Puncte critice și puncte de extrem (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

O bilă lăsată pe fundul unui castron rămâne acolo; aceeași bilă, așezată pe creștetul unui capac răsturnat, cade la cea mai mică atingere. Amândouă pozițiile au ceva în comun — suprafața e orizontală acolo —, dar una este un minim și cealaltă un maxim, iar deosebirea dintre ele decide tot. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), derivata întâi face exact această despărțire: îți arată mai întâi unde tangenta e orizontală, apoi îți spune, din semnul ei, dacă acolo e vale sau vârf. Este tema care se dă la Bacalaureatul M2 în prima problemă a Subiectului al III-lea.

Lecția pornește de unde s-a oprit cea despre monotonia citită din semnul derivatei: punctele în care tabelul de semn se taie primesc acum un nume și o natură. Vei învăța un singur criteriu, ușor de reținut și de scris pe hârtie, plus regula de redactare care decide dacă răspunsul e complet: punctul și valoarea sunt două numere diferite.

Ce vei învăța

Vei ști să definești punctul critic (staționar) al unei funcții și să găsești toți candidații dintr-un domeniu dat.
Vei ști să aplici criteriul derivatei întâi și să spui, din tabelul de semn, dacă un punct critic e de maxim, de minim sau niciuna dintre acestea.
Vei ști să scrii răspunsul complet, cu abscisa punctului și cu valoarea extremă, fără să le confunzi.
Vei ști să recunoști un punct critic care nu este punct de extrem și să spui de ce.
Vei ști ce înseamnă „local" și când o cerință de examen se referă, de fapt, la tot domeniul.
Vei ști să citești un maxim sau un minim într-un model din fizică, chimie sau biologie, cu unitate de măsură.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un punct critic?

Când o funcție trece de la creștere la descreștere, graficul ei are un vârf; în acel vârf tangenta se așază orizontal, iar panta ei, adică derivata, se face zero. Prima sarcină e deci să găsim punctele în care derivata se anulează.

Punctul critic (staționar) al unei funcții derivabile este un punct $x_{0}$ din interiorul domeniului, în care derivata se anulează: $f^{'} (x_{0}) = 0$ . Cuvântul „interiorul" nu e de ornament: un capăt al domeniului nu se numără printre punctele critice, chiar dacă funcția atinge acolo extremitatea de sus ori de jos a valorilor ei.

Numele de „staționar" vine din fizică și e cel mai limpede: dacă $f$ descrie poziția unui corp, $f^{'}$ este viteza, iar un punct critic este clipa în care corpul stă — se oprește înainte de a-și schimba sensul sau doar încetinește până la zero și pleacă mai departe. Ambele situații sunt posibile, și tocmai despărțirea lor e subiectul paragrafului următor.

Găsirea candidaților e deci o simplă ecuație: rezolvi $f^{'} (x) = 0$ și reții soluțiile aflate în domeniu. Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x + 3$ , avem $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24 = 6 (x - 1) (x - 4)$ , deci punctele critice sunt $1$ și $4$ .

2. Cum se hotărăște natura unui punct critic?

Ecuația $f^{'} (x) = 0$ dă candidați, nu răspunsuri. Ce decide este semnul derivatei de o parte și de alta a punctului, adică exact informația din tabelul construit în lecția precedentă.

Criteriul derivatei întâi. Fie $x_{0}$ un punct critic al funcției $f$ , derivabilă pe o vecinătate a lui. Dacă $f^{'}$ trece, la stânga lui $x_{0}$ , de la valori pozitive la valori negative în dreapta, atunci $x_{0}$ este punct de maxim local. Dacă trece de la negativ la pozitiv, atunci $x_{0}$ este punct de minim local. Dacă semnul lui $f^{'}$ rămâne același de ambele părți, $x_{0}$ nu este punct de extrem.

Justificarea e imediată din regula monotoniei: dacă funcția urcă până în $x_{0}$ și coboară după, atunci valoarea $f (x_{0})$ este cea mai mare din jur — asta înseamnă maxim local. La profilul matematică-informatică se studiază în plus teorema lui Fermat, care merge în sens invers (de la extrem la derivată nulă) și care nu este în programa de științe ale naturii; aici avem nevoie doar de criteriul de mai sus, care merge de la semn la natură și rezolvă orice cerință de examen.

Pentru funcția $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x + 3$ din paragraful 1, cu $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24$ , probele dau $f^{'} (0) = 24 > 0$ , $f^{'} (2) = - 12 < 0$ și $f^{'} (5) = 24 > 0$ :

$x$	$- \infty$		$1$		$4$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

În $1$ trecerea este de la plus la minus: punct de maxim local. În $4$ trecerea este de la minus la plus: punct de minim local.

