Primitive: problema inversă a derivării (M2, științe ale naturii)

Un elev de la clubul de biologie măsoară în fiecare dimineață cât a crescut peste noapte tulpina unei floarea-soarelui și notează cifra în milimetri pe zi. După două săptămâni are un caiet plin de ritmuri, dar nu are ceea ce îl interesează de fapt: cât de înaltă este planta. Cu aceeași nedumerire începe ultimul capitol de analiză matematică al clasei a XII-a la profilul științe ale naturii (M2): ai în mână viteza cu care se schimbă ceva și îți trebuie lucrul care se schimbă. Funcția căutată se numește primitivă, iar cerințele construite pe ea ajung, la bacalaureatul M2, la Subiectul al III-lea.

Lecția nu aduce nicio formulă de derivare nouă — le folosește pe cele pe care le știi deja, citite de la dreapta la stânga. Tema se învață pentru amândouă generațiile de examen: apare în programa din 2014, pe care o dau sesiunile 2027, 2028 și 2029, și rămâne în programa nouă, pentru proba MAT_P2 din 2030, în domeniul „Analiză matematică".

Ce vei învăța

• Vei ști să spui ce este o primitivă a unei funcții pe un interval, cu toate condițiile din definiție.
• Vei ști să decizi prin derivare, într-un singur rând, dacă o funcție dată este primitiva alteia.
• Vei ști să construiești o primitivă pentru un polinom, mergând invers pe formula puterii.
• Vei ști de ce răspunsul corect este „o primitivă", niciodată „primitiva", și cum arată celelalte.
• Vei ști să determini un coeficient necunoscut dintr-o cerință de tipul „arătați că $F$ este primitivă a lui $f$".
• Vei ști să citești o problemă din științe în care se dă ritmul și se cere mărimea.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să mergi înapoi, de la derivată la funcție?

Anul trecut, drumul avea o singură direcție: primeai o expresie, aplicai o formulă din tabelul derivatelor sau o regulă de derivare și obțineai ritmul ei de variație. De astăzi mergem invers: ți se dă ritmul și se cere expresia din care a ieșit.

Primitiva funcției $f$ pe intervalul $I$ este o funcție $F$, derivabilă în fiecare punct al lui $I$, pentru care $F^{\prime }(x)=f(x)$ oricare ar fi $x\in I$. Când o asemenea funcție $F$ există, se spune că $f$ admite primitive pe $I$.

Trei cerințe din această propoziție nu sunt decorative. Întâi, derivabilitatea pe tot $I$: nu ajunge ca $F$ să aibă derivată în câteva puncte alese pe sprânceană. Apoi, cuantificatorul: egalitatea trebuie să fie adevărată în fiecare punct al mulțimii, nu numai acolo unde cifrele ies frumos. În fine, mulțimea $I$, despre care vorbim imediat.

Privește un caz concret. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2-17$, funcția $F(x)=2x^3-17x$ este o primitivă: e polinomială, deci derivabilă pe tot $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=6x^2-17=f(x)$. Nu am descoperit nimic ingenios — am mers înapoi pe o formulă cunoscută și am controlat rezultatul derivând.

2. De ce apare cuvântul „interval" în definiție?

Pentru că tot ce se poate spune despre legătura dintre o funcție și derivata ei se spune pe un interval. Regula monotoniei, fixată la monotonia din semnul derivatei, cere explicit ca domeniul să fie de o singură bucată; la fel vor cere și rezultatele acestui capitol.

Nu contează dacă $I$ e mărginit sau nu, nici dacă își cuprinde capetele; contează să fie dintr-o singură bucată. Când domeniul unei funcții e format din mai multe bucăți, alegi una, lucrezi acolo și abia la sfârșit pui rezultatele cap la cap. De aceea numele intervalului face parte din enunț, nu din decor: orice afirmație a acestui capitol se termină cu „pe intervalul $I$".

Funcțiile din lecția de față sunt polinoame, definite și derivabile pe tot $\mathbb{R}$, care este un interval. Asta îți permite să te concentrezi pe mecanism; cazurile în care alegerea intervalului chiar contează vin la ce funcții admit primitive.

3. Cum verifici că o funcție este primitivă a alteia?

Printr-un singur calcul, făcut în sens invers: iei candidatul, îl derivezi și te uiți dacă ai ajuns la funcția din enunț. Coincidența pe tot intervalul înseamnă da; o singură abatere înseamnă nu.

