Proprietățile puterilor cu exponent rațional

Dacă ai ținut vreodată în mână un aparat foto cu inel de diafragmă, ai văzut pe el un șir de numere ciudat: $1,4$; $2$; $2,8$; $4$; $5,6$; $8$; $11$; $16$. La prima vedere par alese la întâmplare. Nu sunt: fiecare este, cu aproximație, precedentul înmulțit cu $\sqrt{2}$. Într-adevăr, $2^{1/2}\approx 1,414$, $2^{2/2}=2$, $2^{3/2}\approx 2,828$, $2^{4/2}=4$, $2^{5/2}\approx 5,657$, $2^{6/2}=8$, $2^{7/2}\approx 11,314$, $2^{8/2}=16$. Întregul șir este, de fapt, șirul puterilor lui $2$ cu exponenți raționali de forma $\frac{k}{2}$. Motivul fizic e simplu: la fiecare pas se înjumătățește cantitatea de lumină, iar lumina depinde de pătratul deschiderii.

Ca să lucrezi cu asemenea șiruri fără să te împiedici la fiecare pas, ai nevoie de reguli de calcul. În lecția anterioară, despre puteri cu exponent rațional, am construit definiția $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$ pornind tocmai de la dorința ca regulile vechi să se păstreze. Acum e momentul să verificăm că dorința s-a împlinit: vom demonstra, una câte una, că toate proprietățile puterilor cu exponent întreg rămân adevărate și pentru exponenți raționali. Odată demonstrate, ele devin unealta cu care simplifici expresii care, în limbajul radicalilor, ar fi de nedescurcat.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți cele cinci proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, cu tot cu condițiile asupra bazelor.
• Vei ști să demonstrezi aceste proprietăți, pornind de la definiție și de la proprietățile radicalilor.
• Vei ști să aduci mai multe puteri la o bază comună și să simplifici expresii care par complicate.
• Vei ști să înmulțești și să împarți radicali de ordine diferite, transformându-i în puteri.
• Vei ști să compari două numere de tipul $\sqrt[3]{2}$ și $\sqrt[4]{3}$, aducându-le la același ordin.
• Vei ști să raționalizezi numitori cu radicali de ordin superior, folosind exponenți raționali.

Hai să descoperim împreună

1. De ce avem nevoie de reguli noi

Să încercăm să calculăm $\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt{2}$ cu mijloacele clasei a IX-a. Metoda era: aducem radicalii la același ordin. Ordinul comun este $6$, deci $\sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{2^2}=\sqrt[6]{4}$ și $\sqrt{2}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}$, iar produsul este $\sqrt[6]{32}$. Funcționează, dar e greoi — și devine repede imposibil când apar trei sau patru radicali de ordine diferite.

Cu exponenți raționali, același calcul are un singur rând:

$$\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt{2}=2^{1/3}\cdot 2^{1/2}=2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}=2^{5/6}=\sqrt[6]{2^5}=\sqrt[6]{32}.$$

Toată dificultatea s-a redus la o adunare de fracții. Dar am folosit, fără să demonstrăm, regula $a^r\cdot a^s=a^{r+s}$ pentru exponenți raționali. Ea a fost motivul pentru care am construit definiția așa cum am construit-o, însă motivul nu ține loc de demonstrație. Să o facem.

2. Produsul și câtul puterilor cu aceeași bază

Teoremă (P1 și P2). Fie $a>0$ și $r,s\in \mathbb{Q}$. Atunci

$$a^r\cdot a^s=a^{r+s}\text{și}\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}.$$

Demonstrație. Orice două numere raționale se pot scrie cu același numitor: $r=\frac{m}{n}$ și $s=\frac{p}{n}$, cu $m,p\in \mathbb{Z}$ și $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Aplicăm definiția și proprietatea radicalilor $\sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{xy}$, valabilă pentru $x,y>0$:

$$a^r\cdot a^s=\sqrt[n]{a^m}\cdot \sqrt[n]{a^p}=\sqrt[n]{a^m\cdot a^p}=\sqrt[n]{a^{m+p}}=a^{\frac{m+p}{n}}=a^{r+s}.$$

La pasul al treilea am folosit regula produsului pentru exponenți întregi, care este deja cunoscută. Pentru cât, raționamentul este identic, cu $\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}=\sqrt[n]{\frac{x}{y}}$:

$$\frac{a^r}{a^s}=\frac{\sqrt[n]{a^m}}{\sqrt[n]{a^p}}=\sqrt[n]{\frac{a^m}{a^p}}=\sqrt[n]{a^{m-p}}=a^{\frac{m-p}{n}}=a^{r-s}.■$$

Observă că demonstrația nu are nevoie de niciun artificiu: toată munca grea a fost făcută în lecția anterioară, când am arătat că definiția nu depinde de scrierea fracției. Tocmai acel rezultat ne dă dreptul să aducem $r$ și $s$ la numitor comun fără să schimbăm valorile puterilor.