3. De ce punctul și valoarea nu se confundă?

Răspunsul complet la o cerință despre extreme conține două numere cu roluri diferite. Abscisa $x_{0}$ se numește punct de extrem: ea spune unde se petrece. Numărul $f (x_{0})$ se numește valoare extremă: el spune cât. Pentru $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x + 3$ obținem $f (1) = 2 - 15 + 24 + 3 = 14$ și $f (4) = 128 - 240 + 96 + 3 = - 13$ , deci redactarea corectă sună așa: punctul de maxim local este $x_{0} = 1$ , iar valoarea maximă locală este $14$ ; punctul de minim local este $x_{0} = 4$ , iar valoarea minimă locală este $- 13$ .

Confuzia nu e o subtilitate de limbaj, ci un răspuns greșit: la o cerință de tipul „determinați punctele de extrem și valorile extreme" se cer amândouă. Iar în viața de laborator deosebirea e și mai concretă — dacă temperatura unei reacții e maximă la $40$ de minute și atinge $75$ de grade Celsius, „maximul" e $75$ , dar „punctul de maxim" e $40$ ; cine le amestecă dă răspunsul greșit la o întrebare simplă. Aceeași deosebire o făceai deja în clasa a IX-a la monotonia și extremul funcției de gradul al doilea, unde abscisa vârfului și valoarea din vârf erau două rezultate distincte.

4. Cum arată un punct critic care nu e de extrem?

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1$ . Derivata este $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 3 = 3 (x - 1)^{2}$ , care se anulează în $1$ și este strict pozitivă în rest. Punctul $1$ este deci critic, dar semnul derivatei nu se schimbă la trecerea prin el:

$x$	$- \infty$		$1$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$+$

Funcția urcă înainte de $1$ și urcă și după, așa că în $1$ nu are nici vârf, nici vale: tangenta e orizontală, dar graficul trece pe lângă ea și își continuă drumul. Verificarea numerică o arată direct: $f (0) = 1$ , $f (1) = 2$ , $f (2) = 3$ — valorile cresc fără oprire.

Situația aceasta apare de fiecare dată când derivata are o rădăcină dublă, pentru că un pătrat nu schimbă semnul. De aici și avertismentul de redactare: nu alterna semnele în tabel din obișnuință, ci calculează-le cu o valoare de probă pe fiecare interval. Două rădăcini ale derivatei nu înseamnă automat două extreme, iar o rădăcină nu înseamnă automat unul.

5. Ce înseamnă „local" și ce se schimbă când cerința privește tot domeniul?

Cuvântul „local" spune că judecata s-a făcut în jurul punctului, comparând $f (x_{0})$ numai cu valorile din apropiere. Nu spune nimic despre restul domeniului. La funcția $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x + 3$ din paragraful 2, valoarea maximă locală este $14$ , dar $f (10) = 2000 - 1500 + 240 + 3 = 743$ , cu mult mai mare: maximul local nu este nici pe departe cea mai mare valoare a funcției.

Uneori întâmplarea e chiar mai surprinzătoare. Pentru $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = x + \frac{9}{x}$ , derivata este $f^{'} (x) = 1 - \frac{9}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2}}$ , cu punctele critice $- 3$ și $3$ . Semnele dau maxim local în $- 3$ , cu valoarea $f (- 3) = - 6$ , și minim local în $3$ , cu valoarea $f (3) = 6$ — adică valoarea maximă locală este mai mică decât cea minimă locală. Nu e nicio eroare: cele două puncte se află pe ramuri diferite ale graficului, iar comparația dintre ele nu are niciun sens matematic.

Când cerința vrea cea mai mare valoare de pe tot domeniul, nu mai ajunge criteriul: e nevoie și de valorile de la capete sau de limitele funcției acolo. Tema aceasta are lecția ei, despre imaginea unei funcții pe un interval, iar problemele în care mărimea optimizată vine dintr-o configurație geometrică se tratează la probleme de optimizare. Aici ne oprim la natura punctelor critice, care e exact ce cere programa.

6. Ce spune un maxim într-o problemă de fizică?

Energia potențială a unui sistem mecanic, măsurată în jouli, depinde de distanța $x$ dintre două piese, exprimată în centimetri, după legea $E (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 40$ , cu $x \in [0, 8]$ . Derivata este $E^{'} (x) = 3 x^{2} - 18 x + 15 = 3 (x - 1) (x - 5)$ , cu punctele critice $1$ și $5$ .

