Proprietățile determinanților, la lucru (M2, științe ale naturii)

Un determinant de ordinul al treilea cere șase produse și o scădere; unul cu numere de două cifre cere, în plus, răbdare. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), există o scurtătură care nu e un truc, ci o parte de programă: proprietățile determinanților. Cu ele, unele valori se citesc dintr-o privire, altele se obțin dintr-un calcul mult mai mic, iar la bacalaureatul M2 apar exact în forma „știind că $\det A=\dots$, calculați $\det (2A)$", la Subiectul al II-lea.

Anexa 28 cere la acest capitol „metode de calcul și proprietăți fundamentale", fără să ceară demonstrațiile lor. Lecția de față le enunță pe toate, le verifică pe exemple numerice și — mai important — arată când se folosește fiecare. Ce nu apare aici este tehnica de desfacere a unui determinant de ordinul al patrulea, care are lecția ei imediat următoare.

Ce vei învăța

• Vei ști să răspunzi fără calcul când un determinant este nul și de ce reciproca nu este adevărată la ordinul al treilea.
• Vei ști să folosești egalitatea $\det ({}^{t}A)=\det A$ ca să treci orice regulă de la linii la coloane.
• Vei ști cu cât se înmulțește determinantul când o linie se înmulțește cu un număr și cu cât când se înmulțește toată matricea.
• Vei ști să faci zerouri într-un determinant, adunând la o linie un multiplu al alteia, fără să-i schimbi valoarea.
• Vei ști să folosești $\det (A\cdot B)=\det A\cdot \det B$ și să explici de ce $\det (A\cdot B)=\det (B\cdot A)$, deși $A\cdot B\ne B\cdot A$.
• Vei ști să recunoști, în enunțul unui subiect, care proprietate scurtează calculul și să redactezi pasul respectiv.

Hai să descoperim împreună

1. De ce merită să te uiți la un determinant înainte de a-l calcula?

Proprietățile determinanților sunt regulile care spun cum se schimbă numărul $\det A$ atunci când liniile sau coloanele matricei pătratice $A$ sunt modificate — înmulțite, mutate între ele, adunate una la alta — și ele sunt valabile la orice ordin. Unele dau răspunsul imediat, altele înlocuiesc un calcul mare cu unul mic, iar câteva sunt pur și simplu capcane, pentru că elevii le presupun acolo unde nu există.

Obiceiul pe care îl cere capitolul este simplu: înainte de prima înmulțire, privește tabloul. Are o linie de zerouri? Are două linii la fel? Are o linie în care toate numerele se împart la $5$? Trei secunde de privit scurtează, de multe ori, un sfert de oră de calcul — și, ce contează mai mult la examen, taie ocaziile de greșeală aritmetică.

Toate proprietățile de mai jos se verifică aici pe exemple numerice, nu se demonstrează: programa profilului științe ale naturii cere enunțul și folosirea lor. Verificarea numerică nu e o demonstrație, dar e felul corect de a le ține minte — o proprietate pe care ai văzut-o funcționând pe două exemple nu se mai uită.

2. Ce se întâmplă când transpui matricea?

Prima proprietate este și cea care le multiplică pe toate celelalte: determinantul nu se schimbă la transpunere, adică $\det ({}^{t}A)=\det A$. Pe matricea

$$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 5& 1\\ 0& 3& -1\\ 4& 2& 6\end{array}\right)$$

calculul dă $\det M=8$, iar pentru transpusă,

$${}^{t}M=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 4\\ 5& 3& 2\\ 1& -1& 6\end{array}\right),\det ({}^{t}M)=8.$$

Consecința se folosește apoi peste tot, tăcut: orice proprietate adevărată despre linii este adevărată și despre coloane. Dacă o linie de zerouri anulează determinantul, o coloană de zerouri îl anulează la fel; dacă un factor comun se scoate dintr-o linie, se scoate la fel dintr-o coloană. De aceea, de aici înainte, enunțurile se scriu doar pentru linii, iar tu le citești în ambele feluri.

