Probleme de optimizare: perimetre, arii și volume (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un laborator comandă cutii de carton pentru probe. Cartonul costă, așa că întrebarea nu este „ce cutie încape pe raft", ci „ce cutie ține cel mai mult material cu cel mai puțin carton". La fel gândește un fermier care are o cantitate fixă de plasă și vrea țarcul cel mai încăpător, sau un constructor care trebuie să căptușească un bazin cu cât mai puțină folie. Toate aceste întrebări au aceeași structură matematică, iar în clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), unealta care le rezolvă este derivata — o temă pe care Bacalaureatul M2 2027–2029 nu o cere, dar pe care programa nouă o pune pe nume în traseul clasei a XI-a.

Lecția de față adaugă un pas la ce ai făcut până acum. Până la ea, funcția îți era dată și trebuia doar studiată; de acum, funcția trebuie construită din enunț, iar acesta este pasul cel mai greu. Tema nu se dă la Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde se cer punctele de extrem ale unei funcții date, nu problemele de optimizare cu restricții geometrice; la proba MAT_P2 din 2030 ea apare pe nume, în domeniul Analiză matematică.

Ce vei învăța

Vei ști să identifici mărimea de optimizat dintr-un enunț și să o scrii ca formulă, înainte de orice calcul.
Vei ști să folosești restricția din enunț ca să elimini variabila în plus și să ajungi la o funcție de o singură necunoscută.
Vei ști să deduci domeniul din geometria figurii, nu să-l alegi după ureche.
Vei ști să decizi, din semnul derivatei, dacă punctul critic este maxim sau minim, și să citești răspunsul din tabelul de variație.
Vei ști să răspunzi la întrebarea pusă — dimensiunile, aria, costul —, cu unitatea de măsură potrivită.
Vei ști să recunoști situațiile în care valoarea extremă se atinge într-un capăt al domeniului, nu într-un punct critic.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu ajunge o singură formulă?

Un bazin de decantare deschis, cu baza pătrată, trebuie să aibă volumul de $108$ m³. Peretele interior și fundul se căptușesc cu folie, care costă. Care sunt dimensiunile cu care se consumă cea mai puțină folie?

Prima tentație este să scrii aria: cu latura bazei $x$ și înălțimea $h$ , avem $S = x^{2} + 4 x h$ . Formula e corectă, dar nu se poate deriva: are două litere care se mișcă. Aici intervine a doua informație din enunț, cea pe care mulți o citesc ca pe un detaliu: volumul este impus, deci $x^{2} h = 108$ . Din ea, $h = \frac{108}{x ^{2}}$ , iar aria devine o funcție de o singură variabilă:

$S (x) = x^{2} + 4 x \cdot \frac{108}{x ^{2}} = x^{2} + \frac{432}{x} .$

Abia acum se poate lucra. Mărimea de optimizat este funcția pe care urmează să o studiezi, iar ea se scrie întotdeauna cu o singură variabilă, folosind relația de legătură dintre datele problemei. Relația aceasta — volum impus, perimetru dat, punct pe o curbă — este motorul întregii rezolvări; fără ea nu ai o funcție, ai o formulă cu două necunoscute.

2. Rețeta în patru pași

Toate problemele acestei lecții se rezolvă după același traseu, iar ordinea contează:

mărimea: scrii formula mărimii care trebuie făcută cât mai mare sau cât mai mică (arie, volum, perimetru, cost), cu literele care apar natural în figură;
restricția: scrii egalitatea impusă de enunț și scoți din ea una dintre litere;
o singură variabilă: înlocuiești și obții funcția de optimizat, apoi stabilești domeniul din condițiile geometrice;
derivata: calculezi $f^{'}$ , rezolvi $f^{'} (x) = 0$ , reții soluțiile din domeniu, faci tabelul de semn și scrii concluzia în limbajul problemei.

Pentru bazin: $S^{'} (x) = 2 x - \frac{432}{x ^{2}} = \frac{2 x ^{3} - 432}{x ^{2}}$ , cu numitorul strict pozitiv, deci semnul e dat de $2 x^{3} - 432$ . Ecuația $2 x^{3} = 432$ dă $x^{3} = 216$ , adică $x = 6$ . Derivata este negativă înainte și pozitivă după, deci acolo se află un minim. Atunci $h = \frac{108}{36} = 3$ , iar suprafața minimă este $36 + 72 = 108$ m². Răspunsul complet: bazinul are baza de $6 \times 6$ metri și adâncimea de $3$ metri, cu $108$ m² de folie.

3. Cum se deduce domeniul?

La pasul 3 se pierd, la clasă, cele mai multe puncte. Domeniul nu este $R$ și nici măcar $(0, + \infty)$ în toate cazurile: el vine din condiția ca toate lungimile care apar în figură să fie strict pozitive.

Ia o coală dreptunghiulară de $8 \times 5$ decimetri, din care se taie din colțuri patru pătrate cu latura $x$ și se ridică marginile. Cutia obținută are baza $(8 - 2 x) \times (5 - 2 x)$ și înălțimea $x$ . Ca ea să existe, trebuie simultan $x > 0$ , $8 - 2 x > 0$ și $5 - 2 x > 0$ , deci $x \in (0, \frac{5}{2})$ . Cea de-a doua condiție e mai slabă decât a treia și se pierde din vedere ușor; dacă nu scrii sistemul, rămâi cu $x \in (0, 4)$ și accepți soluții care nu corespund niciunei cutii.