$x$	$0$		$1$		$5$		$8$
$E^{'} (x)$	$15$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$63$

În $1$ semnul trece de la plus la minus, deci acolo e un maxim local, cu $E (1) = 47$ de jouli; în $5$ trecerea e de la minus la plus, deci un minim local, cu $E (5) = 15$ jouli. Citirea fizică e cea care contează: un minim al energiei potențiale este o poziție de echilibru stabil — bila din castron —, iar un maxim este o poziție de echilibru instabil, bila de pe capac. Sistemul nostru are deci echilibru stabil la $5$ centimetri și unul instabil la $1$ centimetru.

Derivata se exprimă aici în jouli pe centimetru și are și ea un nume fizic: cu semn schimbat, este forța care acționează asupra piesei. Faptul că ea se anulează în punctele de extrem spune exact ce se aștepta: în pozițiile de echilibru forța este nulă. Modelul e valabil doar pe intervalul măsurat, $[0, 8]$ centimetri; în afara lui formula nu mai descrie nimic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un polinom cu două extreme

Determinați punctele de extrem și valorile extreme ale funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 4$ .

Rezolvare. $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9 = 3 (x - 1) (x + 3)$ , cu punctele critice $- 3$ și $1$ . Probe: $f^{'} (- 4) = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$ , $f^{'} (0) = - 9 < 0$ , $f^{'} (2) = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$ .

$x$	$- \infty$		$- 3$		$1$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

În $- 3$ trecerea e de la plus la minus: punct de maxim local, cu valoarea $f (- 3) = - 27 + 27 + 27 + 4 = 31$ . În $1$ trecerea e de la minus la plus: punct de minim local, cu valoarea $f (1) = 1 + 3 - 9 + 4 = - 1$ .

Exemplul 2 — Trei puncte critice

Determinați punctele de extrem ale funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ .

Rezolvare. $f^{'} (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x = 12 x (x^{2} - x - 2) = 12 x (x - 2) (x + 1)$ , cu punctele critice $- 1$ , $0$ și $2$ . Probe: $f^{'} (- 2) = - 96 - 48 + 48 = - 96 < 0$ , $f^{'} (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} - 3 + 12 = \frac{15}{2} > 0$ , $f^{'} (1) = 12 - 12 - 24 = - 24 < 0$ , $f^{'} (3) = 324 - 108 - 72 = 144 > 0$ .

$x$	$- \infty$		$- 1$		$0$		$2$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Rezultă: $- 1$ punct de minim local, cu $f (- 1) = 3 + 4 - 12 + 5 = 0$ ; $0$ punct de maxim local, cu $f (0) = 5$ ; $2$ punct de minim local, cu $f (2) = 48 - 32 - 48 + 5 = - 27$ . Un polinom de gradul al patrulea poate avea până la trei puncte de extrem, pentru că derivata lui are gradul al treilea.

Exemplul 3 — O funcție rațională

Determinați punctul de extrem al funcției $f : (1, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ , și valoarea extremă.

Rezolvare. Cu regula câtului, $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}} .$ Pe domeniul $(1, + \infty)$ numitorul este strict pozitiv, iar factorul $x$ este și el pozitiv, deci semnul derivatei este semnul lui $x - 2$ : negativ pe $(1, 2)$ , pozitiv pe $(2, + \infty)$ . Punctul critic din domeniu este doar $2$ (celălalt zerou al numărătorului, $0$ , nu aparține domeniului și se aruncă).

Trecerea fiind de la minus la plus, $x_{0} = 2$ este punct de minim, cu valoarea $f (2) = \frac{4}{1} = 4$ .

Exemplul 4 — Un maxim în electricitate

O baterie cu tensiunea electromotoare de $6$ volți și rezistența interioară de $3$ ohmi alimentează un rezistor de rezistență $R$ ohmi. Puterea transmisă rezistorului, în wați, este $P (R) = \frac{36 R}{( R + 3 ) ^{2}}$ , $R \in [0, + \infty)$ — valoarea $R = 0$ fiind scurtcircuitul, în care rezistorul nu primește putere. Determinați rezistența pentru care puterea transmisă este maximă.

Rezolvare. Derivăm cu regula câtului și dăm factor comun $(R + 3)$ la numărător: $P^{'} (R) = \frac{36 ( R + 3 ) ^{2} - 36 R \cdot 2 ( R + 3 )}{( R + 3 ) ^{4}} = \frac{36 ( R + 3 ) - 72 R}{( R + 3 ) ^{3}} = \frac{108 - 36 R}{( R + 3 ) ^{3}} .$ Pe $[0, + \infty)$ numitorul este strict pozitiv, deci semnul este al lui $108 - 36 R$ : pozitiv pentru $R < 3$ , negativ pentru $R > 3$ . În capătul închis $0$ scriem valoarea derivatei, $P^{'} (0) = \frac{108}{27} = 4$ .

