Proprietatea lui Darboux (M2, științe ale naturii)

Ecuația $x^3+2x-9=0$ nu se rezolvă cu nicio formulă pe care o ai în minte. Nu se descompune, nu are rădăcini întregi, iar formula de la ecuația de gradul al doilea, cu deducerea ei nu se aplică unui polinom de gradul al treilea. Și totuși, în clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), poți demonstra în trei rânduri că ea are o soluție și că soluția aceea se află între $1$ și $2$. Unealta se numește proprietatea lui Darboux, iar la bacalaureatul M2 ea apare la Subiectul al III-lea, în partea de analiză matematică.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: proprietatea lui Darboux este cerută explicit de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși în programa nouă a clasei a XI-a a rămas numai semnul unei funcții continue pe un interval, fără ea. Programa de examen precizează, într-o notă, că formularea „proprietatea lui…" arată un rezultat folosit în aplicații, a cărui demonstrație este în afara programei. Așa o vei învăța și aici: enunț limpede, intuiție, întrebuințări — fără demonstrație.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți proprietatea lui Darboux cu toate ipotezele ei și să spui ce anume garantează: existența, nu numărul soluțiilor și nici valoarea lor.
• Vei ști să arăți, în trei rânduri de redactare, că o ecuație are cel puțin o soluție într-un interval dat.
• Vei ști să cauți singur un interval cu capete numere întregi în care se ascunde o soluție, calculând valori până apare schimbarea de semn.
• Vei ști să adaugi argumentul care transformă „cel puțin o soluție" în „exact o soluție".
• Vei ști să recunoști situațiile în care proprietatea nu se aplică — domeniu care nu e interval, funcție cu salt — și să nu tragi din ea concluzii false.
• Vei ști să folosești proprietatea la o problemă de prag dintr-un model din științe, unde întrebarea este „a atins mărimea valoarea aceea?".

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune proprietatea lui Darboux?

Ia un creion și desenează, fără să-l ridici de pe hârtie, o curbă care pornește de la înălțimea $-6$ și ajunge la înălțimea $3$. Oricât te-ai strădui, nu poți evita înălțimea $0$: ca să treci de la o valoare negativă la una pozitivă fără să ridici creionul, ești obligat să tai axa. Această imposibilitate desenată este tot conținutul proprietății, iar „fără să ridici creionul" este traducerea în limbaj obișnuit a continuității.

Proprietatea lui Darboux este însușirea unei funcții $f$, continuă pe un interval $I$, de a lua toate valorile intermediare: pentru $a,b\in I$, fiecare număr $\lambda$ așezat între $f(a)$ și $f(b)$ este atins măcar o dată, adică se găsește un punct $c$, situat între $a$ și $b$, cu $f(c)=\lambda$. Enunțul se admite fără demonstrație, așa cum cere nota programei de examen.

Trei cuvinte din enunț merită apăsate. Interval — domeniul pe care lucrezi trebuie să fie „dintr-o bucată", fără găuri. Continuă — pe tot intervalul, nu doar în câteva puncte; continuitatea funcțiilor pe care le întâlnești la M2 se justifică într-un rând, cu tabelul din lecția despre operațiile cu funcții continue și semnul unei funcții continue. Cuprins între — dacă $\lambda$ e în afara intervalului determinat de $f(a)$ și $f(b)$, enunțul nu promite nimic.

2. Cum arăți că o ecuație are soluție?

Cazul folosit cel mai des este cel în care $\lambda =0$, iar el poartă un nume propriu: consecința de semn. Dacă $f$ este continuă pe intervalul închis $[a,b]$ și valorile de la capete au semne contrare, adică $f(a)\cdot f(b)<0$, atunci numărul $0$ se așază între ele, iar ecuația $f(x)=0$ capătă măcar o rădăcină, situată în intervalul deschis $(a,b)$. Capetele se exclud tocmai pentru că acolo funcția are valori nenule, prin ipoteză.