Capetele domeniului au, aproape întotdeauna, un înțeles: acolo figura degenerează. La $x \to 0$ cutia are înălțimea zero, la $x \to \frac{5}{2}$ una dintre laturile bazei se anulează; în ambele situații volumul este nul. De aceea, la o problemă de maxim, extremul se caută în interiorul intervalului.

4. De ce punctul critic nu este încă un răspuns?

Derivata care se anulează dă doar un candidat. Ca să știi dacă e maxim sau minim, ai nevoie de semnul derivatei în jurul lui — adică de tabelul de variație, în formatul fixat în lecția despre tabelul de variație, cap-coadă. Regula pe care o folosești este cea din lecția despre punctele critice și punctele de extrem: o derivată care trece de la plus la minus semnalează un maxim, una care trece invers semnalează un minim, iar una care își păstrează semnul nu semnalează niciun extrem.

Pasul acesta e și locul în care se resping rădăcinile din afara domeniului: o rădăcină a derivatei care nu trece proba de la pasul 3 se aruncă exact ca o soluție străină a unei ecuații, fără nicio altă verificare.

5. Ce faci când criteriul nu e o mărime geometrică?

Nu tot ce se optimizează este o arie sau un volum. Dacă laturile unei împrejmuiri costă diferit, mărimea de minimizat este costul, iar el se scrie tot ca funcție de o singură variabilă. Diferența față de o problemă de perimetru minim este esențială: cea mai scurtă împrejmuire și cea mai ieftină împrejmuire nu sunt, în general, aceeași.

Rețeta rămâne neschimbată — mărimea, restricția, o variabilă, derivata —, dar la pasul 1 scrii suma prețurilor pe fiecare bucată, nu lungimea totală. Iar la pasul 4, răspunsul se dă în lei, nu în metri.

6. Valoarea maximă poate sta într-un capăt

Există situații în care punctul critic nu aparține domeniului, fie pentru că enunțul impune o limitare tehnică, fie pentru că geometria nu-l permite. Atunci funcția este monotonă pe tot domeniul, iar extremul se ia într-un capăt — cu condiția ca acel capăt să facă parte din domeniu.

Un strat de flori dreptunghiular, lipit de o alee, se împrejmuiește cu $36$ de metri de bordură, dar latura paralelă cu aleea trebuie să aibă cel puțin $24$ de metri. Notând cu $x$ lungimea uneia dintre laturile perpendiculare pe alee, avem $2 x + y = 36$ , deci $y = 36 - 2 x$ , iar condiția $y \geq 24$ dă $x \leq 6$ . Aria $S (x) = x (36 - 2 x)$ are vârful în $x = 9$ , în afara domeniului $(0, 6]$ ; pe acest interval derivata $36 - 4 x$ este pozitivă, deci aria crește, iar valoarea maximă se atinge în capătul $x = 6$ : $S (6) = 6 \cdot 24 = 144$ m². Morala se reține scurt: candidații sunt rădăcinile derivatei din domeniu plus capetele care aparțin domeniului.

7. Controlul rezultatului, în trei secunde

Trei verificări ieftine prind aproape toate greșelile. Prima, dimensională: numeri câte lungimi se înmulțesc — două dau o arie, trei un volum; dacă expresia pe care ai numit-o arie e un produs de trei lungimi, ai greșit formula. A doua, numerică: înlocuiești în funcție o valoare de o parte și una de cealaltă parte a punctului găsit și verifici că rezultatul e într-adevăr mai mic (la maxim) sau mai mare (la minim). A treia, de bun-simț fizic: dimensiunile trebuie să fie pozitive și să se potrivească cu restricția din enunț — la bazin, $6^{2} \cdot 3 = 108$ , exact volumul cerut.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cutia cu volum maxim

Dintr-o coală dreptunghiulară de $8$ dm pe $5$ dm se decupează din fiecare colț câte un pătrat cu latura $x$ , apoi marginile se ridică, formând o cutie fără capac. Determinați volumul maxim al cutiei.

Rezolvare. Mărimea: baza cutiei are laturile $8 - 2 x$ și $5 - 2 x$ , iar înălțimea este $x$ , deci $V = x (8 - 2 x) (5 - 2 x)$ .

Restricția și domeniul: toate cele trei dimensiuni trebuie să fie strict pozitive, adică $x > 0$ , $x < 4$ și $x < \frac{5}{2}$ . Reținem $x \in (0, \frac{5}{2})$ .

Derivata: desfăcând parantezele, $V (x) = 4 x^{3} - 26 x^{2} + 40 x$ , deci $V^{'} (x) = 12 x^{2} - 52 x + 40 = 4 (3 x - 10) (x - 1) .$ Rădăcinile sunt $x = 1$ și $x = \frac{10}{3}$ ; a doua se respinge, nefiind în domeniu. Derivata este pozitivă pe $(0, 1)$ și negativă pe $(1, \frac{5}{2})$ , deci $x = 1$ este punct de maxim.