3. Când este determinantul nul fără niciun calcul?

Trei situații dau răspunsul imediat, la orice ordin. Dacă matricea are o linie formată numai din zerouri, determinantul este nul, pentru că fiecare dintre produsele lui conține un element din acea linie. Dacă are două linii identice, determinantul este nul. Și dacă are două linii proporționale — una obținută din cealaltă înmulțind cu un număr —, determinantul este tot nul; cazul liniilor identice este, de fapt, cel cu factorul $1$.

Atenție acum la sensul implicației, pentru că aici se greșește cel mai ușor. Cele trei situații duc la determinant nul, dar determinantul nul nu le presupune. La ordinul al doilea afirmația inversă este adevărată, și ai folosit-o la rețetele de laborator din lecția despre determinanți de ordinul 2 și 3. La ordinul al treilea este falsă, iar contraexemplul merită ținut minte ca atare:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|=0.$$

Niciunele două linii nu sunt proporționale — verifică rapoartele și vei vedea — și totuși determinantul se anulează. Explicația este că a treia linie se obține din dublul celei de-a doua, din care se scade prima: $2\cdot (4,5,6)-(1,2,3)=(7,8,9)$. Liniile sunt, așadar, legate între ele, dar printr-o relație în care intră toate trei, nu printr-o proporționalitate a vreunei perechi. Concluzia practică: „determinant nul" înseamnă întotdeauna o legătură între linii, dar nu neapărat una vizibilă cu ochiul liber.

4. Cu cât se înmulțește determinantul dacă muți sau înmulțești o linie?

Două reguli, ușor de confundat una cu alta.

Schimbarea a două linii între ele schimbă semnul determinantului. Dacă în matricea $M$ de mai sus interschimbăm primele două linii, obținem un determinant egal cu $-8$. Regula are o urmare practică deloc neînsemnată: dacă „aranjezi" matricea mutând linii, ca să ai zerouri sus, trebuie să ții socoteala mutărilor — o mutare schimbă semnul, două îl aduc înapoi.

Înmulțirea unei singure linii cu un număr înmulțește determinantul cu acel număr. Citită invers, regula spune că un factor comun al unei linii se scoate în fața determinantului, exact cum scoteai factorul comun dintr-o sumă, la descompunerea în factori din clasa a VIII-a:

$$\left|\begin{array}{ccc}6& 9& 3\\ 1& 4& 2\\ 5& 0& 7\end{array}\right|=3\cdot \left|\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& 4& 2\\ 5& 0& 7\end{array}\right|=3\cdot 45=135.$$

De aici iese și regula care se cere la examen: dacă se înmulțește toată matricea de ordinul $n$ cu un număr, atunci scoaterea se repetă la fiecare linie în parte, deci $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$. Pentru $M$, care e de ordinul al treilea, $\det (2M)=2^3\cdot 8=64$, nu $16$. La ordinul al doilea exponentul este $2$; la ordinul al patrulea, $4$.

5. Cum se fac zerouri fără să se schimbe valoarea?

A treia regulă este cea mai folositoare la calcul: dacă la o linie se adună o altă linie înmulțită cu un număr, determinantul nu se schimbă. Aici este locul unde scurtătura chiar se vede. Pornim de la

$$J=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 8\\ 3& 7& 12\end{array}\right)$$

și facem zerouri sub primul element: scădem din a doua linie dublul primei și din a treia linie triplul primei. Obținem un determinant cu aceeași valoare, dar cu numere mult mai mici:

$$\det J=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 1& 3\end{array}\right|=1.$$

Patru dintre cele șase produse ale noului determinant sunt nule, așa că regula lui Sarrus se termină în două rânduri. Verificarea directă pe matricea inițială dă tot $1$.

Două precizări importante. Prima: linia pe care o transformi trebuie lăsată nemodificată ca factor. Transformarea $L_2\to L_2-2L_1$ nu schimbă determinantul, dar $L_2\to 2L_2-L_1$ îl dublează, pentru că acolo ai înmulțit cu $2$ chiar linia pe care o rescrii. A doua: după transformări ai o altă matrice, cu același determinant. Dacă enunțul îți cere ulterior un element al matricei, îl iei din tabloul inițial, nu din cel aranjat.