Să o aplicăm ecuației din deschidere. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2x-9$, este polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$ și, în particular, pe $[1,2]$. Calculăm valorile de la capete:

$$f(1)=1+2-9=-6<0,f(2)=8+4-9=3>0.$$

Produsul lor este negativ, deci ecuația $x^3+2x-9=0$ capătă măcar o rădăcină în $(1,2)$. Atât. Nu am aflat soluția, nu am nevoie de ea, iar întrebarea pusă era doar dacă există. (Cine vrea totuși o valoare o poate strânge prin înjumătățiri: mijlocul lui $[1,2]$ este $1,5$, unde funcția valorează $-2,625$, negativ, deci soluția e în $(1,5;2)$, și tot așa.)

3. Ce nu spune proprietatea?

Este la fel de important să știi ce nu obții, pentru că exact aici se greșește la examen.

Nu obții numărul soluțiilor. Enunțul garantează cel puțin una; pot fi trei, cinci sau o infinitate. Nu obții nici valoarea vreuneia: proprietatea este un argument de existență, nu o metodă de calcul, iar o rezolvare care se încheie cu „deci $c=1,76$" fără alt calcul este greșită.

Nu obții nici reciproca. Orice funcție continuă pe un interval are proprietatea lui Darboux, dar afirmația nu se poate citi de la dreapta la stânga: există funcții discontinue care iau totuși toate valorile intermediare, iar exemplele lor depășesc programa. Reține doar sensul implicației — de la continuitate spre valori intermediare, niciodată invers.

Și, în fine, $\lambda$ nu este obligatoriu $0$. Cerința „arătați că funcția ia valoarea $3$" se tratează la fel: verifici că $3$ este cuprins între două valori ale funcției și ai terminat. Mulți elevi caută instinctiv doar rădăcini și se blochează când li se cere altă valoare, deși e același enunț.

4. De ce sunt obligatorii cele două ipoteze?

Scoate oricare dintre ele și concluzia cade. Cele două contraexemple de mai jos merită ținute minte, pentru că sunt exact capcanele din enunțuri.

Fără interval. Funcția $f(x)=\frac{x+5}{x-2}$ are $f(0)=-\frac{5}{2}$ și $f(3)=8$, deci semne contrare, dar ecuația $f(x)=0$ cere $x=-5$, care nu se află între $0$ și $3$. Nicio contradicție: mulțimea $[0,3]\setminus \{2\}$ pe care funcția este definită nu este interval, iar saltul de la $-\infty$ la $+\infty$ se face peste punctul lipsă, nu prin zero.

Fără continuitate. Funcția $f:[-2,2]\to \mathbb{R}$, definită prin $f(x)=x-1$ pentru $x<0$ și $f(x)=x+1$ pentru $x\ge 0$, are $f(-2)=-3$ și $f(2)=3$, tot semne contrare. Pe prima ramură valorile stau în $[-3,-1)$, pe a doua în $[1,3]$, deci funcția sare peste tot intervalul $[-1,1)$ și nu se anulează nicăieri. Aici domeniul este interval, dar funcția are un salt în $0$, verificabil cu limitele laterale din lecția despre continuitatea unei funcții.

De aceea orice rezolvare începe cu justificarea continuității. Nu e o formalitate: e jumătate din argument.

5. Cum treci de la „cel puțin una" la „exact una"?

Proprietatea singură nu dă unicitatea; ea vine dintr-un al doilea argument, iar cel folosit la M2 este stricta monotonie. O funcție strict crescătoare pe un interval nu poate lua aceeași valoare de două ori, pentru că, la abscise diferite, valorile sunt diferite. Așadar, dacă arăți întâi că există o soluție și apoi că funcția este strict monotonă pe acel interval, soluția este unică.

Stricta monotonie se citește din semnul derivatei, cu regula din lecția despre monotonia citită din semnul derivatei. Pentru funcția de mai sus, $f^{\prime }(x)=3x^2+2>0$ pentru orice $x$ real, deci $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și ecuația $x^3+2x-9=0$ are exact o soluție reală — nu doar în $(1,2)$, ci pe toată dreapta.

O rudă apropiată a acestui raționament răspunde la întrebarea „ce valori ia funcția?": printr-o funcție continuă, un interval se transformă tot într-un interval. Determinarea ei se face în lecția despre imaginea unei funcții pe un interval; aici ne oprim la existența soluțiilor.