Merită observat cât de nedreaptă e împărțirea muncii între cele două operații. Ca să derivezi, ai un algoritm complet: orice expresie formată din funcțiile uzuale are derivata ei, calculabilă mecanic. Ca să găsești o primitivă, nu ai niciun algoritm general — ai formule citite invers, încercări și corecturi. În schimb ai, oricând, un control care nu dă greș.

Iată-l la lucru. Este $F(x)=x^3+10x^2-7x+2$ o primitivă a funcției $f(x)=3x^2+20x-7$ pe $\mathbb{R}$? Derivăm termen cu termen: $F^{\prime }(x)=3x^2+20x-7+0$, adică exact $f(x)$. Da, este — și observă că termenul liber $2$ a dispărut la derivare, fără să strice nimic. Vom vedea în subsecțiunea 5 că tocmai acest termen liber ascunde o întreagă familie de răspunsuri.

Merită apăsat pe un cuvânt: verificarea aceasta este completă. Nu spune „probabil e bine", ci decide. Dacă derivata candidatului coincide cu funcția dată pe tot intervalul, răspunsul este corect, indiferent cât de neobișnuit arată; dacă nu coincide măcar într-un punct, este greșit, indiferent cât de frumos arată. Nu mai există niciun al doilea control de făcut, iar asta este o situație rară în matematica de liceu — profită de ea.

4. Cum construiești o primitivă, când nu ți se dă niciun candidat?

Aici lucrezi cu o singură formulă, citită invers. Știi că ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$: derivarea coboară exponentul cu o unitate și îl aduce în față ca factor. Mersul înapoi face exact contrariul — urcă exponentul cu o unitate și împarte la noul exponent. Pentru $x^n$ se ajunge astfel la $\frac{x^{n+1}}{n+1}$, iar controlul e imediat, derivând.

Pentru un polinom se lucrează termen cu termen. Dacă $f(x)=a{x}^2+bx+c$, primul termen cere o expresie de gradul al treilea, al doilea una de gradul al doilea, iar constanta $c$ cere termenul $cx$ — fiindcă $(cx{)}^{\prime }=c$. Aceasta este, de altfel, capcana numărul unu a capitolului: constanta nu rămâne constantă, ci devine un termen de gradul întâi.

Nu memora rezultatul, ci mișcarea: urci gradul, împarți la noul grad, verifici derivând. Iar când vei avea nevoie și de alte funcții decât polinoamele, mișcarea se va aduna într-un tabel, la lecția despre tabelul primitivelor.

5. De ce spunem „o primitivă", și nu „primitiva"?

Pentru că nu e una singură. Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $I$ și $c$ este un număr real oarecare, atunci și $F+c$ este o primitivă a aceleiași funcții: derivata unei constante este nulă, deci $(F+c{)}^{\prime }=F^{\prime }=f$. O funcție care are măcar o primitivă are, prin urmare, o infinitate.

Cazul de margine lămurește cel mai bine situația. Ia funcția identic nulă, $f(x)=0$ pentru orice $x$ real. Primitivele ei sunt toate funcțiile constante, fiindcă exact acelea au derivata nulă pe un interval. Deci chiar cea mai simplă funcție cu putință are o infinitate de primitive, iar ele diferă între ele printr-un număr.

De aici vine și o deprindere de redactare care te scutește de nedumeriri când îți compari răspunsul. Când ți se cere „o primitivă", alegi varianta cea mai simplă, cea fără termen liber, și scrii doar atât. Când vezi în rezolvarea de control altă funcție decât a ta, prima verificare pe care o faci este dacă cele două nu cumva diferă printr-un număr: dacă da, amândouă sunt corecte, iar diferența e doar o alegere.

Întrebarea firească — acestea sunt toate? — are un răspuns, dar el cere un rezultat de clasa a XI-a pe care îl vom folosi în lecția următoare, despre mulțimea primitivelor și integrala nedefinită. Până atunci, reține regula de limbaj: la o cerință care începe cu „determinați o primitivă" se scrie un singur răspuns; la una care cere „toate primitivele" răspunsul se termină cu o constantă.

