Probleme rezolvate cu aranjamente

Un funcționar de la evidența populației trebuie să estimeze câte numere de înmatriculare de un anumit tip mai sunt disponibile. Un profesor vrea să știe în câte feluri poate alcătui clasamentul primilor trei la olimpiada pe școală. Un informatician calculează câte parole scurte, cu litere care nu se repetă, ar trebui încercate ca să spargă un cont. Trei meserii diferite, trei întrebări diferite — și, dedesubt, exact același obiect matematic: aranjamentele.

În lecția precedentă, Aranjamente: definiție și formulă, ai văzut de unde vine $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ și cum se scrie cu factoriale. Acum trecem la partea care se cere efectiv la Bacalaureat: recunoașterea tiparului în enunțuri din viața reală și rezolvarea corectă, cu atenție la capcane. Cea mai vicleană dintre ele — cifra $0$ , care nu are voie să stea în fața unui număr — merită o secțiune întreagă, pentru că îi păcălește pe foarte mulți elevi.

Ce vei învăța

Vei ști să numeri numerele cu cifre distincte, atât atunci când cifra $0$ nu apare, cât și atunci când apare și trebuie tratată separat.
Vei ști să rezolvi probleme cu condiții suplimentare: numărul e par, e impar, începe cu o cifră dată sau depășește o valoare.
Vei ști să modelezi cu aranjamente clasamentele, premiile și funcțiile dintr-o organizație.
Vei ști să calculezi numărul de parole și coduri cu simboluri care nu se repetă și să compari cu varianta fără restricție.
Vei ști să numeri funcțiile injective definite pe o mulțime finită cu valori într-o altă mulțime finită.
Vei ști să-ți verifici rezultatul pe două căi și pe cazuri mici, prin enumerare.

Hai să descoperim împreună

1. Cele trei întrebări de la începutul oricărei probleme

Înainte de orice calcul, răspunde la trei întrebări. Ele decid formula.

Elementele se pot repeta? Dacă da, nu sunt aranjamente, ci pur și simplu regula produsului (de exemplu, un cod PIN oarecare are $1 0^{4}$ variante).
Contează ordinea? Dacă nu, problema nu e de aranjamente.
Câte elemente aleg din câte? Aici afli $k$ și $n$ .

Dacă răspunsurile sunt „nu se repetă" și „ordinea contează", răspunsul este $A_{n}^{k}$ — eventual înmulțit cu ceva, dacă enunțul are și restricții.

2. Numere cu cifre distincte: cazul fără cifra zero

Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele mulțimii ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ ?

Cifrele sunt distincte (nu se repetă) și ordinea lor contează, pentru că $135$ și $351$ sunt numere diferite. Alegem $3$ cifre din $7$ și le ordonăm:

$A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210.$

Am verificat prin generarea efectivă a tuturor șirurilor de trei cifre distincte din această mulțime: exact $210$ .

Reține de ce a fost simplu: mulțimea nu conține cifra $0$ , deci orice alegere de trei cifre, în orice ordine, dă un număr valid de trei cifre.

3. Capcana cifrei zero

Câte numere de trei cifre distincte există (cifrele fiind alese dintre $0, 1, 2, \dots, 9$ )?

Tentația e să răspunzi $A_{10}^{3} = 720$ . Este greșit. Printre cele $720$ de șiruri se numără și $047$ , $012$ , $098$ — șiruri care nu sunt numere de trei cifre, pentru că un număr nu începe cu $0$ .

Rezolvarea corectă tratează prima cifră separat:

prima cifră poate fi orice cifră în afară de $0$ — deci $9$ variante;
celelalte două cifre se aleg, în ordine, dintre cele $9$ cifre rămase (cele $10$ minus cea deja folosită, dar acum cifra $0$ e permisă) — deci $A_{9}^{2} = 9 \cdot 8 = 72$ variante.