6. Cum se redactează, ca să iei punctajul?

Se scriu pași, nu intuiții, iar pașii sunt trei, în ordinea aceasta:

1. Continuitatea, justificată cu un cuvânt: „funcția este polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$", „funcția este rațională, deci continuă pe domeniul ei", „funcția este sumă de funcții continue".
2. Cele două valori, calculate și scrise cu semnul lor: $f(a)=\dots <0$ și $f(b)=\dots >0$.
3. Concluzia, cu numele rezultatului și cu intervalul deschis: „conform proprietății lui Darboux, ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(a,b)$".

Greșeala de redactare cea mai costisitoare este sărirea peste primul pas. A doua, ca frecvență, e scrierea concluziei pe intervalul închis $[a,b]$.

7. La ce folosește într-un model din științe?

Întrebările de prag au exact această formă. O mărime măsurată în timp — o temperatură, o concentrație, o presiune — pornește sub un prag și ajunge deasupra lui; a atins ea vreodată chiar valoarea pragului? Dacă mărimea variază continuu, răspunsul este da, și se argumentează cu proprietatea lui Darboux aplicată funcției „mărime minus prag".

Ceea ce câștigi este un răspuns sigur acolo unde măsurătorile sunt rare. Un senzor care înregistrează din oră în oră nu-ți spune ce s-a întâmplat între două citiri; continuitatea mărimii, plus schimbarea de semn, îți spune. Iar ceea ce nu câștigi este momentul exact: pentru el ai nevoie de calcul numeric sau de o măsurătoare mai deasă. Este bine să afirmi doar atât cât dă argumentul, cu unitatea de măsură scrisă la fiecare valoare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește tabelul de măsurători

Profitul lunar al unei mici afaceri, în mii de lei, a fost înregistrat la sfârșitul fiecărei luni:

Știind că profitul variază continuu în timp, arătați că au existat cel puțin două momente în care afacerea a fost pe zero.

Rezolvare. Funcția profit, notată $P$, este continuă pe $[1,6]$ prin ipoteza din enunț. Căutăm schimbările de semn între două luni consecutive: între luna $2$ și luna $3$ valorile sunt $-3$ și $2$, cu produsul negativ; între luna $5$ și luna $6$ valorile sunt $1$ și $-4$, tot cu produsul negativ.

Aplicând proprietatea lui Darboux pe fiecare dintre intervalele $[2,3]$ și $[5,6]$, obținem câte un moment în care $P$ se anulează. Cele două momente sunt distincte, fiind în intervale care nu se suprapun, deci au existat cel puțin două astfel de momente. Observă formularea: „cel puțin două". Între lunile $3$ și $5$ profitul ar fi putut coborî sub zero și reveni fără ca tabelul să prindă asta, pentru că măsurătorile sunt rare.

Exemplul 2 — O ecuație care nu se rezolvă cu formulă

Arătați că ecuația $x^3+x^2+x-4=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(1,2)$.

Rezolvare. Considerăm funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x^2+x-4$, care este polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$ și, în particular, pe $[1,2]$. Calculăm valorile de la capete:

$$f(1)=1+1+1-4=-1<0,f(2)=8+4+2-4=10>0.$$

Cum $f(1)\cdot f(2)<0$, conform proprietății lui Darboux ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(1,2)$.

În plus, $f^{\prime }(x)=3x^2+2x+1$ are discriminantul $4-12=-8<0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x$ real. Funcția fiind strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, soluția găsită este singura ecuației pe toată dreapta.

Exemplul 3 — O ecuație cu exponențială

Arătați că ecuația $2^x=5-x$ are cel puțin o soluție reală și găsiți două numere întregi consecutive între care se află.

Rezolvare. Mutăm totul într-un membru și studiem funcția $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=2^x+x-5$. Ea este sumă de funcții continue — exponențiala și o funcție de gradul I —, deci este continuă pe $\mathbb{R}$.

Încercăm valori întregi, până apare schimbarea de semn: $h(1)=2+1-5=-2<0$ și $h(2)=4+2-5=1>0$. Conform proprietății lui Darboux, ecuația $h(x)=0$, adică $2^x=5-x$, are cel puțin o soluție în $(1,2)$.

Căutarea prin încercări nu e ghicit: pornești de la $0$ și mergi din unu în unu, în direcția în care valorile se apropie de zero. La funcțiile din programa de științe ale naturii, primele două-trei încercări sunt de obicei de ajuns.

