Care dintre următorii determinanți este nul, fără să fie nevoie de niciun calcul?

$$\begin{vmatrix}3 & 7 & 5\\6 & 14 & 10\\2 & 1 & 8\end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix}5 & 5 & 6\\3 & 3 & 5\\2 & 4 & 2\end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix}4 & 5 & 5\\5 & 7 & 4\\2 & 5 & 5\end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix}8 & 9 & 4\\4 & 2 & 6\\9 & 5 & 7\end{vmatrix}$$

Când este un determinant egal cu zero?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Proprietățile determinanților

Fără niciun calcul, determinantul este $0$ dacă o linie sau o coloană are doar zerouri ori dacă două linii (sau coloane) sunt proporționale. Este $0$ și când o linie se obține adunând multipli ai altor linii. De exemplu, $125 24 - 1 367 = 0$ , fiindcă a doua linie este dublul primei. Aceleași reguli valorează și pentru coloane, pentru că transpunerea nu schimbă determinantul.

Înainte de prima înmulțire merită aruncată o privire asupra tabloului: câteva secunde de citit scurtează adesea un sfert de oră de socoteală și, mai ales, taie ocaziile de greșeală. Prima regulă le înmulțește pe toate celelalte — transpunerea nu schimbă valoarea, deci orice enunț despre rânduri se citește la fel despre coloane.

Trei situații dau răspunsul fără niciun calcul: un rând numai din zerouri, două rânduri identice, două rânduri proporționale. Implicația merge însă într-un singur sens; la ordinul al treilea legătura dintre rânduri poate fi mai ascunsă, iar un determinant nul nu cere neapărat o pereche proporțională.

Urmează perechea care se confundă cel mai ușor: un rând înmulțit cu un număr înmulțește valoarea cu acel număr, dar tot tabloul de ordinul $n$ înmulțit cu el o înmulțește cu puterea a $n$ -a. Citită invers, prima dintre ele scoate un factor comun în fața barelor. A treia regulă este cea folositoare la calcul: adunând la un rând un multiplu al altuia, valoarea rămâne neatinsă, cu condiția ca rândul rescris să intre cu coeficientul $1$ .

Capcana. Determinantul unui produs este produsul determinanților, de unde iese și un rezultat care surprinde: cele două ordini de înmulțire dau tablouri diferite, dar același număr. Pentru sumă nu există nimic asemănător.

De reținut

linie nulă, două linii egale sau proporționale: determinant $0$
$det (^{t} A) = det A$ și $det (A B) = det A \cdot det B$
pentru ordinul $n$ : $det (α A) = α^{n} det A$

Greșeala tipică

Se scrie $det (2 A) = 2 det A$ pentru o matrice de ordinul $3$ ; factorul iese din fiecare linie, deci corect este $det (2 A) = 8 det A$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următorii determinanți este nul, fără să fie nevoie de niciun calcul?
- a) $532534652$
- b) $452575545$
- c) $36271415108$
- d) $849925467$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $36271415108$

La varianta c) al doilea rând este dublul primului, deci cele două rânduri sunt proporționale și determinantul se anulează. Celelalte trei nu au nici rând de zerouri, nici rânduri identice, nici rânduri proporționale, iar calculul le confirmă: ies $- 14$ , $30$ și $114$ . Faptul că un rând are două numere egale, ca primul de la a), nu spune nimic despre determinant: proporționalitatea cere același raport pe toate cele trei poziții ale unei perechi de rânduri.
Se știe că matricea $B$ este de ordinul $3$ și are $det B = - 5$ . Cât este $det (2 B)$ ?
- a) $- 10$
- b) $- 20$
- c) $40$
- d) $- 40$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- 40$

Înmulțind tot tabloul cu $2$ , factorul se scoate din fiecare dintre cele trei rânduri, deci apare de trei ori: $det (2 B) = 2^{3} \cdot det B = 8 \cdot (- 5) = - 40$ . Varianta a) scoate factorul o singură dată, ca și cum s-ar fi înmulțit un singur rând; varianta b) îl scoate de două ori, adică folosește exponentul potrivit ordinului $2$ ; varianta c) pierde semnul. Exponentul este întotdeauna ordinul tabloului.
Calculează $6483151527$ , scoțând întâi un factor comun.
- a) $42$
- b) $126$
- c) $378$
- d) $14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $126$

Primul rând se împarte exact la $3$ , deci factorul iese în fața barelor: $6483151527 = 3248115527$ . Determinantul rămas are grupul cu plus $14 + 16 + 100 = 130$ și grupul cu minus $40 + 20 + 28 = 88$ , deci valoarea $42$ ; înmulțind înapoi se obține $126$ . Varianta a) uită să înmulțească la loc, c) scoate factorul de trei ori, ca la înmulțirea întregului tablou, iar d) împarte încă o dată.

Întrebări conexe

Cât este $det (3 A)$ pentru o matrice de ordinul 3?

Este $27 det A$ : înmulțind toată matricea cu $3$ , factorul iese din fiecare dintre cele trei linii, deci de $3^{3} = 27$ ori. Dacă $det A = - 2$ , atunci $det (3 A) = 27 \cdot (- 2) = - 54$ . La ordinul $2$ factorul ar fi fost $3^{2} = 9$ .

Ce se întâmplă cu determinantul dacă schimb două linii între ele?

Își schimbă semnul, iar valoarea absolută rămâne aceeași. De exemplu, $1324 = 4 - 6 = - 2$ , iar după schimbarea liniilor $3142 = 6 - 4 = 2$ . Regula e aceeași pentru două coloane schimbate între ele.

Cum scot un factor comun dintr-o linie a determinantului?

Împarți doar acea linie la factor și îl scrii în fața determinantului. De exemplu, $6295 = 32235 = 3 \cdot 4 = 12$ , iar calculul direct dă tot $30 - 18 = 12$ . Spre deosebire de matrice, aici factorul iese dintr-o singură linie.

Este determinantul sumei egal cu suma determinanților?

În general nu. Pentru $A = B = I_{2}$ avem $det A + det B = 1 + 1 = 2$ , dar $A + B = 2 I_{2}$ are determinantul $4$ . Proprietatea de produs, $det (A B) = det A \cdot det B$ , nu are o pereche pentru adunare, așa că $det (A + B)$ se calculează din matricea sumei.

Cum fac zerouri într-o coloană fără să schimb determinantul?

Dintr-o linie scazi un multiplu al altei linii; valoarea nu se schimbă. În $1237$ scazi din linia a doua dublul primei și obții $1031 = 1$ , iar direct $7 - 6 = 1$ . Linia modificată trebuie să rămână cu coeficientul $1$ .

Oamenii mai întreabă și: când este determinantul zero · determinant nul fără calcul · determinantul este 0 dacă · linii proporționale determinant zero