Răspunsul: $V (1) = 1 \cdot 6 \cdot 3 = 18$ dm³, pentru o cutie cu baza de $6 \times 3$ dm și înălțimea de $1$ dm. Control: $6 \cdot 3 \cdot 1 = 18$ ✓, iar $6 = 8 - 2$ și $3 = 5 - 2$ ✓.

Exemplul 2 — Gardul cu cost minim

O parcelă experimentală dreptunghiulară de $450$ m² se împrejmuiește. Latura dinspre drum se face din gard de lemn, cu $45$ de lei metrul, iar celelalte trei din plasă, cu $15$ lei metrul. Determinați dimensiunile pentru care cheltuiala este minimă.

Rezolvare. Mărimea: notăm cu $x$ lungimea laturii dinspre drum și cu $y$ cealaltă dimensiune. Latura dinspre drum costă $45 x$ , latura opusă ei $15 x$ , iar cele două laturi laterale $2 \cdot 15 y$ . Deci costul total este $C = 45 x + 15 x + 30 y = 60 x + 30 y$ lei.

Restricția: aria impusă dă $x y = 450$ , deci $y = \frac{450}{x}$ și $C (x) = 60 x + 30 \cdot \frac{450}{x} = 60 x + \frac{13500}{x}, x > 0.$

Derivata: $C^{'} (x) = 60 - \frac{13500}{x ^{2}} = \frac{60 x ^{2} - 13500}{x ^{2}}$ . Numitorul fiind pozitiv, semnul este al numărătorului: $60 x^{2} = 13500$ dă $x^{2} = 225$ , adică $x = 15$ (valoarea negativă nu are sens). Derivata este negativă pe $(0, 15)$ și pozitivă pe $(15, + \infty)$ , deci $x = 15$ este punct de minim.

Răspunsul: latura dinspre drum are $15$ metri, cealaltă $\frac{450}{15} = 30$ de metri, iar costul minim este $C (15) = 900 + 900 = 1800$ de lei. Observă că parcela nu iese pătrată: latura scumpă se face mai scurtă, iar cea ieftină mai lungă. Proba: $45 \cdot 15 + 15 \cdot 15 + 2 \cdot 15 \cdot 30 = 675 + 225 + 900 = 1800$ ✓.

Exemplul 3 — Aria maximă a unui țarc cu trei boxe

Un țarc dreptunghiular pentru un experiment de etologie se împrejmuiește cu $96$ de metri de plasă și se împarte în trei boxe egale prin două plase interioare, paralele cu una dintre laturi. Determinați aria maximă a țarcului.

Rezolvare. Mărimea: notăm cu $w$ lungimea laturii paralele cu plasele interioare și cu $L$ cealaltă dimensiune; aria este $S = L w$ .

Restricția: plasa se consumă pe cele patru laturi ale conturului și pe cele două despărțituri, fiecare de lungime $w$ : $2 L + 2 w + 2 w = 96$ , adică $2 L + 4 w = 96$ , deci $L = 48 - 2 w$ .

O singură variabilă: $S (w) = w (48 - 2 w)$ , cu $w > 0$ și $48 - 2 w > 0$ , deci $w \in (0, 24)$ .

Derivata: $S^{'} (w) = 48 - 4 w$ , cu rădăcina $w = 12$ , pozitivă înainte și negativă după, deci maxim.

Răspunsul: $L = 48 - 24 = 24$ de metri, iar aria maximă este $S (12) = 12 \cdot 24 = 288$ m², pentru un țarc de $12$ pe $24$ de metri. Control: $2 \cdot 24 + 4 \cdot 12 = 48 + 48 = 96$ ✓. Observă că țarcul nu este pătrat: fiecare despărțitură se plătește din aceeași plasă, așa că latura pe care se așază despărțiturile iese mai scurtă.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev rezolvă problema bazinului din §1 — vas deschis, bază pătrată, volum $108$ m³ — și scrie: „Suprafața este $S = 2 x^{2} + 4 x h$ , deci $S (x) = 2 x^{2} + \frac{432}{x}$ ; din $S^{'} (x) = 4 x - \frac{432}{x ^{2}} = 0$ obțin $x^{3} = 108$ ." Găsiți greșeala.

Rezolvare. Greșeala este la pasul 1, în modelarea mărimii: elevul a numărat două fețe pătrate, adică a pus și un capac pe care bazinul nu îl are. Un vas deschis are o singură bază, deci $S = x^{2} + 4 x h$ .

Semnalul că ceva nu e în regulă apare chiar în rezultatul lui: $x^{3} = 108$ nu are soluție rațională, iar o problemă construită didactic ajunge aproape întotdeauna la numere curate. Un rezultat necurat nu dovedește nimic singur, dar merită întotdeauna o recitire a enunțului.

Rezolvarea corectă: cu $h = \frac{108}{x ^{2}}$ obținem $S (x) = x^{2} + \frac{432}{x}$ , deci $S^{'} (x) = \frac{2 x ^{3} - 432}{x ^{2}}$ , cu rădăcina dată de $x^{3} = 216$ , adică $x = 6$ . Atunci $h = 3$ , iar suprafața minimă este $S (6) = 36 + 72 = 108$ m². Reține proba: numără fețele pe desen, nu din memorie — un vas deschis, o cutie cu capac și una cu două compartimente au trei formule diferite.

