Liniaritate, monotonie, aditivitate la integrală (M2, științe ale naturii)

Într-un laborator, un aparat înregistrează timp de zece minute cât reactiv se consumă în fiecare minut. La sfârșit, cineva vrea cantitatea totală; altcineva vrea numai cât s-a consumat în ultimele patru minute; al treilea vrea să știe dacă în vasul de alături s-a consumat mai mult sau mai puțin, fără să calculeze nimic. Toate trei întrebările se pun despre același număr, ${\int }_a^{b}f(x)dx$, iar răspunsurile lor nu cer nici măcar o primitivă nouă: cer trei reguli despre cum se poartă integrala când aduni funcții, când le compari și când tai intervalul în bucăți. Regulile acestea se numesc, cu numele lor din programa clasei a XII-a de la științe ale naturii (M2), liniaritate, monotonie și aditivitate față de intervalul de integrare. Sunt materie de examen: în modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele de analiză matematică apar numai la Subiectul al III-lea.

Merită spus de la început unde le întâlnești. Cele trei proprietăți sunt scrise, cu exact aceste nume, atât în programa de examen din 2014 — cea după care se dă bacalaureatul M2 în sesiunile 2027, 2028 și 2029 —, cât și în programa nouă, aprobată prin OMEC 6930/2025, după care se va da proba MAT_P2 din 2030. Sunt, așadar, cerute amândurora generațiilor, cu aceleași cuvinte. Tot ce urmează se sprijină pe formula Leibniz-Newton: fiecare dintre cele trei proprietăți se obține din ea în două-trei rânduri, fără niciun instrument nou.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți cele trei proprietăți, cu condițiile lor complete, și să le recunoști într-un enunț de examen.
• Vei ști să desfaci o integrală de sumă și să scoți numerele în față, oricâți termeni ar avea integrandul.
• Vei ști să pui în ordine două integrale la care nu ai calculat nimic, pornind de la semnul diferenței dintre funcții.
• Vei ști să recuperezi integrala de pe o bucată de interval când o cunoști pe cea de pe tot intervalul și pe cea de pe cealaltă bucată.
• Vei ști să deduci fiecare proprietate din formula Leibniz-Newton, ca să nu le înveți pe de rost.
• Vei ști ce nu spun proprietățile: ce factori au voie să iasă în fața integralei și ce se întâmplă cu produsul a două funcții.

Hai să descoperim împreună

1. Ce sunt proprietățile integralei definite?

Proprietățile integralei definite sunt trei reguli care leagă numărul ${\int }_a^{b}f(x)dx$ de operațiile făcute asupra funcției și asupra intervalului: prima spune ce se întâmplă când aduni două funcții sau înmulțești una cu un număr, a doua compară integralele a două funcții care se compară punct cu punct, a treia taie intervalul de integrare în două bucăți lipite.

Iată-le, în forma în care se scriu la profilul științe ale naturii. Peste tot, $f$ și $g$ sunt funcții continue pe intervalul $[a,b]$, cu $a<b$, iar $\alpha$ și $\beta$ sunt numere reale.

Două precizări de care depinde tot restul. Întâi, condiția de continuitate nu e decorativă: la profilul științe ale naturii integrala definită se introduce pentru funcții continue, iar continuitatea e cea care garantează, prin regula de la funcțiile care admit primitive, că primitiva folosită în demonstrații chiar există. Apoi, cele trei proprietăți se enunță cu limitele în ordine crescătoare, cu numărul mic jos, fiindcă peste tot s-a cerut $a<b$. Dacă la o tăiere capetele îți ies inversate, scrierea se îndreaptă cu regula ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$, obținută la formula Leibniz-Newton; în lecția de față nu ai nevoie de ea nicăieri.

2. De ce se desface integrala unei sume?

Răspunsul stă în formula Leibniz-Newton și în modul cum se derivează o sumă. Fie $F$ o primitivă a lui $f$ și $G$ o primitivă a lui $g$ pe $[a,b]$; amândouă există, pentru că $f$ și $g$ sunt continue. Derivăm funcția $\alpha F+\beta G$, folosind regulile de derivare din clasa a XI-a:

$$(\alpha F(x)+\beta G(x){)}^{\prime }=\alpha F^{\prime }(x)+\beta G^{\prime }(x)=\alpha f(x)+\beta g(x).$$

Prin urmare $\alpha F+\beta G$ este o primitivă a funcției $\alpha f+\beta g$, iar formula Leibniz-Newton, aplicată de trei ori, încheie socoteala:

$${\int }_a^b(\alpha f+\beta g)=(\alpha F+\beta G)(b)-(\alpha F+\beta G)(a)=\alpha (F(b)-F(a))+\beta (G(b)-G(a)).$$

Ultima paranteză e chiar ${\int }_a^{b}g$, iar cea dinaintea ei chiar ${\int }_a^{b}f$. Observă că liniaritatea integralei definite nu e o regulă nouă, ci aceeași liniaritate de la integrala nedefinită, trecută prin formula Leibniz-Newton; deosebirea e că acolo rezultatul era o familie de funcții, aici e un număr.

