Cum aflu integrala pe o bucată din interval?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Proprietățile integralei

Folosești aditivitatea față de interval: pentru $a < c < b$ , $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$ . Bucata cerută se află prin scădere. Exemplu: dacă $\int_{0}^{10} f (x) d x = 30$ și $\int_{0}^{6} f (x) d x = 18$ , atunci $\int_{6}^{10} f (x) d x = 30 - 18 = 12$ . Pe o funcție cunoscută se vede ușor: $\int_{0}^{3} x^{2} d x = 9$ este suma dintre $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ și $\int_{1}^{3} x^{2} d x = \frac{26}{3}$ . Punctul de tăiere poate fi ales oriunde în interior, iar suma rămâne aceeași.

Trei reguli spun cum se poartă $\int_{a}^{b} f (x) d x$ atunci când se schimbă funcția ori intervalul; peste tot, $f$ și $g$ sunt continue pe $[a, b]$ , cu $a < b$ , iar $α$ și $β$ sunt numere.

Liniaritatea — $\int_{a}^{b} (α f + β g) = α \int_{a}^{b} f + β \int_{a}^{b} g$ — iese derivând combinația celor două primitive și folosind de trei ori formula Leibniz-Newton. Monotonia spune că o inegalitate între funcții se păstrează între integralele lor: primitiva diferenței are derivata nenegativă, deci crește, iar concluzia rămâne nestrictă. Aditivitatea față de interval taie $[a, b]$ într-un punct interior $c$ ; valoarea $F (c)$ intră în socoteală de două ori, cu semne opuse, așa că punctul ales nu se vede în rezultat.

Enunțurile construite pe aceste reguli nu dau funcția, ci numai câteva valori ale integralelor ei — iar asta e chiar ideea, fiindcă proprietățile nu au nevoie de formule. Merită ținute minte și marginile lor: în afara integralei poate ieși doar un număr, niciodată un factor cu variabila; despre produsul a două funcții regulile tac; numele monotonie privește păstrarea ordinii, nu forma funcțiilor; iar bucăți care se suprapun nu se adună.

Pentru o constantă, $\int_{a}^{b} α d x = α (b - a)$ , iar cu limite egale rezultatul este nul.

De reținut

aditivitate: $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$ , pentru $a < c < b$
liniaritate: $\int_{a}^{b} (α f + β g) = α \int_{a}^{b} f + β \int_{a}^{b} g$
monotonie: $f \leq g$ pe $[a, b]$ implică $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$

Greșeala tipică

Din $\int_{0}^{10} f = 30$ și $\int_{0}^{6} f = 18$ se adună valorile și se obține $48$ pentru $\int_{6}^{10} f$ ; bucata cerută se află prin scădere, $30 - 18 = 12$ .

Exerciții din această mini-lecție

Se știe că $\int_{- 1}^{3} f (x) d x = 8$ . Atunci $\int_{- 1}^{3} 5 f (x) d x$ este egal cu:
- a) $13$
- b) $40$
- c) $\frac{8}{5}$
- d) $20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $40$

Liniaritatea îngăduie scoaterea unui număr în fața integralei: $\int_{- 1}^{3} 5 f (x) d x = 5 \int_{- 1}^{3} f (x) d x = 5 \cdot 8 = 40$ . Varianta a) adună factorul în loc să-l înmulțească, c) împarte, iar d) folosește lungimea intervalului, care nu are ce căuta aici: la înmulțirea cu o constantă lungimea nu intervine.
Funcția $f$ este continuă pe $[2, 9]$ și $\int_{2}^{9} f (x) d x = 10$ . Atunci $\int_{2}^{9} (f (x) + 3) d x$ este egal cu:
- a) $13$
- b) $30$
- c) $31$
- d) $37$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $31$

Din liniaritate, integrala se desface: $\int_{2}^{9} f (x) d x + \int_{2}^{9} 3 d x$ . A doua este integrala unei funcții constante pe un interval de lungime $9 - 2 = 7$ , deci $3 \cdot 7 = 21$ . Rezultatul este $10 + 21 = 31$ . Varianta a) adaugă $3$ în loc de $3 \cdot 7$ , uitând că termenul constant dă un dreptunghi, nu un număr singur.
Se știe că $\int_{0}^{11} f (x) d x = 25$ și $\int_{0}^{4} f (x) d x = 9$ . Atunci $\int_{4}^{11} f (x) d x$ este egal cu:
- a) $16$
- b) $34$
- c) $- 16$
- d) $225$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $16$

Punctul $4$ se află între $0$ și $11$ , deci aditivitatea dă $\int_{0}^{11} f = \int_{0}^{4} f + \int_{4}^{11} f$ , adică $25 = 9 + \int_{4}^{11} f$ , de unde $\int_{4}^{11} f (x) d x = 16$ . Varianta b) adună în loc să scadă, c) scade în ordine inversă, iar d) înmulțește cele două valori. Control: $9 + 16 = 25$ .

Întrebări conexe

Cum folosesc liniaritatea când știu integralele a două funcții?

Dacă $\int_{1}^{5} f = 4$ și $\int_{1}^{5} g = - 3$ , atunci $\int_{1}^{5} (3 f + 2 g) = 3 \cdot 4 + 2 \cdot (- 3) = 6$ . Un termen constant se adaugă ca dreptunghi: $\int_{1}^{5} (f - g + 2) = 4 + 3 + 2 \cdot 4 = 15$ , fiindcă intervalul are lungimea $4$ . Fiecare integrală se înmulțește cu coeficientul ei, fără să fie nevoie de formulele funcțiilor.

Ce se întâmplă dacă inversez limitele unei integrale?

Integrala își schimbă semnul, pentru că formula dă $F (a) - F (b)$ în loc de $F (b) - F (a)$ . De exemplu, $\int_{0}^{2} 3 d x = 6$ , iar $\int_{2}^{0} 3 d x = - 6$ . De aceea, într-o aditivitate, capetele se scriu în ordinea potrivită.

Cum folosesc aditivitatea la o călătorie pe etape?

Distanța totală este integrala vitezei pe tot timpul drumului, iar ea se împarte pe etape. Dacă în primele $2$ ore s-au parcurs $60$ km, iar în total $150$ km, atunci pe restul drumului s-au parcurs $150 - 60 = 90$ km, fără să știi cum a variat viteza.

Poate o funcție mai mică să aibă integrala mai mare pe același interval?

Nu. Dacă $f (x) \leq g (x)$ pe $[a, b]$ , atunci $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ . De exemplu, $x \leq x + 1$ pe $[0, 2]$ , iar integralele sunt $2$ și $4$ . Pe intervale diferite însă comparația nu mai este sigură.

De ce $\int_{- 2}^{2} x^{3} d x$ este zero?

O primitivă este $\frac{x ^{4}}{4}$ , care ia aceeași valoare, $4$ , în $- 2$ și în $2$ , deci diferența este $0$ . Geometric, porțiunea de sub axă, pe $[- 2, 0]$ , compensează exact porțiunea de deasupra, pe $[0, 2]$ .

Oamenii mai întreabă și: aditivitatea integralei față de interval · integrala pe o parte din interval · cum împart integrala în două · integrala de la a la c plus de la c la b