Probabilitatea intersecției a două evenimente

O urnă conține $3$ bile albe și $5$ bile negre. Extragem două bile, una după alta, fără să o punem înapoi pe prima. Care este probabilitatea ca amândouă să fie albe? Răspunsul care vine primul în minte, $\frac{3}{8}\cdot \frac{3}{8}=\frac{9}{64}$, e greșit: după prima extragere, în urnă nu mai sunt $8$ bile, ci $7$, și nici $3$ albe, ci doar $2$. Calculul corect este $\frac{3}{8}\cdot \frac{2}{7}=\frac{3}{28}$, o valoare sensibil mai mică.

Diferența dintre cele două răspunsuri este chiar subiectul acestei lecții. Când vrem ca amândouă evenimentele să se producă, avem de-a face cu intersecția lor, iar probabilitatea intersecției se calculează printr-o înmulțire — dar nu întotdeauna cu aceleași numere. Uneori al doilea factor este pur și simplu probabilitatea celui de-al doilea eveniment; alteori el trebuie recalculat, pentru că primul eveniment a schimbat situația. Vom învăța să distingem limpede cele două cazuri.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă intersecția $A\cap B$ și de ce ea are întotdeauna mai puține cazuri favorabile decât fiecare dintre evenimente.
• Vei ști să calculezi $P(A\cap B)$ prin numărarea directă a cazurilor favorabile, pe spațiul tuturor rezultatelor.
• Vei ști să folosești regula înmulțirii pe o diagramă arborescentă, la experimentele în două etape.
• Vei ști să deosebești extragerile cu revenire de cele fără revenire și să adaptezi calculul.
• Vei ști să obții $P(A\cap B)$ din formula reuniunii, atunci când enunțul îți dă $P(A)$, $P(B)$ și $P(A\cup B)$.
• Vei ști între ce margini se poate afla $P(A\cap B)$ și să folosești asta ca verificare.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă intersecția a două evenimente

Fie $\Omega$ mulțimea rezultatelor posibile ale unui experiment aleator și $A$, $B$ două evenimente.

Definiție. Intersecția evenimentelor $A$ și $B$, notată $A\cap B$, este evenimentul care se produce atunci când se produc amândouă: și $A$, și $B$.

Pe diagrama Venn, intersecția este „lentila" comună celor două cercuri. De aici se citește imediat o proprietate importantă: fiind o parte atât din $A$, cât și din $B$, intersecția nu poate avea mai multe cazuri favorabile decât fiecare dintre ele. Prin urmare

$$P(A\cap B)\le P(A)\text{și}P(A\cap B)\le P(B).$$

Este exact opusul reuniunii, care era cel puțin la fel de mare ca fiecare eveniment. Reține contrastul: „sau" mărește, „și" micșorează.

Exemplu pe zar: $A$ = „față pară" $=\{2,4,6\}$, $B$ = „față mai mare decât $4$" $=\{5,6\}$. Atunci $A\cap B=\{6\}$ și

$$P(A\cap B)=\frac{1}{6}\le \frac{3}{6}=P(A).$$

2. Prima metodă: numărarea directă

Cea mai sigură metodă, mai ales la examen, este să numeri cazurile favorabile intersecției direct pe spațiul tuturor rezultatelor.

Exemplu. Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca primul zar să arate $6$ și suma fețelor să fie $10$?

Cazurile posibile sunt cele $36$ de perechi. Cerem simultan $a=6$ și $a+b=10$, deci $b=4$: o singură pereche, $(6,4)$. Prin urmare

$$P(A\cap B)=\frac{1}{36}.$$

Metoda funcționează oricând spațiul e mic sau bine structurat și nu presupune nicio formulă nouă — doar definiția clasică a probabilității, tratată în lecția Probabilitatea unui eveniment: definiția clasică.

3. A doua metodă: arborele și regula înmulțirii

La experimentele care se desfășoară în etape — două extrageri, două aruncări, două verificări succesive — numărarea directă devine greoaie, iar diagrama arborescentă este mult mai comodă.

