei dintr-un număr, ai rândul 14, cu arcsinus, iar intervalul de lucru e mărginit. Dacă, dimpotrivă, se adună, sau se scade un număr din pătratul variabilei, ești în afara tabelului acestui profil.

A treia: cine este $a$? Numărul $a$ se citește ca rădăcina pătrată a termenului liber și nu trebuie neapărat să fie întreg. Pentru $x^2+3$ avem $a=\sqrt{3}$, iar rezultatul conține $\sqrt{3}$ atât în față, cât și la numitorul fracției din arctangentă. Un $a$ care nu e pătrat perfect nu e semn că ai greșit.

Ca la toate rândurile, tabelul se folosește după prelucrarea algebrică și după aplicarea liniarității, dovedită la Liniaritatea integralei nedefinite. La funcțiile trigonometrice, prelucrarea se sprijină pe identitatea ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, folosită în una dintre cele trei forme ale ei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două rânduri și un interval obligatoriu

Determină $\int \left(4\sin x-\frac{3}{{\cos }^{2}x}\right)dx$ pe intervalul $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Rezolvare. Primul termen e rândul 9, al doilea e rândul 11, luat cu constanta $3$ în față:

$$\int \left(4\sin x-\frac{3}{{\cos }^{2}x}\right)dx=-4\cos x-3\mathrm{tg}x+\mathcal{C}.$$

Intervalul din enunț nu e o alegere întâmplătoare: e cel mai mare interval care conține originea și pe care cosinusul nu se anulează. Dacă enunțul ar fi cerut rezultatul pe $\mathbb{R}$, răspunsul corect ar fi fost că funcția de integrat nici nu e definită acolo.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=\mathrm{ctg}x+\mathcal{C}$, pe $(0,\pi )$." Unde greșește?

Rezolvare. Intervalul e bine ales, dar semnul e greșit. Derivând ce a scris elevul obținem ${\left(\mathrm{ctg}x\right)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, adică funcția cu semn schimbat față de cea din enunț. Răspunsul corect este $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\mathrm{ctg}x+\mathcal{C}$. Greșeala vine din analogie cu rândul vecin, unde primitiva chiar e fără minus; regula care o taie e cea de la prima subsecțiune, iar proba prin derivare o taie și mai repede.

Exemplul 3 — O identitate care descurcă fracția

Determină $\int \frac{{\cos }^{2}x+2}{{\cos }^{2}x}dx$ pe intervalul $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Rezolvare. Împărțim termen cu termen: $\frac{{\cos }^{2}x+2}{{\cos }^{2}x}=1+\frac{2}{{\cos }^{2}x}$. Primul termen e rândul 1 din primul bloc, cu $n=0$, al doilea e rândul 11 cu constanta $2$ în față, deci

$$\int \frac{{\cos }^{2}x+2}{{\cos }^{2}x}dx=x+2\mathrm{tg}x+\mathcal{C}.$$

Reține tiparul: la fracțiile trigonometrice, primul gest nu e căutarea în tabel, ci împărțirea termen cu termen. Ea transformă o fracție care nu seamănă cu nimic în două rânduri cunoscute.

Exemplul 4 — Un model din electrotehnică

Prin bobina unui circuit trece un curent $i$, iar tensiunea la bornele bobinei verifică relația $u(t)=L\cdot i^{\prime }(t)$, unde $L=2$ henry este inductanța ei. Se măsoară $u(t)=10\sin t$ volți, iar la momentul $t=0$ curentul este nul. Determină $i(t)$ și valoarea maximă atinsă de curent.

