Definiția clasică a probabilității: pe scurt

Definiția clasică (Laplace) leagă probabilitatea de numărare: pentru un experiment cu un număr finit de rezultate egal posibile, probabilitatea unui eveniment $A$ este

$$P(A)=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega )},$$

adică raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Formula poartă, chiar în enunțul ei, o condiție obligatorie: rezultatele elementare trebuie să fie egal posibile — cuvintele „zar echilibrat", „monedă corectă", „la întâmplare" din enunț garantează această condiție. Fără ea, formula nu se aplică, iar probabilitatea se estimează din frecvențe relative, nu se calculează.

Din definiție rezultă proprietăți folosite ca instrumente de control: $0\le P(A)\le 1$, $P(\varnothing )=0$, $P(\Omega )=1$, iar dacă $A\subseteq B$, atunci $P(A)\le P(B)$. Orice rezultat în afara intervalului $[0,1]$ trădează sigur o greșeală de numărare.

Capcana clasică e a lui d'Alembert: la aruncarea a două monede, lista „două steme / o stemă / nicio stemă" pare completă, dar cele trei situații nu sunt egal posibile. Trebuie „mărunțită" descrierea rezultatelor: $\Omega =\{SS,SB,BS,BB\}$, patru rezultate egal posibile, iar „exact o stemă" are probabilitatea $\frac{1}{2}$, nu $\frac{1}{3}$. Regula de aur, valabilă în tot capitolul: cazurile favorabile se numără în același fel ca cele posibile.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se aruncă un zar echilibrat. Care este probabilitatea evenimentului „apare un divizor al lui $6$"?

   • a) $\frac{2}{3}$
   • b) $\frac{1}{2}$
   • c) $\frac{1}{3}$
   • d) $\frac{5}{6}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{2}{3}$

   Divizorii lui $6$ dintre fețele zarului sunt $1$, $2$, $3$ și $6$ — patru cazuri favorabile din cele $6$ posibile, deci $P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Variantele b), c) și d) provin din numărarea greșită sau incompletă a divizorilor lui $6$ printre valorile $1$–$6$.

2. Se aruncă simultan două monede corecte, deosebite (de exemplu, una de $1$ leu și una de $50$ de bani). Care este probabilitatea evenimentului „apare cel puțin o pajură"?

   • a) $\frac{3}{4}$
   • b) $\frac{1}{2}$
   • c) $\frac{1}{3}$
   • d) $\frac{1}{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{3}{4}$

   Mulțimea rezultatelor egal posibile este $\Omega =\{SS,SP,PS,PP\}$, cu $4$ elemente ($S$=stemă, $P$=pajură), pentru că monedele sunt deosebite. Evenimentul «cel puțin o pajură» este $\{SP,PS,PP\}$, cu $3$ cazuri favorabile, deci $P=\frac{3}{4}$. Varianta c) e exact capcana lui d'Alembert: gruparea greșită „$0,1,2$ pajuri” în trei situații care nu sunt egal posibile.

3. O urnă conține $5$ bile numerotate de la $1$ la $5$. Se extrage o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca numărul ei să fie prim?

   • a) $\frac{3}{5}$
   • b) $\frac{2}{5}$
   • c) $\frac{1}{5}$
   • d) $\frac{4}{5}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{3}{5}$

   Numerele prime din mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$ sunt $2$, $3$ și $5$ (atenție: $1$ nu este prim!), deci $3$ cazuri favorabile din $5$, adică $P=\frac{3}{5}$. Varianta b) apare dacă se omite un număr prim; c) dacă se numără un singur număr prim; d) confundă evenimentul cu opusul lui.