Tehnica aceasta devine obligatorie la ordinul al patrulea, unde cele $24$ de produse fac calculul direct impracticabil; acolo, după ce faci zerouri pe o linie, determinantul se desface după acea linie — procedeu care este subiectul lecției despre determinantul de ordinul 4.

6. Ce determinant are produsul a două matrice?

Ultima proprietate leagă determinantul de înmulțirea matricelor: determinantul unui produs este produsul determinanților, $\det (A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Pe două matrice mici,

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 2& 5\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 3\end{array}\right),A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}3& 9\\ 2& 11\end{array}\right),$$

iar $\det A=5$, $\det B=3$ și $\det (A\cdot B)=15$, adică exact produsul lor.

Urmează ceva ce surprinde aproape pe toată lumea. Înmulțirea matricelor nu este comutativă, iar aici se vede limpede: $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-1& -5\\ 6& 15\end{array}\right)$ este cu totul altă matrice decât $A\cdot B$. Și totuși $\det (B\cdot A)=15$, la fel ca înainte. Motivul e imediat: ambele determinante sunt egale cu produsul de numere $\det A\cdot \det B$, iar înmulțirea numerelor este comutativă. Așadar două matrice diferite pot avea același determinant — ceea ce era de așteptat, din moment ce un singur număr nu poate ține minte tot tabloul.

În schimb, pentru sumă nu există nicio regulă de acest fel: $\det (A+B)$ nu se poate calcula din $\det A$ și $\det B$. Verifică pe exemplul de mai sus, unde $A+B=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 8\end{array}\right)$ are determinantul $26$, iar suma determinanților ar fi dat $8$. Determinantul „merge" cu înmulțirea, nu cu adunarea.

7. Cum arată proprietățile în subiectele de Bacalaureat M2?

Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 cere „determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult $3$, proprietăți", deci ele intră explicit în materie. Locul lor la proba scrisă este prima problemă a Subiectului al II-lea, cea de matrice și determinanți, unde o proprietate scurtează un calcul: un determinant cu numere mari din care se scoate un factor comun, o cerință de tipul „arătați că $\det (A\cdot B)$ este număr natural", o justificare a faptului că un determinant este nul. Cerințele din lecție sunt scrise în formatul probei, pe tema din programă; ele nu sunt o prezicere a subiectului.

Redactarea are o regulă care se învață o dată și se folosește peste tot: proprietatea folosită se numește, nu se aplică tăcut. „Scoatem factorul comun $3$ din prima linie", „determinantul transpusei este egal cu determinantul matricei", „am schimbat între ele liniile, deci determinantul își schimbă semnul" — fiecare astfel de propoziție arată pe ce te-ai sprijinit. Un rezultat corect apărut din senin, fără propoziția care îl justifică, nu se poate urmări.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Transpusa, verificată pe numere

Fie $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 3\\ 3& 0& 1\\ 4& 6& 7\end{array}\right)$. Calculați $\det C$ și $\det ({}^{t}C)$ și spuneți ce concluzie practică urmează.

Rezolvare. Cu regula lui Sarrus, grupul cu plus al lui $C$ este $1\cdot 0\cdot 7=0$, $4\cdot 1\cdot 4=16$ și $3\cdot 3\cdot 6=54$, cu suma $70$; grupul cu minus este $3\cdot 0\cdot 4=0$, $1\cdot 1\cdot 6=6$ și $4\cdot 3\cdot 7=84$, cu suma $90$. Așadar $\det C=70-90=-20$.

Refăcând calculul pe transpusă se obține tot $-20$, pentru că cei șase termeni sunt aceiași, doar scriși în altă ordine. Concluzia practică: dacă într-un determinant coloana a doua are un factor comun, îl poți scoate exact ca dintr-o linie, fără să transpui nimic pe hârtie.

