Probleme rezolvate cu aranjamente: pe scurt

Recunoști o problemă de aranjamente răspunzând la trei întrebări: elementele se repetă? contează ordinea? câte alegi din câte? Dacă răspunsul e «nu se repetă» și «ordinea contează», ai $A_n^k$.

Capcana cifrei $0$ este cea mai frecventă greșeală a capitolului: la numerele cu cifre distincte, prima cifră nu poate fi $0$. Rezolvarea corectă ocupă întâi prima poziție ($9$ variante, orice cifră nenulă), apoi completează restul cu aranjamente din cele $9$ cifre rămase (acum $0$ e permis): pentru numere de $k$ cifre distincte, formula este $9\cdot A_9^{k-1}$, nu $A_{10}^k$. Când enunțul cere o condiție suplimentară (par, impar, «mai mare decât...»), ocupi întâi poziția cu cea mai severă restricție.

Codurile și parolele nu sunt numere: un cod PIN poate începe cu $0$, pentru că e un șir de simboluri, nu o valoare numerică — restricția «fără $0$ la început» e specifică numerelor.

În limbaj de funcții, numărul funcțiilor injective de la o mulțime cu $k$ elemente la una cu $n$ elemente este exact $A_n^k$: fiecare element din domeniu primește o valoare distinctă din codomeniu, alese în ordine.

Exerciții din această mini-lecție

1. Câte numere de trei cifre distincte, formate cu cifrele mulțimii $\{1,2,\dots ,9\}$, sunt pare?

   • a) $224$
   • b) $336$
   • c) $56$
   • d) $168$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $224$

   Cifra unităților trebuie să fie pară: $2,4,6,8$ — $4$ variante. Sutele și zecile se aleg, în ordine, dintre cele $8$ cifre rămase: $A_8^2=56$. Total: $4\cdot 56=224$.

2. Câte funcții injective se pot defini de la o mulțime cu $4$ elemente la una cu $7$ elemente?

   • a) $2401$
   • b) $840$
   • c) $35$
   • d) $28$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $840$

   Fiecare din cele $4$ elemente ale domeniului primește o valoare distinctă dintre cele $7$, alese în ordine: $A_7^4=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=840$.

3. Câte parole de $3$ litere distincte se pot forma cu literele alfabetului latin ($26$ de litere)?

   • a) $2600$
   • b) $17576$
   • c) $15600$
   • d) $78$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $15600$

   Literele nu se repetă, ordinea contează: $A_{26}^3=26\cdot 25\cdot 24=15600$.