Alege afirmația corectă despre cifra $$0$$.

un cod de acces de patru cifre poate începe cu $$0$$

un număr de patru cifre poate începe cu $$0$$

cifra $$0$$ nu poate apărea în niciun număr cu cifre distincte

la coduri, cifrele trebuie să fie mereu distincte

Câte coduri PIN au toate cifrele distincte?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Probleme cu aranjamente

Un PIN de $4$ cifre este un cod, nu un număr, deci poate începe cu $0$ . Cu cifre distincte, fiecare poziție primește o cifră încă nefolosită: $A_{10}^{4} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ de coduri. Pentru comparație, numerele de patru cifre distincte sunt mai puține, $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$ , fiindcă prima cifră nu poate fi $0$ . Cu repetare permisă, codurile ar fi $1 0^{4} = 10000$ .

O problemă practică de aranjamente începe cu o întrebare simplă: ce se ocupă și cu ce se ocupă? Locurile de completat sunt $k$ , iar colecția din care se aleg ocupanții are $n$ obiecte, fiecare folosit cel mult o dată. Urmează cuvântul care decide formula. Dacă obiectele pot reveni, fiecare loc are $n$ variante și rezultatul este $n^{k}$ ; dacă trebuie să fie toate diferite, rezultatul este $A_{n}^{k}$ , mai mic.

Condițiile se tratează după gravitatea lor: locul cu cea mai strictă cerință se completează primul, apoi celelalte locuri primesc aranjamente din ce a mai rămas. La numere, cifra $0$ nu are voie în față; la coduri și parole, e o cifră ca oricare alta. Dacă aceeași cifră e supusă la două cerințe — ca $0$ , care e par, dar interzis la început —, problema se desparte în cazuri care nu se ating, iar rezultatele lor se adună.

Un obiect obligatoriu se poate număra pe două drumuri care se controlează reciproc: direct, fixând întâi locul lui, sau indirect, scăzând din total șirurile din care lipsește cu totul. Orice rezultat merită verificat pe un al doilea drum sau pe o variantă atât de mică încât toate șirurile încap pe o pagină.

De reținut

cifre distincte pe $k$ poziții, din $n$ cifre: $A_{n}^{k}$ ; cu repetare: $n^{k}$
la numere, prima cifră nu poate fi $0$ ; la coduri, da
poziția cu restricție se completează prima

Greșeala tipică

Se tratează un PIN ca pe un număr și se interzice $0$ pe primul loc, obținând $4536$ ; un cod poate începe cu $0$ , deci răspunsul este $5040$ .

Exerciții din această mini-lecție

Alege afirmația corectă despre cifra $0$ .
- a) un număr de patru cifre poate începe cu $0$
- b) un cod de acces de patru cifre poate începe cu $0$
- c) cifra $0$ nu poate apărea în niciun număr cu cifre distincte
- d) la coduri, cifrele trebuie să fie mereu distincte
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) un cod de acces de patru cifre poate începe cu $0$

Restricția primei cifre privește doar numerele. Un cod e un șir de simboluri, deci $0$ poate sta oriunde; repetarea cifrelor depinde de regula codului, nu e interzisă automat.
Câte numere de trei cifre distincte, formate cu cifrele $0, 2, 6, 7, 9$ , au cifra unităților $7$ ?
- a) $12$
- b) $9$
- c) $16$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $9$

Unitățile sunt fixate. Prima cifră nu poate fi nici $0$ , nici $7$ : $3$ variante. Cifra din mijloc se alege dintre cele $3$ cifre rămase, inclusiv $0$ . Total $3 \cdot 3 = 9$ ; $12 = A_{4}^{2}$ ar număra și șirurile care încep cu $0$ .
Câte coduri de trei simboluri se pot forma cu $7$ simboluri, dacă simbolurile se pot repeta?
- a) $210$
- b) $35$
- c) $343$
- d) $21$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $343$

Fiecare poziție are $7$ variante, independent: $7^{3} = 343$ . Numărul $210 = A_{7}^{3}$ ar corespunde simbolurilor distincte.

Întrebări conexe

Câte coduri PIN au cel puțin două cifre egale?

Numeri contrariul: codurile cu toate cifrele distincte sunt $5040$ . Din totalul de $1 0^{4} = 10000$ de coduri rămân $10000 - 5040 = 4960$ în care cel puțin o cifră se repetă, adică aproape jumătate.

În câte feluri ocupă $5$ cercetători $5$ dintre cele $7$ birouri ale unui laborator?

Cercetătorii sunt cei care primesc câte un birou, iar birourile sunt ocupanții aleși din $7$ . Fiecare cercetător primește alt birou, deci $A_{7}^{5} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520$ de repartizări; două birouri rămân libere.

Câte secvențe de trei aminoacizi diferiți se pot forma din $20$ ?

Ordinea din lanț contează, iar aminoacizii trebuie să fie diferiți, deci $A_{20}^{3} = 20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$ de secvențe. Dacă aminoacizii s-ar putea repeta, cum se întâmplă în proteinele reale, ar fi $2 0^{3} = 8000$ .

Câte steaguri tricolore cu benzi de culori diferite se fac din $7$ culori?

Benzile au o ordine, de sus în jos sau de la stânga la dreapta, iar culorile nu se repetă. Rezultă $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ de steaguri. Culorile alese sunt aceleași în $3! = 6$ steaguri, care diferă doar prin ordinea benzilor.

Câte numere de trei cifre distincte sunt mai mari decât $500$ ?

Prima cifră trebuie să fie $5$ , $6$ , $7$ , $8$ sau $9$ : $5$ variante. Celelalte două poziții primesc cifre distincte din cele $9$ rămase, inclusiv $0$ : $A_{9}^{2} = 72$ . Total $5 \cdot 72 = 360$ ; niciunul nu este egal cu $500$ , care are cifre repetate.

Oamenii mai întreabă și: PIN cu cifre diferite · câte coduri de 4 cifre distincte · coduri cu cifre distincte aranjamente · PIN de patru cifre fără repetare

Câte coduri PIN au toate cifrele distincte?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Câte coduri PIN au cel puțin două cifre egale?

În câte feluri ocupă 5 cercetători 5 dintre cele 7 birouri ale unui laborator?

Câte secvențe de trei aminoacizi diferiți se pot forma din 20?

Câte steaguri tricolore cu benzi de culori diferite se fac din 7 culori?

Câte numere de trei cifre distincte sunt mai mari decât 500?

Continuă cu

În câte feluri ocupă $5$ cercetători $5$ dintre cele $7$ birouri ale unui laborator?

Câte secvențe de trei aminoacizi diferiți se pot forma din $20$ ?

Câte steaguri tricolore cu benzi de culori diferite se fac din $7$ culori?

Câte numere de trei cifre distincte sunt mai mari decât $500$ ?