Exemplul 2 — Trei răspunsuri fără calcul

Justificați, fără a calcula, de ce fiecare dintre determinanții următori este nul:

$$\left|\begin{array}{ccc}3& 0& 5\\ 7& 0& 2\\ 1& 0& 4\end{array}\right|=0,\left|\begin{array}{ccc}2& 6& 1\\ 5& 3& 8\\ 2& 6& 1\end{array}\right|=0,\left|\begin{array}{ccc}4& 3& 5\\ 8& 6& 10\\ 2& 7& 1\end{array}\right|=0.$$

Rezolvare. Primul are a doua coloană formată numai din zerouri; proprietatea e enunțată pentru linii, dar se transferă la coloane prin egalitatea determinantului cu cel al transpusei. Al doilea are prima și a treia linie identice. Al treilea are a doua linie egală cu dublul primei, adică două linii proporționale.

În toate cele trei cazuri, redactarea completă înseamnă o singură propoziție de justificare; niciun calcul nu trebuie scris.

Exemplul 3 — Factori comuni, scoși corect

Fie $N=\left(\begin{array}{ccc}4& 12& 5\\ 1& 6& 2\\ 3& 18& 7\end{array}\right)$. Calculați $\det N$, scoțând întâi un factor comun, apoi calculați $\det (2N)$.

Rezolvare. Toate elementele coloanei a doua se împart la $6$; proprietatea e enunțată pentru linii, dar trece la coloane prin egalitatea determinantului cu cel al transpusei, deci factorul iese în față:

$$\det N=\left|\begin{array}{ccc}4& 12& 5\\ 1& 6& 2\\ 3& 18& 7\end{array}\right|=6\cdot \left|\begin{array}{ccc}4& 2& 5\\ 1& 1& 2\\ 3& 3& 7\end{array}\right|=6\cdot 2=12.$$

Pentru a doua cerință se folosește altă regulă: aici se înmulțește toată matricea, nu o singură coloană, iar $N$ este de ordinul al treilea, deci factorul se scoate de trei ori:

$$\det (2N)=2^3\cdot \det N=8\cdot 12=96.$$

Deosebirea dintre cele două cerințe este exact locul în care se greșește: o linie sau o coloană înmulțită cu $2$ dublează determinantul, dar întreaga matrice înmulțită cu $2$ îl face de opt ori mai mare.

Exemplul 4 — Zerouri făcute cu folos

Calculați $\left|\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 3& 13& 5\\ 2& 9& 7\end{array}\right|$ folosind transformări de linii, apoi verificați rezultatul prin calcul direct.

Rezolvare. Scădem din a doua linie triplul primei și din a treia linie dublul primei. Prima linie rămâne neatinsă, iar determinantul nu se schimbă:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 3& 13& 5\\ 2& 9& 7\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& 3\end{array}\right|=4.$$

În noul determinant, patru dintre cele șase produse conțin un zero din prima coloană, deci rămân doar $1\cdot 1\cdot 3=3$ și $1\cdot (-1)\cdot 1=-1$, iar diferența lor este $4$.

Verificare directă: grupul cu plus al determinantului inițial este $91+40+54=185$, grupul cu minus este $52+45+84=181$, iar diferența este tot $4$. Compară efortul: două înmulțiri față de șase.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev calculează $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right|=-1$, apoi transformă prima linie după regula $L_1\to 2L_1+L_2$ și scrie: „Am adunat la o linie o altă linie, deci determinantul rămâne $-1$." Găsiți greșeala.

Rezolvare. Regula spune că determinantul nu se schimbă atunci când la o linie se adună un multiplu al alteia — adică linia transformată intră cu coeficientul $1$. Elevul a înmulțit cu $2$ chiar linia pe care o rescrie, deci a folosit, de fapt, două proprietăți: întâi a înmulțit prima linie cu $2$, ceea ce dublează determinantul, și abia apoi a adunat a doua linie, ceea ce într-adevăr nu-l mai schimbă.

Noua primă linie este $(5,9)$, iar determinantul obținut este

$$\left|\begin{array}{cc}5& 9\\ 3& 5\end{array}\right|=25-27=-2,$$

adică exact dublul celui inițial. Regula de siguranță: scrie transformarea cu coeficienți, $L_1\to L_1+k{L}_2$, și verifică dacă în fața liniei transformate stă $1$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră matricele $X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)$ și $Y=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 5& 2\end{array}\right)$. a) Arătați că $\det X=1$. b) Arătați că $\det (X\cdot Y)=3$. c) Calculați $\det (2X\cdot Y)$.