Total:

$9 \cdot A_{9}^{2} = 9 \cdot 72 = 648.$

Am verificat prin enumerare completă: dintre toate șirurile de trei cifre distincte, exact $648$ nu încep cu $0$ . Diferența față de răspunsul greșit este $720 - 648 = 72$ , adică exact numărul de șiruri care încep cu $0$ — și acelea sunt $A_{9}^{2} = 72$ . Verificarea se închide perfect.

Pentru patru cifre, același raționament: $9 \cdot A_{9}^{3} = 9 \cdot 504 = 4536$ . (Verificat prin enumerare.)

✏️Ilustrație: trei căsuțe alăturate pentru cifrele unui număr; deasupra primei căsuțe scrie „9 variante (fără 0)", iar deasupra celorlalte două, împreună, „A₉² = 72"; sub prima căsuță, un 0 tăiat cu roșu

Regula de aur: ori de câte ori mulțimea de cifre conține cifra $0$ , ocupă întâi prima poziție, apoi lucrează cu aranjamente pe pozițiile rămase.

4. Condiții suplimentare: par, impar, începe cu…

Când enunțul mai adaugă o condiție, principiul rămâne: ocupă întâi poziția restricționată, apoi completează restul cu aranjamente.

Câte numere de trei cifre distincte, formate cu cifre din ${1, 2, 3, 4, 5}$ , sunt pare?

Poziția restricționată e ultima: cifra unităților trebuie să fie $2$ sau $4$ , deci $2$ variante. Rămân $4$ cifre pentru primele două poziții, în ordine: $A_{4}^{2} = 12$ . Total $2 \cdot 12 = 24$ . (Verificat prin enumerare: exact $24$ .)

Câte numere de trei cifre distincte încep cu cifra $5$ ?

Prima cifră e fixată. Celelalte două se aleg, în ordine, dintre cele $9$ cifre rămase: $A_{9}^{2} = 72$ . (Verificat prin enumerare.)

Câte numere de trei cifre distincte, cu cifre din ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , sunt mai mari decât $400$ ?

Condiția „mai mare decât $400$ " se traduce în „prima cifră este $4$ , $5$ sau $6$ " — deci $3$ variante. Restul: $A_{5}^{2} = 20$ . Total $3 \cdot 20 = 60$ . (Verificat prin enumerare.)

Când cele două restricții se ciocnesc. Dacă mulțimea de cifre e chiar ${0, 1, \dots, 9}$ și cerem numere pare, cifra $0$ e și „pară", și „interzisă la început". Atunci discutăm două cazuri disjuncte:

cifra unităților este $0$ : prima cifră are $9$ variante (orice, în afară de $0$ ), a doua $8$ , deci $9 \cdot 8 = 72$ ;
cifra unităților este $2$ , $4$ , $6$ sau $8$ ( $4$ variante): prima cifră nu poate fi nici $0$ , nici cifra deja folosită, deci $8$ variante; cifra zecilor, oricare dintre cele $8$ rămase. În total $4 \cdot 8 \cdot 8 = 256$ .

Adunând: $72 + 256 = 328$ de numere pare de trei cifre distincte. (Verificat prin enumerare completă.) Reține tiparul: când o cifră cade sub două restricții deodată, se separă cazurile.

5. Clasamente, premii, funcții într-o organizație

Al doilea mare tipar: situațiile în care posturile sau locurile sunt diferite între ele.

Un club are $12$ membri. În câte moduri se pot alege un președinte, un vicepreședinte și un secretar, dacă o persoană nu poate ocupa două funcții?

Funcțiile sunt diferite: „Ana președintă, Bogdan vicepreședinte" nu e totuna cu „Bogdan președinte, Ana vicepreședintă". Deci ordinea contează:

$A_{12}^{3} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320.$

Compară cu o formulare aparent asemănătoare: „în câte moduri se pot alege $3$ membri care să meargă la un congres?". Acolo cei trei au același rol, deci ordinea nu mai contează — și problema nu mai este de aranjamente. Diferența dintre cele două formulări e singura care contează la examen.