$R$	$0$		$3$		$+ \infty$
$P^{'} (R)$	$4$	$+$	$0$	$-$

Trecerea de la plus la minus arată că $R = 3$ ohmi este punct de maxim, iar puterea maximă este $P (3) = \frac{108}{36} = 3$ wați. Rezultatul are un nume în fizică: puterea transmisă e cea mai mare când rezistența exterioară este egală cu cea interioară a sursei. Observă și unitățile: $P^{'}$ se măsoară în wați pe ohm, iar anularea ei înseamnă că, în jurul lui $R = 3$ , o mică schimbare a rezistenței aproape că nu schimbă puterea.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev studiază $f : R \to R$ , $f (x) = - x^{3} + 3 x + 2$ , și scrie: „Avem $f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 3 = - 3 (x - 1) (x + 1)$ , cu rădăcinile $- 1$ și $1$ . Semnele unui trinom sunt plus, minus, plus, deci $- 1$ este punct de maxim și $1$ este punct de minim." Găsiți greșeala și dați răspunsul corect.

Rezolvare. Factorizarea e corectă, dar regula semnelor a fost aplicată pe dinafară. „Plus în afara rădăcinilor, minus între ele" este valabilă numai când coeficientul dominant este pozitiv; aici el este $- 3$ , deci toate semnele se inversează. Proba o arată în trei secunde: $f^{'} (- 2) = - 12 + 3 = - 9 < 0$ , $f^{'} (0) = 3 > 0$ , $f^{'} (2) = - 12 + 3 = - 9 < 0$ .

$x$	$- \infty$		$- 1$		$1$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Prin urmare $- 1$ este punct de minim local, cu valoarea $f (- 1) = 1 - 3 + 2 = 0$ , iar $1$ este punct de maxim local, cu valoarea $f (1) = - 1 + 3 + 2 = 4$ . Elevul a inversat exact cele două naturi. Reține proba: o valoare de probă pe fiecare interval costă câteva secunde și face inutilă orice regulă memorată.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} - 5 x + 1) e^{x}$ . a) Arătați că $f^{'} (x) = (x^{2} - 3 x - 4) e^{x}$ , $x \in R$ . b) Determinați punctele de extrem ale funcției $f$ . c) Arătați că $f (x) \geq - 3 e^{4}$ pentru orice $x \geq - 1$ .

Rezolvare.

a) Regula produsului dă $f^{'} (x) = (2 x - 5) e^{x} + (x^{2} - 5 x + 1) e^{x}$ . Dăm factor comun $e^{x}$ și adunăm parantezele: $2 x - 5 + x^{2} - 5 x + 1 = x^{2} - 3 x - 4$ , deci $f^{'} (x) = (x^{2} - 3 x - 4) e^{x}$ .

b) Cum $e^{x} > 0$ , semnul derivatei este semnul trinomului $x^{2} - 3 x - 4 = (x - 4) (x + 1)$ , cu rădăcinile $- 1$ și $4$ și coeficient dominant pozitiv: plus, minus, plus.

$x$	$- \infty$		$- 1$		$4$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Punctul $- 1$ este de maxim local, cu $f (- 1) = \frac{7}{e}$ , iar $4$ este de minim local, cu $f (4) = - 3 e^{4}$ .

c) Pe $[- 1, 4]$ funcția coboară, iar pe $[4, + \infty)$ urcă, deci pe toată semidreapta $[- 1, + \infty)$ cea mai mică valoare se ia în $4$ . Prin urmare $f (x) \geq f (4) = - 3 e^{4}$ pentru orice $x \geq - 1$ .

De la examen la lecție. Tiparul e cel din modelul oficial al probei M_șt-nat pentru 2026: acolo prima problemă a Subiectului al III-lea pornește tot de la o funcție de forma $e^{x}$ înmulțit cu un trinom, cere la a) verificarea derivatei, iar la c) o inegalitate care se demonstrează prin extrem — se află punctul în care derivata își schimbă semnul și se compară cu el toate celelalte valori. Dacă reții un singur lucru din acest exemplu, reține că inegalitățile de la Subiectul al III-lea se rezolvă cu tabelul de semn, nu cu calcule directe.

Să exersăm

Ordinea de redactare: derivata factorizată, punctele critice din domeniu, tabelul de semn, natura fiecărui punct și valorile extreme.

1. Determină punctul de extrem și valoarea extremă ale funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 14 x + 8$ .