Reluăm urna cu $3$ bile albe și $5$ negre, cu extrageri fără revenire. Desenăm arborele: din rădăcină pleacă două ramuri, „prima bilă albă" (cu probabilitatea $\frac{3}{8}$) și „prima bilă neagră" (cu probabilitatea $\frac{5}{8}$). Din fiecare dintre ele pleacă alte două ramuri, pentru a doua extragere — dar cu probabilități recalculate pentru situația din acel moment:

• dacă prima a fost albă, în urnă rămân $2$ albe și $5$ negre, deci a doua e albă cu probabilitatea $\frac{2}{7}$;
• dacă prima a fost neagră, rămân $3$ albe și $4$ negre, deci a doua e albă cu probabilitatea $\frac{3}{7}$.

Regula traseului. Probabilitatea unui traseu complet în arbore este produsul probabilităților de pe ramurile lui.

Traseul „albă, apoi albă" dă

$$P(\text{ambele albe})=\frac{3}{8}\cdot \frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}\approx 0,107.$$

Verificare prin numărare completă: perechile ordonate de bile distincte sunt $8\cdot 7=56$, iar cele cu ambele bile albe sunt $3\cdot 2=6$. Într-adevăr, $\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$. ✓

Scriind regula traseului cu litere, obținem formula generală a intersecției:

Formula generală a intersecției (regula înmulțirii). Pentru orice două evenimente $A$ și $B$, cu $P(A)>0$: $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A),$$ unde $P(B\mid A)$ este probabilitatea evenimentului $B$ în situația în care $A$ s-a produs deja (probabilitatea lui $B$ condiționată de $A$).

În exemplul nostru, $A$ = „prima bilă e albă" cu $P(A)=\frac{3}{8}$, iar $P(B\mid A)=\frac{2}{7}$ este probabilitatea ca a doua să fie albă știind că prima a fost albă. Vom studia riguros această mărime în lecția Probabilități condiționate; deocamdată e suficient s-o citești ca „probabilitatea etapei a doua, calculată în noua situație".

4. Cu revenire sau fără revenire — diferența esențială

Aceeași urnă, aceeași întrebare, dar acum punem prima bilă înapoi înainte de a doua extragere. Compoziția urnei redevine $3$ albe și $5$ negre, deci al doilea factor rămâne $\frac{3}{8}$:

$$P(\text{ambele albe, cu revenire})=\frac{3}{8}\cdot \frac{3}{8}=\frac{9}{64}\approx 0,141.$$

Verificare prin numărare: perechile ordonate posibile sunt $8\cdot 8=64$, iar cele cu ambele albe sunt $3\cdot 3=9$. ✓

Reține: la extragerea fără revenire, ambele numere din fracție se modifică — și numărătorul (dacă bila scoasă era din categoria urmărită), și numitorul. Cea mai frecventă greșeală este să scazi doar numitorul.

5. Cazul particular: când al doilea factor nu se schimbă

Ai văzut deja, la extragerea cu revenire, o situație în care $P(B\mid A)=P(B)$: prima extragere nu a influențat-o cu nimic pe a doua. În astfel de cazuri formula devine o simplă înmulțire:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$$

Această situație are un nume — evenimentele se numesc independente — și îi vom dedica lecția Evenimente independente. Ea apare tipic la:

• aruncări repetate ale unui zar sau ale unei monede (zarul „nu ține minte" rezultatul anterior);
• extrageri cu revenire;
• dispozitive care funcționează separat unul de altul.

Atenție! Nu calcula $P(A\cap B)$ prin înmulțirea simplă $P(A)\cdot P(B)$ decât dacă ești sigur că evenimentele nu se influențează. La extragerile fără revenire, la selecțiile dintr-un grup fix sau la datele dintr-un tabel, această scurtătură dă rezultate false. Iată un exemplu în care se vede clar: într-o școală cu $200$ de elevi, $120$ sunt băieți, iar $130$ practică un sport, dintre care $90$ sunt băieți. Atunci

$$P(\text{ba˘iat})\cdot P(\text{sport})=\frac{120}{200}\cdot \frac{130}{200}=\frac{3}{5}\cdot \frac{13}{20}=\frac{39}{100}=0,39,$$

în timp ce probabilitatea reală a intersecției este

$$P(\text{ba˘iat și sport})=\frac{90}{200}=\frac{9}{20}=0,45.$$

Cele două valori nu coincid, deci înmulțirea directă ar fi fost greșită.