Control pe un caz concret. Fie $f,g:[0,3]\to \mathbb{R}$ date prin

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\in [0,1]\\ 1,& x\in (1,3]\end{array}\text{și}g(x)=\{\begin{array}{ll}3,& x\in [0,1]\\ 4-x,& x\in (1,3]\end{array}$$

Amândouă sunt continue (în $1$, prima ramură dă $1$ și a doua tot $1$; la a doua funcție, ambele ramuri dau $3$) și pozitive, așa că integralele lor se citesc direct ca arii de sub grafic, așa cum s-a stabilit la integrala definită ca arie: un triunghi plus un dreptunghi dau ${\int }_0^{3}f=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$, iar un dreptunghi plus un trapez dau ${\int }_0^{3}g=3+4=7$. Funcția $2f+3g$ este $2x+9$ pe $[0,1]$ și $14-3x$ pe $(1,3]$, tot pozitivă, cu aria $10+16=26$. Într-adevăr, $2\cdot \frac{5}{2}+3\cdot 7=5+21=26$.

3. Cum compari două integrale fără să le calculezi?

Aici deducerea e ceva mai frumoasă, pentru că folosește o teoremă de clasa a XI-a. Presupunem $f(x)\le g(x)$ pe $[a,b]$ și notăm $h=g-f$; funcția $h$ este continuă și $h(x)\ge 0$ peste tot. Fiind continuă pe un interval, $h$ admite o primitivă $H$. Atunci $H^{\prime }(x)=h(x)\ge 0$ pe $[a,b]$, iar regula de la monotonia unei funcții cu ajutorul derivatei spune că o funcție a cărei derivată nu ia valori negative pe un interval este crescătoare pe acel interval. Deci $H(a)\le H(b)$, adică

$${\int }_a^{b}h(x)dx=H(b)-H(a)\ge 0.$$

Mai rămâne un pas: din liniaritate, ${\int }_a^{b}h={\int }_a^{b}g-{\int }_a^{b}f$, deci diferența celor două integrale este pozitivă. Exact asta spune monotonia.

Reține drumul, nu doar concluzia: o inegalitate între funcții devine o inegalitate între integrale pentru că primitiva diferenței este crescătoare. De aici se vede și de ce e nevoie ca intervalul să fie parcurs de la stânga la dreapta: dacă ai scrie capetele invers, ai compara $H(a)$ cu $H(b)$ în ordine greșită.

Control pe un caz concret. Fie $u,v:[0,4]\to \mathbb{R}$,

$$u(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\in [0,2]\\ 3,& x\in (2,4]\end{array}\text{și}v(x)=\{\begin{array}{ll}4x+1,& x\in [0,2]\\ 9,& x\in (2,4]\end{array}$$

Ambele se racordează (în $2$ prima dă $3$ pe amândouă ramurile, a doua dă $9$). Pe $[0,2]$ avem $x+1\le 4x+1$, pentru că $0\le 3x$; pe $(2,4]$ avem $3\le 9$. Așadar $u\le v$ pe tot intervalul și, fără niciun calcul, ${\int }_0^{4}u\le {\int }_0^{4}v$. Ariile confirmă: ${\int }_0^{4}u=4+6=10$ și ${\int }_0^{4}v=10+18=28$.

4. Ce se întâmplă când tai intervalul în două?

Fie $a<c<b$ și $F$ o primitivă a lui $f$ pe $[a,b]$. Aceeași funcție $F$ este primitivă și pe $[a,c]$, și pe $[c,b]$ — sunt bucăți din același interval. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe fiecare bucată și adunăm:

$${\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f=(F(c)-F(a))+(F(b)-F(c))=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f.$$

Termenul $F(c)$ apare o dată cu plus și o dată cu minus, deci se simplifică; punctul de tăiere dispare din rezultat, oricare ar fi el. Asta e aditivitatea în raport cu intervalul de integrare, și e proprietatea care se folosește cel mai des, în două feluri: ca să compui un întreg din bucăți și ca să recuperezi o bucată din întreg, scăzând.

Tot din formula Leibniz-Newton iese o remarcă mică, dar comodă: dacă cele două capete coincid, ${\int }_a^{a}f=F(a)-F(a)=0$. Un interval fără lungime dă integrală nulă, indiferent de funcție.

Control pe un caz concret. Pe intervalul $[1,5]$, expresia $x-6$ este negativă peste tot, așa că $|x-6|=6-x$ pe tot intervalul — o singură formulă, deci o singură primitivă, $6x-\frac{x^2}{2}$. Calculăm de trei ori:

$${\int }_1^5(6-x)dx=12,{\int }_1^3(6-x)dx=8,{\int }_3^5(6-x)dx=4,$$

și într-adevăr $8+4=12$. Tăietura din $3$ n-a schimbat nimic.