2. Determină punctele de extrem și valorile extreme ale funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 1$ .

3. Determină punctele de extrem ale funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 5$ .

4. Determină punctele de extrem ale funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 5$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă derivata unei funcții nu se anulează în niciun punct al unui interval deschis, atunci funcția nu are niciun punct de extrem pe acel interval."

6. Determină punctul de extrem al funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 8 ln x - x^{2}$ , și valoarea extremă.

7. Determină punctele de extrem ale funcției $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x}$ .

8. Determină punctele critice ale funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 10$ , și precizează care dintre ele sunt puncte de extrem.

9. Determină punctele de extrem și valorile extreme ale funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 63 x$ .

10. Determină numărul real $a$ pentru care funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x^{2} + a x + ln x$ , are un punct critic în $x_{0} = 1$ , apoi precizează natura acestui punct.

11. (Problemă aplicată.) Într-o reacție în două etape, concentrația produsului intermediar, în milimoli pe litru, la $t$ ore de la amestecare, este $b (t) = 27 t - t^{3}$ , $t \in [0, 4]$ . Determină momentul în care concentrația este maximă și valoarea maximă, precizând unitățile de măsură.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 5$ . a) Arată că $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 18 x + 24$ , $x \in R$ . b) Determină punctele de extrem ale funcției $f$ și valorile extreme.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x - 3)^{2} e^{x}$ . a) Arată că $f^{'} (x) = (x^{2} - 4 x + 3) e^{x}$ , $x \in R$ . b) Determină punctele de extrem ale funcției $f$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 1$ . Arată că funcția $f$ are un punct de maxim local și un punct de minim local și calculează valorile extreme.

15. Arată că funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{5}$ , are un punct critic care nu este punct de extrem.

16. Arată că funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 5$ , are un singur punct de extrem și determină-i natura.

17. Explică, în trei-patru rânduri, diferența dintre „punctul de minim" și „valoarea minimă", folosind funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 4 x - 6$ .

18. (Provocare.) Determină numerele reale $m$ pentru care funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + m x + 1$ , are două puncte de extrem, apoi arată că suma absciselor acestora nu depinde de $m$ .

Răspunsuri și explicații

1. $f^{'} (x) = 2 x - 14$ , cu punctul critic $7$ ; semnul trece de la minus la plus. Punctul de minim este $x_{0} = 7$ , iar valoarea minimă este $f (7) = 49 - 98 + 8 = - 41$ .

2. $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 12 x - 15 = 3 (x + 5) (x - 1)$ , cu punctele critice $- 5$ și $1$ ; semnele sunt plus, minus, plus. Punct de maxim local $- 5$ , cu $f (- 5) = - 125 + 150 + 75 + 1 = 101$ ; punct de minim local $1$ , cu $f (1) = 1 + 6 - 15 + 1 = - 7$ .

3. $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 42 x + 36 = 6 (x - 1) (x - 6)$ . Coeficientul dominant fiind pozitiv, semnele sunt plus, minus, plus: proba $f^{'} (0) = 36 > 0$ , $f^{'} (2) = 24 - 84 + 36 = - 24 < 0$ , $f^{'} (7) = 294 - 294 + 36 = 36 > 0$ . Punct de maxim local $1$ , cu $f (1) = 2 - 21 + 36 + 5 = 22$ ; punct de minim local $6$ , cu $f (6) = 432 - 756 + 216 + 5 = - 103$ .

4. $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 36 x = 4 x (x - 3) (x + 3)$ , cu punctele critice $- 3$ , $0$ și $3$ ; semnele sunt minus, plus, minus, plus. Puncte de minim local $- 3$ și $3$ , cu aceeași valoare $f (- 3) = f (3) = 81 - 162 + 5 = - 76$ ; punct de maxim local $0$ , cu $f (0) = 5$ .

5. Adevărat. La funcțiile din programă derivata este continuă, iar o funcție continuă care nu se anulează pe un interval păstrează semn constant acolo — proprietate studiată la semnul unei funcții continue. Semnul fiind constant, funcția este strict monotonă pe tot intervalul, deci nu are nici vârfuri, nici văi. Altfel spus: fără puncte critice nu există puncte de extrem interioare.

6. $f^{'} (x) = \frac{8}{x} - 2 x = \frac{8 - 2 x ^{2}}{x}$ . Pe $(0, + \infty)$ numitorul e pozitiv, deci semnul e al lui $8 - 2 x^{2}$ : pozitiv pentru $x < 2$ , negativ pentru $x > 2$ (rădăcina $- 2$ nu e în domeniu). Punctul de maxim este $x_{0} = 2$ , iar valoarea maximă este $f (2) = 8 ln 2 - 4$ .