6. A treia metodă: din formula reuniunii

Dacă enunțul îți dă $P(A)$, $P(B)$ și $P(A\cup B)$, nu mai ai nevoie de niciun arbore. Rescrii formula din lecția Probabilitatea reuniunii a două evenimente:

$$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B).$$

Exemplu. Pentru $P(A)=0,6$, $P(B)=0,5$ și $P(A\cup B)=0,8$ obținem $P(A\cap B)=0,6+0,5-0,8=0,3$.

Verificăm și pe tabelul cu cei $200$ de elevi: $P(\text{ba˘iat})=\frac{3}{5}$, $P(\text{sport})=\frac{13}{20}$, iar „băiat sau sportiv" adună $120+130-90=160$ de elevi, deci $P(A\cup B)=\frac{160}{200}=\frac{4}{5}$. Formula dă $\frac{3}{5}+\frac{13}{20}-\frac{4}{5}=\frac{12}{20}+\frac{13}{20}-\frac{16}{20}=\frac{9}{20}$. ✓

7. Între ce margini se află $P(A\cap B)$

Chiar fără să știi nimic despre legătura dintre evenimente, poți încadra intersecția:

$$\max \left(0,P(A)+P(B)-1\right)\le P(A\cap B)\le \min \left(P(A),P(B)\right).$$

Marginea de sus am justificat-o deja. Cea de jos vine din faptul că $P(A\cup B)\le 1$: dacă $P(A)=0,7$ și $P(B)=0,4$, atunci $P(A\cap B)=1,1-P(A\cup B)\ge 1,1-1=0,1$. Cu alte cuvinte, două evenimente foarte probabile trebuie să se suprapună.

8. Algoritmul de lucru

1. Scrie în cuvinte ce înseamnă „amândouă" în problema ta.
2. Dacă spațiul e mic, numără direct cazurile favorabile intersecției — metoda cea mai sigură.
3. Dacă experimentul are etape, desenează arborele și înmulțește probabilitățile de pe traseu, recalculând etapa a doua dacă prima a schimbat situația.
4. Dacă ai $P(A)$, $P(B)$ și $P(A\cup B)$, folosește direct formula de scădere.
5. Verifică: rezultatul trebuie să fie cel mult egal cu cea mai mică dintre $P(A)$ și $P(B)$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Amândouă zarurile arată $6$

Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca amândouă să arate fața $6$?

Rezolvare. Prin numărare directă: din cele $36$ de perechi posibile, una singură este $(6,6)$, deci $P=\frac{1}{36}$.

Prin regula înmulțirii: al doilea zar nu este influențat de primul, deci $P=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$. ✓ Ambele metode dau același rezultat, ceea ce e firesc: aruncările sunt independente.

Exemplul 2 — Două becuri bune, fără revenire

Într-o cutie sunt $10$ becuri, dintre care $3$ defecte. Se extrag două becuri, unul după altul, fără revenire. Care este probabilitatea ca amândouă să fie bune?

Rezolvare. Primul bec e bun cu probabilitatea $\frac{7}{10}$. Dacă primul a fost bun, în cutie rămân $9$ becuri, dintre care $6$ bune, deci al doilea e bun cu probabilitatea $\frac{6}{9}$. Prin regula înmulțirii:

$$P=\frac{7}{10}\cdot \frac{6}{9}=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}\approx 0,467.$$

Verificare cu combinări: numărul modurilor de a alege $2$ becuri din $10$ este $C_{10}^2=45$, iar cel de a alege $2$ becuri bune din $7$ este $C_7^2=21$; raportul $\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$ coincide. ✓

Exemplul 3 — Trei bile roșii la rând

O urnă conține $5$ bile roșii și $3$ albastre. Se extrag trei bile, fără revenire. Care este probabilitatea ca toate trei să fie roșii?