6. Cum se scrie o rezolvare completă?

În trei mișcări, mereu în aceeași ordine. Prima: scrii pe ce interval lucrezi și de ce funcția propusă e derivabilă acolo („este funcție polinomială, deci este derivabilă pe $\mathbb{R}$"). A doua: calculezi derivata și o scrii ca expresie, nu ca rezultat comentat. A treia: compari cu funcția din enunț și închei cu propoziția completă, care conține și numele intervalului.

Ordinea nu e un moft de profesor. În modelul oficial publicat pentru proba actuală, primele două cerințe ale problemei de integrale de la Subiectul al III-lea încep cu cuvântul „Arătați că", iar cuvântul acesta cere un raționament scris, nu doar o cifră. Primul pas — intervalul — pare o formalitate, dar fără el afirmația despre derivabilitate nu are pe ce se sprijini.

Cerința inversă, „determinați o primitivă a funcției $f$", se scrie la fel de scurt, dar în altă ordine: construiești candidatul cu regula din subsecțiunea 4, apoi îl derivezi și arăți că ai obținut funcția din enunț. Partea de căutare rămâne pe ciornă; pe foaie ajunge doar rezultatul și proba lui. În modelul oficial publicat pentru proba actuală, fiecare dintre cele șase cerințe ale Subiectului al III-lea valorează cinci puncte, deci o rezolvare completă de acest fel încape în câteva rânduri.

7. Cum arată toate acestea într-un model din științe?

Ne întoarcem la planta din deschidere. Elevul constată că, în primele zile, ritmul de alungire al tulpinii crește aproape liniar și îl descrie prin $r(t)=4t+13$, unde $t$ este numărul de zile de la prima măsurătoare, iar $r(t)$ se exprimă în milimetri pe zi. Înălțimea $h$ are atunci derivata $h^{\prime }(t)=r(t)$, deci $h$ este o primitivă a ritmului.

Mergând invers pe formula puterii, o candidată este $2t^2+13t$, iar toate celelalte se obțin adunând o constantă: $h(t)=2t^2+13t+c$, cu $h$ măsurat în milimetri. Modelul are sens numai cât timp planta crește în acest ritm, adică pe intervalul $[0,14]$ al celor două săptămâni de observație; dincolo de el, floarea-soarelui își încetinește creșterea, iar formula nu mai descrie nimic.

Observă ce spune constanta: ea este înălțimea de la care s-a pornit măsurarea și nu poate fi aflată din ritm. Datele despre viteza de creștere nu conțin nicio informație despre cât de înaltă era planta în prima zi. Aceasta e, în miniatură, toată povestea constantei din capitolul de față.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea unei primitive de gradul al patrulea

Arată că $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=2x^4-x^3+6x$, este o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=8x^3-3x^2+6$.

Rezolvare. Funcția $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$. Derivăm termen cu termen: $F^{\prime }(x)=8x^3-3x^2+6$, pentru orice $x$ real. Cum $F^{\prime }(x)=f(x)$ pe tot $\mathbb{R}$, funcția $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$. Observă că termenul $6x$ din $F$ a dat constanta $6$ din $f$.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un elev a scris: „o primitivă a funcției $f(x)=9x^2+20x$ este $F(x)=9x^3+10x^2$". Găsește greșeala și corecteaz-o.

Rezolvare. Controlăm prin derivare: $F^{\prime }(x)=27x^2+20x$, care nu coincide cu $f(x)$. Al doilea termen e bun, primul nu. Elevul a urcat corect exponentul, dar a uitat să împartă la noul exponent: din $9x^2$ trebuie să iasă $\frac{9x^3}{3}=3x^3$, nu $9x^3$. Răspunsul corect este $F(x)=3x^3+10x^2$, iar proba o confirmă: $F^{\prime }(x)=9x^2+20x$.

Exemplul 3 — Construirea unei primitive

Determină o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=12x^2+10x-9$.

Rezolvare. Mergem termen cu termen. Pentru $12x^2$ urcăm exponentul la $3$ și împărțim la $3$, deci $4x^3$. Pentru $10x$ urcăm la $2$ și împărțim la $2$, deci $5x^2$. Pentru constanta $-9$ scriem $-9x$. Propunem $F(x)=4x^3+5x^2-9x$ și verificăm: $F^{\prime }(x)=12x^2+10x-9=f(x)$ pe $\mathbb{R}$.