5. Cum arată cele trei proprietăți într-un enunț de examen?

Cerințele construite pe cele trei proprietăți au o trăsătură comună: nu dau funcția, ci niște valori ale integralelor ei — și asta e chiar ideea, fiindcă proprietățile lucrează fără formule. Cele trei tipare de cerință sunt:

1. Se dau valorile, se cere o combinație. Scrii ${\int }_a^b(\alpha f+\beta g)$ ca $\alpha {\int }_a^{b}f+\beta {\int }_a^{b}g$ și înlocuiești numerele. Când în integrand apare și un termen constant, ține minte că ${\int }_a^b\alpha dx=\alpha (b-a)$ — un dreptunghi de înălțime $\alpha$.
2. Se cere o comparație. Nu calculezi nimic: studiezi semnul diferenței $g-f$ pe interval, iar dacă el este pozitiv, scrii direct inegalitatea dintre integrale.
3. Se dau integralele pe două intervale, se cere pe al treilea. Scrii aditivitatea pentru intervalul mare, apoi scazi. Grija de care depinde răspunsul: punctul de tăiere trebuie să fie între capete, iar cele trei intervale trebuie să se lipească, nu să se suprapună.

Aditivitatea are și o aplicație mai mare decât aceste trei tipare: ea e singurul mod în care poate fi calculată integrala unei funcții care își schimbă formula pe parcurs — funcțiile date pe ramuri și cele cu modul. Metoda completă, cu tabelul de semn, este subiectul lecției următoare, integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul.

6. Ce nu spun cele trei proprietăți?

Marginile unei reguli se învață o dată și te scutesc pe urmă de multe rezolvări pornite greșit.

• În fața integralei iese doar un număr. În ${\int }_a^b\alpha f(x)dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx$, litera $\alpha$ e o constantă. O scriere ca ${\int }_a^{b}xf(x)dx=x{\int }_a^{b}f(x)dx$ nu doar că e falsă, ci nici măcar nu are sens: membrul stâng este un număr, iar în membrul drept a rămas un $x$ liber, care nu mai înseamnă nimic după ce variabila a fost integrată.
• Despre produs și despre raport, nimic. Liniaritatea privește adunarea și înmulțirea cu un număr. Pentru integrala unui produs de două funcții există o metodă proprie, integrarea prin părți, iar pentru multe rapoarte, schimbarea de variabilă; niciuna nu se deduce din regulile de azi.
• „Monotonia" nu se referă la monotonia funcției. Numele proprietății spune că operația de integrare păstrează ordinea dintre două funcții. O funcție poate fi descrescătoare și, totuși, să aibă integrala mai mare decât una crescătoare — depinde doar de cine stă deasupra.
• Din $f\le g$ nu rezultă inegalitate strictă. Dacă cele două funcții coincid, integralele sunt egale; proprietatea garantează doar $\le$, iar concluzia „mai mic" nu se scrie fără motiv.
• Aditivitatea nu se aplică la două intervale care se suprapun. Cerința ei este ca punctul de tăiere să fie unul singur și să stea între capete, deci ca bucățile să aibă în comun numai acel punct. Dacă din enunț ai integralele pe $[0,5]$ și pe $[3,7]$, ele nu se adună și nu se scad direct, pentru că bucata $[3,5]$ ar fi numărată de două ori; în astfel de situații se caută mai întâi trei intervale care se lipesc.

Cele cinci margini de mai sus au ceva comun: toate se verifică într-o singură privire, înainte de orice calcul. Merită să-ți faci obiceiul de a te uita, de fiecare dată, la trei lucruri — ce iese în față, ce se compară cu ce și unde se taie intervalul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O combinație cu o singură funcție

Se știe că funcția $f$ este continuă pe $[2,6]$ și că ${\int }_2^{6}f(x)dx=9$. Calculează ${\int }_2^6(3f(x)+4)dx$.

Rezolvare. Din liniaritate, integrala se desface în două: ${\int }_2^{6}3f(x)dx+{\int }_2^{6}4dx$. Prima este $3\cdot 9=27$. A doua este integrala unei funcții constante pe un interval de lungime $6-2=4$, deci $4\cdot 4=16$. Rezultatul este $27+16=43$.

Exemplul 2 — O combinație cu două funcții

Funcțiile $f$ și $g$ sunt continue pe $[0,4]$, cu ${\int }_0^{4}f(x)dx=7$ și ${\int }_0^{4}g(x)dx=-2$. Calculează ${\int }_0^4(2f(x)-5g(x))dx$.