Exemplul 5 — Citește tabelul de variație

Dintr-o bandă de tablă lată de $24$ de centimetri se face un jgheab de scurgere, îndoind în sus, sub unghi drept, câte o fâșie de $x$ centimetri de fiecare parte. Determinați $x$ pentru care aria secțiunii este maximă.

Rezolvare. Secțiunea este un dreptunghi cu înălțimea $x$ și lățimea $24 - 2 x$ , deci $S (x) = x (24 - 2 x)$ , cu $x > 0$ și $24 - 2 x > 0$ , adică $x \in (0, 12)$ . Derivata este $S^{'} (x) = 24 - 4 x$ , cu rădăcina $x = 6$ . Tabelul de variație:

$x$	$0$		$6$		$12$
$S^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$
$S (x)$	$0$	$↗$	$72 M$	$↘$	$0$

Citirea tabelului. Aria crește de la zero până la $x = 6$ , unde atinge valoarea $72$ , apoi scade tot până la zero. Cele două zerouri de la capete sunt cele două jgheaburi degenerate: unul plat, fără pereți, celălalt complet îndoit, fără fund. Prin urmare fâșiile îndoite au câte $6$ centimetri, lățimea fundului rămâne de $12$ centimetri, iar aria maximă a secțiunii este de $72$ cm². Cum debitul crește odată cu secțiunea, aceasta este și forma prin care apa curge cel mai bine.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : (0, 4) \to R$ , $f (x) = \frac{x ( 12 - 3 x )}{2}$ , care dă aria, în metri pătrați, a unei ferestre dreptunghiulare de lățime $x$ dintr-o seră, întărită cu o traversă orizontală, pentru care se folosesc $12$ metri de profil de aluminiu. a) Arătați că $f^{'} (x) = 6 - 3 x$ , $x \in (0, 4)$ . b) Determinați valoarea maximă a funcției $f$ . c) Arătați că $f (x) \leq 6$ , pentru orice $x \in (0, 4)$ .

Rezolvare.

a) Desfacem paranteza: $f (x) = \frac{12 x - 3 x ^{2}}{2} = 6 x - \frac{3 x ^{2}}{2}$ , deci $f^{'} (x) = 6 - 3 x$ pentru orice $x$ din interval.

b) Ecuația $6 - 3 x = 0$ dă $x = 2$ , valoare din domeniu. Derivata este pozitivă pe $(0, 2)$ și negativă pe $(2, 4)$ , deci $x = 2$ este punct de maxim, iar valoarea maximă este $f (2) = \frac{2 \cdot 6}{2} = 6$ .

c) Din tabelul de variație, $f$ crește până în $2$ și scade după, deci $f (x) \leq f (2) = 6$ pentru orice $x$ din domeniu, ceea ce trebuia arătat.

De la examen la lecție. Cum proba MAT_P2 nu are încă un model oficial publicat, exemplul acesta este construit în stilul probei, pe structura pe care o folosesc subiectele de analiză: o formulă de verificat, un extrem de determinat, o inegalitate de demonstrat. Observă că enunțul îți dă funcția gata construită — pașii 1–3 ai rețetei sunt deja făcuți, iar restricția $3 x + 2 h = 12$ e ascunsă în formulă; verificarea ei se face la final: pentru $x = 2$ obținem $h = 3$ și, într-adevăr, $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12$ .

Să exersăm

Scrie la fiecare problemă cei patru pași, cu domeniul pe un rând separat.

1. Suma a două numere pozitive este $20$ . Determină valoarea maximă a produsului lor.

2. O sârmă de $32$ de centimetri se îndoaie în forma unui dreptunghi. Ce dimensiuni dau aria cea mai mare?

3. Dintr-o coală pătrată cu latura de $12$ centimetri se taie din colțuri patru pătrate egale și se ridică marginile. Determină volumul maxim al cutiei obținute.

4. Dintre toate dreptunghiurile cu diagonala de $8$ centimetri, determină-l pe cel de arie maximă.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-o problemă de optimizare, cea mai mare valoare a mărimii se poate atinge și într-un punct în care derivata nu se anulează."

6. Un teren dreptunghiular de $150$ m² se împrejmuiește, iar una dintre laturi primește gard dublu. Determină lungimea totală minimă de gard.

7. Suma catetelor unui triunghi dreptunghic este de $14$ centimetri. Determină aria maximă a triunghiului.

8. Dintre toate triunghiurile isoscele cu perimetrul de $36$ de centimetri, determină-l pe cel de arie maximă.

9. O cutie fără capac, cu baza pătrată, are aria totală de $48$ dm². Determină volumul maxim al cutiei.

10. O cutie de carton cu capac, cu baza pătrată, are volumul de $16$ dm³. Cartonul pentru fund și capac costă $2$ lei pe decimetru pătrat, cel pentru pereți $1$ leu pe decimetru pătrat. Determină costul minim.

