De ce nu se poate aplica proprietatea lui Darboux funcției $$f(x)=\dfrac{x-9}{x-4}$$ pe $$[2,\ 6]$$, deși $$f(2)=\dfrac72$$ și $$f(6)=-\dfrac32$$?

pentru că mulțimea $$[2,\ 6]\setminus\{4\}$$ nu este interval

pentru că valorile de la capete au același semn

pentru că funcția nu este continuă în niciun punct al mulțimii pe care e definită

pentru că numitorul se anulează în $$x=9$$

Cum arăt că o ecuație are exact o soluție?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Proprietatea lui Darboux

Existența o dă proprietatea lui Darboux: dacă $f$ este continuă pe $[a, b]$ și $f (a)$ , $f (b)$ au semne contrare, ecuația $f (x) = 0$ are cel puțin o soluție în $(a, b)$ . Unicitatea o dă stricta monotonie. De exemplu, pentru $x^{3} + x - 3 = 0$ , funcția $f (x) = x^{3} + x - 3$ are $f (1) = - 1 < 0$ și $f (2) = 7 > 0$ , iar $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ . Deci ecuația are exact o soluție, aflată între $1$ și $2$ .

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029: proprietatea lui Darboux e cerută de programa de examen din 2014, iar programa nouă a reținut din ea doar semnul păstrat de o funcție continuă pe interval. Rezultatul se primește ca instrument, fără demonstrație, așa cum arată nota programei pentru enunțurile numite „proprietatea lui…”.

Enunțul are două ipoteze, amândouă obligatorii: funcția e continuă și lucrează pe un interval, adică pe o mulțime dintr-o bucată. Atunci ea ia toate valorile dintre două valori ale ei: pentru orice număr $λ$ așezat între $f (a)$ și $f (b)$ există un punct $c$ între $a$ și $b$ cu $f (c) = λ$ .

Cazul folosit cel mai mult este $λ = 0$ : dacă $f (a) \cdot f (b) < 0$ , ecuația $f (x) = 0$ capătă cel puțin o rădăcină în intervalul deschis $(a, b)$ . Redactarea are trei pași — continuitatea justificată într-un cuvânt, cele două valori scrise cu semnul lor, concluzia cu paranteze rotunde.

Rezultatul este unul de existență: nu numără soluțiile, nu produce nicio valoare și nu se citește în sens invers. Unicitatea vine dintr-un al doilea argument, stricta monotonie citită din semnul derivatei. Iar semnele egale la capete nu dovedesc nimic: înseamnă „argumentul acesta nu decide”, nu „nu există soluții”.

De reținut

$f$ continuă pe $[a, b]$ și $f (a) f (b) < 0$ $\Rightarrow$ cel puțin o soluție în $(a, b)$
$f$ strict monotonă $\Rightarrow$ cel mult o soluție
împreună: exact o soluție

Greșeala tipică

Se oprește rezolvarea după schimbarea de semn și se scrie „ecuația are o singură soluție”; Darboux dă doar existența, iar unicitatea cere și monotonia strictă.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 7 x + 3$ . Pe care dintre intervalele de mai jos garantează proprietatea lui Darboux o soluție a ecuației $f (x) = 0$ ?
- a) $(- 2, - 1)$
- b) $(0, 1)$
- c) $(- 1, 0)$
- d) $(1, 2)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(0, 1)$

Funcția este polinomială, deci continuă pe $R$ . Valorile în numerele întregi sunt $f (- 2) = 9$ , $f (- 1) = 9$ , $f (0) = 3$ , $f (1) = - 3$ și $f (2) = - 3$ . Singura schimbare de semn dintre intervalele propuse este între $0$ și $1$ : $3 > 0$ și $- 3 < 0$ , cu produsul negativ. Pe celelalte trei intervale capetele au același semn, iar argumentul nu decide nimic.
Se consideră $f : [1, 4] \to R$ , $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 13$ . Care dintre valorile de mai jos este sigur luată de $f$ pe intervalul $(1, 4)$ ?
- a) $- 12$
- b) $90$
- c) $50$
- d) $100$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $50$

