Punctul de inflexiune al graficului funcției $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^3-12x^2+7x+60$$, este:

graficul nu are puncte de inflexiune

Într-un tabel de variație, coloana punctului $$x_0=8$$ are valoarea $$12$$ pe rândul $$f'$$ și valoarea $$0$$ pe rândul $$f''$$, iar cele două coloane-interval vecine au, pe rândul $$f(x)$$, simbolurile $$\nearrow\ \cap$$ și, respectiv, $$\nearrow\ \cup$$. Atunci $$x_0=8$$ este:

punct de inflexiune al funcției

punct critic fără să fie punct de extrem

Ce arată inflexiunea unei curbe de creștere?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Puncte de inflexiune

Într-o curbă de creștere în formă de S, punctul de inflexiune este momentul în care ritmul de creștere este maxim: înainte, creșterea accelerează, iar graficul este convex; după, creșterea încetinește, iar graficul este concav. De exemplu, pentru $N (t) = - t^{3} + 9 t^{2}$ pe $[0, 6]$ : $N^{''} (t) = - 6 t + 18$ se anulează și schimbă semnul în $t = 3$ . Acolo ritmul $N^{'} (t) = - 3 t^{2} + 18 t$ are valoarea maximă, $N^{'} (3) = 27$ .

Punctul de inflexiune încheie studiul curburii. Programa de examen M_șt-nat nu îl numește pe litere, dar îl cuprinde în rolul derivatei de ordinul al II-lea; la proba MAT_P2 din $2030$ determinarea lui e scrisă explicit, alături de convexitate.

Definiția pune trei condiții simultan: punctul să fie interior domeniului, funcția să fie continuă în el, iar curbura să difere de o parte și de alta — convexă pe o latură, concavă pe cealaltă.

Condiția necesară, nu suficientă. Dacă $x_{0}$ e punct de inflexiune și $f^{''}$ există acolo, atunci $f^{''} (x_{0}) = 0$ . Ecuația $f^{''} (x) = 0$ dă deci o listă de candidați, iar decizia o ia schimbarea semnului, citită în tabel. Două capcane apar constant: $f^{''}$ se anulează fără să schimbe semnul, ceea ce respinge candidatul, și $f^{''}$ schimbă semnul într-un punct scos din domeniu, unde graficul are o ruptură, nu o trecere.

Forma răspunsului contează. Abscisa $x_{0}$ este punctul de inflexiune al funcției; perechea $(x_{0}, f (x_{0}))$ este punctul de inflexiune al graficului. Semnul vizual sigur este tangenta care traversează curba, trecând dintr-o parte a ei în cealaltă.

La un model din chimie sau din biologie, inflexiunea este clipa în care ritmul încetează să crească: de acolo încolo procesul se domolește, fără ca mărimea studiată să scadă.

De reținut

inflexiune în $x_{0}$ : $f^{''}$ se anulează și își schimbă semnul acolo
pe o curbă de creștere, inflexiunea este momentul ritmului maxim
punctul graficului este $(x_{0}, f (x_{0}))$

Greșeala tipică

Se ia orice rădăcină a lui $f^{''}$ drept punct de inflexiune; la $x^{4}$ , $f^{''} (0) = 0$ , dar $f^{''} \geq 0$ de ambele părți, deci nu există inflexiune în $0$ .

Exerciții din această mini-lecție

Punctul de inflexiune al graficului funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 7 x + 60$ , este:
- a) $4$
- b) $(4, - 40)$
- c) $(- 4, - 40)$
- d) graficul nu are puncte de inflexiune
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(4, - 40)$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 24 x + 7$ , deci $f^{''} (x) = 6 x - 24$ , cu zeroul $4$ , unde semnul trece de la minus la plus. Cum $f (4) = 64 - 192 + 28 + 60 = - 40$ , punctul graficului este $(4, - 40)$ . Varianta a) dă numai abscisa, adică punctul de inflexiune al funcției, nu al graficului, cum cerea enunțul; c) schimbă semnul abscisei, iar d) uită că $f^{''}$ chiar își schimbă semnul.
Câte puncte de inflexiune are graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{6} - 5 x^{4} + 2 x$ ?
- a) $3$
- b) $1$
- c) $2$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2$