11. (Problemă aplicată.) Într-un laborator se toarnă o cuvă deschisă, cu baza pătrată, care trebuie să conțină $62, 5$ dm³ de soluție. Determină latura bazei pentru care suprafața interioară este minimă și precizează unitatea de măsură a rezultatului.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $f : (0, 10) \to R$ , $f (x) = x (10 - x)$ , care dă aria, în metri pătrați, a unei parcele dreptunghiulare cu semiperimetrul de $10$ metri și o latură de lungime $x$ . a) Calculează $f^{'} (x)$ . b) Determină aria maximă a parcelei.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x^{2} + \frac{54}{x}$ . a) Arată că $f^{'} (x) = \frac{2 x ^{3} - 54}{x ^{2}}$ , $x > 0$ . b) Determină punctul de minim al funcției $f$ . c) Arată că $f (x) \geq 27$ , pentru orice $x > 0$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 2 x + \frac{50}{x}$ , care dă lungimea, în metri, a gardului unei parcele dreptunghiulare de $50$ m² lipite de un zid, cu laturile perpendiculare pe zid de lungime $x$ . a) Arată că $f^{'} (x) = \frac{2 x ^{2} - 50}{x ^{2}}$ , $x > 0$ . b) Determină lungimea minimă a gardului.

15. Un dreptunghi are o latură pe axa $O x$ și celelalte două vârfuri pe graficul funcției $g (x) = 9 - x^{2}$ . Determină aria maximă a dreptunghiului.

16. Fie $p > 0$ un număr real fixat. Arată că, dintre toate dreptunghiurile de arie $p$ , cel cu perimetrul minim este pătratul de latură $p$ .

17. Volumul unei cutii este dat de $V (x) = x^{2} (12 - x)$ , $x \in (0, 12)$ . Completează tabelul de valori pentru $x \in {2, 5, 7, 9, 11}$ , spune între ce numere se află optimul și confirmă apoi rezultatul cu derivata.

18. (Provocare.) Un țarc dreptunghiular lipit de un zid se împrejmuiește cu $40$ de metri de plasă, dar latura paralelă cu zidul nu poate depăși $16$ metri. Determină aria maximă a țarcului și explică de ce rădăcina derivatei nu este răspunsul.

Răspunsuri și explicații

1. Cu numerele $x$ și $20 - x$ , produsul este $P (x) = x (20 - x)$ , $x \in (0, 20)$ . Din $P^{'} (x) = 20 - 2 x = 0$ rezultă $x = 10$ , cu derivata pozitivă înainte și negativă după, deci maxim. Produsul maxim este $P (10) = 100$ , pentru numerele $10$ și $10$ .

2. Semiperimetrul este $16$ , deci laturile sunt $x$ și $16 - x$ , iar aria este $S (x) = x (16 - x)$ , $x \in (0, 16)$ . Din $S^{'} (x) = 16 - 2 x = 0$ rezultă $x = 8$ , punct de maxim. Aria maximă este $64$ cm², pentru pătratul cu latura de $8$ centimetri.

3. $V (x) = x (12 - 2 x)^{2}$ , cu $x \in (0, 6)$ . Derivata se scrie $V^{'} (x) = (12 - 2 x)^{2} + x \cdot 2 (12 - 2 x) (- 2) = (12 - 2 x) (12 - 6 x)$ , cu rădăcinile $6$ (exclusă) și $2$ . Semnul trece de la plus la minus în $2$ , deci acolo e maximul: $V (2) = 2 \cdot 8^{2} = 128$ cm³, pentru o cutie cu baza de $8 \times 8$ cm și înălțimea de $2$ cm.

4. Cu laturile $x$ și $64 - x^{2}$ , aria este $S (x) = x 64 - x^{2}$ , $x \in (0, 8)$ . Derivata este $S^{'} (x) = 64 - x^{2} - \frac{x ^{2}}{64 - x ^{2}} = \frac{64 - 2 x ^{2}}{64 - x ^{2}}$ , cu rădăcina $x = 42$ . Cealaltă latură iese tot $42$ , deci dreptunghiul este pătrat, iar aria maximă este $32$ cm².

5. Adevărat. Când punctul critic nu aparține domeniului, funcția este monotonă, iar extremul se atinge într-un capăt care face parte din domeniu — exact situația din paragraful $6$ al descoperirii. Regula corectă este că se compară valorile din rădăcinile derivatei aflate în domeniu cu valorile din capetele incluse.

6. Cu latura dublată de lungime $L$ și cealaltă $w$ , gardul are lungimea $T = 3 L + 2 w$ , iar aria impune $L w = 150$ , deci $w = \frac{150}{L}$ și $T (L) = 3 L + \frac{300}{L}$ , $L > 0$ . Din $T^{'} (L) = 3 - \frac{300}{L ^{2}} = 0$ rezultă $L^{2} = 100$ , adică $L = 10$ , cu derivata negativă înainte și pozitivă după, deci minim. Atunci $w = 15$ , iar lungimea minimă este $T (10) = 30 + 30 = 60$ de metri. Control: $3 \cdot 10 + 2 \cdot 15 = 60$ ✓.

7. Cu catetele $a$ și $14 - a$ , aria este $S (a) = \frac{a ( 14 - a )}{2}$ , $a \in (0, 14)$ . Din $S^{'} (a) = \frac{14 - 2 a}{2} = 0$ rezultă $a = 7$ , punct de maxim. Triunghiul este dreptunghic isoscel, cu catetele de $7$ centimetri, iar aria maximă este $\frac{49}{2} = 24, 5$ cm².