7. $f^{'} (x) = 2 x e^{x} + (x^{2} - 3) e^{x} = (x^{2} + 2 x - 3) e^{x} = (x + 3) (x - 1) e^{x}$ . Cum $e^{x} > 0$ , semnele sunt plus, minus, plus. Punct de maxim local $- 3$ , cu $f (- 3) = \frac{6}{e ^{3}}$ ; punct de minim local $1$ , cu $f (1) = - 2 e$ .

8. $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} = 4 x^{2} (x - 3)$ . Punctele critice sunt $0$ și $3$ . Factorul $4 x^{2}$ este nenegativ, deci semnul e al lui $x - 3$ : negativ înainte de $3$ , pozitiv după, indiferent de partea în care stă $0$ . Prin urmare $0$ este punct critic fără să fie de extrem, iar $3$ este punct de minim, cu $f (3) = 81 - 108 + 10 = - 17$ .

9. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 30 x + 63 = 3 (x - 3) (x - 7)$ , cu punctele critice $3$ și $7$ ; semnele sunt plus, minus, plus. Punct de maxim local $3$ , cu $f (3) = 27 - 135 + 189 = 81$ ; punct de minim local $7$ , cu $f (7) = 343 - 735 + 441 = 49$ .

10. Derivata este $2 x + a + \frac{1}{x}$ , iar condiția ca ea să se anuleze în $1$ dă $2 + a + 1 = 0$ , adică $a = - 3$ . Funcția devine $f (x) = x^{2} - 3 x + ln x$ , cu $f^{'} (x) = 2 x - 3 + \frac{1}{x} = \frac{2 x ^{2} - 3 x + 1}{x} = \frac{( 2 x - 1 ) ( x - 1 )}{x}$ . Pe $(0, + \infty)$ numitorul e pozitiv; între $\frac{1}{2}$ și $1$ numărătorul e negativ, iar după $1$ pozitiv, deci în $1$ trecerea e de la minus la plus: punct de minim.

11. $b^{'} (t) = 27 - 3 t^{2} = 3 (9 - t^{2})$ , pozitiv pe $[0, 3)$ și negativ pe $(3, 4]$ , deci $t = 3$ este punct de maxim. Concentrația maximă este $b (3) = 81 - 27 = 54$ milimoli pe litru, atinsă la $3$ ore de la amestecare. Derivata se exprimă în milimoli pe litru și pe oră; anularea ei la $t = 3$ înseamnă că atunci produsul intermediar nu se mai acumulează, pentru că începe să se consume mai repede decât se formează.

12. a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 18 x + 24$ . b) Factorizăm: $3 x^{2} - 18 x + 24 = 3 (x - 2) (x - 4)$ , cu punctele critice $2$ și $4$ și semnele plus, minus, plus. Punct de maxim local $2$ , cu $f (2) = 8 - 36 + 48 - 5 = 15$ ; punct de minim local $4$ , cu $f (4) = 64 - 144 + 96 - 5 = 11$ .

13. a) $f^{'} (x) = 2 (x - 3) e^{x} + (x - 3)^{2} e^{x} = (x - 3) (2 + x - 3) e^{x} = (x - 3) (x - 1) e^{x} = (x^{2} - 4 x + 3) e^{x}$ . b) Semnul e al trinomului $(x - 1) (x - 3)$ : plus, minus, plus. Punct de maxim local $1$ , cu $f (1) = 4 e$ ; punct de minim local $3$ , cu $f (3) = 0$ . Minimul era previzibil: funcția este produsul dintre un pătrat și un număr pozitiv, deci nu ia niciodată valori negative.

14. $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x = 3 x (x + 2)$ , cu punctele critice $- 2$ și $0$ și semnele plus, minus, plus. Punctul $- 2$ este de maxim local, cu valoarea $f (- 2) = - 8 + 12 - 1 = 3$ ; punctul $0$ este de minim local, cu valoarea $f (0) = - 1$ .

15. $f^{'} (x) = 5 x^{4}$ , care se anulează numai în $0$ și este strict pozitivă în rest. Punctul $0$ este deci critic, dar semnul derivatei rămâne plus de ambele părți, așa că funcția urcă fără întrerupere: $f (- 1) = - 1$ , $f (0) = 0$ , $f (1) = 1$ . Prin urmare $0$ nu este punct de extrem.