6. Parole, coduri, steaguri

Câte parole de patru litere distincte se pot forma cu literele alfabetului latin (26 de litere)?

$A_{26}^{4} = 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 = 358 800.$

Câte coduri PIN de patru cifre distincte există?

$A_{10}^{4} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040.$

Aici cifra $0$ nu creează probleme: un cod PIN poate începe cu $0$ (codul $0123$ este perfect valid), pentru că e un șir de simboluri, nu un număr. Capcana din secțiunea 3 apare doar la numere, nu la coduri. Citește cu atenție ce anume se formează.

Merită și comparația: codurile PIN de patru cifre, fără restricția de distincte, sunt $1 0^{4} = 10000$ . Așadar doar $5040$ din $10000$ , adică puțin peste jumătate, au toate cifrele diferite.

7. Aranjamentele în limbajul funcțiilor

Există o formulare mai abstractă a aceleiași idei, care apare uneori la examen. O funcție se numește injectivă dacă elemente diferite din domeniu au imagini diferite — adică nu „lipește" niciodată două elemente într-unul singur. (Dacă ai studiat deja acest capitol, îl găsești pe larg în Funcții injective, surjective, bijective; dacă nu, definiția de mai sus e tot ce îți trebuie aici.)

Câte funcții injective se pot defini pe o mulțime cu $3$ elemente, cu valori într-o mulțime cu $5$ elemente?

O astfel de funcție atribuie fiecăruia dintre cele $3$ elemente ale domeniului câte o valoare, toate diferite între ele. Adică alege, în ordine, $3$ valori distincte dintre cele $5$ :

$A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60.$

Am verificat prin generarea tuturor celor $5^{3} = 125$ de funcții posibile și numărarea celor injective: exact $60$ . Restul, $125 - 60 = 65$ , nu sunt injective.

Reține echivalența: numărul funcțiilor injective de la o mulțime cu $k$ elemente la una cu $n$ elemente este $A_{n}^{k}$ (și este $0$ dacă $k > n$ , pentru că nu ai destule valori distincte).

✏️Ilustrație: două ovale — în stânga un domeniu cu 3 puncte, în dreapta un codomeniu cu 5 puncte; trei săgeți pornesc din stânga spre trei puncte diferite din dreapta, iar alături, tăiată cu roșu, o variantă în care două săgeți ajung în același punct, etichetată „nu e injectivă"

8. Rețeta finală

Stabilește dacă elementele se repetă. Dacă da, folosești pur și simplu regula produsului.
Stabilește dacă ordinea contează. Dacă nu, nu sunt aranjamente.
Caută poziția restricționată (prima cifră când apare $0$ , ultima cifră la paritate, o funcție anume) și ocup-o prima.
Completează pozițiile rămase cu aranjamente din elementele care au mai rămas.
Verifică: fie pe altă cale, fie reducând enunțul la un caz mic și numărând efectiv.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Fără cifra zero

Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele mulțimii ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ?

Rezolvare. Cifrele nu se repetă, ordinea contează, mulțimea nu conține $0$ :

$A_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120.$

Exemplul 2 — Cu cifra zero

Câte numere de trei cifre distincte există?

Rezolvare. Cifrele se aleg dintre $0, 1, \dots, 9$ , dar prima nu poate fi $0$ .

prima cifră: $9$ variante;
celelalte două, în ordine, dintre cele $9$ cifre rămase: $A_{9}^{2} = 72$ .

Total: $9 \cdot 72 = 648$ .

Verificare pe altă cale: toate șirurile de trei cifre distincte sunt $A_{10}^{3} = 720$ ; dintre ele, cele care încep cu $0$ sunt $A_{9}^{2} = 72$ ; rămân $720 - 72 = 648$ ✓.

