Proprietatea logaritmului produsului este:

$$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$$ (pentru $$x,y>0$$)

$$\log_a(xy)=\log_ax\cdot\log_ay$$

$$\log_a(x+y)$$ se poate desface în:

nu se poate desface, nu există formulă pentru logaritmul unei sume

Acasă · Învață ușor · clasa a X-a · Proprietățile logaritmilor: produs, cât, putere

Proprietățile logaritmilor: produs, cât, putere: pe scurt

Logaritmul este un exponent, iar la înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună — de aici cele trei proprietăți fundamentale ale logaritmilor, care transformă înmulțirile în adunări.

Produs: $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ , pentru $x > 0$ și $y > 0$ . Cât: $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ , cu cazul particular $lo g_{a} \frac{1}{y} = - lo g_{a} y$ . Putere: $lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$ , pentru $x > 0$ și $n$ real; de aici $lo g_{a} n x = \frac{1}{n} lo g_{a} x$ .

Nu există nicio formulă pentru $lo g_{a} (x + y)$ — suma din interiorul logaritmului nu se desface niciodată; se verifică ușor numeric: $lo g_{2} (8 + 8) = 4$ , nu $lo g_{2} 8 + lo g_{2} 8 = 6$ .

Pentru $x$ care poate fi negativ, forma corectă a proprietății puterii pentru exponent par este $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$ — modulul nu se uită. Aceste proprietăți permit descompunerea unei expresii complicate în sume și diferențe de logaritmi simpli, sau restrângerea unei sume de logaritmi într-unul singur, și stau la baza calculelor cu o singură valoare memorată (de exemplu $l g 2 \approx 0, 3010$ ). Greșeli frecvente: „desfacerea” logaritmului unei sume, aplicarea proprietății produsului fără verificarea semnului fiecărui factor, și mutarea greșită a coeficientului la restrângere ( $3 lo g_{2} x = lo g_{2} x^{3}$ , nu $lo g_{2} 3 x$ ).

Exerciții din această mini-lecție

Proprietatea logaritmului produsului este:
- a) $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ (pentru $x, y > 0$ )
- b) $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
- c) $lo g_{a} (x y) = (lo g_{a} x) (lo g_{a} y)$
- d) $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x \cdot lo g_{a} y$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ (pentru $x, y > 0$ )

Logaritmul produsului este suma logaritmilor factorilor, cu condiția ca ambii factori să fie strict pozitivi.
Proprietatea logaritmului puterii este:
- a) $lo g_{a} x^{n} = (lo g_{a} x)^{n}$
- b) $lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$ (pentru $x > 0$ )
- c) $lo g_{a} x^{n} = n + lo g_{a} x$
- d) $lo g_{a} x^{n} = lo g_{a} (n x)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$ (pentru $x > 0$ )

Exponentul coboară ca factor înmulțit cu logaritmul bazei rămase — cea mai folosită dintre cele trei proprietăți.
$lo g_{a} (x + y)$ se poate desface în:
- a) $lo g_{a} x + lo g_{a} y$
- b) $lo g_{a} x \cdot lo g_{a} y$
- c) nu se poate desface, nu există formulă pentru logaritmul unei sume
- d) $lo g_{a} x - lo g_{a} y$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nu se poate desface, nu există formulă pentru logaritmul unei sume

Nu există nicio formulă pentru logaritmul unei sume — verificare: $lo g_{2} (8 + 8) = lo g_{2} 16 = 4 \neq = lo g_{2} 8 + lo g_{2} 8 = 6$ .

Proprietățile logaritmilor: produs, cât, putere: pe scurt

Exerciții din această mini-lecție

Continuă cu