Cum calculez intersecția dintr-un tabel de date?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Probabilitatea intersecției

Într-un tabel cu două caracteristici, intersecția „ $A$ și $B$ ” este o singură căsuță, iar probabilitatea ei se obține împărțind acea căsuță la totalul general. Exemplu: din $200$ de elevi, $120$ fac sport, iar $45$ dintre ei poartă ochelari; ceilalți $80$ nu fac sport și $35$ dintre ei poartă ochelari. Atunci $P (sport ș i ochelari) = \frac{45}{200} = \frac{9}{40}$ . Fracția $\frac{45}{120}$ ar răspunde la altă întrebare: câți poartă ochelari printre sportivi.

Intersecția $A \cap B$ se produce doar când au loc ambele evenimente, așa că probabilitatea ei nu întrece niciuna dintre $P (A)$ și $P (B)$ .

Numărare. La rezultate egal posibile împarți numărul rezultatelor comune la numărul tuturor rezultatelor. Când experimentul are două etape, rezultatele sunt perechi; o pereche contează numai dacă respectă ambele condiții, iar condițiile care privesc ambele etape se controlează pe fiecare pereche în parte.

Tabel. Într-un tabel cu două caracteristici, „amândouă” înseamnă o căsuță, împărțită la totalul general, nu la totalul unui rând. Căsuțele interioare se adună la total.

Arbore. Pe un traseu înmulțești fracțiile de pe ramuri. Dacă obiectul scos nu revine, fracția de la etapa a doua se calculează din ce a rămas după prima; dacă revine, ea este aceeași. Toate traseele au împreună probabilitatea $1$ .

Alte drumuri. Partea comună se mai obține ca $P (A)$ minus partea „doar $A$ ” sau ca $P (A) + P (B) - P (A \cup B)$ .

Verificare. Un rezultat mai mare decât una dintre probabilitățile inițiale, o sumă de căsuțe diferită de total sau trasee care nu dau împreună $1$ arată o greșeală de citire a datelor.

De reținut

intersecția dintr-un tabel = căsuța ei împărțită la totalul general
căsuțele interioare adunate dau totalul general
$P (A) + P (B) - 1 \leq P (A \cap B) \leq$ cea mai mică dintre $P (A)$ și $P (B)$

Greșeala tipică

Se împarte căsuța la totalul rândului, ca în $\frac{45}{120}$ , și se obține o probabilitate condiționată; pentru „și” numitorul corect este totalul tuturor cazurilor, $200$ .

Exerciții din această mini-lecție

O cutie are $16$ plăcuțe de circuit, dintre care $3$ sunt defecte. Se iau la întâmplare două plăcuțe, una după alta, fără ca prima să fie pusă înapoi. Care este probabilitatea ca ambele să fie defecte?
- a) $\frac{9}{256}$
- b) $\frac{1}{40}$
- c) $\frac{3}{16}$
- d) $\frac{2}{15}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1}{40}$

Pe traseu: $\frac{3}{16} \cdot \frac{2}{15} = \frac{6}{240} = \frac{1}{40}$ . $\frac{9}{256}$ ar fi rezultatul dacă plăcuța s-ar pune înapoi, iar $\frac{2}{15}$ este doar fracția de pe a doua ramură.
Un laborator a analizat $240$ de probe de apă: $90$ din râu, dintre care $30$ cu alge, și $150$ dintr-un lac, dintre care $72$ cu alge. Care este probabilitatea ca o probă aleasă la întâmplare să fie din lac și să conțină alge?
- a) $\frac{12}{25}$
- b) $\frac{17}{40}$
- c) $\frac{3}{10}$
- d) $\frac{5}{8}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{3}{10}$

Căsuța „lac și alge” are $72$ de probe din $240$ : $\frac{72}{240} = \frac{3}{10}$ . $\frac{12}{25} = \frac{72}{150}$ folosește greșit totalul rândului.
Se aleg la întâmplare, pe rând, două cifre din mulțimea ${1, 2, 3, 4, 5}$ , cifrele putându-se repeta. Care este probabilitatea ca prima cifră să fie pară și suma cifrelor să fie $6$ ?
- a) $\frac{1}{5}$
- b) $\frac{2}{5}$
- c) $\frac{1}{25}$
- d) $\frac{2}{25}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{2}{25}$

Perechile sunt $5 \cdot 5 = 25$ . Favorabile: $(2, 4)$ și $(4, 2)$ , deci $\frac{2}{25}$ . $\frac{1}{5}$ numără toate perechile cu suma $6$ .

Întrebări conexe

Cum completez căsuțele lipsă ale unui tabel ca să aflu o intersecție?

Folosești totalurile de pe rânduri și coloane. Din $300$ de probe, $120$ sunt din râu și $180$ din lac; $90$ au bacterii, iar $50$ dintre ele sunt din râu. Rezultă lac și bacterii: $90 - 50 = 40$ , râu fără bacterii: $70$ , lac fără bacterii: $140$ . Probabilitatea „lac și bacterii” este $\frac{40}{300} = \frac{2}{15}$ .

Cum număr perechile favorabile la o intersecție cu două zaruri?

Rezultatele sunt cele $36$ de perechi ordonate. Pentru „primul zar arată par și suma este $8$ ” păstrezi doar perechile care respectă ambele condiții: $(2, 6)$ , $(4, 4)$ și $(6, 2)$ . Probabilitatea este $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ . Perechea $(5, 3)$ are suma $8$ , dar nu intră, fiindcă primul zar e impar.

Care e probabilitatea ca doi urmași ai încrucișării $A a \times A a$ să fie ambii $aa$ ?

Pentru un singur urmaș, pătratul lui Punnett dă $\frac{1}{4}$ pentru genotipul $aa$ . Urmașii se formează independent unul de altul, așa că probabilitatea ca amândoi să fie $aa$ este $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$ , adică $6, 25%$ . Produsul simplu merge aici doar datorită independenței.

Care e valoarea minimă posibilă a probabilității intersecției?

Când $P (A) + P (B)$ trece de $1$ , evenimentele au obligatoriu rezultate comune: $P (A \cap B) \geq P (A) + P (B) - 1$ . De exemplu, dacă $70%$ dintre frunze au pete și $60%$ au găuri, cel puțin $30%$ au ambele defecte. Când suma nu trece de $1$ , marginea de jos este $0$ .

Care e probabilitatea ca un număr din ${1, 2, \dots, 20}$ să fie pătrat perfect și multiplu de $4$ ?

Pătratele perfecte din mulțime sunt $1$ , $4$ , $9$ și $16$ . Dintre ele, multipli de $4$ sunt doar $4$ și $16$ . Probabilitatea intersecției este $\frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ . Evenimentele nu sunt independente: $\frac{4}{20} \cdot \frac{5}{20} = \frac{1}{20} \neq = \frac{1}{10}$ .

De ce totalul unui rând nu e numitorul potrivit pentru o intersecție?

Totalul unui rând restrânge alegerea la un singur grup, iar rezultatul devine o probabilitate condiționată. În exemplul cu elevii, $\frac{45}{120} = \frac{3}{8}$ spune cât de des apar ochelarii printre sportivi. Intersecția privește însă un elev ales din toți cei $200$ , deci numitorul este totalul general.

Oamenii mai întreabă și: probabilitatea intersecției din tabel cu dublă intrare · cum citesc „și” într-un tabel de probabilități · probabilitatea ca ambele caracteristici să apară · intersecția evenimentelor dintr-un tabel · căsuța tabelului împărțită la total