Rezolvare.

a) $\det X=1\cdot 7-2\cdot 3=1$.

b) Se poate calcula întâi produsul, $X\cdot Y=\left(\begin{array}{cc}14& 5\\ 47& 17\end{array}\right)$, al cărui determinant este $238-235=3$. Mult mai scurt este însă drumul prin proprietate: $\det Y=8-5=3$, deci $\det (X\cdot Y)=\det X\cdot \det Y=1\cdot 3=3$.

c) Matricea $2X$ este de ordinul al doilea, deci $\det (2X)=2^2\det X=4$. Folosind din nou proprietatea produsului,

$$\det (2X\cdot Y)=\det (2X)\cdot \det Y=4\cdot 3=12.$$

De la examen la lecție. Structura este cea a primei probleme de la Subiectul al II-lea din modelul oficial al probei M_șt-nat: un calcul direct, o egalitate de justificat, un rezultat care se obține mai repede cu o proprietate decât cu forța. La punctul c), varianta „calculez $2X$, apoi produsul, apoi determinantul" duce la aceleași $12$, dar cu numere de patru cifre și cu mult mai multe ocazii de greșeală.

Să exersăm

Înainte de a calcula, caută: linie sau coloană de zerouri, linii proporționale, factor comun.

1. Justifică, fără calcul, de ce $\left|\begin{array}{ccc}4& 1& 7\\ 0& 0& 0\\ 2& 9& 3\end{array}\right|=0$.

2. Justifică, fără calcul, de ce $\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 6& 10\end{array}\right|=0$.

3. Se știe că o matrice $V$ de ordinul al treilea are $\det V=7$. Cât este determinantul transpusei ei?

4. Pentru aceeași matrice $V$, cât este $\det (3V)$?

5. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}8& 12& 20\\ 1& 3& 2\\ 4& 0& 5\end{array}\right|$, scoțând mai întâi factorul comun din prima linie.

6. Schimbă între ele primele două linii ale determinantului de la exercițiul 5 și spune, fără să refaci calculul, cât devine.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă determinantul unei matrice de ordinul al treilea este nul, atunci două dintre liniile ei sunt proporționale."

8. Se știe că $\det G=-4$ și $\det K=5$, pentru două matrice pătratice de același ordin. Cât este $\det (G\cdot K)$?

9. Arată că $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 5\end{array}\right|$ nu se schimbă dacă la a doua linie se adaugă de trei ori prima.

10. (Problemă aplicată.) Trei amestecuri de îngrășământ conțin, în grame pe litru: primul $2$ azot, $4$ fosfor, $6$ potasiu; al doilea $1$, $2$ și $3$; al treilea $5$, $1$ și $0$. Arată că determinantul matricei este nul și spune ce înseamnă asta pentru cele trei rețete.

11. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}4& 10& 14\\ 6& 15& 21\\ 1& 5& 7\end{array}\right|$ scoțând factorii comuni din primele două linii.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră matricele $D=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 4\end{array}\right)$ și $F=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$. Calculează $\det (D\cdot F)$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru matricea $D$ de la exercițiul 12, calculează $\det (3D)$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru matricele $D$ și $F$ de la exercițiul 12, arată că $\det ({}^{t}D\cdot F)=\det (D\cdot F)$.

15. Determină numerele reale $m$ pentru care $\left|\begin{array}{ccc}m& 3& 1\\ 2m& 6& 2\\ 4& 1& 5\end{array}\right|=0$.

16. Un elev spune: „Am arătat că $P\cdot Q$ și $Q\cdot P$ sunt matrice diferite, deci și determinanții lor sunt diferiți." Arată, pe $P=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 7\end{array}\right)$ și $Q=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& -2\end{array}\right)$, că se înșală și explică de ce.

17. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 7& 5\\ 3& 8& 4\end{array}\right|$ făcând întâi zerouri pe prima coloană.

18. (Provocare.) Arată că, dacă o matrice pătratică $G$ are $\det G=0$, atunci $\det (G\cdot K)=0$ pentru orice matrice pătratică $K$ de același ordin. Dă și un exemplu numeric de ordinul al doilea.