Rezolvare. Din relația bobinei obținem $i^{\prime }(t)=\frac{u(t)}{L}=5\sin t$ amperi pe secundă. Curentul este așadar o primitivă a acestei funcții, iar rândul 9 dă $i(t)=-5\cos t+c$ amperi. Condiția $i(0)=0$ se scrie $-5+c=0$, deci $c=5$ și

$$i(t)=5-5\cos t.$$

Tehnica prin care constanta se determină dintr-o asemenea condiție e subiectul lecției Primitiva care trece printr-un punct dat. Modelul se citește imediat: cosinusul ia valori între $-1$ și $1$, deci curentul rămâne între $0$ și $10$ amperi, iar maximul de $10$ amperi se atinge când $\cos t=-1$. Curentul nu devine niciodată negativ, ceea ce se potrivește cu pornirea de la zero.

Exemplul 5 — Citește graficul

Figura arată graficul funcției $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x$. Ce se poate spune despre monotonia unei primitive a lui $f$ și unde are ea extreme? Scrie apoi mulțimea primitivelor.

Rezolvare. Fie $F$ o primitivă oarecare. Atunci $F^{\prime }=f$, deci semnul lui $f$ dă monotonia lui $F$ — legătura e cea de la monotonia cu ajutorul derivatei. Din grafic se citește că funcția e pozitivă pe prima jumătate a intervalului și negativă pe a doua, anulându-se la mijloc. Prin urmare $F$ crește, apoi scade, iar punctul în care graficul taie axa este punct de maxim pentru orice primitivă; capetele intervalului sunt puncte de minim. Constanta nu schimbă nimic din toate acestea. Mulțimea primitivelor se obține din rândul 9:

$$\int \sin xdx=-\cos x+\mathcal{C}.$$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\left(0,\frac{\pi }{2}\right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1+{\sin }^{3}x}{{\sin }^{2}x}$.

a) Arată că $f(x)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}+\sin x$ pentru orice $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

b) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

c) Arată că orice primitivă a lui $f$ este strict crescătoare pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

Rezolvare. a) Împărțim fiecare termen al numărătorului la ${\sin }^{2}x$. Primul dă $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, iar al doilea, simplificând, dă $\sin x$; împărțirea e legitimă pentru că pe intervalul dat sinusul nu se anulează.

b) Rândurile 12 și 9:

$$\int f(x)dx=-\mathrm{ctg}x-\cos x+\mathcal{C},x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right).$$

c) Fie $F$ o primitivă. Atunci $F^{\prime }=f$, iar pe intervalul dat sinusul este strict pozitiv, deci amândoi termenii lui $f$ sunt strict pozitivi. Rezultă $F^{\prime }(x)>0$ pe un interval, deci $F$ este strict crescătoare acolo. Concluzia nu depinde de constantă, deci este adevărată pentru orice primitivă.

Să exersăm

1. Determină $\int \left(\sin x+2\cos x\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

2. Determină $\int \frac{6}{{\cos }^{2}x}dx$ pe intervalul $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

3. Determină $\int \frac{3}{x^2+81}dx$ pe $\mathbb{R}$.

4. Determină $\int \frac{1}{\sqrt{49-x^2}}dx$ pe intervalul $(-7,7)$.

5. Determină $\int \left(\frac{2}{{\sin }^{2}x}-3\cos x\right)dx$ pe intervalul $(0,\pi )$.

6. Determină $\int \frac{4-{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}dx$ pe intervalul $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $F(x)=\mathrm{arctg}\frac{x}{8}$ este o primitivă a funcției $f(x)=\frac{1}{x^2+64}$ pe $\mathbb{R}$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $F(x)=\arcsin \frac{x}{13}$ este o primitivă a funcției $f(x)=\frac{1}{\sqrt{169-x^2}}$ pe intervalul $(0,13)$."

9. Determină $\int \left(3\sin x-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$ pe intervalul $(0,\pi )$.

10. (Problemă aplicată.) Capul de măsurare al unui aparat baleiază o suprafață rotindu-se cu viteza unghiulară $\omega (t)=2\cos t$ radiani pe secundă, unde $t$ este timpul în secunde. Unghiul $\theta$ verifică ${\theta }^{\prime }(t)=\omega (t)$. Determină mulțimea funcțiilor $\theta$ posibile și arată că unghiul baleiat între momentele $t=0$ și $t=\frac{\pi }{2}$ este de $2$ radiani, oricare ar fi constanta.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină $\int \frac{2}{x^2+3}dx$ pe $\mathbb{R}$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\left(0,\frac{\pi }{2}\right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$. a) Arată că $f(x)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$. b) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină $\int \left(\cos x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)dx$ pe intervalul $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

14. Explică, în două-trei propoziții, ce anume din scrierea numitorului deosebește o funcție care duce la arctangentă de una care duce la arcsinus.