Exemplul 4 — Un model din geologie

Grosimea stratului de sediment depus pe fundul unui lac este descrisă, după $t$ ani de la începutul măsurătorilor, de funcția $g(t)=3t^2+11t$, cu $g$ măsurat în milimetri, pe intervalul $[0,20]$. Arată că ritmul de depunere prevăzut de model este $r(t)=6t+11$ și calculează ritmul în al patrulea an.

Rezolvare. Ritmul de depunere este derivata grosimii, deci $r(t)=g^{\prime }(t)=6t+11$, exprimat în milimetri pe an. Altfel spus, $g$ este o primitivă a lui $r$ pe $[0,20]$. În al patrulea an, $r(4)=35$ milimetri pe an. Valoarea este pozitivă pe tot intervalul, ceea ce se și cuvine: sedimentul se depune, stratul nu se subțiază.

Exemplul 5 — Un coeficient necunoscut

Determină numărul real $m$ pentru care funcția $F(x)=x^3+m{x}^2+4x$ este o primitivă a funcției $f(x)=3x^2-14x+4$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Derivăm: $F^{\prime }(x)=3x^2+2mx+4$. Condiția $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x$ real înseamnă egalitatea coeficienților termenilor de același grad. Termenii de gradul al doilea și cei liberi coincid deja, iar din $2m=-14$ obținem $m=-7$. Proba: pentru $m=-7$ avem $F(x)=x^3-7x^2+4x$ și $F^{\prime }(x)=3x^2-14x+4$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=9x^2+2x-5$.

a) Arată că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=3x^3+x^2-5x$, este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$.

b) Arată că și funcția $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $G(x)=3x^3+x^2-5x+7$, este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$.

c) Determină numărul real $a$ pentru care funcția $K:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $K(x)=a{x}^3+x^2-5x$, este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. a) Funcția $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=9x^2+2x-5=f(x)$ pentru orice $x$ real.

b) La fel, $G^{\prime }(x)=9x^2+2x-5=f(x)$: termenul liber $7$ dispare la derivare. Deci $G$ este și ea o primitivă a lui $f$, deși este o altă funcție decât $F$.

c) Avem $K^{\prime }(x)=3a{x}^2+2x-5$, iar condiția $K^{\prime }(x)=f(x)$ dă $3a=9$, adică $a=3$.

Să exersăm

1. Arată că $F(x)=6x^3+2x^2$ este o primitivă a funcției $f(x)=18x^2+4x$ pe $\mathbb{R}$.

2. Arată că $F(x)=x^2-7x$ este o primitivă a funcției $f(x)=2x-7$ pe $\mathbb{R}$.

3. Arată că $F(x)=5x^4+9x$ este o primitivă a funcției $f(x)=20x^3+9$ pe $\mathbb{R}$.

4. Determină o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=15x^2-8x+3$.

5. Determină o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=11-6x^2$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Funcția $F(x)=4x^3-13$ este o primitivă a funcției $f(x)=12x^2-13$ pe $\mathbb{R}$.

7. Verifică dacă $F(x)=2x^3-7x^2+11$ este o primitivă a funcției $f(x)=6x^2-14x$ pe $\mathbb{R}$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=x^3+9x^2-5x$, este o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+18x-5$.

9. Determină numărul real $a$ pentru care $F(x)=a{x}^3+13x$ este o primitivă a funcției $f(x)=15x^2+13$ pe $\mathbb{R}$.

10. Determină numărul real $b$ pentru care $F(x)=4x^3+b{x}^2-x$ este o primitivă a funcției $f(x)=12x^2+14x-1$ pe $\mathbb{R}$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=12x^2-6x+7$. Arată că $F(x)=4x^3-3x^2+7x$ este o primitivă a lui $f$ și calculează $F(2)$.

12. Arată că funcțiile $F(x)=x^4+13x$ și $G(x)=x^4+13x-9$ sunt primitive ale aceleiași funcții pe $\mathbb{R}$ și scrie acea funcție.

13. (Problemă aplicată.) Într-un bazin de fermentare, biogazul se degajă cu ritmul $r(t)=9t^2+4$, măsurat în metri cubi pe oră, unde $t$ este timpul scurs de la pornire, pe intervalul $[0,8]$. Arată că funcția $V(t)=3t^3+4t$ este una dintre primitivele lui $r$ pe acest interval, precizează unitatea de măsură a lui $V$ și calculează $V(4)$.