Răspunsuri și explicații

1. A doua linie este formată numai din zerouri. Fiecare dintre cele șase produse ale determinantului conține câte un element din fiecare linie, deci fiecare conține un factor nul.

2. A doua linie este dublul primei, deci liniile sunt proporționale. Verificarea directă confirmă: $3\cdot 10-5\cdot 6=0$.

3. Tot $7$, pentru că determinantul nu se schimbă la transpunere.

4. $\det (3V)=3^3\cdot 7=189$, pentru că factorul se scoate din fiecare dintre cele trei linii.

5. Prima linie se împarte la $4$, deci $\left|\begin{array}{ccc}8& 12& 20\\ 1& 3& 2\\ 4& 0& 5\end{array}\right|=4\cdot \left|\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 1& 3& 2\\ 4& 0& 5\end{array}\right|=4\cdot (-21)=-84$.

6. Devine $84$: schimbarea a două linii schimbă semnul determinantului, iar valoarea absolută rămâne aceeași.

7. Fals. Implicația merge doar într-un sens. Contraexemplu: $\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 0& 2\\ 3& 1& 5\end{array}\right|=0$, fiindcă a treia linie este suma primelor două; niciunele două linii nu sunt însă proporționale: a doua are un zero acolo unde prima și a treia au $1$, iar între prima și a treia raportul ar cere $\frac{3}{2}$ pe primul element și $1$ pe al doilea.

8. $\det (G\cdot K)=\det G\cdot \det K=-4\cdot 5=-20$.

9. Determinantul inițial este $5-6=-1$. După transformare, a doua linie devine $(5,14)$, iar $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 5& 14\end{array}\right|=14-15=-1$: aceeași valoare, pentru că linia transformată a intrat cu coeficientul $1$.

10. Prima linie este dublul celei de-a doua, deci cele două sunt proporționale și $\left|\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 1& 2& 3\\ 5& 1& 0\end{array}\right|=0$. Practic, primul amestec este al doilea concentrat de două ori, deci rețetele nu aduc trei compoziții cu adevărat diferite, ci doar două.

11. Din prima linie se scoate $2$, din a doua se scoate $3$, iar factorii se înmulțesc între ei: $\left|\begin{array}{ccc}4& 10& 14\\ 6& 15& 21\\ 1& 5& 7\end{array}\right|=6\cdot \left|\begin{array}{ccc}2& 5& 7\\ 2& 5& 7\\ 1& 5& 7\end{array}\right|=0$, pentru că determinantul rămas are două linii identice.

12. $\det D=8-5=3$ și $\det F=3-0=3$, deci $\det (D\cdot F)=3\cdot 3=9$. Prin calcul direct, $D\cdot F=\left(\begin{array}{cc}16& 5\\ 11& 4\end{array}\right)$, cu determinantul $64-55=9$.

13. $\det (3D)=3^2\cdot \det D=9\cdot 3=27$. Matricea fiind de ordinul al doilea, exponentul este $2$, nu $3$.

14. $\det ({}^{t}D)=\det D=3$, deci $\det ({}^{t}D\cdot F)=3\cdot 3=9$, adică exact $\det (D\cdot F)$. Rezultatul se obține fără a mai calcula vreun produs de matrice.

15. A doua linie este dublul primei pentru orice valoare a lui $m$: elementele ei sunt $2m$, $6$ și $2$, adică de două ori $m$, $3$ și $1$. Determinantul este deci nul pentru orice număr real $m$; ecuația nu restrânge cu nimic valorile parametrului.

16. Cele două produse sunt $P\cdot Q=\left(\begin{array}{cc}7& -2\\ 19& -14\end{array}\right)$ și $Q\cdot P=\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ -6& -13\end{array}\right)$, matrice diferite, dar amândouă au determinantul $-60$. Motivul: fiecare este egal cu $\det P\cdot \det Q=10\cdot (-6)$, iar produsul a două numere nu depinde de ordine.

17. Scădem din a doua linie dublul primei și din a treia linie triplul primei: $\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 7& 5\\ 3& 8& 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& -1& -2\end{array}\right|=-1$. Din cele șase produse, patru conțin un zero.