3. Puterea unei puteri

Teoremă (P3). Fie $a>0$ și $r,s\in \mathbb{Q}$. Atunci ${\left(a^r\right)}^s=a^{rs}$.

Demonstrație. Scriem $r=\frac{m}{n}$ și $s=\frac{p}{q}$, cu $m,p\in \mathbb{Z}$ și $n,q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Notăm $x={\left(a^r\right)}^s$ și $y=a^{rs}=a^{\frac{mp}{nq}}$. Ambele sunt strict pozitive, fiind puteri ale unei baze pozitive.

Ridicăm ambele numere la puterea $nq$, folosind doar reguli pentru exponenți întregi:

$$x^{nq}={\left({\left({\left(a^{m/n}\right)}^{p/q}\right)}^q\right)}^n={\left({\left(a^{m/n}\right)}^p\right)}^n={\left({\left(a^{m/n}\right)}^n\right)}^p={\left(a^m\right)}^p=a^{mp},$$

unde am folosit succesiv definiția radicalului de ordin $q$, comutativitatea exponenților întregi și faptul că ${\left(a^{m/n}\right)}^n=a^m$. Pe de altă parte,

$$y^{nq}={\left(a^{\frac{mp}{nq}}\right)}^{nq}=a^{mp}.$$

Așadar $x^{nq}=y^{nq}$, cu $x>0$ și $y>0$. Cum funcția $t\mapsto t^{nq}$ este strict crescătoare, deci injectivă, pe intervalul $(0,\infty )$, rezultă $x=y$. $■$

Această proprietate este cea mai des folosită la Bacalaureatul M1, pentru că ea permite „desfacerea" oricărei expresii cu radicali imbricați. De exemplu, $\sqrt[3]{\sqrt[4]{x}}={\left(x^{1/4}\right)}^{1/3}=x^{1/12}$: radicalii imbricați se contopesc într-unul singur, de ordin egal cu produsul ordinelor.

4. Puterea unui produs și puterea unui cât

Teoremă (P4 și P5). Fie $a>0$, $b>0$ și $r\in \mathbb{Q}$. Atunci

$$(ab{)}^r=a^r\cdot b^r\text{și}{\left(\frac{a}{b}\right)}^r=\frac{a^r}{b^r}.$$

Demonstrație. Fie $r=\frac{m}{n}$, cu $m\in \mathbb{Z}$ și $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Folosim definiția, apoi proprietatea puterii unui produs pentru exponenți întregi și proprietatea radicalului dintr-un produs:

$$(ab{)}^{m/n}=\sqrt[n]{(ab{)}^m}=\sqrt[n]{a^m{b}^m}=\sqrt[n]{a^m}\cdot \sqrt[n]{b^m}=a^{m/n}\cdot b^{m/n}.$$

Pentru cât, înlocuim produsul cu raportul și folosim $\sqrt[n]{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$, valabilă pentru $x>0$, $y>0$. $■$

Un caz particular pe care îl vei folosi zilnic: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-r}={\left(\frac{b}{a}\right)}^r$. Se obține combinând P5 cu regula exponentului negativ și scutește de calcule cu fracții etajate.

Atenție la o cursă frecventă. Proprietățile P4 și P5 vorbesc despre produs și cât, niciodată despre sumă sau diferență. Nu există nicio regulă de tipul $(a+b{)}^r=a^r+b^r$. Contraexemplu imediat: $(9+16{)}^{1/2}=\sqrt{25}=5$, în timp ce $9^{1/2}+16^{1/2}=3+4=7$. Cele două rezultate diferă, deci „regula" e falsă.

5. Tabloul complet, cu toate condițiile

Iată, strâns într-un singur loc, tot ce ai de reținut. Peste tot: $a>0$, $b>0$, $r,s\in \mathbb{Q}$.