Rezolvare. Aplicăm regula traseului pe trei etape, recalculând de fiecare dată compoziția urnei:

$$P=\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}=\frac{60}{336}=\frac{5}{28}\approx 0,179.$$

Verificare cu combinări: $\frac{C_5^3}{C_8^3}=\frac{10}{56}=\frac{5}{28}$. ✓

Exemplul 4 — Tabel cu două caracteristici

Într-o școală sunt $200$ de elevi: $120$ băieți și $80$ fete. Practică un sport $90$ dintre băieți și $40$ dintre fete. Se alege un elev la întâmplare. a) Care este probabilitatea ca el să fie băiat și să practice un sport? b) Dar fată și să practice un sport?

Rezolvare. Organizăm datele într-un tabel:

a) $P=\frac{90}{200}=\frac{9}{20}=0,45$.

b) $P=\frac{40}{200}=\frac{1}{5}=0,2$.

Observă cât de comod se citește intersecția dintr-un tabel: este pur și simplu numărul din căsuța corespunzătoare, împărțit la total.

Exemplul 5 — Cu revenire și fără revenire, comparate

O urnă conține $5$ bile roșii și $4$ verzi. Se extrag două bile. Care este probabilitatea ca amândouă să fie roșii, dacă extragerea se face: a) cu revenire; b) fără revenire?

Rezolvare. a) Cu revenire, compoziția urnei rămâne aceeași:

$$P=\frac{5}{9}\cdot \frac{5}{9}=\frac{25}{81}\approx 0,309.$$

b) Fără revenire, după prima bilă roșie rămân $4$ roșii din $8$ bile:

$$P=\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}=\frac{20}{72}=\frac{5}{18}\approx 0,278.$$

Rezultatul de la b) este mai mic, iar asta are sens: scoțând o bilă roșie, ai sărăcit urna tocmai în culoarea pe care o urmărești.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,12\}$. Se alege la întâmplare un element al mulțimii $M$. a) Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu $2$ și cu $3$. b) Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu $2$ sau cu $3$. c) Verificați relația dintre rezultatele obținute și probabilitățile evenimentelor „divizibil cu $2$" și „divizibil cu $3$".

Rezolvare. Cazuri posibile: $12$.

a) Un număr divizibil și cu $2$, și cu $3$ este divizibil cu $6$: numerele $6$ și $12$, deci $2$ cazuri favorabile.

$$P(A\cap B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.$$

b) Divizibile cu $2$: $2,4,6,8,10,12$ — șase numere, $P(A)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Divizibile cu $3$: $3,6,9,12$ — patru numere, $P(B)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$. Prin formula reuniunii:

$$P(A\cup B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}.$$

c) Verificăm relația de legătură: $P(A)+P(B)-P(A\cup B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=\frac{1}{6}=P(A\cap B)$. ✓ Observăm în plus că $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$, deci aici înmulțirea simplă ar fi dat același rezultat — un caz în care evenimentele se dovedesc independente.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, precizează dacă extragerea este cu sau fără revenire înainte de a calcula.

1. Se aruncă un zar. Care este probabilitatea de a obține o față pară și mai mare decât $4$?

2. Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca amândouă să arate $6$?

3. O urnă conține $5$ bile roșii și $4$ verzi. Se extrag două bile fără revenire. Care este probabilitatea ca amândouă să fie roșii?

4. Aceeași urnă ca la exercițiul $3$, dar cu revenire. Care este probabilitatea ca amândouă bilele să fie roșii?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Probabilitatea intersecției a două evenimente poate fi mai mare decât probabilitatea unuia dintre ele."

6. Într-o școală cu $200$ de elevi, $80$ sunt fete, iar $40$ dintre ele practică un sport. Care este probabilitatea ca un elev ales la întâmplare să fie fată și să practice un sport?