18. Din proprietatea produsului, $\det (G\cdot K)=\det G\cdot \det K=0\cdot \det K=0$, oricare ar fi $K$. Exemplu: pentru $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 6\end{array}\right)$, cu determinantul nul, și $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, produsul este $\left(\begin{array}{cc}9& 2\\ 18& 4\end{array}\right)$, al cărui determinant este $36-36=0$.

De reținut

• Determinantul nu se schimbă la transpunere, deci orice proprietate enunțată pentru linii se citește la fel pentru coloane, fără nicio demonstrație suplimentară.
• O linie nulă, două linii identice sau două linii proporționale anulează determinantul; implicația merge însă într-un singur sens, iar la ordinul al treilea un determinant nul nu înseamnă neapărat linii proporționale.
• Schimbarea a două linii între ele schimbă semnul determinantului, iar un factor comun al unei linii se scoate în fața lui; înmulțirea întregii matrice de ordinul $n$ cu un număr înmulțește determinantul cu puterea a $n$-a a acelui număr.
• Adunând la o linie o altă linie înmulțită cu un număr, determinantul rămâne același — cu condiția ca linia transformată să intre cu coeficientul $1$; așa se fac zerourile care scurtează calculul.
• Determinantul unui produs de matrice este produsul determinanților, de unde rezultă că $\det (A\cdot B)=\det (B\cdot A)$ chiar dacă cele două produse sunt matrice diferite; pentru sumă nu există nicio regulă asemănătoare.

Greșeli frecvente

• Reciproca presupusă la ordinul al treilea. Din „determinantul este nul" nu urmează că două linii sunt proporționale; la ordinul al treilea legătura dintre linii poate fi mai ascunsă. Corectare: ține minte contraexemplul cu liniile $(1,2,3)$, $(4,5,6)$ și $(7,8,9)$ și folosește implicația doar în sensul în care e adevărată.
• Linia transformată înmulțită cu un număr. Transformarea $L_1\to L_1+2L_2$ păstrează determinantul, dar $L_1\to 2L_1+L_2$ îl dublează. Corectare: scrie transformarea cu coeficienți și verifică dacă în fața liniei rescrise stă $1$.
• Semnul uitat după ce ai „aranjat" matricea. Fiecare schimbare a două linii schimbă semnul; după trei mutări, valoarea este $-\det A$, nu $\det A$. Corectare: notează pe margine, cu un minus, fiecare interschimbare făcută.
• Elementele luate din matricea transformată. Transformările de linii păstrează determinantul, dar produc alt tablou. Corectare: dacă enunțul cere apoi un element, o linie sau produsul $A\cdot B$, întoarce-te la matricea din enunț.
• Necomutativitatea transmisă determinantului. Din $A\cdot B\ne B\cdot A$ nu urmează $\det (A\cdot B)\ne \det (B\cdot A)$; cele două sunt mereu egale. Corectare: amintește-ți că amândouă sunt produsul a două numere, iar numerele comută.

Aplică acasă

1. Cronometrul celor două drumuri. Scrie un determinant de ordinul al treilea cu numere de două cifre, în care o linie are un factor comun. Calculează-l de două ori, cronometrându-te: o dată direct, o dată scoțând factorul și făcând două zerouri pe prima coloană. Notează câte înmulțiri ai făcut în fiecare variantă — diferența este chiar motivul pentru care există acest capitol.

2. Determinanți nuli fără linii proporționale. Construiește cinci matrice de ordinul al treilea cu determinantul zero în care nicio pereche de linii să nu fie proporțională. Cea mai simplă rețetă: scrie două linii la întâmplare, iar pe a treia ca sumă a lor. Verifică de fiecare dată prin calcul și vei ajunge să recunoști din ochi tiparul.