14. Determină o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+5)(6x-2)$.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $F$ este o primitivă a funcției $f$ pe $\mathbb{R}$ și $F(3)=0$, atunci $f(3)=0$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-14x+8$. a) Arată că $F(x)=x^3-7x^2+8x$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$. b) Calculează $F(1)$ și $F(3)$. c) Arată că, pentru orice număr real $c$, funcția $x\mapsto x^3-7x^2+8x+c$ este tot o primitivă a lui $f$.

17. Arată că $F(x)=x^4-x^3+x^2-x$ este o primitivă a funcției $f(x)=4x^3-3x^2+2x-1$ pe $\mathbb{R}$.

18. (Provocare.) Determină numerele reale $p$ și $q$ pentru care funcția $F(x)=p{x}^3+q{x}^2+4x$ este o primitivă a funcției $f(x)=24x^2-10x+4$ pe $\mathbb{R}$.

Răspunsuri și explicații

1. $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=18x^2+4x$, adică exact funcția dată.

2. $F^{\prime }(x)=2x-7$ pe $\mathbb{R}$, deci afirmația e adevărată; termenul $-7x$ a dat constanta $-7$.

3. $F^{\prime }(x)=20x^3+9$ pe $\mathbb{R}$, deci $F$ este o primitivă a funcției date.

4. $F(x)=5x^3-4x^2+3x$, fiindcă $F^{\prime }(x)=15x^2-8x+3$. Orice funcție de forma $5x^3-4x^2+3x+c$ este tot un răspuns corect.

5. $F(x)=11x-2x^3$, fiindcă $F^{\prime }(x)=11-6x^2$. Constanta $11$ a devenit termenul $11x$.

6. Fals. Avem $F^{\prime }(x)=12x^2$, iar constanta $-13$ dispare la derivare, deci nu are cum să reapară în rezultat. O primitivă a funcției din enunț este $G(x)=4x^3-13x$, fiindcă $G^{\prime }(x)=12x^2-13$.

7. Da: $F^{\prime }(x)=6x^2-14x$ pe $\mathbb{R}$. Termenul liber $11$ nu strică nimic, fiindcă derivata lui este nulă.

8. $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=3x^2+18x-5=f(x)$ pentru orice $x$ real.

9. $F^{\prime }(x)=3a{x}^2+13$, iar condiția $3a=15$ dă $a=5$.

10. $F^{\prime }(x)=12x^2+2bx-1$, iar din $2b=14$ rezultă $b=7$.

11. $F^{\prime }(x)=12x^2-6x+7=f(x)$ pe $\mathbb{R}$, deci $F$ este o primitivă a lui $f$. Apoi $F(2)=34$.

12. Amândouă au derivata $4x^3+13$, deci sunt primitive ale funcției $f(x)=4x^3+13$; ele diferă printr-o constantă, iar constanta dispare la derivare.

13. Funcția $V$ este polinomială, deci derivabilă pe $[0,8]$, iar $V^{\prime }(t)=9t^2+4=r(t)$ pe tot intervalul, deci $V$ este una dintre primitivele lui $r$ acolo. Ea se măsoară în metri cubi, fiindcă ritmul este dat în metri cubi pe oră. Apoi $V(4)=192+16=208$ metri cubi. Ritmul este pozitiv pe tot intervalul, ceea ce se și cuvine: gazul se degajă, nu se întoarce în bazin.

14. Desfacem întâi parantezele: $f(x)=6x^2+28x-10$. O primitivă este $F(x)=2x^3+14x^2-10x$, ceea ce se verifică derivând.

15. Fals. Valoarea unei primitive într-un punct și valoarea funcției în acel punct sunt mărimi diferite: a doua este panta primeia, nu înălțimea ei. Un contraexemplu: pentru funcția constantă $f(x)=11$, funcția $F(x)=11x-33$ este o primitivă pe $\mathbb{R}$, fiindcă $F^{\prime }(x)=11$; ea are $F(3)=0$, dar $f(3)=11$.

16. a) $F^{\prime }(x)=3x^2-14x+8=f(x)$ pentru orice $x$ real. b) $F(1)=2$ și $F(3)=-12$. c) Derivata sumei dintre $F$ și o constantă este $F^{\prime }$, fiindcă derivata unei constante este nulă; prin urmare orice funcție de forma dată are derivata $f$.