Exemplul 4 — Un prag într-un model din științe

Temperatura dintr-un reactor de laborator, în grade Celsius, evoluează după legea $T(t)=20+15t-t^3$, unde $t$ este timpul în ore, $t\in [0,4]$. Arătați că temperatura atinge valoarea de $40{}^{\circ }\mathrm{C}$ în cel puțin două momente distincte.

Rezolvare. Funcția $g(t)=T(t)-40=15t-t^3-20$ este polinomială, deci continuă pe $[0,4]$. Calculăm câteva valori ale temperaturii:

$$T(1)=34,T(2)=42,T(3)=38.$$

Pe intervalul $[1,2]$ avem $g(1)=-6<0$ și $g(2)=2>0$, deci există un moment $t_1\in (1,2)$ cu $T(t_1)=40{}^{\circ }\mathrm{C}$. Pe intervalul $[2,3]$ avem $g(2)=2>0$ și $g(3)=-2<0$, deci există un al doilea moment $t_2\in (2,3)$ cu aceeași temperatură. Cele două momente sunt distincte, fiind în intervale disjuncte.

Citirea fizică: temperatura urcă, trece pragul de $40{}^{\circ }\mathrm{C}$, atinge un maxim și apoi coboară, trecând pragul a doua oară. Modelul este valabil doar pe intervalul declarat: la $t=4$ el dă $T(4)=16{}^{\circ }\mathrm{C}$, iar dincolo de $4$ ore ar scădea nelimitat, ceea ce nu mai descrie niciun reactor.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Funcția $f(x)=\frac{x^2+x-12}{x-1}$ are $f(0)=12$ și $f(2)=-6$, valori de semne contrare. Conform proprietății lui Darboux, ecuația $f(x)=0$ are o soluție între $0$ și $2$." Găsiți greșeala.

Rezolvare. Valorile sunt calculate corect, iar semnele sunt într-adevăr contrare. Greșeala este în ipoteza care nu a fost verificată: funcția nu este definită în $1$, deci mulțimea pe care lucrează elevul, $[0,2]\setminus \{1\}$, nu este interval. Proprietatea lui Darboux nu se aplică.

Că nu e o subtilitate se vede rezolvând ecuația: $x^2+x-12=0$, adică $(x+4)(x-3)=0$, are zerourile $-4$ și $3$, amândouă în afara intervalului cercetat. Între $0$ și $2$ funcția chiar nu se anulează; ea trece de la valori pozitive la valori negative sărind peste asimptota verticală $x=1$.

Reține proba: înainte de a invoca proprietatea, uită-te dacă domeniul conține tot segmentul dintre cele două capete. La funcțiile raționale, zerourile numitorului sunt primul lucru de verificat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x+2$. a) Arătați că $f(2)=-2$. b) Arătați că ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(2,3)$. c) Demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are cel puțin trei soluții reale distincte.

Rezolvare.

a) Înlocuim direct: $f(2)=8-12+2=-2$.

b) Funcția este polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$ și, în particular, pe $[2,3]$. Cum $f(3)=27-18+2=11>0$, iar de la punctul a) avem $f(2)=-2<0$, produsul $f(2)\cdot f(3)$ este negativ; conform proprietății lui Darboux, ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(2,3)$.

c) Mai calculăm două valori: $f(-3)=-27+18+2=-7<0$ și $f(0)=2>0$. Aplicăm proprietatea pe trei intervale care nu se suprapun:

Pe fiecare dintre ele semnele sunt contrare, deci ecuația are câte o soluție în $(-3,0)$, în $(0,1)$ și în $(2,3)$. Intervalele fiind disjuncte, cele trei soluții sunt distincte.

De la examen la lecție. Subpunctele urmează forma din modelul oficial al probei M_șt-nat: un calcul direct, o proprietate de arătat, o concluzie mai tare de demonstrat. Observă cum punctul a) pregătește exact numărul folosit la b), iar b) devine unul dintre cele trei cazuri de la c) — la examen, subpunctele se citesc împreună, nu izolat.

Să exersăm

Ordinea de redactare: continuitatea justificată, valorile de la capete cu semnele lor, concluzia pe intervalul deschis.

1. Arată că funcția $f(x)=x^3+x^2-7$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și calculează $f(1)$ și $f(2)$.

2. Folosind rezultatele de la exercițiul 1, arată că ecuația $x^3+x^2-7=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(1,2)$.