3. Proba produsului, cu datele tale. Alege patru numere din viața ta (o dată, o notă, o vârstă) și formează două matrice de ordinul al doilea. Calculează $\det$ pentru fiecare, apoi produsul matricelor și determinantul lui. Repetă înmulțind matricele în ordinea inversă: vei obține alt tablou și același determinant.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, la clasa a XI-a din 2028–2029; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la XI.1 „Matrice și determinanți", care cere metodele de calcul și proprietățile fundamentale. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere explicit proprietățile determinantului de ordin cel mult $3$, folosite la Subiectul al II-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Programa acestui profil cere „proprietăți fundamentale", nu demonstrarea lor; de aceea lecția enunță fiecare regulă, o verifică pe cel puțin un exemplu numeric și insistă pe recunoașterea situației în care se aplică. Diferența de nivel față de traseul de matematică-informatică este reală și asumată: acolo proprietățile se demonstrează, iar lista e mai lungă.

Ce urmărim în caiet: înainte de primul calcul apare o privire asupra tabloului, cu o propoziție scrisă („prima linie se împarte la $3$"); numărul scos stă o singură dată înaintea barelor, iar elementele liniei coboară corespunzător; transformările de linii sunt notate cu coeficienți; exponentul din $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$ este ordinul matricei, nu altceva. Patru întrebări de pus oral: „Ce se întâmplă cu determinantul dacă înmulțești o linie cu $4$? Dar toată matricea?"; „Un determinant nul înseamnă linii proporționale?"; „De ce o regulă despre linii merge și la coloane?"; „Poate o matrice diferită să aibă același determinant?". Semn că elevul a înțeles: la un determinant cu numere mari nu începe să înmulțească, ci caută întâi un factor comun.

Întrebări frecvente

Determinantul nul înseamnă că liniile sunt proporționale? Nu întotdeauna. La ordinul al doilea, dacă nicio linie nu e nulă, afirmația este adevărată. La ordinul al treilea este falsă: determinantul matricei cu liniile $(1,2,3)$, $(4,5,6)$ și $(7,8,9)$ este zero, fără ca vreo pereche de linii să fie proporțională. Determinantul nul arată o legătură între linii, nu neapărat una vizibilă.

Pot să fac zerouri într-un determinant? Da, adunând la o linie o altă linie înmulțită cu un număr; determinantul nu se schimbă. Este cea mai folositoare proprietate la calcul, pentru că zerourile anulează produse întregi. Singura condiție este ca linia pe care o rescrii să intre cu coeficientul $1$; altfel determinantul se înmulțește cu coeficientul respectiv.

Cât este determinantul produsului a două matrice? Produsul determinanților: $\det (A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Regula funcționează la orice ordin și scurtează mult calculele, pentru că doi determinanți mici sunt mai ușor de aflat decât unul singur calculat după înmulțirea matricelor. Pentru sumă nu există nimic asemănător: $\det (A+B)$ nu se poate afla din $\det A$ și $\det B$, oricât ai încerca.

Dacă $A\cdot B\ne B\cdot A$, determinanții lor sunt diferiți? Nu, sunt mereu egali. Amândoi sunt egali cu produsul numerelor $\det A$ și $\det B$, iar înmulțirea numerelor este comutativă, chiar dacă cea a matricelor nu este. Este un bun exemplu de cât de multă informație pierde determinantul: două tablouri diferite pot avea același număr atașat.

Ce se schimbă la proprietățile determinanților între M1 și M2? La științe ale naturii se cer enunțul, recunoașterea situației și folosirea în calcul, nu demonstrațiile; programa spune „proprietăți fundamentale". Versiunea pentru mate-info (M1) a primei părți: proprietățile determinanților demonstrează fiecare proprietate și continuă cu o a doua lecție, iar acolo apar și teme care nu intră la M2.

La ce subiect apar proprietățile determinanților la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, în prima problemă, ca pas dintr-un calcul mai lung: scoaterea unui factor comun, justificarea unui determinant nul, aflarea lui $\det (\alpha A)$ sau a lui $\det (A\cdot B)$ din date. Proprietatea folosită se numește în rezolvare, ca fiecare pas să se poată urmări.

Se demonstrează proprietățile la clasa a XI-a, profil științe ale naturii? Nu. Anexa 28 cere „metode de calcul și proprietăți fundamentale", fără demonstrații, iar timpul de trei ore pe săptămână este gândit pentru aplicații. Fiecare proprietate se verifică totuși pe exemple numerice, ceea ce e suficient pentru a o reține corect și pentru a o folosi fără ezitare la examen.