15. Determină $\int \frac{{\sin }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}dx$ pe intervalul $(0,\pi )$.

16. Determină $\int \frac{1}{\sqrt{5-x^2}}dx$ și precizează intervalul pe care lucrezi.

17. Precizează cel mai mare interval care conține $\frac{\pi }{4}$ și pe care are sens formula rândului 12, apoi explică ce se întâmplă la capetele lui.

18. (Provocare.) Determină $\int \frac{2x^2+1}{x^2\left(x^2+1\right)}dx$ pe $(0,+\infty )$, știind că $\frac{2x^2+1}{x^2\left(x^2+1\right)}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2+1}$.

Răspunsuri și explicații

1. Rândurile 9 și 10: $\int \left(\sin x+2\cos x\right)dx=-\cos x+2\sin x+\mathcal{C}$.

2. Rândul 11, cu constanta scoasă în față: $\int \frac{6}{{\cos }^{2}x}dx=6\mathrm{tg}x+\mathcal{C}$.

3. Rândul 13 cu $a=9$, fiindcă $81=9^2$: $\int \frac{3}{x^2+81}dx=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{9}+\mathcal{C}$. Constanta $3$ din enunț se înmulțește cu factorul $\frac{1}{9}$ al formulei și dă $\frac{1}{3}$.

4. Rândul 14 cu $a=7$: $\int \frac{1}{\sqrt{49-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{7}+\mathcal{C}$, pe $(-7,7)$. Niciun factor în față.

5. Rândurile 12 și 10: $\int \left(\frac{2}{{\sin }^{2}x}-3\cos x\right)dx=-2\mathrm{ctg}x-3\sin x+\mathcal{C}$, pe $(0,\pi )$, unde sinusul nu se anulează.

6. Scriem întâi ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, deci numărătorul devine $4-\left(1-{\cos }^{2}x\right)=3+{\cos }^{2}x$. Împărțind termen cu termen rămâne $\frac{3}{{\cos }^{2}x}+1$, iar cu rândurile 11 și 1 obținem $\int \frac{4-{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}dx=3\mathrm{tg}x+x+\mathcal{C}$.

7. Fals. Lipsește factorul $\frac{1}{8}$ din față. Derivând $\mathrm{arctg}\frac{x}{8}$ obținem $\frac{8}{x^2+64}$, adică de opt ori funcția din enunț. Răspunsul corect este $\frac{1}{8}\mathrm{arctg}\frac{x}{8}+\mathcal{C}$. Confuzia vine de la rândul vecin, cel cu arcsinus, unde factorul chiar lipsește.

8. Adevărat. Este rândul 14 cu $a=13$, fiindcă $169=13^2$, iar acolo nu apare niciun factor în față: derivând, ${\left(\arcsin \frac{x}{13}\right)}^{\prime }=\frac{1}{13\sqrt{1-\frac{x^2}{169}}}=\frac{1}{\sqrt{169-x^2}}$. Intervalul $(0,13)$ nu este cel mai mare pe care merge formula, dar e cuprins în $(-13,13)$, iar cerința se verifică pe el la fel — tot așa cum Exemplul 6 și exercițiul 12 lucrează pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, deși rândul 12 are sens pe un interval mai mare.

9. Rândurile 9 și 12: $\int \left(3\sin x-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx=-3\cos x+\mathrm{ctg}x+\mathcal{C}$, pe $(0,\pi )$. Al doilea termen are plus, fiindcă minusul din enunț se întâlnește cu minusul din formulă.