Exemplul 3 — Condiție de paritate

Câte numere de trei cifre distincte, formate cu cifrele mulțimii ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , sunt impare?

Rezolvare. Poziția restricționată e ultima: cifra unităților trebuie să fie $1$ , $3$ sau $5$ — trei variante. Pentru primele două poziții rămân $5$ cifre, luate în ordine: $A_{5}^{2} = 20$ .

$3 \cdot 20 = 60 numere .$

Observație: jumătate din cele $120$ de numere de la Exemplul 1 — firesc, pentru că mulțimea are tot atâtea cifre pare cât impare.

Exemplul 4 — Funcții într-o organizație

Un consiliu are $9$ membri. În câte moduri se pot desemna un președinte, un secretar și un trezorier, fără ca o persoană să dețină două funcții?

Rezolvare. Funcțiile sunt distincte, deci ordinea contează:

$A_{9}^{3} = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504.$

Exemplul 5 — Funcții injective

Câte funcții injective se pot defini pe o mulțime cu $3$ elemente, cu valori într-o mulțime cu $6$ elemente? Câte funcții există în total?

Rezolvare. Funcțiile injective atribuie celor $3$ elemente valori distincte, alese în ordine dintre cele $6$ : $A_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ .

Funcțiile în total: fiecare dintre cele $3$ elemente primește oricare dintre cele $6$ valori, independent, deci $6^{3} = 216$ .

Verificare prin enumerare: am generat toate cele $216$ de funcții și le-am numărat pe cele injective: exact $120$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

a) Calculați $A_{5}^{2}$ . b) Determinați câte numere de două cifre distincte se pot forma cu cifrele mulțimii ${1, 2, 3, 4, 5}$ . c) Determinați câte dintre numerele de la punctul b) sunt impare.

Rezolvare. a) $A_{5}^{2} = 5 \cdot 4 = 20$ .

b) Cifrele sunt distincte, ordinea contează, iar mulțimea nu conține $0$ : $A_{5}^{2} = 20$ de numere.

c) Cifra unităților trebuie să fie $1$ , $3$ sau $5$ — trei variante. Pentru cifra zecilor rămân $4$ cifre. Deci $3 \cdot 4 = 12$ numere impare.

Verificare: cele $20$ de numere se împart în $12$ impare și $8$ pare ( $2 \cdot 4 = 8$ ), iar $12 + 8 = 20$ ✓. $■$

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie mai întâi ce se alege, din câte și dacă ordinea contează. Fii atent la mulțimile care conțin cifra $0$ .

1. Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele mulțimii ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ ?

2. Câte numere de două cifre distincte există (cifrele fiind alese dintre $0, 1, \dots, 9$ )?

3. Câte numere de trei cifre distincte există?

4. Câte numere de patru cifre distincte există?

5. Câte numere de trei cifre distincte încep cu cifra $5$ ?

6. Câte numere de trei cifre distincte, formate cu cifrele mulțimii ${1, 2, 3, 4, 5}$ , sunt pare?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul numerelor de trei cifre distincte este $A_{10}^{3} = 720$ ."

8. La o olimpiadă participă $9$ elevi și se acordă premiile I, II și III. Câte clasamente ale premianților sunt posibile?

9. Un club are $12$ membri. În câte moduri se pot alege un președinte, un vicepreședinte și un secretar, dacă nimeni nu poate ocupa două funcții?

10. Câte parole de patru litere distincte se pot forma cu literele alfabetului latin (26 de litere)?

11. a) Câte coduri PIN de patru cifre distincte există? b) Câte coduri PIN de patru cifre există în total? c) Ce fracție dintre codurile PIN are toate cifrele diferite?

12. (Problemă aplicată.) Un steag se compune din trei benzi orizontale de culori diferite, alese dintr-un set de $7$ culori. Câte steaguri diferite se pot confecționa?