Condițiile nu sunt decorative. Dacă bazele nu sunt strict pozitive, toate cele cinci proprietăți pot să cadă — ai văzut în lecția anterioară ce se întâmplă cu $(-8{)}^{1/3}$. De aceea, la orice exercițiu cu litere, primul rând scris pe foaie trebuie să fie condiția: „fie $a>0$".

6. Rețeta practică: adu totul la o bază comună

Aproape orice expresie numerică din acest capitol se rezolvă cu același algoritm în trei pași:

1. Descompune fiecare bază în factori primi și scrie-o ca putere a unui număr prim mic: $4=2^2$, $8=2^3$, $16=2^4$, $27=3^3$, $32=2^5$, $81=3^4$.
2. Aplică P3 ca să obții un singur exponent pentru fiecare factor: $8^{1/9}={\left(2^3\right)}^{1/9}=2^{1/3}$.
3. Adună și scade exponenții cu P1 și P2.

Să vedem rețeta la lucru pe expresia $E=\frac{2^{2/3}\cdot 4^{1/6}}{8^{1/9}}$:

$$E=\frac{2^{2/3}\cdot {\left(2^2\right)}^{1/6}}{{\left(2^3\right)}^{1/9}}=\frac{2^{2/3}\cdot 2^{1/3}}{2^{1/3}}=2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}=2^{2/3}=\sqrt[3]{4}.$$

Toată dificultatea a devenit o socoteală cu fracții. Este exact stilul de calcul pe care îl cere Bacalaureatul M1 la Subiectul I.

7. Radicali de ordine diferite, îmblânziți

Ultimele două aplicații pentru care merită să înveți bine acest limbaj.

Compararea radicalilor de ordine diferite. Care e mai mare, $\sqrt[3]{2}$ sau $\sqrt[4]{3}$? Scriem cu exponenți: $2^{1/3}$ și $3^{1/4}$. Aducem exponenții la numitor comun $12$:

$$2^{1/3}=2^{4/12}={\left(2^4\right)}^{1/12}=16^{1/12},3^{1/4}=3^{3/12}={\left(3^3\right)}^{1/12}=27^{1/12}.$$

Acum comparăm baze cu același exponent pozitiv: cum $16<27$, rezultă $\sqrt[3]{2}<\sqrt[4]{3}$. Metoda este generală: aduci ordinele la cel mai mic multiplu comun și compari radicandele.

Raționalizarea numitorilor cu radicali de ordin superior. Vrei să scapi de radicalul de la numitorul lui $\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$. În limbajul exponenților:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{5}}=5^{-1/3}=\frac{5^{2/3}}{5^{2/3}\cdot 5^{1/3}}=\frac{5^{2/3}}{5}=\frac{\sqrt[3]{25}}{5}.$$

Ideea: înmulțești sus și jos cu puterea care completează exponentul până la $1$. Pentru $\frac{1}{\sqrt[4]{a^3}}=a^{-3/4}$ înmulțești cu $a^{1/4}$ și obții $\frac{\sqrt[4]{a}}{a}$. Aceleași tehnici, dar cu radicali de ordinul $2$, le-ai întâlnit la radicali, proprietăți și expresii conjugate; acum ele funcționează pentru orice ordin.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Produse și câturi cu aceeași bază

Calculați: a) $7^{1/4}\cdot 7^{3/4}$; b) $\frac{3^{7/5}}{3^{2/5}}$; c) $2^{1/2}\cdot 2^{2/3}\cdot 2^{1/6}$.

Rezolvare. a) $7^{1/4}\cdot 7^{3/4}=7^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=7^1=7$.

b) $\frac{3^{7/5}}{3^{2/5}}=3^{\frac{7}{5}-\frac{2}{5}}=3^1=3$.

c) Aducem exponenții la numitorul comun $6$: $\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3+4+1}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$. Deci produsul este $2^{4/3}=2\cdot 2^{1/3}=2\sqrt[3]{2}$.

Exemplul 2 — Baze diferite, aduse la o bază comună

Calculați $E=\frac{8^{2/3}\cdot 4^{3/4}}{16^{5/8}}$.

