Un elev afirmă că o primitivă a funcției $$f(x)=8x^{3}+5$$ este $$F(x)=2x^{4}+5$$. Care este greșeala?

Constanta $$5$$ trebuia să devină $$5x$$.

Coeficientul $$2$$ trebuia să fie $$8$$.

Exponentul trebuia să rămână $$3$$.

Ce primitivă are f(x)=(x+1)²?

Poți desface pătratul, x²+2x+1, și obții x³/3+x²+x. Sau poți observa că (((x+1)³)/3)'=(x+1)². Desfăcând cubul, ((x+1)³)/3= x³/3+x²+x+ 1/3, se vede că cele două rezultate diferă prin constanta 1/3, deci ambele sunt corecte.

Care este primitiva unei funcții constante?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Ce este o primitivă

Primitiva funcției constante $f (x) = c$ este $F (x) = c x$ , la care se poate adăuga orice număr, fiindcă $(c x)^{'} = c$ . Constanta nu rămâne constantă: capătă un $x$ alături. Exemplu: pentru $f (x) = 7$ o primitivă este $7 x$ , iar pentru $f (x) = 4 x^{3} - 7$ o primitivă este $x^{4} - 7 x$ . Verificarea se face derivând: $(x^{4} - 7 x)^{'} = 4 x^{3} - 7$ . Dacă ai scrie $x^{4} - 7$ , derivata ar fi doar $4 x^{3}$ .

Numim $F$ primitivă a lui $f$ pe un interval dacă $F$ are derivată în orice punct de acolo și dacă derivata coincide pretutindeni cu $f$ . Trei amănunte ale definiției se pierd ușor: derivabilitatea cerută pe tot intervalul, egalitatea cerută în orice punct și faptul că mulțimea de lucru trebuie să fie dintr-o bucată.

Controlul se face în sens invers, printr-o singură operație: derivezi candidatul și compari. El nu e o estimare, ci o hotărâre — situație rară în matematica de liceu, de care merită profitat.

Când nu ți se dă niciun candidat, mergi îndărăt pe formula puterii: ridici gradul cu o unitate, apoi împarți la gradul proaspăt obținut. Polinoamele se tratează bucată cu bucată. Atenție la termenul fără $x$ : el nu rămâne cum era, ci capătă un $x$ alături, fiindcă derivata lui $c x$ este $c$ . A doua capcană e gradul urcat, dar neîmpărțit.

Răspunsul nu e unic — adaugi orice număr și obții iar o primitivă. De aceea articolul potrivit e cel nehotărât, iar când foaia ta diferă de rezolvare, verifică întâi dacă distanța dintre ele nu e o simplă constantă.

De reținut

primitiva lui $c$ este $c x$ (plus orice constantă), fiindcă $(c x)^{'} = c$
$F$ este primitivă a lui $f$ dacă $F^{'} = f$ pe tot intervalul
primitiva unui polinom de gradul $n$ are gradul $n + 1$

Greșeala tipică

Primitiva lui $7$ se scrie tot $7$ ; derivata unei constante este $0$ , deci corect primitiva este $7 x$ , la care se poate adăuga orice număr.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre funcțiile de mai jos este o primitivă a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 10 x^{4} - 3$ ?
- a) $2 x^{5} - 3$
- b) $40 x^{3}$
- c) $2 x^{5} - 3 x$
- d) $10 x^{5} - 3 x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2 x^{5} - 3 x$

Controlul se face derivând. Pentru $F (x) = 2 x^{5} - 3 x$ obținem $F^{'} (x) = 10 x^{4} - 3$ , adică exact funcția dată. Varianta a) lasă constanta neschimbată, deci derivata ei este doar $10 x^{4}$ ; b) este derivata lui $f$ , nu o primitivă a ei; d) urcă exponentul fără să împartă la noul exponent și dă $50 x^{4} - 3$ .
Determină numărul real $a$ pentru care $F (x) = a x^{4} - 2 x$ este o primitivă a funcției $f (x) = 28 x^{3} - 2$ pe $R$ .
- a) $a = 28$
- b) $a = 7$
- c) $a = 4$
- d) $a = \frac{28}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a = 7$