8. Cu baza $b$ , laturile egale au $\frac{36 - b}{2}$ , iar aria este $S (b) = \frac{b}{4} (36 - b)^{2} - b^{2} = \frac{b}{4} 1296 - 72 b$ . Optimizăm pătratul ariei, $g (b) = \frac{b ^{2} ( 1296 - 72 b )}{16} = 81 b^{2} - \frac{9 b ^{3}}{2}$ , cu $b \in (0, 18)$ : din $g^{'} (b) = 162 b - \frac{27 b ^{2}}{2} = \frac{27 b ( 12 - b )}{2} = 0$ rezultă $b = 12$ , punct de maxim. Triunghiul iese echilateral, cu latura de $12$ centimetri, iar aria maximă este $363$ cm².

9. Cu latura bazei $x$ și înălțimea $h$ , aria totală dă $x^{2} + 4 x h = 48$ , deci $h = \frac{48 - x ^{2}}{4 x}$ , iar volumul este $V (x) = x^{2} h = \frac{x ( 48 - x ^{2} )}{4} = 12 x - \frac{x ^{3}}{4}$ , cu $x \in (0, 43)$ . Din $V^{'} (x) = 12 - \frac{3 x ^{2}}{4} = 0$ rezultă $x^{2} = 16$ , adică $x = 4$ , punct de maxim. Atunci $h = \frac{48 - 16}{16} = 2$ , iar volumul maxim este $V (4) = 32$ dm³.

10. Cu latura bazei $x$ și înălțimea $h$ , volumul dă $h = \frac{16}{x ^{2}}$ . Costul este $C = 2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot 4 x h = 4 x^{2} + \frac{64}{x}$ , $x > 0$ . Din $C^{'} (x) = 8 x - \frac{64}{x ^{2}} = \frac{8 x ^{3} - 64}{x ^{2}} = 0$ rezultă $x^{3} = 8$ , adică $x = 2$ , cu derivata negativă înainte și pozitivă după. Atunci $h = 4$ , iar costul minim este $C (2) = 16 + 32 = 48$ de lei.

11. Cu latura bazei $x$ decimetri, $h = \frac{62 , 5}{x ^{2}}$ , iar suprafața interioară (fund plus patru pereți) este $S (x) = x^{2} + 4 x \cdot \frac{62 , 5}{x ^{2}} = x^{2} + \frac{250}{x}$ , cu domeniul $x > 0$ (latura unei baze este strict pozitivă). Din $S^{'} (x) = 2 x - \frac{250}{x ^{2}} = \frac{2 x ^{3} - 250}{x ^{2}} = 0$ rezultă $x^{3} = 125$ , adică $x = 5$ decimetri; numitorul fiind pozitiv, semnul e al lui $2 x^{3} - 250$ , negativ pe $(0, 5)$ și pozitiv pe $(5, + \infty)$ , deci $5$ este într-adevăr punct de minim. Atunci $h = 2, 5$ dm, iar suprafața minimă este $25 + 50 = 75$ dm² — o arie, deci se exprimă în decimetri pătrați, nu în decimetri. Proba restricției: $5^{2} \cdot 2, 5 = 62, 5$ ✓.

12. a) Desfăcând paranteza, $f (x) = 10 x - x^{2}$ , deci $f^{'} (x) = 10 - 2 x$ . b) Rădăcina este $x = 5$ , cu derivata pozitivă înainte și negativă după, deci maxim; aria maximă este $f (5) = 25$ m², pentru parcela pătrată cu latura de $5$ metri.

13. a) $f^{'} (x) = 2 x - \frac{54}{x ^{2}} = \frac{2 x ^{3} - 54}{x ^{2}}$ . b) Numitorul fiind pozitiv, semnul este al lui $2 x^{3} - 54$ ; din $x^{3} = 27$ rezultă $x = 3$ , cu derivata negativă pe $(0, 3)$ și pozitivă pe $(3, + \infty)$ , deci $x = 3$ este punct de minim. c) Valoarea minimă este $f (3) = 9 + 18 = 27$ , deci $f (x) \geq 27$ pentru orice $x > 0$ .

14. a) $f^{'} (x) = 2 - \frac{50}{x ^{2}} = \frac{2 x ^{2} - 50}{x ^{2}}$ . b) Din $2 x^{2} = 50$ rezultă $x = 5$ , cu derivata negativă înainte și pozitivă după, deci minim; lungimea minimă este $f (5) = 10 + 10 = 20$ de metri, pentru o parcelă cu laturile de $5$ și $10$ metri.

15. Cu vârfurile $(\pm x, 0)$ și $(\pm x, 9 - x^{2})$ , aria este $S (x) = 2 x (9 - x^{2}) = 18 x - 2 x^{3}$ , cu $x \in (0, 3)$ . Din $S^{'} (x) = 18 - 6 x^{2} = 0$ rezultă $x = 3$ , punct de maxim. Aria maximă este $23 \cdot 6 = 123$ unități de arie.