Rezolvare. $2\cdot 7-5\cdot (-2)=14+10=24$. Observă că o integrală poate fi negativă fără ca ceva să fie greșit: ea nu e o arie decât atunci când funcția este pozitivă, iar aici despre $g$ nu s-a spus așa ceva.

Exemplul 3 — O comparație făcută fără calcul

Compară ${\int }_0^3|x-8|dx$ cu ${\int }_0^3|x+2|dx$, fără a le calcula, apoi verifică prin calcul.

Rezolvare. Comparația. Pe $[0,3]$ avem $0\le x\le 3$, deci $x-8<0$, iar $x+2>0$: niciuna dintre expresiile de sub bare nu-și schimbă semnul, așa că $|x-8|=8-x$ și $|x+2|=x+2$. Diferența lor este $(8-x)-(x+2)=6-2x$, care rămâne pozitivă pe tot intervalul și se anulează abia în capătul din dreapta. Așadar a doua funcție stă peste tot sub prima, iar din monotonie ${\int }_0^3|x+2|dx\le {\int }_0^3|x-8|dx$.

Verificarea. Cu primitivele $8x-\frac{x^2}{2}$ și $\frac{x^2}{2}+2x$ obținem ${\int }_0^3(8-x)dx=\frac{39}{2}$ și ${\int }_0^3(x+2)dx=\frac{21}{2}$, iar $\frac{21}{2}\le \frac{39}{2}$. Câștigul e vizibil: comparația a cerut un rând, calculul patru.

Exemplul 4 — Recuperarea unei bucăți, într-un model din științe

Un senzor măsoară viteza cu care apa se infiltrează într-un sol, notată $f$ și exprimată în milimetri pe oră; măsurătoarea ține de la ora $1$ la ora $9$, iar $f$ este continuă și pozitivă. Se știe că ${\int }_1^{9}f(t)dt=20$ și ${\int }_4^{9}f(t)dt=12$. Câți milimetri de apă s-au infiltrat în primele trei ore ale măsurătorii?

Rezolvare. Cantitatea infiltrată pe un interval de timp este integrala vitezei de infiltrare pe acel interval, deci se cere ${\int }_1^{4}f(t)dt$. Punctul $4$ este între $1$ și $9$, așa că aditivitatea dă ${\int }_1^{9}f={\int }_1^{4}f+{\int }_4^{9}f$, adică $20={\int }_1^{4}f+12$. Rezultă ${\int }_1^{4}f(t)dt=8$, adică $8$ milimetri.

Controlul de bun-simț fizic: cele trei cantități sunt pozitive și se adună, $8+12=20$, iar cea de pe bucată e mai mică decât cea de pe tot intervalul — cum trebuie să fie, de vreme ce apa nu se poate infiltra „înapoi".

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev a rezolvat cerința „calculează ${\int }_0^2(5f(x)+xf(x))dx$, știind că ${\int }_0^{2}f(x)dx=4$" astfel: „Scot constantele în față: $5{\int }_0^{2}f+x{\int }_0^{2}f=20+4x$. Adaug constanta de integrare și obțin $20+4x+\mathcal{C}$." Găsește toate greșelile.

Rezolvare. Sunt trei, iar prima le explică pe celelalte. (1) Factorul $x$ nu este o constantă, deci nu are voie să iasă în fața integralei; liniaritatea permite asta numai pentru numere. (2) Rezultatul unei integrale definite este un număr, așa că un răspuns în care apare litera $x$ este, prin chiar forma lui, greșit. (3) Constanta $\mathcal{C}$ aparține integralei nedefinite, unde rezultatul e o familie de funcții; la integrala definită ea s-ar simplifica oricum la scăderea $F(b)-F(a)$, deci nu se scrie niciodată. Cu datele din enunț, cerința nu se poate rezolva: pentru ${\int }_0^{2}xf(x)dx$ ar trebui cunoscută funcția $f$, nu doar integrala ei. Singura parte care se poate calcula este ${\int }_0^{2}5f(x)dx=5\cdot 4=20$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcțiile continue $f,g:[0,3]\to \mathbb{R}$, despre care se știe că ${\int }_0^{3}f(x)dx=6$, ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$, ${\int }_0^{3}g(x)dx=9$ și că $f(x)\le g(x)$ pentru orice $x\in [0,3]$.

a) Calculează ${\int }_1^{3}f(x)dx$.

b) Calculează ${\int }_0^3(4f(x)-g(x))dx$.

c) Arată că ${\int }_0^3(g(x)-f(x))dx\ge 0$ și precizează ce proprietate ai folosit.