Derivăm: $F^{'} (x) = 4 a x^{3} - 2$ . Condiția $F^{'} (x) = f (x)$ pentru orice $x$ real cere egalitatea coeficienților termenilor de același grad, deci $4 a = 28$ și $a = 7$ . Termenii liberi coincid deja. Proba: pentru $a = 7$ avem $F (x) = 7 x^{4} - 2 x$ și $F^{'} (x) = 28 x^{3} - 2$ .
Un elev afirmă că o primitivă a funcției $f (x) = 8 x^{3} + 5$ este $F (x) = 2 x^{4} + 5$ . Care este greșeala?
- a) Coeficientul $2$ trebuia să fie $8$ .
- b) Exponentul trebuia să rămână $3$ .
- c) Constanta $5$ trebuia să devină $5 x$ .
- d) Nu este nicio greșeală.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Constanta $5$ trebuia să devină $5 x$ .

Derivăm ce a scris elevul: $F^{'} (x) = 8 x^{3}$ , fiindcă derivata constantei $5$ este nulă, deci termenul liber al lui $f$ nu are de unde să apară. Partea cu $x^{4}$ este corectă: din $8 x^{3}$ iese $\frac{8 x ^{4}}{4} = 2 x^{4}$ . Răspunsul bun este $F (x) = 2 x^{4} + 5 x$ , iar proba îl confirmă: $F^{'} (x) = 8 x^{3} + 5$ .

Întrebări conexe

Ce legătură are semnul unei funcții cu monotonia primitivei ei?

Cum $F^{'} = f$ , primitiva crește acolo unde $f > 0$ și scade unde $f < 0$ . Pentru $f (x) = x^{2} - 9$ , orice primitivă scade pe $(- 3, 3)$ și crește pe $(- \infty, - 3)$ și pe $(3, + \infty)$ , deci are un maxim în $- 3$ și un minim în $3$ .

Ce grad are primitiva unui polinom de gradul $n$ ?

Gradul $n + 1$ : termenul dominant $a x^{n}$ devine $\frac{a}{n + 1} x^{n + 1}$ . Un polinom de gradul $3$ are primitive de gradul $4$ , iar o constantă nenulă, de gradul $0$ , are primitive de gradul întâi, de forma $c x + k$ .

Ce primitivă are accelerația constantă în mișcarea unui corp?

Viteza este o primitivă a accelerației: la $a = 9, 8$ m/s² se obține $v (t) = 9, 8 t + v_{0}$ . Pentru un corp lăsat liber, $v_{0} = 0$ , deci după $3$ s viteza este $9, 8 \cdot 3 = 29, 4$ m/s, dacă neglijăm rezistența aerului.

Care sunt primitivele funcției nule?

Sunt funcțiile constante pe interval: derivata oricărui număr este $0$ , iar pe un interval o funcție cu derivata nulă nu își schimbă valoarea. Așadar $F (x) = 5$ , $F (x) = - 2$ sau $F (x) = 0$ sunt toate primitive ale funcției nule.

Ce primitivă are $f (x) = (x + 1)^{2}$ ?

Poți desface pătratul, $x^{2} + 2 x + 1$ , și obții $\frac{x ^{3}}{3} + x^{2} + x$ . Sau poți observa că $(\frac{( x + 1 ) ^{3}}{3})^{'} = (x + 1)^{2}$ . Desfăcând cubul, $\frac{( x + 1 ) ^{3}}{3} = \frac{x ^{3}}{3} + x^{2} + x + \frac{1}{3}$ , se vede că cele două rezultate diferă prin constanta $\frac{1}{3}$ , deci ambele sunt corecte.

Oamenii mai întreabă și: primitiva unei constante · primitiva lui 7 · cât este primitiva unui număr · integrala unei constante