17. $F^{\prime }(x)=4x^3-3x^2+2x-1$ pe $\mathbb{R}$, deci afirmația este adevărată.

18. Derivăm: $F^{\prime }(x)=3p{x}^2+2qx+4$. Egalăm coeficienții termenilor de același grad cu cei ai lui $f$: din $3p=24$ rezultă $p=8$, iar din $2q=-10$ rezultă $q=-5$. Termenii liberi coincid deja. Răspuns: $p=8$ și $q=-5$.

De reținut

• O primitivă a lui $f$ pe $I$ este o funcție derivabilă pe tot intervalul, al cărei ritm de variație coincide, punct cu punct, cu $f$.
• Verificarea se face într-un singur pas, derivând candidatul; ea este completă și nu are variante.
• Se merge invers pe formula puterii: exponentul urcă cu o unitate, iar expresia se împarte la noul exponent.
• O constantă din funcția dată devine un termen de gradul întâi în primitivă, fiindcă $(cx{)}^{\prime }=c$.
• O funcție care admite o primitivă admite o infinitate: adunând o constantă la $F$ se obține tot o primitivă.

Greșeli frecvente

• Lași constanta neschimbată. Din $f(x)=9x^2+7$ nu iese o primitivă care se termină cu $+7$, ci una care se termină cu $+7x$. Termenul liber este singurul care „urcă" în grad fără să se împartă la nimic.
• Urci exponentul, dar uiți să împarți. Este greșeala din Exemplul 2: din $9x^2$ iese $3x^3$, nu $9x^3$. Proba prin derivare o prinde în două secunde, de aceea nu ai voie să o sari.
• Confunzi sensul cerinței. „Arătați că $F$ este o primitivă a lui $f$" cere derivarea lui $F$, nu căutarea unei primitive pentru $f$. Cine pornește să caute rezolvă altă problemă decât cea cerută și pierde timp.
• Aplici unei primitive regulile care merg la constante. Adunarea unei constante păstrează proprietatea de primitivă, dar înmulțirea cu un număr o strică, iar ridicarea la putere cu atât mai mult.
• Sari peste interval. O rezolvare care începe direct cu derivata, fără propoziția despre derivabilitatea pe intervalul din enunț, este incompletă chiar dacă toate cifrele din ea sunt corecte.

Aplică acasă

1. Coloana de ritmuri. Măsoară timp de cinci zile o mărime care crește în casă — înălțimea unei plante, cantitatea de apă dintr-un vas lăsat la evaporare, grosimea unui teanc de ziare — și notează, pentru fiecare zi, cât s-a schimbat. Caută apoi o formulă simplă care să se potrivească cu ritmul măsurat și scrie o funcție a cărei derivată este acea formulă.

2. Trei candidați, un singur control. Alege un polinom de gradul al doilea și scrie trei candidate de primitivă, dintre care doar una corectă: una cu exponentul urcat greșit, una cu constanta neschimbată și cea bună. Dă-i lista unui coleg și cere-i să spună, doar prin derivare, care este cea corectă și ce greșeală a făcut autorul celorlalte două.

3. Dicționarul invers. Ia zece rânduri din caietul de clasa a XI-a cu derivate de polinoame și acoperă coloana funcției inițiale. Reconstituie-o pornind numai de la derivată, apoi descoperă coloana și compară. Notează la fiecare rând cât ai lucrat: vei vedea singur că verificarea durează secunde, iar reconstituirea, minute.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide capitolul de primitive și verifică patru lucruri măsurabile: dacă elevul enunță complet definiția, cu derivabilitatea și cu intervalul; dacă verifică o primitivă propusă prin derivare, fără ocolișuri; dacă reconstituie o primitivă a unui polinom, urcând corect gradul și împărțind la noul grad; și dacă înțelege că răspunsul nu este unic.

Dificultatea reală nu este calculul, care rămâne cel de clasa a XI-a, ci schimbarea de sens. Timp de un an, elevul a răspuns la întrebarea „care este derivata?"; acum i se cere să răspundă la „a cui derivată este?". Semnul că a făcut trecerea este mic și clar: după ce scrie un răspuns, îl derivează singur, fără să i se ceară.