Rezolvare. Scriem tot în baza $2$: $8=2^3$, $4=2^2$, $16=2^4$. Aplicăm P3 pe fiecare factor:

$$8^{2/3}=2^{3\cdot \frac{2}{3}}=2^2,4^{3/4}=2^{2\cdot \frac{3}{4}}=2^{3/2},16^{5/8}=2^{4\cdot \frac{5}{8}}=2^{5/2}.$$

Prin urmare

$$E=\frac{2^2\cdot 2^{3/2}}{2^{5/2}}=2^{2+\frac{3}{2}-\frac{5}{2}}=2^1=2.$$

Verificare rapidă: $8^{2/3}=4$, $4^{3/4}={\left(\sqrt[4]{4}\right)}^3={\left(\sqrt{2}\right)}^3=2\sqrt{2}\approx 2,828$, $16^{5/8}={\left(\sqrt[8]{16}\right)}^5={\left(2^{1/2}\right)}^5=4\sqrt{2}\approx 5,657$; iar $\frac{4\cdot 2,828}{5,657}\approx 2$. ✓

Exemplul 3 — Radicali imbricați

Simplificați, pentru $a>0$: a) $\sqrt[3]{\sqrt{a}}$; b) $\sqrt{a^3\sqrt[3]{a}}$; c) $\sqrt[4]{\frac{a^5}{\sqrt{a}}}$.

Rezolvare. a) $\sqrt[3]{\sqrt{a}}={\left(a^{1/2}\right)}^{1/3}=a^{1/6}=\sqrt[6]{a}$. Ordinele se înmulțesc: $2\cdot 3=6$.

b) Lucrăm dinspre interior: $a^3\cdot a^{1/3}=a^{3+\frac{1}{3}}=a^{10/3}$, apoi $\sqrt{a^{10/3}}={\left(a^{10/3}\right)}^{1/2}=a^{5/3}=a\sqrt[3]{a^2}$.

c) Întâi câtul de sub radical: $\frac{a^5}{a^{1/2}}=a^{5-\frac{1}{2}}=a^{9/2}$. Apoi radicalul de ordin $4$: ${\left(a^{9/2}\right)}^{1/4}=a^{9/8}$, adică $a\cdot \sqrt[8]{a}$.

Verificare pentru b), cu $a=8$: $\sqrt{8^3\cdot \sqrt[3]{8}}=\sqrt{512\cdot 2}=\sqrt{1024}=32$, iar $8^{5/3}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^5=2^5=32$. ✓

Exemplul 4 — Compararea unor radicali

Ordonați crescător numerele $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$ și $\sqrt[6]{20}$.

Rezolvare. Aducem toți exponenții la numitorul comun $6$:

$$\sqrt{2}=2^{1/2}=2^{3/6}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8},\sqrt[3]{3}=3^{2/6}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9},\sqrt[6]{20}=\sqrt[6]{20}.$$

Toate trei sunt acum radicali de ordinul $6$, deci se compară după radicand: $8<9<20$. Așadar

$$\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{20}.$$

Exemplul 5 — O expresie cu sumă la pătrat

Calculați $E={\left(2^{1/2}+2^{-1/2}\right)}^2$.

Rezolvare. Aplicăm formula pătratului sumei — nu o inexistentă „regulă a sumei" pentru exponenți:

$$E={\left(2^{1/2}\right)}^2+2\cdot 2^{1/2}\cdot 2^{-1/2}+{\left(2^{-1/2}\right)}^2=2+2\cdot 2^0+2^{-1}=2+2+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}.$$

La termenul din mijloc, produsul $2^{1/2}\cdot 2^{-1/2}=2^0=1$ — exponenții opuși se anulează. Rezultatul $\frac{9}{2}=4,5$ se poate verifica și numeric: $\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 1,414+0,707=2,121$, iar $2,121^2\approx 4,5$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $a>0$ și expresia $E(a)=\frac{\sqrt[3]{a^2}\cdot \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}}$. a) Arătați că $E(a)=a$ pentru orice $a>0$. b) Calculați $E(2^{10})$.

Rezolvare. a) Trecem totul la exponenți raționali:

$$E(a)=\frac{a^{2/3}\cdot a^{1/2}}{a^{1/6}}=a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}.$$

Aducem exponenții la numitorul comun $6$: $\frac{4}{6}+\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1$. Deci $E(a)=a^1=a$ pentru orice $a>0$.

b) Din punctul a), $E\left(2^{10}\right)=2^{10}=1024$.