Rezolvare. a) Punctul $1$ este între $0$ și $3$, deci ${\int }_0^{3}f={\int }_0^{1}f+{\int }_1^{3}f$, adică $6=2+{\int }_1^{3}f$ și ${\int }_1^{3}f(x)dx=4$.

b) Din liniaritate, $4\cdot 6-9=24-9=15$.

c) Prin liniaritate, ${\int }_0^3(g-f)={\int }_0^{3}g-{\int }_0^{3}f=9-6=3$, iar $3\ge 0$. Concluzia se putea scrie și fără cifre: din $f\le g$ pe $[0,3]$, monotonia dă ${\int }_0^{3}f\le {\int }_0^{3}g$, deci diferența lor nu poate fi negativă.

(Cele trei cerințe folosesc, pe rând, aditivitatea, liniaritatea și monotonia — adică toate cele trei proprietăți ale rândului de programă, strânse într-o singură problemă. Ordinea lor aici e cea a rezolvării, nu cea din programă.)

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie întâi proprietatea pe care o folosești și abia apoi cifrele.

1. Se știe că ${\int }_0^{5}f(x)dx=4$. Calculează ${\int }_0^{5}5f(x)dx$.

2. Se știe că ${\int }_4^{7}f(x)dx=6$ și ${\int }_4^{7}g(x)dx=-1$. Calculează ${\int }_4^7(f(x)+2g(x))dx$.

3. Se știe că ${\int }_2^{7}f(x)dx=11$. Calculează ${\int }_2^7(f(x)+2)dx$.

4. Se știe că ${\int }_0^{8}f(x)dx=9$ și ${\int }_0^{2}f(x)dx=3$. Calculează ${\int }_2^{8}f(x)dx$.

5. Se știe că ${\int }_3^{8}f(x)dx=15$ și ${\int }_5^{8}f(x)dx=4$. Calculează ${\int }_3^{5}f(x)dx$.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Funcția $f$ este continuă pe $[0,2]$ și ${\int }_0^{2}f(x)dx=5$. Calculează ${\int }_0^2(3f(x)-1)dx$.

7. Se știe că ${\int }_2^{10}f(x)dx=20$, ${\int }_2^{5}f(x)dx=9$ și ${\int }_4^{10}f(x)dx=14$. Calculează ${\int }_4^{5}f(x)dx$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ este continuă pe $[0,6]$ și ${\int }_0^{6}f(x)dx=10$, atunci ${\int }_0^{2}f(x)dx\le 10$."

9. Se știe că ${\int }_1^{6}f(x)dx=10$. Calculează ${\int }_1^6\left(\frac{1}{2}f(x)+3\right)dx$.

10. Funcțiile $f$ și $g$ sunt continue pe $[3,6]$, iar ${\int }_3^{6}f(x)dx=5$ și ${\int }_3^{6}g(x)dx=9$. Poate avea loc $f(x)\ge g(x)$ pentru orice $x\in [3,6]$? Motivează.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Funcțiile $f$ și $g$ sunt continue pe $[0,3]$, cu ${\int }_0^{3}f(x)dx=8$ și ${\int }_0^{3}g(x)dx=5$. a) Calculează ${\int }_0^3(f(x)+g(x))dx$. b) Calculează ${\int }_0^3(2f(x)-3g(x))dx$.

12. Se știe că ${\int }_5^{7}f(x)dx=3$, ${\int }_7^{9}f(x)dx=-1$ și ${\int }_9^{10}f(x)dx=4$. Calculează ${\int }_5^{10}f(x)dx$.

13. (Problemă aplicată.) Într-un reactor se consumă două substanțe, cu ratele $f$ și $g$, măsurate în moli pe minut și pozitive pe tot intervalul. În primele zece minute s-au consumat ${\int }_0^{10}f(t)dt=8$ moli din prima și ${\int }_0^{10}g(t)dt=5$ moli din a doua. a) Câți moli s-au consumat în total? b) Dacă instalația se reglează astfel încât rata celei de-a doua substanțe să fie de trei ori mai mare, iar prima să rămână neschimbată, câți moli se consumă în total în aceleași zece minute?

14. Determină numărul real $k$ pentru care ${\int }_0^4(kf(x)+1)dx=18$, știind că ${\int }_0^{4}f(x)dx=2$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Funcția $f$ este continuă pe $[1,5]$ și se cunosc ${\int }_1^{5}f(x)dx=9$, ${\int }_1^{2}f(x)dx=2$ și ${\int }_4^{5}f(x)dx=3$. Calculează ${\int }_2^{4}f(x)dx$.

16. Funcția $f$ este continuă pe $[0,5]$ și $f(x)\ge 2$ pentru orice $x\in [0,5]$. Arată că ${\int }_0^{5}f(x)dx\ge 10$.

17. Se știe că ${\int }_0^6(2f(x)+3)dx=30$. Calculează ${\int }_0^{6}f(x)dx$.

18. (Provocare.) Funcția $f$ este continuă pe $[0,8]$ și, pentru orice număr $k\in [0,8]$, are loc ${\int }_0^{k}f(x)dx=k^2+2k$. Calculează ${\int }_3^{5}f(x)dx$.