16. Cu laturile $x$ și $\frac{p}{x}$ , perimetrul este $P (x) = 2 (x + \frac{p}{x})$ , $x > 0$ . Din $P^{'} (x) = 2 (1 - \frac{p}{x ^{2}}) = \frac{2 ( x ^{2} - p )}{x ^{2}} = 0$ rezultă $x = p$ , cu derivata negativă pe $(0, p)$ și pozitivă după, deci minim. Cealaltă latură este $\frac{p}{p} = p$ , deci dreptunghiul este pătrat, iar perimetrul minim este $4 p$ .

17. Valorile sunt $V (2) = 40$ , $V (5) = 175$ , $V (7) = 245$ , $V (9) = 243$ , $V (11) = 121$ . Cea mai mare dintre ele e în $7$ , deci optimul se află între $5$ și $9$ — nu la mijlocul intervalului. Confirmarea: $V (x) = 12 x^{2} - x^{3}$ , deci $V^{'} (x) = 24 x - 3 x^{2} = 3 x (8 - x)$ , pozitivă pe $(0, 8)$ și negativă pe $(8, 12)$ , cu rădăcina $x = 8$ punct de maxim și $V (8) = 64 \cdot 4 = 256$ . Observă că cea mai mare valoare din tabel nu era în punctul de maxim: tabelul localizează, derivata fixează — un tabel nu ține loc de demonstrație.

18. Din $2 x + y = 40$ rezultă $y = 40 - 2 x$ ; condiția $y \leq 16$ dă $x \geq 12$ , iar $y > 0$ dă $x < 20$ , deci $x \in [12, 20)$ . Aria este $S (x) = x (40 - 2 x)$ , cu $S^{'} (x) = 40 - 4 x$ și rădăcina $x = 10$ , care nu aparține domeniului. Pe $[12, 20)$ derivata este negativă, deci aria scade, iar valoarea maximă se atinge în capătul $x = 12$ : $S (12) = 12 \cdot 16 = 192$ m². Rădăcina derivatei nu este răspunsul pentru că restricția tehnică a tăiat tocmai bucata de domeniu în care se afla vârful.

De reținut

Rețeta are patru pași: mărimea de optimizat, restricția din enunț, reducerea la o singură variabilă cu domeniul scris explicit, apoi derivata și tabelul de semn.
Relația de legătură este cheia: fără ea rămâi cu două litere și nu poți deriva. Ea vine din datele impuse — volum, arie, perimetru, lungime de material.
Domeniul se deduce din figură: fiecare lungime desenată impune o inegalitate, iar sistemul lor dă intervalul de lucru; la capetele acestui interval figura se turtește, cu arie sau volum nul.
Candidații sunt rădăcinile derivatei din domeniu plus capetele incluse în domeniu. O rădăcină din afara domeniului se respinge, la fel ca o soluție străină la o ecuație.
Răspunsul se dă la întrebarea pusă: dacă enunțul cere aria, scrii aria, nu latura care o produce, iar unitatea se pune întotdeauna — metri pătrați, decimetri cubi, lei.

Greșeli frecvente

Modelezi greșit figura. Un vas deschis are o singură bază, o cutie cu capac are două, iar un țarc cu două despărțituri consumă plasă pe șase segmente, nu pe patru. Numără fețele sau laturile pe desen, la fiecare problemă; de aici vine eroarea din Exemplul 4.
Confunzi criteriul: lungimea minimă nu este costul minim. Când laturile au prețuri diferite, cea mai scurtă împrejmuire și cea mai ieftină sunt două figuri diferite. Întrebarea „ce se micșorează?" se pune înaintea primei formule.
Presupui că figura optimă este cea simetrică. Pătratul și cubul apar des, dar numai când toate laturile „costă" la fel. La parcela din Exemplul 2 raportul optim iese $1 : 2$ , iar la țarcul din Exemplul 3 tot $1 : 2$ — simetria se pierde de îndată ce restricția tratează laturile inegal.
Nu faci proba restricției la final. Dimensiunile găsite trebuie să dea înapoi datele impuse: $6^{2} \cdot 3 = 108$ la bazin, $2 \cdot 24 + 4 \cdot 12 = 96$ la țarc. Un rezultat care nu trece proba semnalează o eroare la pasul 2, nu la derivare.
Tragi concluzia dintr-un tabel de valori. Câteva valori calculate arată unde se află aproximativ optimul, dar nu îl demonstrează: între două valori încercate se poate ascunde una mai mare. Tabelul localizează, derivata fixează — exact ordinea din exercițiul $17$ .