Observație de redactare: la Bacalaureatul M1, condiția $a>0$ trebuie scrisă, nu subînțeleasă. Fără ea, expresia nu are sens (radicalii de ordin par cer bază nenegativă, iar exponenții raționali cer bază strict pozitivă).

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La exercițiile cu litere, scrie de fiecare dată condiția asupra bazei înainte de primul calcul.

1. Calculați: $5^{1/3}\cdot 5^{2/3}$, $\frac{11^{5/4}}{11^{1/4}}$, ${\left(2^{3/7}\right)}^{7/3}$.

2. Calculați: $3^{1/2}\cdot 3^{1/3}\cdot 3^{1/6}$ și $\frac{7^{5/6}}{7^{1/3}\cdot 7^{1/2}}$.

3. Scrieți ca putere a lui $2$: $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt[4]{8}$, $\frac{1}{\sqrt[5]{16}}$, $\sqrt{2\sqrt{2}}$.

4. Calculați $E=\frac{27^{2/3}\cdot 9^{1/2}}{81^{1/4}}$.

5. Simplificați, pentru $a>0$: $\sqrt{\sqrt[3]{a}}$, $\sqrt[3]{a\sqrt{a}}$, $\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[8]{a}}$.

6. Calculați $\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[6]{2}\cdot \sqrt{2}$ și scrieți rezultatul atât ca putere, cât și ca radical.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $a,b>0$ și orice $r\in \mathbb{Q}$ avem $(a+b{)}^r=a^r+b^r$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $a>0$ și orice $r,s\in \mathbb{Q}$ avem ${\left(a^r\right)}^s={\left(a^s\right)}^r$."

9. Comparați $\sqrt{2}$ și $\sqrt[3]{3}$, aducându-le la același ordin.

10. Comparați $\sqrt[3]{5}$ și $\sqrt[4]{11}$.

11. Raționalizați numitorii: $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$, $\frac{3}{\sqrt[4]{27}}$, $\frac{5}{\sqrt[3]{25}}$.

12. Calculați ${\left(3^{1/2}-3^{-1/2}\right)}^2$.

13. (Problemă aplicată.) Inelul de diafragmă al unui aparat foto are treptele $2^{k/2}$, pentru $k=1,2,\dots ,8$. Arătați, folosind proprietățile puterilor, că trecerea peste două trepte consecutive dublează deschiderea, și calculați exact raportul dintre treapta a opta și treapta a patra.

14. Determinați numărul rațional $r$ pentru care ${\left(\sqrt[3]{a}\right)}^r=a^{4/9}$, unde $a>0$, $a\ne 1$.

15. Simplificați, pentru $x>0$: $E=\frac{x^{1/2}\cdot x^{1/3}}{x^{1/6}}\cdot \frac{1}{x^{2/3}}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $a>0$ și $E(a)=\left(\sqrt{a}+\sqrt[3]{a}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt[3]{a}\right)$. Arătați că $E(a)=a-\sqrt[3]{a^2}$ și calculați $E(64)$.

17. Arătați că numărul $N={\left(\sqrt[4]{16}\right)}^{1/2}\cdot {\left(\sqrt[3]{8}\right)}^{3/2}$ este natural și determinați-l.

18. (Provocare.) Fie $a>1$. Demonstrați că $\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[9]{a}\cdot \sqrt[27]{a}\cdot \cdots \cdot \sqrt[3^n]{a}=a^{\frac{3^n-1}{2\cdot 3^n}}$ pentru orice $n\ge 1$ și explicați de ce produsul rămâne mereu sub $\sqrt{a}$. Ce se întâmplă cu această ultimă concluzie dacă $0<a<1$?

Răspunsuri și explicații

1. $5^{1/3}\cdot 5^{2/3}=5^1=5$; $\frac{11^{5/4}}{11^{1/4}}=11^{4/4}=11$; ${\left(2^{3/7}\right)}^{7/3}=2^{\frac{3}{7}\cdot \frac{7}{3}}=2^1=2$.

2. $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$, deci primul rezultat este $3$. Pentru al doilea: $\frac{5}{6}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{5-2-3}{6}=0$, deci rezultatul este $7^0=1$.