Funcția este polinomială, deci continuă pe $[1, 4]$ , iar $f (1) = 1 + 2 - 13 = - 10$ și $f (4) = 64 + 32 - 13 = 83$ . Proprietatea garantează exact valorile cuprinse între $- 10$ și $83$ ; dintre cele patru propuse, numai $50$ este acolo. Celelalte trei sunt în afara acestui interval, iar pentru ele enunțul nu promite nimic. Reține că $λ$ nu trebuie să fie $0$ : orice valoare intermediară se tratează la fel.
De ce nu se poate aplica proprietatea lui Darboux funcției $f (x) = \frac{x - 9}{x - 4}$ pe $[2, 6]$ , deși $f (2) = \frac{7}{2}$ și $f (6) = - \frac{3}{2}$ ?
- a) pentru că mulțimea $[2, 6] ∖ {4}$ nu este interval
- b) pentru că valorile de la capete au același semn
- c) pentru că funcția nu este continuă în niciun punct al mulțimii pe care e definită
- d) pentru că numitorul se anulează în $x = 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) pentru că mulțimea $[2, 6] ∖ {4}$ nu este interval

Funcția nu este definită în $4$ , deci mulțimea pe care se lucrează are o gaură și nu mai este interval — prima ipoteză cade, iar concluzia nu se poate trage. Că nu e o subtilitate se vede rezolvând: $f (x) = 0$ dă $x = 9$ , în afara segmentului. Variantele b), c) și d) sunt afirmații false: semnele chiar sunt contrare, funcția e continuă pe tot domeniul ei, iar în $9$ se anulează numărătorul, nu numitorul.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă dacă funcția nu este continuă pe interval?

Schimbarea de semn nu mai garantează o soluție. Funcția $\frac{1}{x}$ pe $[- 1, 1]$ are $f (- 1) = - 1$ și $f (1) = 1$ , dar nu se anulează nicăieri; nici nu este definită în $0$ . De aceea continuitatea pe tot intervalul se scrie explicit în rezolvare.

Are ecuația $2^{x} = 3 - x$ o singură soluție?

Da. Funcția $g (x) = 2^{x} + x - 3$ este strict crescătoare, fiindcă $g^{'} (x) = 2^{x} ln 2 + 1 > 0$ , deci se anulează cel mult o dată. Cum $g (1) = 2 + 1 - 3 = 0$ , soluția este chiar $x = 1$ și nu mai există alta. Ghicirea soluției plus monotonia înlocuiesc aici orice calcul.

Are o ecuație de gradul al treilea mereu o soluție reală?

Da. Pentru $a > 0$ , polinomul $a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ tinde la $- \infty$ la stânga și la $+ \infty$ la dreapta, deci ia valori de ambele semne; fiind continuu, se anulează undeva. Pentru $a < 0$ argumentul este același, cu semnele inversate.

Cum arăt că ecuația $ln x = 2 - x$ are o soluție în $(1, 2)$ ?

Iei $h (x) = ln x + x - 2$ , continuă pe $[1, 2]$ . Avem $h (1) = - 1 < 0$ și $h (2) = ln 2 > 0$ , deci există o soluție în $(1, 2)$ . Cum $h^{'} (x) = \frac{1}{x} + 1 > 0$ , funcția este strict crescătoare, așa că nu poate exista o a doua soluție, nici în interval, nici în afara lui.

Ce garanție dă inegalitatea f(a)·f(b) < 0?

Produsul negativ înseamnă că $f (a)$ și $f (b)$ au semne contrare, deci, pentru $f$ continuă pe $[a, b]$ , există cel puțin un zero strict între $a$ și $b$ . Garanția nu spune câte zerouri sunt și nici unde se află exact.

Oamenii mai întreabă și: ecuația are soluție unică · cum demonstrez că o ecuație are o singură soluție · existența și unicitatea soluției · Darboux și monotonia