3. Arată că ecuația $x^3-4x+1=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(0,1)$.

4. Arată că ecuația $\ln x=3-x$ are cel puțin o soluție în intervalul $(1,3)$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ și $f(a)\cdot f(b)>0$, atunci ecuația $f(x)=0$ nu are soluții în $(a,b)$."

6. Determină două numere întregi consecutive între care se află o soluție a ecuației $2^x=7-x$.

7. Arată că funcția $f(x)=\frac{x-8}{x+2}$ ia valori de semne contrare în $-5$ și în $0$, dar nu se anulează pe acest segment, și explică de ce proprietatea lui Darboux nu este contrazisă.

8. (Problemă aplicată.) Concentrația de dioxid de carbon dintr-o sală de clasă, în părți per milion, este $c(t)=400+300t-50t^2$, unde $t$ este timpul în ore scurse de la începutul cursurilor, $t\in [0,6]$. Arată că există un moment din primele două ore în care concentrația a fost exact de $750$ ppm.

9. Arată că ecuația $x^3+x-4=0$ are exact o soluție reală și precizează două numere întregi consecutive între care se află.

10. Arată că funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x$, ia valoarea $3$.

11. Arată că orice funcție polinomială de gradul al treilea are cel puțin o rădăcină reală.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-5x-1$. Arată că ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(-1,0)$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln x-1$. Arată că ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(1,3)$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+2x$. Arată că $x=0$ este soluție a ecuației $f(x)=1$ și că este singura.

15. Funcția $f:[0,4]\to \mathbb{R}$ este continuă, cu $f(0)=-3$ și $f(4)=5$. Poți afirma că ecuația $f(x)=1$ are soluție? Dar că are exact una?

16. Găsește, încercând numere întregi, un interval de lungime $1$ care conține o soluție a ecuației $x^3=2x+5$.

17. Se consideră $f:[-2,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2-1$ pentru $x<1$ și $f(x)=x+1$ pentru $x\ge 1$. Arată că $f(-2)<0<f(3)$, dar că ecuația $f(x)=0$ nu are soluții, și spune ce ipoteză lipsește.

18. (Provocare.) Un alergător pornește la ora $8$ dintr-un sat și ajunge la ora $11$ în satul vecin. A doua zi pornește la ora $8$ din satul vecin, pe același drum, și ajunge la ora $11$ în primul sat. Arată că există un punct al drumului prin care a trecut la aceeași oră în ambele zile.

Răspunsuri și explicații

1. Funcția este polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$; $f(1)=1+1-7=-5$ și $f(2)=8+4-7=5$.

2. Cum $f(1)=-5<0$ și $f(2)=5>0$, produsul valorilor de la capete este negativ; conform proprietății lui Darboux, ecuația are cel puțin o soluție în $(1,2)$.

3. $f(x)=x^3-4x+1$ este polinomială, deci continuă; $f(0)=1>0$ și $f(1)=1-4+1=-2<0$, deci ecuația are cel puțin o soluție în $(0,1)$.

4. Fie $g(x)=\ln x+x-3$, continuă pe $(0,+\infty )$ ca sumă de funcții continue. Atunci $g(1)=0+1-3=-2<0$ și $g(3)=\ln 3>0$, pentru că $3>1$. Ecuația $g(x)=0$, adică $\ln x=3-x$, are cel puțin o soluție în $(1,3)$.

5. Fals. Semnele egale la capete nu spun nimic. Pentru $f(x)=x^2-1$ pe $[-2,2]$ avem $f(-2)=f(2)=3$, deci produsul este pozitiv, iar ecuația are totuși două soluții, $-1$ și $1$.

6. Fie $h(x)=2^x+x-7$, continuă pe $\mathbb{R}$. Avem $h(2)=4+2-7=-1<0$ și $h(3)=8+3-7=4>0$, deci soluția se află între $2$ și $3$.

7. $f(-5)=\frac{-13}{-3}=\frac{13}{3}>0$ și $f(0)=\frac{-8}{2}=-4<0$, deci semnele sunt contrare. Ecuația $f(x)=0$ are însă unica soluție $x=8$, care nu este între $-5$ și $0$. Nu apare nicio contradicție, pentru că mulțimea $[-5,0]\setminus \{-2\}$ nu este interval: ipoteza proprietății nu e îndeplinită.