13. (Exercițiu tip Bacalaureat.) a) Calculați $A_{6}^{3}$ . b) Determinați câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele mulțimii ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . c) Determinați câte dintre acestea sunt impare.

14. Câte funcții injective se pot defini pe o mulțime cu $3$ elemente, cu valori într-o mulțime cu $6$ elemente? Câte funcții există în total?

15. Câte funcții definite pe o mulțime cu $2$ elemente, cu valori într-o mulțime cu $5$ elemente, nu sunt injective?

16. Câte numere de trei cifre distincte, formate cu cifrele mulțimii ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , sunt mai mari decât $400$ ?

17. Dintr-o colecție de $8$ cărți diferite se aleg trei, care se așază pe trei rafturi diferite, câte una pe raft. În câte moduri se poate face acest lucru?

18. (Provocare.) Câte numere de trei cifre distincte sunt impare? (Indicație: începe cu cifra unităților, apoi tratează cifra sutelor, ținând cont că nu poate fi $0$ .)

Răspunsuri și explicații

1. $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ . Mulțimea nu conține $0$ , deci nu apare nicio restricție la prima cifră.

2. Prima cifră: $9$ variante (fără $0$ ); a doua: $9$ variante (cele $10$ cifre minus cea folosită, dar cu $0$ permis). Total $9 \cdot 9 = 81$ .

3. $9 \cdot A_{9}^{2} = 9 \cdot 72 = 648$ . Sau: $A_{10}^{3} - A_{9}^{2} = 720 - 72 = 648$ .

4. $9 \cdot A_{9}^{3} = 9 \cdot 504 = 4536$ .

5. Prima cifră e fixată ( $5$ ); celelalte două se aleg în ordine dintre cele $9$ cifre rămase: $A_{9}^{2} = 72$ .

6. Cifra unităților trebuie să fie $2$ sau $4$ — două variante. Pentru primele două poziții rămân $4$ cifre: $A_{4}^{2} = 12$ . Total $2 \cdot 12 = 24$ .

7. Fals. $A_{10}^{3} = 720$ numără toate șirurile de trei cifre distincte, inclusiv cele care încep cu $0$ (de exemplu $047$ ), care nu sunt numere de trei cifre. Cele $A_{9}^{2} = 72$ de astfel de șiruri trebuie scăzute, deci răspunsul corect este $648$ .

8. $A_{9}^{3} = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$ .

9. $A_{12}^{3} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$ .

10. $A_{26}^{4} = 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 = 358800$ .

11. a) $A_{10}^{4} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ . b) $1 0^{4} = 10000$ (fiecare poziție e independentă, cifrele se pot repeta). c) $\frac{5040}{10 000} = \frac{63}{125}$ , adică $50, 4%$ .

12. $A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ de steaguri.

13. a) $A_{6}^{3} = 120$ . b) $A_{6}^{3} = 120$ de numere (mulțimea nu conține $0$ ). c) Cifra unităților este $1$ , $3$ sau $5$ ( $3$ variante), iar primele două poziții se completează din cele $5$ cifre rămase: $3 \cdot A_{5}^{2} = 3 \cdot 20 = 60$ .

14. Injective: $A_{6}^{3} = 120$ . În total: $6^{3} = 216$ .

15. Total funcții: $5^{2} = 25$ . Injective: $A_{5}^{2} = 20$ . Neinjective: $25 - 20 = 5$ — sunt exact funcțiile constante, câte una pentru fiecare dintre cele $5$ valori.

16. Condiția revine la „prima cifră este $4$ , $5$ sau $6$ " — $3$ variante; restul: $A_{5}^{2} = 20$ . Total $3 \cdot 20 = 60$ .

