Pentru funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=3x^4+8x^3+6$$, natura punctelor critice $$-2$$ și $$0$$ este:

$$-2$$ punct de minim local, $$0$$ punct critic fără să fie de extrem

$$-2$$ punct de maxim local, $$0$$ punct de minim local

amândouă puncte de minim local

$$-2$$ punct critic fără să fie de extrem, $$0$$ punct de minim local

Ce spune criteriul derivatei întâi?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Puncte de extrem

Într-un punct critic $x_{0}$ , aflat în interiorul domeniului, derivata se anulează. Dacă $f^{'}$ trece din plus în minus, $x_{0}$ e punct de maxim local, iar din minus în plus, de minim local. Dacă semnul nu se schimbă, nu există extrem. Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ : $f^{'} (x) = 3 x (x - 2)$ , cu semnele $+$ , $-$ , $+$ . Deci $x = 0$ dă un maxim local, $f (0) = 0$ , iar $x = 2$ dă un minim local, $f (2) = - 4$ .

Programa de examen M_șt-nat numește punctele de extrem între conținuturile capitolului „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor"; la proba MAT_P2 din $2030$ cerința e scrisă ca stabilire a naturii punctelor critice cu semnul derivatei de ordinul I.

Punctul critic (staționar) stă în interiorul domeniului și anulează derivata. Îl afli rezolvând ecuația $f^{'} (x) = 0$ și ținând doar rădăcinile care cad în domeniu; un capăt nu se numără printre ele, oricât de mici ar fi valorile funcției acolo.

Criteriul derivatei întâi citește trecerile de semn ale lui $f^{'}$ : plus urmat de minus înseamnă maxim local, minus urmat de plus înseamnă minim local, iar un semn păstrat nu dă niciun extrem. O rădăcină dublă a derivatei produce exact acest al treilea caz: un pătrat nu schimbă semnul.

Răspunsul are două numere cu roluri diferite. Abscisa $x_{0}$ e punctul de extrem — spune unde; numărul $f (x_{0})$ e valoarea extremă — spune cât. Cine le amestecă răspunde la altă întrebare.

„Local" se raportează la vecinătatea punctului. Se poate întâmpla ca un maxim local să aibă valoarea mai mică decât un minim local, când cele două stau pe ramuri diferite ale graficului. Într-un model din științe, acolo unde energia potențială coboară la un minim se află o poziție de echilibru stabil, iar rezultatul se scrie cu unitatea lui și numai pe intervalul declarat.

De reținut

punct critic: $f^{'} (x_{0}) = 0$ , $x_{0}$ în interiorul domeniului
$+$ apoi $-$ : maxim local; $-$ apoi $+$ : minim local
fără schimbare de semn: nu există extrem

Greșeala tipică

Se declară extrem orice punct în care $f^{'} (x_{0}) = 0$ ; la $x^{3}$ derivata se anulează în $0$ , dar nu schimbă semnul, deci $0$ nu este punct de extrem.

Exerciții din această mini-lecție

Punctul de maxim local al funcției $f : R \to R$ , $f (x) = - x^{3} + 12 x^{2} - 36 x + 5$ , este:
- a) $2$
- b) $6$
- c) $4$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6$

$f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 24 x - 36 = - 3 (x - 2) (x - 6)$ . Coeficientul dominant fiind negativ, semnele sunt $-$ , $+$ , $-$ : în $2$ trecerea e de la minus la plus (minim), iar în $6$ de la plus la minus (maxim). Varianta a) inversează cele două naturi, c) dă abscisa punctului de inflexiune, iar d) dă valoarea $f (6) = - 216 + 432 - 216 + 5 = 5$ , adică răspunde la întrebarea „cât", nu la „unde".
Pentru funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{4} + 8 x^{3} + 6$ , natura punctelor critice $- 2$ și $0$ este:
- a) $- 2$ punct de maxim local, $0$ punct de minim local
- b) amândouă puncte de minim local
- c) $- 2$ punct critic fără să fie de extrem, $0$ punct de minim local
- d) $- 2$ punct de minim local, $0$ punct critic fără să fie de extrem
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- 2$ punct de minim local, $0$ punct critic fără să fie de extrem

$f^{'} (x) = 12 x^{3} + 24 x^{2} = 12 x^{2} (x + 2)$ . Factorul $12 x^{2}$ este nenegativ și nu schimbă semnul, deci semnul derivatei este semnul lui $x + 2$ : negativ înainte de $- 2$ , pozitiv după, indiferent de partea în care stă $0$ . Prin urmare $- 2$ este punct de minim, iar $0$ este critic fără să fie de extrem. Variantele a) și c) schimbă rolurile, iar b) presupune că fiecare zerou al derivatei dă un extrem.
Despre o funcție $f$ , derivabilă pe $R$ , se știe că $f^{'} (x) = x^{2} (x + 8)^{3}$ . Câte puncte de extrem are funcția $f$ ?
- a) $0$
- b) $3$
- c) $1$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1$

Factorul $x^{2}$ este nenegativ și nu schimbă semnul în $0$ ; factorul $(x + 8)^{3}$ , având exponent impar, își schimbă semnul în $- 8$ . Prin urmare $f^{'}$ trece de la negativ la pozitiv o singură dată, în $- 8$ , care este punct de minim. Ecuația $f^{'} (x) = 0$ are două soluții, dar numai una este punct de extrem — de aici variantele d) și b).

Întrebări conexe

Care e diferența dintre punct de minim și valoare minimă?

Primul este un $x$ , al doilea este $f (x)$ . Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ , minimul local se atinge în $x = 2$ și are mărimea $f (2) = - 4$ . Răspunsul complet le dă pe amândouă.

Poate un maxim local să fie mai mic decât un minim local?

Da. Pentru $f (x) = x + \frac{1}{x}$ , în $x = - 1$ se atinge un maxim local egal cu $- 2$ , iar în $x = 1$ un minim local egal cu $2$ . Extremele locale compară valori doar din vecinătatea punctului, nu de pe tot domeniul.

Cum aflu extremele unei funcții cu logaritm?

Ții cont de domeniu. Pentru $f (x) = x - ln x$ , cu $x > 0$ : $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ , zero în $x = 1$ . La stânga lui $1$ derivata este negativă, la dreapta pozitivă, deci funcția are în $1$ un minim egal cu $f (1) = 1$ .

Unde are extrem o funcție de gradul al doilea?

În abscisa vârfului, unde $f^{'} (x) = 2 a x + b = 0$ , adică $x = - \frac{b}{2 a}$ . Pentru $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 3$ , $f^{'} (x) = 4 x - 8$ se anulează în $2$ , iar semnul trece de la minus la plus, deci minimul este $f (2) = - 5$ .

Cum aflu înălțimea maximă a unui corp aruncat în sus cu derivata?

Dacă înălțimea este $h (t) = 20 t - 5 t^{2}$ metri, viteza este $h^{'} (t) = 20 - 10 t$ , zero la $t = 2$ s. Înainte viteza e pozitivă, după e negativă, deci corpul atinge înălțimea maximă $h (2) = 40 - 20 = 20$ m exact când viteza devine zero.

Oamenii mai întreabă și: criteriul derivatei întâi · natura punctelor critice · semnul derivatei și punctele de extrem · când este un punct critic maxim sau minim