7. Se știe că $P(A)=0,6$, $P(B)=0,5$ și $P(A\cup B)=0,8$. Calculează $P(A\cap B)$.

8. Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca primul zar să arate o față pară și suma să fie $8$?

9. Se extrag două cărți dintr-un pachet de $52$, fără revenire. Care este probabilitatea ca amândouă să fie ași?

10. (Problemă aplicată.) Într-o cutie sunt $10$ becuri, dintre care $3$ defecte. Se extrag două becuri fără revenire. Care este probabilitatea ca amândouă să fie bune?

11. O urnă conține $5$ bile roșii și $3$ albastre. Se extrag trei bile fără revenire. Care este probabilitatea ca toate trei să fie roșii?

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $A$ și $B$ sunt evenimente disjuncte, atunci $P(A\cap B)=0$."

13. Se aruncă o monedă și un zar. Care este probabilitatea de a obține stemă și o față mai mare decât $4$?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,12\}$. Se alege la întâmplare un element al mulțimii. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil și cu $2$, și cu $3$.

15. Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca amândouă fețele să fie impare?

16. O urnă conține $3$ bile albe și $5$ negre. Se extrag două bile fără revenire. Care este probabilitatea ca prima să fie albă și a doua neagră?

17. Se știe că $P(A)=0,7$ și $P(B)=0,4$. Între ce valori se poate afla $P(A\cap B)$? Justifică.

18. (Provocare.) O urnă conține $4$ bile albe și $6$ negre. Se extrag două bile fără revenire. Care este probabilitatea ca ele să fie de culori diferite? (Indicație: sunt două trasee posibile în arbore.)

Răspunsuri și explicații

1. Fețele pare sunt $2,4,6$; mai mari decât $4$ sunt $5,6$. Amândouă condițiile sunt îndeplinite doar de $6$, deci $P=\frac{1}{6}$.

2. Un singur caz favorabil, $(6,6)$, din $36$: $P=\frac{1}{36}$. Prin regula înmulțirii: $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}$.

3. $P=\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}=\frac{20}{72}=\frac{5}{18}\approx 0,278$.

4. $P=\frac{5}{9}\cdot \frac{5}{9}=\frac{25}{81}\approx 0,309$. Mai mare decât la exercițiul $3$, pentru că urna nu sărăcește în bile roșii.

5. Fals. Intersecția este o parte atât din $A$, cât și din $B$, deci are cel mult tot atâtea cazuri favorabile ca fiecare dintre ele: $P(A\cap B)\le \min (P(A),P(B))$.

6. $P=\frac{40}{200}=\frac{1}{5}=0,2$.

7. $P(A\cap B)=0,6+0,5-0,8=0,3$.

8. Suma $8$ se obține din $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$. Dintre acestea, cu primul zar par: $(2,6),(4,4),(6,2)$ — trei cazuri. $P=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.

9. $P=\frac{4}{52}\cdot \frac{3}{51}=\frac{12}{2652}=\frac{1}{221}\approx 0,0045$. Prin combinări: $\frac{C_4^2}{C_{52}^2}=\frac{6}{1326}=\frac{1}{221}$. ✓

10. $P=\frac{7}{10}\cdot \frac{6}{9}=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}\approx 0,467$.

11. $P=\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}=\frac{5}{28}\approx 0,179$.

12. Adevărat. Evenimente disjuncte înseamnă că nu se pot produce simultan, deci $A\cap B=\varnothing$ și numărul cazurilor favorabile intersecției este $0$.

13. Cazuri posibile: $2\cdot 6=12$. Favorabile: stemă împreună cu $5$ sau cu $6$, adică $2$ cazuri. $P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$. Prin înmulțire: $\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{6}=\frac{1}{6}$. ✓

14. Divizibil și cu $2$, și cu $3$ înseamnă divizibil cu $6$: numerele $6$ și $12$. $P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.

15. Fiecare zar are $3$ fețe impare, deci $3\cdot 3=9$ cazuri favorabile din $36$: $P=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$.