10. Rândul 10, cu constanta $2$ în față: $\theta (t)=2\sin t+c$ radiani, cu $c$ număr real. Unghiul baleiat este diferența $\theta \left(\frac{\pi }{2}\right)-\theta (0)=\left(2+c\right)-\left(0+c\right)=2$ radiani, iar constanta se simplifică, deci rezultatul nu depinde de ea. Este firesc: constanta spune doar de la ce poziție a pornit capul de măsurare, nu cât s-a rotit.

11. Rândul 13 cu $a=\sqrt{3}$, pentru că $3={\left(\sqrt{3}\right)}^2$: $\int \frac{2}{x^2+3}dx=\frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{3}}+\mathcal{C}$. Faptul că $a$ nu e număr întreg nu schimbă nimic din formulă.

12. a) Folosim ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ la numărător și împărțim termen cu termen: $\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}+\frac{1}{{\sin }^{2}x}$. b) Cu rândurile 11 și 12 obținem $\int f(x)dx=\mathrm{tg}x-\mathrm{ctg}x+\mathcal{C}$, pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, interval pe care nici sinusul, nici cosinusul nu se anulează.

13. Rândurile 10 și 11: $\int \left(\cos x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)dx=\sin x+\mathrm{tg}x+\mathcal{C}$.

14. Hotărăște prezența radicalului și ordinea termenilor sub el. Fără radical, cu numitor sumă de pătrate, rezultatul e o arctangentă și poartă factorul $\frac{1}{a}$ în față. Cu radical din care se scade pătratul variabilei, rezultatul e un arcsinus, nu poartă niciun factor, iar intervalul de lucru e mărginit de cele două capete în care radicalul se anulează.

15. Numitorul este ${\sin }^{2}x$, prin identitatea fundamentală, deci fracția se simplifică și rămâne funcția constantă $1$; simplificarea e legitimă pentru că pe $(0,\pi )$ sinusul nu se anulează. Rezultă $\int \frac{{\sin }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}dx=x+\mathcal{C}$.

16. Rândul 14 cu $a=\sqrt{5}$: $\int \frac{1}{\sqrt{5-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{\sqrt{5}}+\mathcal{C}$, pe intervalul $\left(-\sqrt{5},\sqrt{5}\right)$, deschis la amândouă capetele, unde radicalul de la numitor se anulează.

17. Cel mai mare interval este $(0,\pi )$: el conține $\frac{\pi }{4}$ și nu conține niciun punct de forma $k\pi$. La capete, sinusul se anulează, deci funcția de integrat nici nu e definită acolo; intervalul se ia deschis, iar primitivele se aleg separat pe fiecare asemenea interval.

18. Folosim descompunerea dată în enunț. Primul termen e rândul 2 din primul bloc, cu $n=2$, al doilea e rândul 13 cu $a=1$, unde factorul din față valorează $1$. Prin urmare $\int \frac{2x^2+1}{x^2\left(x^2+1\right)}dx=-\frac{1}{x}+\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}$, pe $(0,+\infty )$.

De reținut

• Minusul stă la primitiva sinusului și la primitiva funcției $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, adică la funcțiile al căror partener din tabelul derivatelor începe cu „co".
• La rândurile cu pătrate la numitor, intervalul de lucru face parte din răspuns: domeniile au goluri, iar primitivele se definesc pe câte un interval.
• O fracție cu numitor sumă de pătrate duce la arctangentă, iar factorul $\frac{1}{a}$ din față este obligatoriu.
• Un radical la numitor, din care se scade pătratul variabilei, duce la arcsinus, iar acolo nu apare niciun factor în față; intervalul e mărginit de cele două capete în care radicalul se anulează.
• Numărul $a$ se citește ca rădăcina pătrată a termenului liber și nu trebuie să fie pătrat perfect; tabelul acestui profil nu conține primitivele tangentei și ale cotangentei.