16. $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x = 4 x (x^{2} + 3 x + 3)$ . Trinomul are discriminantul $9 - 12 = - 3$ , negativ, și coeficient dominant pozitiv, deci este strict pozitiv pentru orice $x$ real. Semnul derivatei este așadar semnul lui $x$ : negativ înainte de $0$ , pozitiv după. Singurul punct de extrem este $x_{0} = 0$ , punct de minim, cu valoarea $f (0) = 5$ .

17. $f^{'} (x) = 2 x + 4$ , care se anulează în $- 2$ și trece de la minus la plus, deci $- 2$ este punct de minim. Cele două numere cerute răspund la întrebări diferite: punctul de minim este abscisa $x_{0} = - 2$ , adică locul de pe axa orizontală unde graficul atinge cel mai jos nivel, iar valoarea minimă este $f (- 2) = 4 - 8 - 6 = - 10$ , adică nivelul însuși. Un răspuns care spune doar „minimul este $- 2$ " amestecă cele două roluri și nu răspunde complet.

18. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + m$ . Funcția are două puncte de extrem exact când trinomul are două rădăcini distincte și își schimbă semnul la fiecare, adică atunci când $Δ = 36 - 12 m > 0$ , deci $m < 3$ . În acest caz, suma rădăcinilor derivatei este $\frac{6}{3} = 2$ , independentă de $m$ : oricât ar varia parametrul, abscisele celor două extreme se adună întotdeauna la $2$ , adică sunt simetrice față de $x = 1$ .

De reținut

Punct critic (staționar) = punct interior al domeniului în care derivata se anulează. Se găsește rezolvând $f^{'} (x) = 0$ și păstrând numai soluțiile din domeniu.
Criteriul derivatei întâi: trecerea semnului lui $f^{'}$ de la plus la minus dă un punct de maxim local, trecerea de la minus la plus dă un punct de minim local, iar lipsa schimbării nu dă nimic.
Răspunsul are două numere: abscisa $x_{0}$ e punctul de extrem, iar $f (x_{0})$ e valoarea extremă; ambele se cer și ambele se scriu.
Un punct critic nu e automat extrem: la o rădăcină dublă a derivatei semnul nu se schimbă, iar graficul își continuă urcarea sau coborârea.
„Local" înseamnă „față de vecinătate": o valoare maximă locală poate fi mai mică decât o valoare minimă locală de pe altă ramură a graficului.

Greșeli frecvente

Pui semnele trinomului fără să te uiți la coeficientul dominant. La $f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 12$ ordinea este minus, plus, minus, nu invers; cine o ia din memorie schimbă maximul cu minimul, ca în Exemplul 5.
Te oprești după ce ai găsit punctele și nu calculezi valorile. Cerința „puncte de extrem și valori extreme" are două răspunsuri; tabelul de semn singur nu dă niciodată valorile, pentru că ele se obțin înlocuind în $f$ , nu în $f^{'}$ .
Cauți extreme în capătul unui domeniu deschis. La $f : (0, + \infty) \to R$ punctul $0$ nu aparține domeniului, deci nu poate fi punct de extrem, oricât de mici ar fi valorile funcției lângă el; punctele critice se caută numai în interior.
Decizi natura comparând valorile între ele. „Valoarea $6$ e mai mare decât $- 6$ , deci acolo e maximul" e o judecată falsă: la $f (x) = x + \frac{9}{x}$ maximul local valorează $- 6$ , iar minimul local $6$ . Natura se citește din semne, nu din mărimea valorilor.
Presupui că orice funcție are puncte de extrem. La $f (x) = e^{x} + x$ derivata este $e^{x} + 1 > 0$ peste tot, deci nu există niciun punct critic și nicio cerință despre extreme nu are răspuns în afară de „nu există".