Răspunsuri și explicații

1. Liniaritate, cu un singur factor: $5\cdot 4=20$.

2. Liniaritate cu doi termeni: $6+2\cdot (-1)=6-2=4$.

3. $11+2\cdot (7-2)=11+10=21$. Termenul constant dă un dreptunghi de înălțime $2$ și bază $5$.

4. Aditivitate cu $c=2$: $9=3+{\int }_2^{8}f$, deci ${\int }_2^{8}f(x)dx=6$.

5. Aditivitate cu $c=5$: $15={\int }_3^{5}f+4$, deci ${\int }_3^{5}f(x)dx=11$.

6. $3\cdot 5-1\cdot (2-0)=15-2=13$.

7. Intervalele $[2,5]$ și $[4,10]$ se suprapun pe $[4,5]$, deci integralele lor nu se adună și nu se scad direct; se lucrează numai cu bucăți care se lipesc. Din ${\int }_2^{10}f={\int }_2^{5}f+{\int }_5^{10}f$ obținem ${\int }_5^{10}f=20-9=11$, iar din ${\int }_4^{10}f={\int }_4^{5}f+{\int }_5^{10}f$ rezultă ${\int }_4^{5}f(x)dx=14-11=3$.

8. Fals. Din aditivitate, ${\int }_0^{6}f={\int }_0^{2}f+{\int }_2^{6}f$, iar despre al doilea termen nu se știe nimic: nicăieri nu s-a cerut ca $f$ să fie pozitivă. Valorile ${\int }_0^{2}f=15$ și ${\int }_2^{6}f=-5$ dau $15+(-5)=10$, deci satisfac ipoteza și contrazic concluzia. Afirmația ar deveni adevărată cu ipoteza în plus $f(x)\ge 0$ pe $[2,6]$, fiindcă atunci bucata scăzută nu poate fi negativă.

9. $\frac{1}{2}\cdot 10+3\cdot (6-1)=5+15=20$.

10. Nu. Dacă am avea $f(x)\ge g(x)$ pe tot intervalul, monotonia ar da ${\int }_3^{6}f\ge {\int }_3^{6}g$, adică numărul $5$ ar trebui să fie cel puțin egal cu $9$ — imposibil. Așadar ipoteza nu poate avea loc: undeva pe $[3,6]$ valorile lui $f$ coboară sub cele ale lui $g$.

11. a) $8+5=13$. b) $2\cdot 8-3\cdot 5=16-15=1$.

12. Aditivitatea se aplică de două ori, pe intervalele lipite $[5,7]$, $[7,9]$ și $[9,10]$: $3+(-1)+4=6$.

13. a) Rata totală este $f+g$, iar din liniaritate ${\int }_0^{10}(f(t)+g(t))dt=8+5=13$ moli. b) Noua rată totală este $f+3g$, deci $8+3\cdot 5=8+15=23$ de moli. Modelul are sens fizic pe tot intervalul: ratele fiind pozitive, cantitățile consumate cresc și rămân pozitive.

14. Din liniaritate, ${\int }_0^4(kf+1)=k\cdot 2+1\cdot (4-0)=2k+4$. Ecuația $2k+4=18$ dă $k=7$.

15. Intervalul $[1,5]$ se taie de două ori: $9=2+{\int }_2^{4}f+3$, deci ${\int }_2^{4}f(x)dx=4$.

16. Comparăm $f$ cu funcția constantă $2$: din $2\le f(x)$ pe $[0,5]$ și din monotonie rezultă ${\int }_0^{5}2dx\le {\int }_0^{5}f(x)dx$. Cum ${\int }_0^{5}2dx=2\cdot 5=10$, obținem ${\int }_0^{5}f(x)dx\ge 10$.

17. Din liniaritate, $2{\int }_0^{6}f+3\cdot 6=30$, adică $2{\int }_0^{6}f=12$ și ${\int }_0^{6}f(x)dx=6$.

18. Aditivitatea, scrisă pe $[0,5]$ cu punctul de tăiere $3$, dă ${\int }_0^{5}f={\int }_0^{3}f+{\int }_3^{5}f$, deci ${\int }_3^{5}f={\int }_0^{5}f-{\int }_0^{3}f$. Din ipoteză, ${\int }_0^{5}f=25+10=35$ și ${\int }_0^{3}f=9+6=15$, așadar ${\int }_3^{5}f(x)dx=35-15=20$.

De reținut

• Liniaritatea: ${\int }_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha {\int }_a^{b}f+\beta {\int }_a^{b}g$ — se obține derivând $\alpha F+\beta G$ și aplicând formula Leibniz-Newton.
• Monotonia: din $f\le g$ pe $[a,b]$ rezultă ${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$, pentru că primitiva diferenței nu are nicăieri derivata negativă, deci este crescătoare.
• Aditivitatea față de interval: pentru $a<c<b$, ${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$ — valoarea $F(c)$ se simplifică, deci punctul de tăiere nu se vede în rezultat.
• Integrala unei funcții constante este ${\int }_a^b\alpha dx=\alpha (b-a)$, iar ${\int }_a^{a}f=0$.
• În fața integralei iese numai un număr; rezultatul unei integrale definite este un număr, fără $x$ și fără $\mathcal{C}$.