17. Rafturile sunt diferite, deci ordinea contează: $A_{8}^{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ .

18. Începem cu poziția cea mai restrictivă combinată. Cifra unităților trebuie să fie impară: $1, 3, 5, 7, 9$ — $5$ variante. Cifra sutelor nu poate fi $0$ și nici cifra deja folosită la unități (care e impară, deci diferită de $0$ ): rămân $8$ variante. Cifra zecilor poate fi orice cifră neutilizată: $8$ variante. Total:

$5 \cdot 8 \cdot 8 = 320.$

Verificare: numerele de trei cifre distincte sunt $648$ ; cele pare ar trebui să fie $648 - 320 = 328$ . Am confirmat ambele valori prin enumerare completă ✓.

De reținut

Tiparul aranjamentelor: elementele nu se repetă și ordinea contează. Formula: $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ .
Capcana cifrei $0$ : la numere, prima cifră nu poate fi $0$ . Rezolvarea corectă ocupă întâi prima poziție ( $9$ variante), apoi aplică aranjamente pe restul: $9 \cdot A_{9}^{k - 1}$ pentru numere de $k$ cifre distincte.
Poziția restricționată se ocupă prima. La paritate, începi cu cifra unităților; la „începe cu…", cu prima cifră; abia apoi completezi restul.
Codurile nu sunt numere. Un cod PIN poate începe cu $0$ , un număr nu. Citește ce anume se formează înainte de a aplica restricția.
Funcții injective: numărul funcțiilor injective de la o mulțime cu $k$ elemente la una cu $n$ elemente este $A_{n}^{k}$ ; numărul tuturor funcțiilor este $n^{k}$ .

Greșeli frecvente

Răspunsul $A_{10}^{3}$ la numerele de trei cifre distincte. Este cea mai frecventă greșeală din tot capitolul: sunt numărate și șirurile care încep cu $0$ . Corect: $9 \cdot A_{9}^{2} = 648$ .
Ocuparea pozițiilor în ordine greșită. Dacă începi cu cifra sutelor la o problemă de paritate, ajungi să nu mai știi câte cifre pare au rămas pentru unități. Începe întotdeauna cu poziția care are cea mai severă restricție.
Aplicarea restricției de „prima cifră" la coduri și parole. Codurile sunt șiruri de simboluri; $0$ poate sta oriunde. Restricția e specifică numerelor.
Confuzia dintre funcții diferite și roluri identice. „Președinte, vicepreședinte, secretar" înseamnă ordine (aranjamente); „trei delegați" nu înseamnă ordine.
Folosirea lui $A_{n}^{k}$ atunci când elementele se pot repeta. Dacă enunțul nu spune „distincte", cifrele se pot repeta și răspunsul e o putere ( $9 \cdot 1 0^{2}$ pentru numerele de trei cifre oarecare), nu un aranjament.

Aplică acasă

Numerele de înmatriculare. Uită-te la formatul plăcuțelor din județul tău. Dacă partea de litere are trei poziții și literele trebuie să fie distincte, alese din $26$ , câte combinații de litere sunt posibile? ( $A_{26}^{3} = 15600$ .) Compară cu varianta în care literele se pot repeta ( $2 6^{3} = 17576$ ).
Codul telefonului. Numără câte coduri PIN de patru cifre distincte există ( $5040$ ) și estimează în cât timp le-ar încerca cineva pe toate, dacă o încercare durează $3$ secunde. Discută rezultatul în familie: de ce e mai sigur un cod care permite repetarea cifrelor?
Clasamentul din familie. Organizează un mic concurs cu patru participanți și scrie pe hârtie toate clasamentele posibile pentru primele două locuri. Ar trebui să obții $A_{4}^{2} = 12$ . Enumerarea completă e cea mai bună dovadă că formula spune adevărul.

Pentru părinți și profesori

Lecția este dedicată aplicării aranjamentelor în contexte practice — exact ce cere programa de trunchi comun, care precizează că abordarea conținuturilor de la metode de numărare se face prin contexte practice. Accentul cade pe modelare: elevul trebuie să traducă enunțul („trei benzi de culori diferite", „un președinte și un secretar", „trei cifre distincte") într-o alegere ordonată de $k$ elemente din $n$ .