8. $c$ este polinomială, deci continuă pe $[0,6]$. Fie $g(t)=c(t)-750$. Atunci $c(1)=400+300-50=650$, deci $g(1)=-100<0$, iar $c(2)=400+600-200=800$, deci $g(2)=50>0$. Există așadar un moment $t\in (1,2)$, adică între prima și a doua oră de curs, în care concentrația a fost exact $750$ ppm.

9. $f(x)=x^3+x-4$ este continuă, $f(1)=-2<0$ și $f(2)=6>0$, deci există o soluție în $(1,2)$. Cum $f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ pentru orice $x$, funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci soluția este unică.

10. Funcția este polinomială, deci continuă pe $[0,2]$; $f(0)=0$ și $f(2)=6$. Cum $3$ este cuprins între $0$ și $6$, proprietatea lui Darboux garantează existența unui $c\in (0,2)$ cu $f(c)=3$.

11. Fie $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ cu $a\ne 0$; presupunem $a>0$, cazul $a<0$ tratându-se la fel. Limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$, deci există un număr $u$ cu $f(u)<0$ și un număr $v>u$ cu $f(v)>0$. Funcția fiind continuă pe $[u,v]$, ecuația are cel puțin o soluție în $(u,v)$.

12. Funcția este polinomială, deci continuă pe $[-1,0]$; $f(-1)=-2+5-1=2>0$ și $f(0)=-1<0$. Conform proprietății lui Darboux, ecuația are cel puțin o soluție în $(-1,0)$.

13. $f$ este produs și sumă de funcții continue pe $(0,+\infty )$, deci continuă pe $[1,3]$. Avem $f(1)=1\cdot 0-1=-1<0$ și $f(3)=3\ln 3-1>0$, pentru că $3>e$ dă $\ln 3>1$, deci $3\ln 3>3>1$. Ecuația are deci cel puțin o soluție în $(1,3)$.

14. $f(0)=e^0+0=1$, deci $x=0$ este soluție. Cum $f^{\prime }(x)=e^x+2>0$ pentru orice $x$ real, funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și nu poate lua valoarea $1$ de două ori; soluția este unică.

15. Da la prima întrebare: $1$ este cuprins între $-3$ și $5$, iar funcția e continuă pe interval, deci ecuația $f(x)=1$ are cel puțin o soluție. Nu la a doua: fără o informație despre monotonie, numărul soluțiilor poate fi oricât.

16. Fie $f(x)=x^3-2x-5$, continuă pe $\mathbb{R}$. Încercând numere întregi: $f(2)=8-4-5=-1<0$ și $f(3)=27-6-5=16>0$, deci intervalul căutat este $(2,3)$.

17. $f(-2)=-5<0$ și $f(3)=4>0$. Pe $[-2,1)$ avem $f(x)=-x^2-1\le -1$, deci toate valorile sunt negative; pe $[1,3]$ avem $f(x)=x+1\ge 2$, deci toate sunt pozitive. Valoarea $0$ nu se atinge nicăieri. Lipsește ipoteza de continuitate: limita la stânga în $1$ este $-2$, iar valoarea funcției acolo este $2$, deci funcția are un salt.

18. Notăm cu $d_1(t)$ distanța parcursă de la primul sat, în prima zi, și cu $d_2(t)$ distanța de la același sat în ziua a doua, ambele ca funcții continue de oră, pe $[8,11]$. Fie $D=d_1-d_2$, continuă ca diferență de funcții continue. La ora $8$ avem $d_1=0$ și $d_2=L$, lungimea drumului, deci $D(8)=-L<0$; la ora $11$ avem $d_1=L$ și $d_2=0$, deci $D(11)=L>0$. Conform proprietății lui Darboux, există o oră $t_0\in (8,11)$ cu $D(t_0)=0$, adică o oră la care alergătorul se afla, în ambele zile, în același punct al drumului.