Aplică acasă

Gardul cel mai ieftin, cu prețuri de magazin. Caută prețul pe metru liniar la două materiale de împrejmuire reale (plasă și panou de lemn, de exemplu) și imaginează-ți o parcelă de $24$ m² la care doar latura dinspre stradă se face din materialul scump. Scrie funcția de cost, determină dimensiunile optime, apoi reia calculul presupunând că ambele materiale ar costa la fel. Notează, în trei rânduri, cum s-a schimbat forma parcelei.
Optimul căutat în foaia de calcul. Deschide o aplicație de calcul tabelar pe telefon sau pe calculator, scrie într-o coloană valorile lui $x$ din $0, 1$ în $0, 1$ până la $2, 4$ și, în coloana de alături, formula $x (8 - 2 x) (5 - 2 x)$ a cutiei din Exemplul 1. Caută cea mai mare valoare din coloană, apoi refă tabelul cu pasul $0, 01$ în jurul ei. Compară cu răspunsul exact, $x = 1$ , și scrie de ce un tabel nu poate ține niciodată loc de derivată.
Cutia de suc, desfăcută. Golește și clătește un ambalaj paralelipipedic de suc sau de lapte, taie-l pe muchii și întinde-l pe masă. Măsoară aria totală de carton folosită și, din dimensiunile exterioare, calculează volumul. Determină apoi latura cubului cu același volum și aria lui totală, $6 x^{2}$ , și spune cu ce procent depășește ambalajul real acest minim. Scrie două motive practice pentru care producătorul nu face cutia cub.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.4 „Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor" — „Probleme de optimizare; determinarea valorilor de extrem în contexte geometrice (de exemplu, optimizarea perimetrelor, ariilor și volumelor sub restricții date)". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere punctele de extrem ale unei funcții date, la capitolul „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor", dar nu conține problemele de optimizare cu restricții geometrice; acestea intră abia din 2030. Pentru un elev din generația actuală, lecția rămâne utilă ca antrenament de modelare, nu ca temă de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Unde se pierd, în realitate, punctele: nu la derivare, ci la primii doi pași. Elevul care ajunge la o funcție de o variabilă și la un domeniu corect rezolvă restul mecanic, cu uneltele din lecțiile anterioare. De aceea, la clasă, merită cerută rezolvarea în scris a pașilor 1–3 înainte de orice derivată, chiar și oral: „ce optimizăm?", „ce e fix?", „ce valori poate lua $x$ ?".

Lecția verifică cinci lucruri: (1) formula mărimii, scrisă corect pentru figura din enunț; (2) folosirea restricției pentru eliminarea unei litere; (3) domeniul dedus din condițiile de existență; (4) decizia asupra naturii punctului critic, pe baza semnului derivatei; (5) răspunsul dat la întrebarea pusă, cu unitate. Trei întrebări de control: „Câte litere se mișcă în formula ta?"; „Ce se întâmplă cu figura când $x$ ajunge la capătul intervalului?"; „Răspunsul cerut e o lungime sau o arie?". Semne că elevul a înțeles: scrie domeniul pe rând separat, imediat sub funcție, și face la final proba restricției. Continuarea firească este lecția despre viteza și accelerația aflate cu derivata, unde derivata modelează un proces, nu o figură; pentru rădăcinile de clasa a IX-a ale metodei, vezi maximul și minimul în context.

Întrebări frecvente

Cum rezolv o problemă de optimizare cu derivate? În patru pași: scrii formula mărimii de optimizat, scrii restricția din enunț și scoți din ea o literă, înlocuiești ca să obții o funcție de o singură variabilă și îi stabilești domeniul, apoi derivezi, rezolvi $f^{'} (x) = 0$ și citești din tabelul de semn dacă punctul e de maxim sau de minim. Răspunsul final se dă în limbajul problemei.

Ce diferență este între optimizare la M2 și la mate-info (M1)? La științe ale naturii tema se sprijină exclusiv pe semnul derivatei întâi și pe tabelul de variație, cu figuri simple: dreptunghiuri, cutii, țarcuri, jgheaburi. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: probleme de extrem în geometrie adaugă probleme de distanță minimă până la o curbă și tehnici pe care programa de științe ale naturii nu le cere.

La ce subiect apare optimizarea la bacalaureatul M2? La sesiunile 2027–2029 nu apare: programa de examen cere extremele unei funcții deja date, la Subiectul al III-lea, nu construirea funcției dintr-un enunț geometric. Tema intră la proba MAT_P2 din 2030, în domeniul Analiză matematică, unde este cerută pe nume, cu perimetre, arii și volume sub restricții.

Cum aflu domeniul funcției într-o problemă practică? Impui ca fiecare lungime din figură să fie strict pozitivă — și variabila, și dimensiunile calculate din ea — apoi rezolvi sistemul de inegalități. De obicei iese un interval mărginit, ale cărui capete corespund unor figuri turtite, cu arie sau volum nul.

Ce fac dacă rădăcina derivatei nu se află în domeniu? O respingi, exact cum respingi o soluție străină la o ecuație, și verifici apoi semnul derivatei pe tot domeniul. Dacă funcția este monotonă acolo, valoarea extremă se atinge într-un capăt care aparține domeniului; dacă niciun capăt nu aparține domeniului, mărimea nu-și atinge valoarea extremă, ci doar se apropie oricât de mult de ea.

De ce parcela cea mai ieftină nu este pătrată? Pentru că la costul minim fiecare metru de latură scumpă cântărește mai mult decât unul de latură ieftină. Funcția care se minimizează nu mai este perimetrul, ci suma prețurilor, iar minimul ei se deplasează: latura scumpă se scurtează, cea ieftină se lungește, așa cum arată Exemplul 2, unde raportul iese $1 : 2$ .

Trebuie să folosesc derivata a doua ca să știu dacă e maxim sau minim? Nu. La profilul științe ale naturii decizia se ia din semnul derivatei întâi: o schimbare de la plus la minus arată un maxim, iar una în sens invers arată un minim. Tabelul de semn este și urma scrisă a raționamentului, așa că merită scris în întregime, nu doar gândit.