Ce verificați în rezolvare: (1) justifică de ce ordinea contează, înainte de a scrie formula; (2) tratează separat prima cifră atunci când mulțimea de cifre conține $0$ ; (3) la condiții de paritate, ocupă întâi poziția restricționată; (4) verifică rezultatul pe a doua cale. Întrebări bune de control: „De ce numerele de trei cifre distincte nu sunt $A_{10}^{3}$ ?"; „Ce se schimbă dacă în loc de un număr formăm un cod PIN?"; „Cum ai verifica răspunsul dacă am avea doar trei cifre disponibile?".

Semne că elevul a înțeles: distinge singur între „trei funcții diferite" și „trei delegați"; nu aplică restricția cifrei $0$ acolo unde nu e cazul; poate verifica un rezultat mic prin enumerare pe caiet. La Bacalaureat, aceste probleme apar frecvent la subiectul I, în subpuncte de tipul „câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii…" și „câte dintre acestea sunt pare/impare".

Întrebări frecvente

Câte numere de trei cifre distincte există? $648$ . Prima cifră are $9$ variante (nu poate fi $0$ ), iar celelalte două se aleg în ordine dintre cele $9$ cifre rămase, adică $A_{9}^{2} = 72$ variante. Rezultatul este $9 \cdot 72 = 648$ , nu $A_{10}^{3} = 720$ .

De ce nu pot folosi direct $A_{10}^{3}$ la numerele de trei cifre? Pentru că $A_{10}^{3}$ numără toate șirurile de trei cifre distincte, inclusiv cele care încep cu $0$ , precum $047$ . Acelea nu sunt numere de trei cifre. Ele sunt exact $A_{9}^{2} = 72$ la număr, iar $720 - 72 = 648$ .

Cum aflu câte numere cu cifre distincte sunt pare? Ocupi întâi cifra unităților, cu o cifră pară din mulțimea dată, apoi completezi restul pozițiilor cu aranjamente din cifrele rămase. Dacă printre cifrele pare disponibile se află și $0$ , tratezi separat cazul în care unitatea este $0$ , pentru că atunci prima cifră are o variantă în plus. Pentru numerele de trei cifre distincte rezultă $72 + 256 = 328$ de numere pare.

Codurile PIN pot începe cu cifra 0? Da. Un cod este un șir de simboluri, nu un număr, deci $0$ poate sta pe orice poziție. De aceea codurile PIN de patru cifre distincte sunt $A_{10}^{4} = 5040$ , fără nicio corecție.

Cum modelez o problemă cu președinte, vicepreședinte și secretar? Cu aranjamente, pentru că funcțiile sunt diferite: schimbând două persoane între funcții obții altă situație. Pentru $12$ membri și $3$ funcții: $A_{12}^{3} = 1320$ .

Câte funcții injective există între două mulțimi finite? Dacă domeniul are $k$ elemente și codomeniul $n$ elemente, numărul funcțiilor injective este $A_{n}^{k}$ . Dacă $k > n$ nu există nicio funcție injectivă, pentru că nu ai suficiente valori distincte.

Care e diferența dintre numărul total de funcții și numărul celor injective? Numărul total este $n^{k}$ (fiecare element al domeniului primește independent oricare dintre cele $n$ valori), iar cel al funcțiilor injective este $A_{n}^{k}$ (valorile trebuie să fie distincte). Pentru $k = 3$ și $n = 5$ : $125$ în total, dintre care $60$ injective.

Cum îmi verific rezultatul la o problemă cu numere? Prin a doua cale de calcul (de exemplu, total minus cazuri interzise) și prin verificarea sumei categoriilor: numerele pare plus cele impare trebuie să dea exact totalul. Dacă enunțul e mic, scrie efectiv toate variantele pe caiet și numără-le.