De reținut

• Proprietatea lui Darboux se enunță pe un interval și cere continuitate pe tot intervalul; ea se admite fără demonstrație, așa cum precizează nota programei de examen pentru rezultatele numite „proprietatea lui…".
• Consecința de semn este forma folosită la examen: $f$ continuă pe $[a,b]$ cu $f(a)\cdot f(b)<0$ garantează cel puțin o soluție a ecuației $f(x)=0$ în intervalul deschis $(a,b)$.
• Rezultatul este unul de existență: nu spune câte soluții sunt, nu spune unde anume și nu produce niciun număr — o rezolvare care se încheie cu o valoare fără alt calcul nu este corectă.
• Unicitatea se obține adăugând stricta monotonie, citită din semnul derivatei; fără acest al doilea argument, concluzia rămâne „cel puțin o soluție".
• Pragurile din științe se tratează cu funcția „mărime minus prag": dacă mărimea variază continuu și trece de la o parte la alta a pragului, valoarea pragului a fost atinsă cel puțin o dată.

Greșeli frecvente

• Invoci proprietatea fără să calculezi valorile de la capete. Fraza „cum semnele sunt contrare" nu valorează nimic dacă cele două numere nu sunt scrise. Se scriu exact $f(a)$ și $f(b)$, fiecare cu semnul lui.
• Scrii concluzia pe intervalul închis. Soluția se află în $(a,b)$, nu în $[a,b]$: în capete funcția are valori nenule, prin chiar ipoteza folosită. Dacă unul dintre capete anulează funcția, nu mai ai nevoie de niciun rezultat — ai deja soluția.
• Tragi concluzia „nu există soluții" când semnele sunt egale. Proprietatea nu are reciprocă de acest fel: o funcție poate porni și se poate sfârși de aceeași parte a axei, după ce a traversat-o între timp de două ori. Semne egale înseamnă „acest argument nu decide", nu „nu există".
• Citești implicația invers. Continuitatea atrage proprietatea lui Darboux, dar o funcție care ia toate valorile intermediare nu este neapărat continuă. Din faptul că o funcție „nu sare peste valori" nu poți deduce continuitatea ei.
• Cauți doar rădăcini. Enunțul vorbește despre orice valoare intermediară $\lambda$, nu numai despre $0$. La cerința „arătați că funcția ia valoarea $5$" procedezi identic: găsești două valori între care stă $5$.

Aplică acasă

1. Masa care nu se clatină. Ia o măsuță sau un scaun cu patru picioare egale, așezat pe o podea denivelată, și rotește-l încet, fără să-l ridici. Vei găsi o poziție în care nu se mai clatină. Explicația e proprietatea lui Darboux: „înălțimea la care rămâne al patrulea picior" variază continuu cu unghiul de rotire și își schimbă semnul după un sfert de tură. Notează după câte grade ai găsit poziția stabilă.

2. Vânătoare de intervale, din unu în unu. Alege trei ecuații care nu se rezolvă cu formulă, de pildă $x^3=x+5$, $3^x=10-x^2$ și $\ln x=5-2x$. Pentru fiecare, calculează valorile funcției-diferență în numerele întregi din domeniu, de la $-4$ la $3$, și notează unde se schimbă semnul. Vei obține câte un interval de lungime $1$ pentru prima și pentru a treia ecuație — și două intervale pentru a doua, deci cel puțin două soluții. Concluzia nu se vede din formulă, ci din tabelul de valori.

3. Tăietura care împarte în două părți egale. Ia o clătită sau o felie de pâine cu o formă neregulată și un cuțit ținut mereu în aceeași direcție. Plimbă cuțitul dintr-un capăt în celălalt: la început partea din stânga e mai mică decât cea din dreapta, la sfârșit invers. Diferența dintre cele două arii variază continuu, deci există o poziție în care cele două părți sunt egale. Marchează poziția pe hârtie și verifică prin cântărire.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: proprietatea lui Darboux este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), la capitolul „Funcții continue", deși în programa nouă a clasei a XI-a (OMEC 6930/2025, anexa 28) a rămas numai „semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale", fără enunțul general. Partea de semn se predă pe programa nouă, tot la clasa a XI-a, în lecția despre operațiile cu funcții continue; ce lipsește de acolo este exact argumentul de existență studiat astăzi. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde locul firesc al temei este Subiectul al III-lea, partea de analiză matematică; modelul oficial publicat pentru proba M_șt-nat nu conține nicio cerință de continuitate sau de existență a soluțiilor, așa că forma exactă a cerinței se citește în model, nu se presupune. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Programa de examen adaugă o notă de care depinde tot modul de predare: formularea „proprietatea lui…" arată un rezultat matematic folosit în aplicații, a cărui demonstrație este în afara programei. Lecția o respectă: enunț, intuiție grafică, contraexemple pentru ipoteze, aplicații — nicio demonstrație.