3. $\sqrt[3]{4}={\left(2^2\right)}^{1/3}=2^{2/3}$; $\sqrt[4]{8}={\left(2^3\right)}^{1/4}=2^{3/4}$; $\frac{1}{\sqrt[5]{16}}=2^{-4/5}$; $\sqrt{2\sqrt{2}}=\sqrt{2^{3/2}}=2^{3/4}$.

4. $27^{2/3}=3^2=9$, $9^{1/2}=3$, $81^{1/4}=3$, deci $E=\frac{9\cdot 3}{3}=9$. Cu baze comune: $3^2\cdot 3^1\cdot 3^{-1}=3^2=9$.

5. $\sqrt{\sqrt[3]{a}}=a^{1/6}$; $\sqrt[3]{a\sqrt{a}}=\sqrt[3]{a^{3/2}}=a^{1/2}=\sqrt{a}$; $\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[8]{a}}=a^{\frac{3}{4}-\frac{1}{8}}=a^{5/8}$.

6. $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=1$, deci produsul este $2^1=2$. Ca radical: $\sqrt[1]{2}=2$ — un rezultat perfect întreg, deși toți factorii erau iraționali.

7. Fals. Nu există nicio regulă pentru sume. Contraexemplu: $a=9$, $b=16$, $r=\frac{1}{2}$ dau $(9+16{)}^{1/2}=5$, dar $9^{1/2}+16^{1/2}=3+4=7$.

8. Adevărat. Din P3, ${\left(a^r\right)}^s=a^{rs}$ și ${\left(a^s\right)}^r=a^{sr}$, iar înmulțirea numerelor raționale este comutativă, deci $rs=sr$. Ambele expresii sunt egale cu $a^{rs}$.

9. $\sqrt{2}=2^{3/6}=\sqrt[6]{8}$ și $\sqrt[3]{3}=3^{2/6}=\sqrt[6]{9}$. Cum $8<9$, rezultă $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$.

10. Numitor comun $12$: $\sqrt[3]{5}=5^{4/12}=\sqrt[12]{625}$ și $\sqrt[4]{11}=11^{3/12}=\sqrt[12]{1331}$. Cum $625<1331$, avem $\sqrt[3]{5}<\sqrt[4]{11}$.

11. $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{2^{2/3}}{2}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$. Apoi $\sqrt[4]{27}=3^{3/4}$, deci $\frac{3}{3^{3/4}}=3^{1/4}=\sqrt[4]{3}$. În fine, $\sqrt[3]{25}=5^{2/3}$, deci $\frac{5}{5^{2/3}}=5^{1/3}=\sqrt[3]{5}$.

12. ${\left(3^{1/2}\right)}^2-2\cdot 3^{1/2}\cdot 3^{-1/2}+{\left(3^{-1/2}\right)}^2=3-2+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$.

13. Raportul dintre treapta $k+2$ și treapta $k$ este $\frac{2^{(k+2)/2}}{2^{k/2}}=2^{\frac{k+2-k}{2}}=2^1=2$, deci deschiderea se dublează la fiecare două trepte, indiferent de $k$. Raportul cerut: $\frac{2^{8/2}}{2^{4/2}}=2^{4-2}=4$.

14. ${\left(a^{1/3}\right)}^r=a^{r/3}$, deci $\frac{r}{3}=\frac{4}{9}$, de unde $r=\frac{4}{3}$. (Egalarea exponenților e permisă pentru că $a\ne 1$; pentru $a=1$ ambii membri ar fi $1$, oricare ar fi $r$.)

15. Exponentul total este $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{2}{3}=\frac{3+2-1-4}{6}=0$, deci $E=x^0=1$ pentru orice $x>0$.

16. Este diferența de pătrate: $E(a)={\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt[3]{a}\right)}^2=a-a^{2/3}=a-\sqrt[3]{a^2}$. Pentru $a=64$: $64-64^{2/3}=64-16=48$.

17. ${\left(\sqrt[4]{16}\right)}^{1/2}=2^{1/2}$ și ${\left(\sqrt[3]{8}\right)}^{3/2}=2^{3/2}$, deci $N=2^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}=2^2=4\in \mathbb{N}$.