Greșeli frecvente

• Scoți în față un factor care conține variabila. „${\int }_a^{b}xf(x)dx=x{\int }_a^{b}f(x)dx$" nu e o aplicare greșită a liniarității, ci o egalitate fără sens: în stânga e un număr, în dreapta o funcție. Semnul că ai greșit e chiar prezența lui $x$ în răspuns.
• Scrii $+\mathcal{C}$ la o integrală definită. Constanta aparține integralei nedefinite. La $F(b)-F(a)$ ea s-ar simplifica oricum, iar un rezultat de forma „$12+\mathcal{C}$" arată că cele două noțiuni au fost amestecate.
• Tai intervalul într-un punct care nu e între capete. Aditivitatea cere $a<c<b$. Dacă din enunț ai ${\int }_0^{3}f$ și ${\int }_0^{5}f$, intervalul care se recuperează prin scădere este $[3,5]$, nu altul; scrie mai întâi cele trei intervale una sub alta și verifică dacă se lipesc.
• Transformi $\le$ în $<$. Monotonia dă o inegalitate nestrictă. Dacă răspunsul cerut e „mai mic sau egal", scrierea cu „strict mai mic" este o afirmație mai tare decât cea pe care ai justificat-o, deci o concluzie pe care nu o susține nimic.
• Crezi că „monotonia" cere funcții monotone. Numele proprietății se referă la faptul că integrarea păstrează ordinea dintre două funcții. Nici $f$, nici $g$ nu trebuie să fie crescătoare sau descrescătoare; singura condiție este ca una dintre ele să stea, punct cu punct, deasupra celeilalte.

Aplică acasă

1. Fișa celor trei reguli. Scrie pe o jumătate de pagină, într-un tabel cu trei coloane, cele trei proprietăți: numele din programă, enunțul complet cu toate condițiile și, în coloana a treia, deducerea lor din formula Leibniz-Newton, rezumată într-un singur rând fiecare. Ține fișa lângă caiet o săptămână și acoperă coloana a treia când o recitești.

2. Colecția de valori. Inventează o funcție continuă și pozitivă, formată din trei segmente, pe intervalul $[0,6]$, desenează-i graficul pe hârtie milimetrică și află din desen integralele pe $[0,2]$, $[2,4]$ și $[4,6]$, calculând ariile trapezelor de sub fiecare segment. Verifică apoi aditivitatea adunându-le și comparând cu aria totală, apoi scrie cinci cerințe de tipul celor din lecție folosind doar aceste valori.

3. Detectorul de egalități false. Scrie cinci egalități despre integrale care par corecte, dar nu sunt: una cu un factor variabil scos în față, una cu inegalitate strictă acolo unde se cuvine „mai mic sau egal", una cu un punct de tăiere din afara intervalului, una cu $\mathcal{C}$ la o integrală definită și una la alegerea ta. Pentru fiecare, scrie într-un rând de ce e falsă și care este forma corectă.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul enunță corect cele trei proprietăți, cu condițiile lor; dacă le aplică pe valori date, fără să caute funcția; și dacă recunoaște, într-un enunț, care dintre ele este cerută. Sunt deprinderi scurte, dar ele decid cât durează o rezolvare: un exercițiu care, prin proprietăți, se face în două rânduri, poate cere zece minute dacă elevul se apucă să caute primitive.

Dificultatea reală nu este calculul, ci obișnuința cu enunțurile în care funcția nu se dă. Mulți elevi blochează la „dar cine e $f$?" și nu pornesc. Întrebarea care deblochează este mereu aceeași: „ce se dă, pe ce intervale, și ce leagă intervalele între ele?". Merită insistat și pe deosebirea dintre integrala nedefinită, unde rezultatul e o familie de funcții cu $\mathcal{C}$, și cea definită, unde rezultatul e un număr.

Un exercițiu simplu de control, care se poate face oricând: dați-i elevului trei valori de integrale pe intervale lipite și cereți-i să scrie, fără să calculeze nimic, toate integralele care se pot deduce din ele. Dacă le găsește pe toate, aditivitatea e înțeleasă; dacă scrie și integrale pe intervale care nu se lipesc, acolo e problema.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Ce are voie să iasă în fața integralei?", „De ce se simplifică punctul de tăiere la aditivitate?", „Dacă $f$ este sub $g$, ce poți spune despre integralele lor — și ce nu poți spune?", „Ce înseamnă ${\int }_a^{a}f$?". Semne că a înțeles: la o comparație nu se repede să calculeze, ci studiază semnul diferenței; la un enunț cu trei intervale desenează întâi axa și marchează capetele; și nu mai scrie niciodată $\mathcal{C}$ la o integrală definită.