Greșeli frecvente

• Muți minusul de la sinus la cosinus. Primitiva cosinusului e curată, $\sin x$; cea a sinusului poartă minusul. Inversarea lor schimbă semnul întregului răspuns, deși toate celelalte cifre sunt bune.
• Uiți factorul $\frac{1}{a}$ la arctangentă. E greșeala oglindă a celei dinainte și apare tocmai la elevii care au reținut bine rândul cu arcsinus: ei scriu $\mathrm{arctg}\frac{x}{a}$ curat, iar rezultatul iese de $a$ ori mai mare decât trebuie. Cele două rânduri seamănă la scriere și se deosebesc exact prin acest amănunt.
• Iei drept $a$ chiar termenul liber. Pentru numitorul $x^2+9$, numărul $a$ este $3$, nu $9$, pentru că formula cere pătratul lui $a$, nu pe $a$ însuși. Greșeala aceasta duce la un răspuns care arată perfect plauzibil, iar proba prin derivare este singura care o prinde.
• Scrii rezultatul „pe $\mathbb{R}$" la funcțiile cu pătrat la numitor. Punctele în care sinusul sau cosinusul se anulează nu sunt în domeniul funcției de integrat, deci nu pot fi în intervalul de lucru.
• Cauți în tabel primitiva tangentei. Ea nu se află printre rândurile acestui profil. Verifică întâi dacă o identitate trigonometrică nu transformă enunțul în ceva cunoscut; altfel, cerința nu este de nivelul acestei lecții.

Aplică acasă

1. Triajul în treizeci de secunde. Scrie pe bilețele separate zece numitori diferiți — unii cu radical, alții fără, unii cu sumă, alții cu diferență — și amestecă-le. Trage apoi câte un bilețel și spune cu voce tare, fără să calculezi nimic, ce fel de funcție va ieși: arctangentă, arcsinus sau niciuna dintre ele. Abia la sfârșit verifică-ți răspunsurile scriind primitivele. Antrenezi astfel citirea numitorului, care e pasul de care atârnă tot restul rezolvării.

2. Deducerea, refăcută singur. Reia, fără să te uiți în lecție, deducerea derivatei arctangentei, pornind de la identitatea care o definește, și fă același lucru pentru arcsinus. Dacă te blochezi, notează unde anume; locul acela e chiar pasul pe care nu l-ai înțeles, nu o scăpare de memorie.

3. Găsește o oscilație în manualul de fizică. Caută o mărime a cărei viteză de variație e dată de un sinus sau de un cosinus — o tensiune, un debit de aer, o deplasare —, scrie primitiva corespunzătoare, pune unitatea de măsură la rezultat și verifică dacă valorile obținute rămân între limitele pe care le dă manualul.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie tabelul primitivelor, iar partea ei cea mai valoroasă nu sunt cele patru formule trigonometrice, ci deducerea derivatelor pentru arctangentă și arcsinus. Ele nu se află în tabelul de clasa a XI-a al acestui profil, așa că lecția nu le poate presupune: le obține pe loc, din identitățile care definesc funcțiile inverse, cu regula funcțiilor compuse. Elevul vede astfel că o formulă nouă se poate produce, nu doar primi.

Ce verifică lecția, concret: semnele de la cele patru rânduri trigonometrice; precizarea intervalului la funcțiile cu domeniu întrerupt; prezența factorului $\frac{1}{a}$ la arctangentă și absența lui la arcsinus; recunoașterea rândului după forma numitorului; folosirea identității fundamentale ca prim gest la fracțiile trigonometrice.

Întrebări bune de control: „Care dintre cele două primitive trigonometrice poartă minus și de ce?"; „Pe ce interval ai lucrat și ce se întâmplă la capetele lui?"; „Ce se schimbă în răspuns dacă apare un radical la numitor?"; „Cum îți verifici singur rezultatul?". Semn că a înțeles: se oprește o clipă să citească numitorul înainte de a scrie ceva și își derivează rezultatul din proprie inițiativă.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținutul „Tabelul primitivelor uzuale". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde rândul „Primitive uzuale" la capitolul Primitive, iar funcțiile trigonometrice directe și inverse la clasa a X-a — tema se cere, așadar, la amândouă examenele, iar exercițiile poartă marcajul simplu. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Care sunt primitivele funcțiilor trigonometrice de bază?