16. $P=\frac{3}{8}\cdot \frac{5}{7}=\frac{15}{56}\approx 0,268$. (Atenție: ordinea contează în enunț — „prima albă, a doua neagră".)

17. Marginea de sus: $P(A\cap B)\le \min (0,7;0,4)=0,4$. Marginea de jos: din $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=1,1-P(A\cup B)$ și $P(A\cup B)\le 1$ rezultă $P(A\cap B)\ge 0,1$. Deci $0,1\le P(A\cap B)\le 0,4$.

18. Sunt două trasee favorabile: „albă, apoi neagră" cu probabilitatea $\frac{4}{10}\cdot \frac{6}{9}=\frac{24}{90}$ și „neagră, apoi albă" cu probabilitatea $\frac{6}{10}\cdot \frac{4}{9}=\frac{24}{90}$. Cele două trasee sunt disjuncte, deci probabilitățile se adună:

$$P=\frac{24}{90}+\frac{24}{90}=\frac{48}{90}=\frac{8}{15}\approx 0,533.$$

Verificare prin numărare: perechile ordonate de bile distincte sunt $10\cdot 9=90$, iar cele de culori diferite sunt $4\cdot 6+6\cdot 4=48$. ✓

De reținut

• Intersecția $A\cap B$ înseamnă „amândouă"; ea este întotdeauna cel mult la fel de probabilă ca fiecare dintre evenimente: $P(A\cap B)\le \min (P(A),P(B))$.
• Regula înmulțirii: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$, unde al doilea factor este probabilitatea lui $B$ recalculată în situația în care $A$ s-a produs deja. Pe arbore: înmulțești probabilitățile de pe traseu.
• Cu revenire, factorii rămân neschimbați ($P(A)\cdot P(B)$); fără revenire, se schimbă și numărătorul, și numitorul la etapa a doua.
• Din formula reuniunii: $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$ — soluția cea mai scurtă când enunțul dă cele trei probabilități.
• Într-un tabel cu două caracteristici, probabilitatea intersecției este numărul din căsuța comună împărțit la totalul general.

Greșeli frecvente

• Înmulțirea cu aceleași numere la extragerea fără revenire. $\frac{3}{8}\cdot \frac{3}{8}$ în loc de $\frac{3}{8}\cdot \frac{2}{7}$. După prima extragere se schimbă și numărul bilelor din categoria urmărită, și totalul.
• Micșorarea doar a numitorului. Varianta $\frac{3}{8}\cdot \frac{3}{7}$ este tot greșită la „ambele albe": bila albă scoasă lipsește și de la numărător.
• Folosirea formulei $P(A)\cdot P(B)$ în afara cazului potrivit. La date dintr-un tabel sau la selecții dintr-un grup fix, evenimentele se influențează, iar înmulțirea simplă dă un rezultat fals (vezi exemplul cu cei $200$ de elevi).
• Confundarea intersecției cu reuniunea. „Și" cere intersecția (mai puține cazuri), „sau" cere reuniunea (mai multe). Dacă rezultatul pentru „și" iese mai mare decât cel pentru „sau", ai inversat operațiile.
• Ignorarea ordinii cerute în enunț. „Prima albă și a doua neagră" este un singur traseu ($\frac{15}{56}$), pe când „una albă și una neagră, în orice ordine" are două trasee și o probabilitate dublă.

Aplică acasă

1. Urna din bucătărie. Pune într-un bol $3$ bomboane de un fel și $5$ de altul. Extrage două fără să te uiți, de $28$ de ori, și notează de câte ori amândouă au fost din primul fel. Teoretic ar trebui să se întâmple de aproximativ $3$ ori (pentru că $\frac{3}{28}\cdot 28=3$). Compară și explică diferența.

2. Tabelul din familie. Fă un tabel cu două caracteristici pentru colegii tăi de clasă (de exemplu: „poartă ochelari" și „vine cu autobuzul"). Calculează din el probabilitatea intersecției și verifică dacă ea coincide cu produsul celor două probabilități separate. De obicei nu coincide — încearcă să explici de ce.