Aplică acasă

Bila și castronul. Pune o bilă pe fundul unui castron, apoi pe creștetul castronului răsturnat. Notează ce se întâmplă la o mică atingere în fiecare caz și leagă observația de paragraful 6: minimul energiei potențiale este echilibru stabil, maximul e echilibru instabil. Desenează profilul celor două suprafețe și marchează pe desen unde tangenta e orizontală.
Mingea filmată. Aruncă vertical o minge și filmează-o cu telefonul. Oprește filmarea pe câteva cadre la intervale egale și estimează înălțimea în fiecare. Calculează variațiile de la un cadru la altul și găsește cadrul în care ele își schimbă semnul: acolo se află punctul de maxim al traiectoriei, adică momentul în care viteza se anulează.
Tabelul întors pe dos. Ia Exemplul 1 și schimbă semnul funcției, lucrând cu $- f$ . Reface derivata, tabelul și concluziile, apoi compară: punctele de extrem rămân aceleași, dar naturile se schimbă între ele, iar valorile își schimbă semnul. Scrie într-o propoziție de ce se întâmplă așa.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.4 „Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor" — „Puncte de extrem: stabilirea naturii punctelor critice (staționare) cu ajutorul semnului derivatei de ordinul I". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor", rolul derivatelor de ordinul I și al II-lea în studiul funcțiilor, cu punctele de extrem numite explicit. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, prima problemă a Subiectului al III-lea se încheie cu o inegalitate care se demonstrează tocmai prin punctul de maxim aflat din semnul derivatei. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Deosebirea de traseu față de matematică-informatică: acolo tema începe cu teorema lui Fermat, care spune că într-un punct de extrem interior derivata unei funcții derivabile se anulează, și continuă cu puncte de extrem în colțuri și în puncte de întoarcere. Programa de științe ale naturii nu conține nici teorema lui Fermat, nici derivatele laterale, așa că lecția de față lucrează cu un singur instrument — semnul derivatei de o parte și de alta a punctului critic —, care acoperă integral cerințele de examen ale profilului.

Lecția verifică patru lucruri: (1) punctele critice reținute sunt cele din domeniu; (2) natura e citită din semne, nu ghicită; (3) răspunsul conține și abscisa, și valoarea; (4) la modelele din științe apare interpretarea, cu unitate de măsură. Trei întrebări de control, de pus oral: „Ce ai face dacă derivata s-ar anula fără să schimbe semnul?"; „Care e punctul și care e valoarea, în răspunsul tău?"; „Ce înseamnă, în problema aceasta, că derivata e zero?". Semne că elevul a înțeles: verifică semnele cu valori de probă, aruncă soluțiile din afara domeniului fără să fie întrebat și nu spune niciodată „maximul este $x_{0}$ ".

Întrebări frecvente

Ce este un punct critic sau staționar? Este un punct din interiorul domeniului în care derivata funcției se anulează. Geometric, acolo tangenta la grafic este orizontală. Punctele critice sunt singurii candidați la titlul de punct de extrem pentru funcțiile derivabile, dar nu toți candidații câștigă: natura fiecăruia se decide separat, din semnul derivatei de o parte și de alta.

Ce diferență este între punctele de extrem la M2 și la mate-info (M1)? Instrumentul e același, dar cadrul teoretic diferă. La științe ale naturii se folosește numai semnul derivatei întâi în jurul punctului critic. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: puncte de extrem local adaugă teorema lui Fermat și tratează extremele din colțuri și din puncte de întoarcere, teme care cer derivatele laterale — noțiuni care nu apar în programa profilului științe ale naturii.

La ce subiect apare studiul extremelor la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, în prima problemă, cea de analiză cu derivate. Cerințele obișnuite cer verificarea unei formule a derivatei, apoi punctele de extrem sau o inegalitate care se demonstrează prin valoarea extremă. Cele trei subpuncte valorează câte cinci puncte fiecare, iar pașii intermediari se scriu toți, nu doar rezultatul.

Trebuie să știu teorema lui Fermat ca să rezolv aceste cerințe? Nu. Programa de științe ale naturii cere stabilirea naturii punctelor critice cu ajutorul semnului derivatei de ordinul I și nu conține teorema lui Fermat. Criteriul din lecție este suficient pentru orice cerință de examen a profilului; enunțul teoremei îl vei întâlni doar dacă citești un manual de matematică-informatică.

Ce trebuie să conțină răspunsul ca să iau punctajul întreg? Patru lucruri, în ordine: derivata calculată și factorizată, punctele critice din domeniu, tabelul de semn cu semnele justificate prin valori de probă și concluzia scrisă în cuvinte, cu abscisa fiecărui punct de extrem și cu valoarea corespunzătoare a funcției. Un răspuns care sare peste tabel primește doar punctele pentru derivată.

Poate o funcție să nu aibă niciun punct de extrem? Da, și se întâmplă des. Dacă derivata păstrează același semn pe tot domeniul, funcția este strict monotonă și nu are nici vârfuri, nici văi; la fel se întâmplă dacă derivata se anulează, dar nu își schimbă semnul. Exemple: orice funcție de gradul întâi și funcția exponențială.

Ce înseamnă un maxim într-o problemă din fizică sau chimie? Înseamnă momentul sau poziția în care mărimea studiată încetează să crească și începe să scadă, adică punctul în care viteza ei de variație se anulează. În chimie e clipa în care un produs intermediar atinge concentrația cea mai mare; în mecanică, un minim al energiei potențiale marchează o poziție de echilibru stabil. Răspunsul se scrie întotdeauna cu unitatea de măsură.