Programa și examenul. Cele trei proprietăți apar identic în ambele programe. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen (cea din 2014, aprobată prin OMEN 4430/2014) conține un rând numit „Proprietăți ale integralei definite", care enumeră exact trei lucruri — liniaritatea, monotonia și aditivitatea față de intervalul pe care se integrează —, în capitolul de analiză matematică; în modelul oficial publicat pentru proba actuală, cerințele de analiză matematică apar numai la Subiectul al III-lea. Pentru generația care va da proba MAT_P2 din 2030, aceleași trei proprietăți sunt cerute de programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28), în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.4. Integrala definită. Ceea ce nu intră la profilul științe ale naturii, la niciuna dintre generații, sunt teorema de medie și inegalitățile cu integrale: ele rămân la matematică-informatică. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

De ce sunt numai trei proprietăți la profilul științe ale naturii?

Pentru că atâtea cere programa: liniaritatea, monotonia și aditivitatea față de intervalul de integrare. Celelalte proprietăți din manualele de matematică-informatică sunt enunțate pentru clasa mai largă a funcțiilor integrabile, iar aici integrala se introduce chiar pentru funcții continue, unde ele n-ar mai avea ce să lămurească. Cele trei se enunță pentru $f$ și $g$ continue pe $[a,b]$, cu $a<b$.

Cum se demonstrează liniaritatea integralei definite fără sume Riemann?

Se pornește de la primitive. Dacă $F$ este primitivă pentru $f$ și $G$ pentru $g$, atunci derivata funcției $\alpha F+\beta G$ este $\alpha f+\beta g$, deci $\alpha F+\beta G$ este o primitivă a combinației. Aplicând formula Leibniz-Newton și grupând termenii, se obține chiar egalitatea din enunț. Drumul acesta e cel firesc la profilul științe ale naturii, unde integrala se definește prin formula Leibniz-Newton.

De ce nu contează în ce punct tai intervalul?

Pentru că valoarea primitivei în punctul ales se anulează singură. Scriind ambele bucăți cu aceeași primitivă $F$, numărul $F(c)$ apare o dată cu plus, la capătul din dreapta al primei bucăți, și o dată cu minus, la capătul din stânga al celei de-a doua. Rămâne $F(b)-F(a)$, adică integrala pe tot intervalul, oricare ar fi $c$ dintre capete.

Pot compara două integrale fără să le calculez?

Da, exact asta face monotonia. Studiezi semnul diferenței celor două funcții pe intervalul dat; dacă $g-f$ este pozitivă peste tot, atunci integrala lui $f$ este cel mult egală cu integrala lui $g$. Inegalitatea obținută este nestrictă, iar reciproca nu funcționează: două integrale pot fi în ordine fără ca funcțiile să fie una sub alta.

Cele trei proprietăți se dau la mate-info (M1)?

Da, dar acolo lista e mai lungă. La matematică-informatică se cer șase proprietăți — se adaugă mărginirea funcțiilor integrabile, ereditatea și stabilitatea la modificarea valorilor într-un număr finit de puncte —, iar liniaritatea și monotonia se demonstrează cu sume Riemann, noțiune care nu există la științe ale naturii. Pentru comparație, lecția cu același nume de la proprietățile integralei definite la mate-info (M1).

La ce subiect apar proprietățile integralei la bacalaureatul M2?

În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele de analiză matematică apar numai la Subiectul al III-lea; proba are trei subiecte a câte treizeci de puncte, plus zece puncte din oficiu. Cerințele construite pe aceste proprietăți dau valorile unor integrale și cer o combinație sau o comparație. Tema se află în programa de examen din 2014 și rămâne în programa nouă, deci este materie de examen pentru ambele generații.

De ce nu se poate scoate orice factor în fața integralei?

Pentru că liniaritatea privește numai înmulțirea cu un număr. Un factor care conține variabila de integrare face parte din integrand și nu poate fi scos: dacă ar ieși, ar rămâne liber în afara integralei, unde variabila nu mai are nicio valoare. Integralele de forma ${\int }_a^{b}xf(x)dx$ se calculează cu metode proprii, studiate în lecțiile următoare ale unității.

Ce se întâmplă dacă cele două capete ale integralei sunt egale?

Integrala este nulă, oricare ar fi funcția: din formula Leibniz-Newton, ${\int }_a^{a}f(x)dx=F(a)-F(a)=0$. Interpretarea e simplă — un interval de lungime zero nu adună nimic. Situația apare rar ca cerință de sine stătătoare, dar e utilă ca verificare: dacă într-un exercițiu cele două capete ies egale, răspunsul este $0$, fără alt calcul.