18. Exponentul produsului este $\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{3^n}$, o sumă de progresie geometrică cu rația $\frac{1}{3}$, egală cu $\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)=\frac{3^n-1}{2\cdot 3^n}$. Cum $\frac{3^n-1}{2\cdot 3^n}<\frac{1}{2}$ pentru orice $n$, exponentul rămâne mereu sub $\frac{1}{2}$; pentru $a>1$ un exponent mai mic dă o putere mai mică, deci produsul rămâne sub $\sqrt{a}$, apropiindu-se oricât de mult de el pe măsură ce $n$ crește. Pentru $0<a<1$ concluzia se răstoarnă: la bază subunitară, exponentul mai mic dă o putere mai mare, deci produsul stă mereu deasupra lui $\sqrt{a}$. Verificare pe $a=\frac{1}{4}$ și $n=2$: exponentul este $\frac{4}{9}$, iar ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{4/9}\approx 0,5400>0,5=\sqrt{a}$. Regula generală a monotoniei în exponent o vei fixa în lecția despre puteri cu exponent real: regulile de calcul.

De reținut

• Toate cele cinci reguli ale puterilor cu exponent întreg rămân valabile pentru exponenți raționali, cu condiția ca bazele să fie strict pozitive: $a^r{a}^s=a^{r+s}$, $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$, ${\left(a^r\right)}^s=a^{rs}$, $(ab{)}^r=a^r{b}^r$, ${\left(\frac{a}{b}\right)}^r=\frac{a^r}{b^r}$.
• Nu există reguli pentru sume: $(a+b{)}^r\ne a^r+b^r$. La sume folosești formulele de calcul prescurtat, nu proprietățile puterilor.
• Radicalii imbricați se contopesc: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=a^{\frac{1}{mn}}$ — ordinele se înmulțesc.
• Rețeta de calcul numeric: descompune bazele în factori primi, aplică P3 ca să obții o singură bază, apoi adună și scade exponenții.
• Compararea radicalilor de ordine diferite: aduci exponenții la numitor comun, obții același ordin și compari radicandele. Așa afli, de exemplu, că $\sqrt[3]{2}<\sqrt[4]{3}$.

Greșeli frecvente

• Înmulțirea exponenților în loc de adunare: „$a^{1/2}\cdot a^{1/3}=a^{1/6}$". La produs exponenții se adună: $a^{1/2}\cdot a^{1/3}=a^{5/6}$. Înmulțirea exponenților apare doar la putere de putere.
• Aplicarea proprietăților la sume: „$\sqrt{a^2+b^2}=a+b$". Fals; verifică pe $a=3$, $b=4$: stânga dă $5$, dreapta $7$.
• Uitarea condiției asupra bazei. La un exercițiu cu litere, fără $a>0$ scris pe foaie, baremul de Bacalaureat M1 taie puncte chiar dacă restul calculului e impecabil.
• Confuzia ${\left(a^r\right)}^s$ cu $a^{r^s}$. Prima este $a^{rs}$; a doua, cu exponent etajat, este cu totul altceva. Scrie parantezele clar.
• Simplificarea „pe diagonală" a exponenților: „$\frac{a^{2/3}}{a^{1/2}}=a^{\frac{2/3}{1/2}}$". La cât exponenții se scad: $a^{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}=a^{1/6}$.

Aplică acasă

1. Inelul de diafragmă. Deschide aplicația de fotografie a telefonului în modul manual (sau caută pe internet „scara diafragmelor") și notează treptele. Verifică cu calculatorul că raportul dintre două trepte consecutive este aproximativ $1,41$ și explică-i cuiva din familie de ce, la fiecare a doua treaptă, cantitatea de lumină se înjumătățește.

2. Turnul de radicali. Calculează cu telefonul valorile $2^{1/2}$, $2^{3/4}$, $2^{7/8}$, $2^{15/16}$ — adică turnurile de radicali din lecția anterioară — și observă cum se apropie de $2$. Scrie exponenții ca fracții și verifică regula pe care o urmează.

3. Scara muzicală. Pe un pian, un ton mai înalt cu o octavă are frecvența dublă, iar octava e împărțită în $12$ semitonuri egale ca raport. Deci un semiton înmulțește frecvența cu $2^{1/12}$. Calculează cu ce factor crește frecvența peste $7$ semitonuri (o cvintă) și compară rezultatul cu $\frac{3}{2}$ — vei vedea de ce acordajul temperat este doar o aproximare foarte bună a armoniei naturale.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă definiția din lecția anterioară într-un instrument de lucru. Este momentul în care elevul câștigă o abilitate pe care o va folosi până la finalul liceului: manipularea corectă a expresiilor cu radicali de ordine diferite. Fără ea, ecuațiile exponențiale și logaritmice din lecțiile următoare devin inaccesibile.