3. Cu revenire sau fără. Ia un pachet de cărți și calculează, apoi verifică experimental de $20$ de ori, probabilitatea de a extrage două cărți roșii la rând, o dată punând prima carte înapoi și o dată fără. Notează care dintre cele două probabilități este mai mare și de ce.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce a doua operație cu probabilități cerută de programă și, odată cu ea, prima idee de „recalculare a situației" după ce s-a produs un eveniment. Este momentul-cheie al capitolului: elevii care înțeleg corect diferența dintre extragerea cu revenire și cea fără revenire nu vor mai greși nici la probabilități condiționate, nici la independență.

Ce verifică lecția: (1) calcularea intersecției prin numărare directă, ca metodă de siguranță; (2) folosirea diagramei arborescente și a regulii traseului la experimente în etape; (3) recalcularea corectă a fracției la extrageri fără revenire — atât numărătorul, cât și numitorul; (4) obținerea intersecției din formula reuniunii; (5) încadrarea rezultatului între marginile teoretice.

Întrebări bune de control: „Ce se schimbă în urnă după prima extragere?", „Câte bile mai sunt și câte dintre ele sunt de culoarea căutată?", „Poate rezultatul să fie mai mare decât probabilitatea primului eveniment?". Semne că elevul a înțeles: desenează spontan arborele, scrie probabilitățile pe ramuri și verifică rezultatul cu combinări. La Bacalaureat, tiparul apare în forma „probabilitatea ca un element ales să fie divizibil și cu $a$, și cu $b$", ca în Exemplul 6, sau ca extragere fără revenire. Lecția următoare, Probabilități condiționate, dă un nume și o formulă riguroasă factorului $P(B\mid A)$ folosit aici.

Întrebări frecvente

Care este formula probabilității intersecției a două evenimente? Formula generală este $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$, unde al doilea factor este probabilitatea lui $B$ calculată în situația în care $A$ s-a produs deja. Când evenimentele nu se influențează, ea se reduce la $P(A)\cdot P(B)$.

Cum calculez probabilitatea ca două evenimente să se întâmple amândouă? Fie numeri direct cazurile favorabile ambelor evenimente și le împarți la numărul cazurilor posibile, fie desenezi arborele experimentului și înmulțești probabilitățile de pe traseul care te interesează.

Ce diferență e între extragerea cu revenire și cea fără revenire? La extragerea cu revenire, obiectul scos se pune înapoi, deci compoziția rămâne aceeași și probabilitățile nu se schimbă. Fără revenire, totalul scade cu $1$, iar dacă obiectul scos era din categoria urmărită, scade și numărul acelor obiecte.

De ce nu pot înmulți întotdeauna $P(A)$ cu $P(B)$? Pentru că primul eveniment poate schimba șansele celui de-al doilea. Într-o școală cu $200$ de elevi, produsul dă $0,39$, în timp ce valoarea reală a intersecției este $0,45$ — deci scurtătura ar fi dat un răspuns greșit.

Cum aflu $P(A\cap B)$ dacă știu $P(A)$, $P(B)$ și $P(A\cup B)$? Folosești formula reuniunii scrisă invers: $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$. Este cea mai rapidă cale când enunțul îți dă exact aceste trei valori.

Poate probabilitatea intersecției să fie zero? Da, atunci când evenimentele sunt disjuncte, adică nu se pot produce simultan. Dar dacă $P(A)+P(B)>1$, intersecția este obligatoriu diferită de zero.

Cum citesc probabilitatea intersecției dintr-un tabel cu două caracteristici? Iei numărul din căsuța aflată la încrucișarea liniei și a coloanei care te interesează și îl împarți la totalul general. De exemplu, $90$ de băieți sportivi din $200$ de elevi dau $\frac{9}{20}$.

De ce se înmulțesc probabilitățile de pe un traseu al arborelui? Pentru că fiecare ramură restrânge cazurile la o parte din cele rămase: din totalul cazurilor iei o fracțiune, apoi din acelea iei încă o fracțiune. Compunerea a două fracțiuni succesive se face prin înmulțire.