Lecția verifică patru lucruri: (1) justificarea continuității ca prim pas al oricărei rezolvări; (2) calculul și scrierea valorilor de la capete, cu semnele lor; (3) formularea concluziei pe intervalul deschis, cu numele rezultatului; (4) separarea limpede între existență și unicitate. Întrebări de control, de pus oral: „De ce nu poți spune câte soluții are ecuația?"; „Ce ipoteză cade la o funcție rațională pe un interval care conține un zerou al numitorului?"; „Ce ai adăuga ca să obții unicitatea?"; „Dacă semnele de la capete sunt egale, ce știi?". Semne că elevul a înțeles: începe rezolvarea cu o propoziție despre continuitate și scrie concluzia cu paranteze rotunde. Continuarea firească a unității este lecția despre reprezentarea grafică a funcțiilor, în șapte pași, unde existența soluțiilor se citește direct de pe desen. Tema se leagă și de metodele algebrice ale suplimentului, începând cu sistemul rezolvat cu matricea inversă.

Întrebări frecvente

De ce se spune „proprietatea lui Darboux" și nu „teorema lui Darboux"? Pentru că programa de examen folosește dinadins formularea „proprietatea lui…", printr-o notă care arată că e vorba de un rezultat matematic folosit în aplicații, a cărui demonstrație rămâne în afara programei. La clasă îl primești deci ca instrument: îl enunți cu toate ipotezele, îl aplici corect și nu ți se cere să-l justifici.

Cum demonstrez existența unei rădăcini pe un interval dat? În trei pași. Justifici continuitatea funcției pe intervalul închis, calculezi valorile de la capete și le scrii cu semnul lor, apoi, dacă produsul lor iese negativ, conchizi că rădăcina se află în interiorul intervalului. Fiecare pas se scrie separat, iar primul este cel mai des uitat.

Care este diferența față de mate-info (M1) la această temă? La M1 rezultatul se numește proprietatea valorilor intermediare și este însoțit de studiul punctelor de discontinuitate și de legătura cu continuitatea funcției inverse. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: proprietatea valorilor intermediare merge mai departe și cu determinarea imaginii unei funcții. La M2 se păstrează numele „proprietatea lui Darboux", din programa de examen, și se cere doar întrebuințarea lui în aplicații.

La ce subiect apare la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, cel de analiză matematică, unde temele de continuitate stau alături de derivate. Cerința tipică cere să arăți că o ecuație dată capătă măcar o rădăcină pe un interval precizat, uneori urmată de un subpunct despre unicitate, rezolvat cu monotonia. Modelul oficial publicat pentru proba M_șt-nat nu conține o astfel de cerință, deși programa de examen o cuprinde.

Cum găsesc singur intervalul, dacă enunțul nu mi-l dă? Calculezi valorile funcției în numere întregi apropiate — $-2,-1,0,1,2,3$ — și te oprești la prima schimbare de semn. Intervalul determinat de cele două numere întregi consecutive este răspunsul. La funcțiile din programa de științe ale naturii sunt de obicei de ajuns trei-patru încercări, iar tabelul cu valorile calculate se scrie în rezolvare.

Ce pot afirma despre o mărime măsurată din oră în oră? Dacă mărimea variază continuu, poți afirma că a trecut prin fiecare valoare cuprinsă între două citiri vecine, chiar dacă niciun aparat n-a înregistrat-o. Nu poți afirma însă nici momentul exact, nici de câte ori a trecut prin acea valoare. Măsurătorile rare plus continuitatea dau existența, nu numărul și nici clipa.

Proprietatea îmi dă și valoarea soluției? Nu, ea afirmă doar că soluția există. Pentru o valoare aproximativă folosești înjumătățiri succesive: calculezi funcția la mijlocul intervalului, reții jumătatea la ale cărei capete semnele sunt încă diferite și reiei procedeul. Fiecare pas taie la jumătate incertitudinea, dar aceasta este deja o metodă numerică, nu o consecință a proprietății.