Ce verifică lecția: (1) elevul enunță cele cinci proprietăți cu tot cu condițiile asupra bazelor; (2) știe să demonstreze cel puțin proprietatea produsului, prin aducerea exponenților la numitor comun; (3) aplică fluent rețeta „descompune baza — aplică P3 — adună exponenții"; (4) nu inventează reguli pentru sume. Întrebări bune de control: „Ce se întâmplă cu exponenții la produs, dar la putere de putere?", „De ce trebuie ca baza să fie pozitivă în toate cele cinci reguli?", „Cum compari $\sqrt[3]{2}$ cu $\sqrt[4]{3}$ fără calculator?".

Semne că elevul a înțeles: calculează $\frac{8^{2/3}\cdot 4^{3/4}}{16^{5/8}}$ fără ezitare, trecând totul în baza $2$; sesizează imediat că $(a+b{)}^{1/2}\ne a^{1/2}+b^{1/2}$ și oferă singur un contraexemplu. La Bacalaureat M1, exercițiile de acest tip apar constant la Subiectul I, formulate de obicei ca „arătați că numărul $N$ este natural". Lecția următoare, despre puteri cu exponent irațional, face pasul de la exponenți raționali la exponenți reali oarecare.

Întrebări frecvente

Care sunt proprietățile puterilor cu exponent rațional? Sunt cinci, aceleași ca la exponenți întregi, valabile pentru baze strict pozitive: produsul puterilor cu aceeași bază ($a^r{a}^s=a^{r+s}$), câtul lor ($a^r:a^s=a^{r-s}$), puterea unei puteri (${\left(a^r\right)}^s=a^{rs}$), puterea unui produs ($(ab{)}^r=a^r{b}^r$) și puterea unui cât (${\left(\frac{a}{b}\right)}^r=\frac{a^r}{b^r}$).

Cum înmulțesc doi radicali de ordine diferite? Îi transformi în puteri cu exponent rațional și aduni exponenții. De exemplu $\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt{2}=2^{1/3}\cdot 2^{1/2}=2^{5/6}=\sqrt[6]{32}$. Este mult mai rapid decât aducerea radicalilor la același ordin.

De ce nu pot aplica proprietățile puterilor la o sumă? Pentru că ele se demonstrează pornind de la proprietățile radicalilor pentru produse și câturi, care nu au corespondent pentru sume. Contraexemplul standard: $\sqrt{9+16}=5$, dar $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$.

Cum compar doi radicali de ordine diferite, fără calculator? Îi scrii ca puteri, aduci exponenții la numitor comun, apoi compari radicandele: $\sqrt[3]{2}=\sqrt[12]{16}$ și $\sqrt[4]{3}=\sqrt[12]{27}$, deci $\sqrt[3]{2}<\sqrt[4]{3}$, pentru că $16<27$.

Ce se întâmplă cu radicalii imbricați? Se contopesc într-un singur radical, al cărui ordin este produsul ordinelor: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=a^{\frac{1}{mn}}=\sqrt[mn]{a}$. De exemplu $\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[6]{a}$.

Cum raționalizez un numitor cu radical de ordinul trei? Înmulțești fracția, sus și jos, cu puterea care completează exponentul numitorului până la $1$. Pentru $\frac{1}{\sqrt[3]{5}}=5^{-1/3}$, înmulțești cu $5^{2/3}$ și obții $\frac{\sqrt[3]{25}}{5}$.

Trebuie neapărat să scriu condiția „$a>0$" la exerciții? Da. Fără ea, expresiile cu exponenți raționali neîntregi nu au sens, iar baremele de Bacalaureat M1 acordă punctaj separat pentru precizarea condițiilor. Este primul rând pe care îl scrii pe foaie, înainte de orice calcul.

De ce demonstrăm aceste proprietăți, dacă le știam deja de la exponenți întregi? Pentru că le știam doar pentru exponenți întregi. O regulă demonstrată într-un caz nu se extinde automat la altul — chiar în acest capitol ai văzut că extinderea la baze negative eșuează. Demonstrațiile arată exact ce ipoteze sunt necesare, și de aceea știm unde se pot aplica regulile în siguranță.