Cel mai util sprijin care se poate da acasă nu este rezolvarea împreună a unui exercițiu în plus, ci cererea probei. La orice răspuns dat, întrebarea „cum știi?" are aici un răspuns exact, pe care elevul îl poate scrie singur în trei rânduri. Un elev care se obișnuiește să deriveze înapoi află singur dacă a greșit, fără să aștepte corectura — și, la un examen, aceasta este diferența dintre a bănui și a ști.

Merită întrebat acasă: „Câte funcții au derivata $f$?", „Ce se întâmplă cu termenul liber la derivare?", „Cum îți dovedești singur răspunsul, fără să te uiți la rezolvare?", „La ce folosește numele intervalului într-un enunț?". Pentru recapitulare, lecția de sprijin este tabelul derivatelor; despre ce se întâmplă când funcția dată nu este continuă se discută mai târziu, la lecția despre funcțiile care admit primitive.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținutul „Noțiunea de primitivă, mulțimea primitivelor unei funcții continue". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; programa acelui examen, aprobată prin OMEN 4430/2014, conține la capitolul de analiză matematică rândul „Primitivele unei funcții definite pe un interval", iar analiza matematică se dă acolo la Subiectul al III-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o funcție este primitivă a alteia?

Înseamnă că a doua este ritmul de variație al primei: pe un interval, funcția $F$ e derivabilă peste tot, iar derivata ei coincide cu $f$ în fiecare punct, adică $F^{\prime }(x)=f(x)$. Legătura merge invers decât te-ai obișnuit în clasa a XI-a — pornești de la ritm și ajungi la mărime. Dacă măcar o asemenea funcție $F$ există, se spune despre $f$ că admite primitive acolo.

Cum arăt că o funcție este primitivă a alteia?

Scrii trei rânduri, în ordine: motivul pentru care candidatul e derivabil pe intervalul cerut, apoi derivata lui ca expresie, apoi concluzia care numește intervalul. Dacă expresia obținută este chiar funcția din enunț, afirmația e dovedită și nu mai e nevoie de niciun al doilea argument.

Cum găsesc o primitivă a unui polinom?

Lucrezi termen cu termen, invers față de formula puterii: urci exponentul cu o unitate și împarți la noul exponent. Termenul liber face excepție de la aparență — din constanta $c$ iese $cx$. La final derivezi ce ai obținut și compari cu polinomul dat.

De ce are o funcție mai multe primitive?

Fiindcă derivata unei constante este nulă. Dacă $F$ are derivata $f$, atunci și $F+c$ are derivata $f$, oricare ar fi numărul real $c$. Prin urmare există o infinitate de primitive, iar ele se deosebesc între ele printr-un număr care dispare la derivare.

Se învață primitivele și la mate-info (M1)?

Da, capitolul există la ambele profiluri, dar la matematică-informatică el este mult mai larg: acolo intră teorema lui Darboux, funcțiile definite pe ramuri, integrarea prin părți și schimbarea de variabilă. La științe ale naturii programa cere noțiunea, tabelul primitivelor uzuale și o singură proprietate, liniaritatea. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: problema inversă derivării.

La ce subiect apare primitiva la Bacalaureatul M2?

Analiza matematică se dă la Subiectul al III-lea. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, Subiectul al III-lea are două probleme cu câte trei cerințe: prima despre derivate, a doua despre integrale. Lecția de față pregătește gestul de la baza lor — recunoașterea legăturii $F^{\prime }=f$ și proba ei prin derivare —, iar exercițiile de aici sunt construite pe tema din programă și în formatul probei, fără să prezică ce va conține subiectul.

Ce se întâmplă dacă uit să împart la noul exponent?

Obții o funcție a cărei derivată este de câteva ori mai mare decât funcția cerută, deci un răspuns greșit. Greșeala se vede imediat la probă: derivata candidatului tău păstrează gradul corect, dar are alt coeficient. Exemplul 2 din lecție este exact acest caz, cu corectura scrisă.

De ce trebuie scris intervalul în răspuns?

Fiindcă definiția însăși cere un interval: derivabilitatea și egalitatea $F^{\prime }(x)=f(x)$ se cer în fiecare punct al unui domeniu de o singură bucată. La polinoame, intervalul este întreg $\mathbb{R}$ și pare o formalitate, dar la funcțiile din lecțiile următoare el hotărăște dacă răspunsul are sens. Deprinderea se formează acum, pe cazurile ușoare.