Probabilitatea intersecției a două evenimente: pe scurt

Intersecția $A\cap B$ înseamnă „se produc amândouă"; fiind o parte comună a celor două evenimente, ea nu poate depăși niciunul: $P(A\cap B)\le \min (P(A),P(B))$ — opusul reuniunii, care era cel puțin la fel de mare ca fiecare eveniment.

Regula înmulțirii, obținută din regula traseului pe o diagramă arborescentă: $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A),$$ unde al doilea factor este probabilitatea lui $B$ recalculată în situația în care $A$ s-a produs deja.

Diferența esențială e între extragerea cu revenire și cea fără revenire: la cea cu revenire, compoziția rămâne aceeași, deci $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ (evenimente independente); la cea fără revenire, se schimbă și numărătorul, și numitorul celui de-al doilea factor — greșeala tipică e să schimbi doar numitorul.

Când datele vin dintr-un tabel cu două caracteristici, intersecția se citește direct din căsuța comună, împărțită la total — și nu trebuie confundată cu produsul $P(A)\cdot P(B)$, care presupune independență și adesea nu se verifică pe date reale. Dacă enunțul dă $P(A)$, $P(B)$ și $P(A\cup B)$, cea mai scurtă cale este $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$.

Exerciții din această mini-lecție

1. O urnă conține $4$ bile roșii și $6$ bile negre. Se extrag două bile, una după alta, FĂRĂ revenire. Care este probabilitatea ca amândouă să fie roșii?

   • a) $\frac{2}{15}$
   • b) $\frac{4}{25}$
   • c) $\frac{1}{5}$
   • d) $\frac{3}{10}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{2}{15}$

   $P=\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$. Varianta b) ($\frac{4}{25}$) ar rezulta dacă am folosi greșit formula CU revenire, adică $\frac{4}{10}\cdot \frac{4}{10}$, deși enunțul cere extragere fără revenire.

2. Aceeași urnă ($4$ roșii, $6$ negre), extragere CU revenire de două bile. Care este probabilitatea ca amândouă să fie roșii?

   • a) $\frac{4}{25}$
   • b) $\frac{2}{15}$
   • c) $\frac{2}{5}$
   • d) $\frac{1}{25}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{4}{25}$

   La extragerea cu revenire, compoziția urnei rămâne neschimbată la a doua extragere: $P=\frac{4}{10}\cdot \frac{4}{10}=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}$. Varianta b) ($\frac{2}{15}$) este valoarea corectă pentru extragerea FĂRĂ revenire (exercițiul anterior), nu pentru cea cu revenire.

3. Se aruncă două zaruri echilibrate. Care este probabilitatea ca primul zar să arate un număr par și suma fețelor să fie $9$?

   • a) $\frac{1}{6}$
   • b) $\frac{1}{9}$
   • c) $\frac{1}{18}$
   • d) $\frac{1}{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{1}{18}$

   Perechile cu suma $9$ sunt $(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)$. Dintre ele, cu primul zar par rămân $(4,5)$ și $(6,3)$ — $2$ cazuri din cele $36$ posibile, deci $P=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$.