Primitiva sinusului este $-\cos x+\mathcal{C}$, iar a cosinusului este $\sin x+\mathcal{C}$, amândouă pe $\mathbb{R}$. La acestea se adaugă $\mathrm{tg}x+\mathcal{C}$ pentru $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ și $-\mathrm{ctg}x+\mathcal{C}$ pentru $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, de data aceasta pe câte un interval care evită punctele în care numitorul se anulează. Semnele se controlează prin derivare: derivata lui $-\cos x$ este $\sin x$, deci minusul din fața cosinusului este necesar.

Când iese arctangentă și când iese arcsinus?

Decide numitorul. Fără radical, cu o sumă de pătrate dedesubt, rezultatul este o arctangentă. Cu radical, din care se scade pătratul variabilei, rezultatul este un arcsinus. Primul poartă factorul $\frac{1}{a}$ în față, al doilea nu; deosebirea aceasta e amănuntul care schimbă complet răspunsul, deși cele două rânduri seamănă la scriere.

De unde știm cât este derivata arctangentei, dacă nu e în tabelul de clasa a XI-a?

Se obține pe loc, în lecție, fără să fie luată de nicăieri. Se pornește de la egalitatea care definește funcția inversă, se aplică regula de derivare a funcțiilor compuse pe amândouă părțile ei, apoi se înlocuiește $\frac{1}{{\cos }^{2}t}$ cu $1+{\mathrm{tg}}^{2}t$, egalitate care iese din identitatea fundamentală. Cum tangenta numărului $\mathrm{arctg}x$ este chiar $x$, numitorul devine $1+x^2$.

Numărul $a$ trebuie să fie pătrat perfect?

Nu. Pentru numitorul $x^2+3$ avem $a=\sqrt{3}$, iar rezultatul conține radicalul respectiv atât în față, cât și sub arctangentă. Formula nu cere nicio condiție în afară de $a>0$; un răspuns cu radicali nu e semn de greșeală, ci de numitor care nu era pătrat perfect.

De ce nu apare tangenta în tabelul de la științe ale naturii?

Pentru că nicio funcție din tabelul derivatelor nu are ca derivată tangenta, deci rândul nu se poate obține prin citire inversă. Primitiva ei se calculează prin schimbare de variabilă, metodă care la acest profil apare abia la integrala definită. Până atunci, o tangentă sub semnul integralei se rezolvă, dacă se poate, printr-o identitate trigonometrică.

Prin ce diferă această lecție de cea de la mate-info (M1)?

La matematică-informatică, aceleași două rânduri stau alături de alte patru, care duc la logaritmi cu radicali și la logaritmul unui raport; ele cer formule pe care programa de științe ale naturii nu le folosește, fiindcă drumul spre acele funcții trece la noi prin descompunerea în fracții simple. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: Primitive cu arctangentă, arcsinus și logaritm.

La ce subiect apar aceste primitive la bacalaureatul M2?

În modelul oficial publicat pentru proba actuală, cerințele de analiză stau la Subiectul al III-lea, iar primele două cerințe ale problemei de integrale încep amândouă cu o prelucrare algebrică a funcției date; rândul din tabel se folosește abia după ea. Cerințele din lecție sunt construite în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există subiecte publicate, ci doar programa, care așază tema la Analiză matematică.

Ce urmează, după ce tabelul e complet?

Urmează întrebarea care închide capitolul: care funcții au, de fapt, primitive. Regula se învață la Ce funcții admit primitive, iar apoi se trece la determinarea unei singure primitive, dintr-o condiție dată, și la recunoașterea formei potrivite în enunțurile de examen.