O fereastră dreptunghiulară de lățime $$x$$ metri, întărită cu o traversă verticală la mijloc, se face din $$42$$ de metri de profil de aluminiu. Aria ferestrei, ca funcție de $$x$$, este:

$$\mathcal{S}(x)=\dfrac{x(42-2x)}{3}$$

$$\mathcal{S}(x)=\dfrac{x(42-2x)}{2}$$

$$\mathcal{S}(x)=\dfrac{x(42-3x)}{2}$$

Ce cutie fără capac are volumul maxim?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Probleme de optimizare

Dintr-o foaie pătrată cu latura $a$ tai la colțuri pătrate cu latura $x$ și îndoi marginile. Volumul este $V (x) = x (a - 2 x)^{2}$ , cu $x \in (0, \frac{a}{2})$ . Pentru $a = 30$ cm: $V^{'} (x) = (30 - 2 x) (30 - 6 x)$ , zero în $x = 5$ , iar derivata trece de la plus la minus. Volumul maxim este $V (5) = 5 \cdot 2 0^{2} = 2000$ cm³. În general, pătratul tăiat are latura $\frac{a}{6}$ , iar valoarea $x = \frac{a}{2}$ se exclude, fiindcă foaia dispare.

La proba MAT_P2 din $2030$ problemele de optimizare cu restricții geometrice sunt scrise pe nume, cu perimetre, arii și volume; programa de examen M_șt-nat pentru sesiunile $2027$ – $2029$ cere numai extremele unei funcții date, deci acolo tema rămâne antrenament de modelare.

Noutatea față de tot ce s-a făcut până acum: funcția nu vine din enunț, ci se construiește. Rețeta are patru pași. Întâi mărimea de optimizat — aria, volumul, perimetrul, costul —, scrisă cu literele care apar natural în figură. Apoi restricția: egalitatea impusă de enunț, din care se scoate una dintre litere. Apoi înlocuirea, care lasă o funcție de o singură variabilă, și domeniul dedus din condiția ca toate lungimile din figură să fie strict pozitive. Abia la sfârșit derivata, tabelul de semn și concluzia.

Unde se pierd rezolvările: la primii doi pași. O formulă cu două litere nu se poate deriva, iar figura se numără pe desen — un vas deschis are o singură bază, unul cu capac are două, iar o despărțitură interioară consumă material în plus.

Candidații sunt rădăcinile derivatei aflate în domeniu, împreună cu acele capete care aparțin domeniului; o rădăcină căzută în afara lui se respinge ca soluție străină. Răspunsul se dă la întrebarea pusă, cu unitatea potrivită, iar la final se face proba restricției.

De reținut

se scrie mărimea de optimizat ca funcție de o singură variabilă
domeniul variabilei se deduce din enunț, nu se alege
punctul critic se compară cu capetele domeniului

Greșeala tipică

Se păstrează și soluția $x = 15$ a ecuației $V^{'} (x) = 0$ pentru cutia din foaia de $30$ cm; la $x = 15$ foaia nu mai are fund, deci valoarea este în afara domeniului.

Exerciții din această mini-lecție

Un dreptunghi are perimetrul de $52$ de centimetri. Aria lui cea mai mare este:
- a) $26$ cm²
- b) $156$ cm²
- c) $169$ cm²
- d) $676$ cm²
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $169$ cm²

Semiperimetrul este $26$ , deci laturile sunt $x$ și $26 - x$ , iar aria este $S (x) = x (26 - x)$ , cu $x \in (0, 26)$ . Din $S^{'} (x) = 26 - 2 x = 0$ rezultă $x = 13$ , cu derivata pozitivă înainte și negativă după, deci maxim: $S (13) = 169$ cm², pentru pătratul de latură $13$ . Varianta b) ia laturile $12$ și $13$ , d) ridică semiperimetrul la pătrat, iar a) răspunde cu semiperimetrul.
O fereastră dreptunghiulară de lățime $x$ metri, întărită cu o traversă verticală la mijloc, se face din $42$ de metri de profil de aluminiu. Aria ferestrei, ca funcție de $x$ , este:
- a) $S (x) = \frac{x ( 42 - 2 x )}{3}$
- b) $S (x) = \frac{x ( 42 - 2 x )}{2}$
- c) $S (x) = x (42 - 2 x)$
- d) $S (x) = \frac{x ( 42 - 3 x )}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $S (x) = \frac{x ( 42 - 2 x )}{3}$

Profilul se consumă pe cele două laturi orizontale, de lungime $x$ fiecare, și pe trei segmente verticale de înălțime $h$ : cele două laturi și traversa. Restricția este deci $2 x + 3 h = 42$ , de unde $h = \frac{42 - 2 x}{3}$ , iar aria este $S = x \cdot h = \frac{x ( 42 - 2 x )}{3}$ . Varianta b) numără numai două segmente verticale, c) uită cu totul numitorul, iar d) schimbă între ele rolurile lui $x$ și $h$ .
O parcelă dreptunghiulară de $200$ m² se împrejmuiește: latura dinspre stradă costă $30$ de lei metrul, iar celelalte trei $10$ lei metrul. Cheltuiala cea mai mică este:
- a) $400$ de lei
- b) $600$ de lei
- c) $1200$ de lei
- d) $800$ de lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $800$ de lei

Cu $x$ latura dinspre stradă și $y$ cealaltă dimensiune, costul este $30 x + 10 x + 2 \cdot 10 y = 40 x + 20 y$ , iar restricția $x y = 200$ dă $y = \frac{200}{x}$ , deci $C (x) = 40 x + \frac{4000}{x}$ , $x > 0$ . Din $C^{'} (x) = \frac{40 x ^{2} - 4000}{x ^{2}} = 0$ rezultă $x = 10$ , cu derivata negativă înainte și pozitivă după, deci minim. Atunci $y = 20$ și $C (10) = 400 + 400 = 800$ de lei. Proba: $30 \cdot 10 + 10 \cdot 10 + 2 \cdot 10 \cdot 20 = 800$ .

Întrebări conexe

Ce dreptunghi cu perimetrul dat are aria maximă?

Pătratul. Cu perimetrul de $40$ m, laturile sunt $x$ și $20 - x$ , iar aria $A (x) = x (20 - x)$ are $A^{'} (x) = 20 - 2 x$ , zero în $x = 10$ . Maximul este $A (10) = 100$ m², iar orice alt dreptunghi cu același perimetru are aria mai mică.

Ce cilindru de volum dat folosește cel mai puțin material?

Cel cu înălțimea egală cu diametrul. Pentru volumul $16 π$ , $h = \frac{16}{r ^{2}}$ , iar aria totală este $S (r) = 2 π r^{2} + \frac{32 π}{r}$ . Din $S^{'} (r) = 4 π r - \frac{32 π}{r ^{2}} = 0$ rezultă $r^{3} = 8$ , deci $r = 2$ și $h = 4$ , cu $S = 24 π$ .

Cum aleg dimensiunile unui țarc lipit de un zid ca aria să fie maximă?

Cu $40$ m de gard pe trei laturi, notezi cu $x$ laturile perpendiculare pe zid; latura paralelă are $40 - 2 x$ . Aria $x (40 - 2 x)$ are derivata $40 - 4 x$ , zero în $x = 10$ , deci țarcul optim are $10$ m pe $20$ m și aria $200$ m².

De ce se verifică și capetele domeniului într-o problemă de optimizare?

Pentru că punctul critic poate ieși în afara domeniului impus de enunț. Dacă la țarcul de mai sus se cere $x \leq 8$ , derivata $40 - 4 x$ rămâne pozitivă pe tot intervalul, iar maximul se atinge în capătul $x = 8$ : aria este $8 \cdot 24 = 192$ m².

Ce număr pozitiv adunat cu inversul lui dă suma cea mai mică?

Numărul $1$ . Pentru $f (x) = x + \frac{1}{x}$ , cu $x > 0$ , $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}}$ se anulează în $x = 1$ și trece de la minus la plus. Suma minimă este $f (1) = 2$ ; de exemplu, $2 + \frac{1}{2} = 2, 5$ este mai mare.

Oamenii mai întreabă și: cutie fără capac volum maxim · problema cutiei din carton cu derivata · volum maxim cu derivata · cât tai la colțuri pentru volum maxim