$f^{'} (x) = 6 x^{5} - 20 x^{3} + 2$ , deci $f^{''} (x) = 30 x^{4} - 60 x^{2} = 30 x^{2} (x^{2} - 2)$ . Ecuația $f^{''} (x) = 0$ are soluțiile $- 2$ , $0$ (dublă) și $2$ — trei candidați. Factorul $30 x^{2}$ este nenegativ și nu schimbă semnul în $0$ , deci acolo curbura rămâne aceeași; semnul se schimbă numai în $- 2$ și în $2$ . Rezultă două puncte de inflexiune, nu trei.
Într-un tabel de variație, coloana punctului $x_{0} = 8$ are valoarea $12$ pe rândul $f^{'}$ și valoarea $0$ pe rândul $f^{''}$ , iar cele două coloane-interval vecine au, pe rândul $f (x)$ , simbolurile $↗ \cap$ și, respectiv, $↗ \cup$ . Atunci $x_{0} = 8$ este:
- a) punct de maxim local
- b) punct critic fără să fie punct de extrem
- c) punct de minim local
- d) punct de inflexiune al funcției
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) punct de inflexiune al funcției

Simbolurile de curbură sunt diferite de cele două părți — $\cap$ la stânga, $\cup$ la dreapta —, deci $f^{''}$ își schimbă semnul în $8$ : acolo este o inflexiune. Săgețile rămân amândouă $↗$ , deci funcția nu își schimbă sensul de variație, ceea ce respinge a) și c); iar $f^{'} (8) = 12 \neq = 0$ arată că punctul nici măcar nu este critic, ceea ce respinge b).

Întrebări conexe

Care e diferența dintre punctul de inflexiune al funcției și cel al graficului?

Punctul de inflexiune al funcției este abscisa $x_{0}$ ; al graficului este perechea $(x_{0}, f (x_{0}))$ . Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ : $f^{''} (x) = 6 x - 6$ schimbă semnul în $1$ , deci funcția are inflexiune în $x_{0} = 1$ , iar graficul în $(1, - 1)$ .

Are orice funcție de gradul al treilea un punct de inflexiune?

Da. Pentru $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ , cu $a \neq = 0$ , expresia $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ este o funcție liniară cu $a \neq = 0$ , care are un singur zerou, $x = - \frac{b}{3 a}$ , și își schimbă semnul acolo. Graficul are exact un punct de inflexiune.

Poate un punct de inflexiune să fie și punct critic?

Da. Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x$ , $f^{'} (x) = 3 (x - 1)^{2}$ se anulează în $1$ , iar $f^{''} (x) = 6 x - 6$ schimbă semnul tot în $1$ . Punctul $1$ este critic și de inflexiune, dar nu este de extrem: tangenta este orizontală, iar funcția crește de ambele părți.

De ce se urmărește inflexiunea pe curba cazurilor unei epidemii?

Pe curba cazurilor cumulate, inflexiunea marchează ziua în care numărul de cazuri apărute într-o zi este maxim. După ea, totalul crește în continuare, dar tot mai încet. Momentul se citește din schimbarea semnului derivatei a doua, nu din valoarea totalului.

Cum aflu parametrul pentru care inflexiunea este într-un punct dat?

Impui ca $f^{''}$ să se anuleze acolo și verifici schimbarea de semn. Pentru $f (x) = x^{3} + a x^{2}$ : $f^{''} (x) = 6 x + 2 a$ , iar $f^{''} (2) = 0$ dă $a = - 6$ . Cu $a = - 6$ , $f^{''} (x) = 6 x - 12$ trece de la minus la plus în $2$ , deci condiția este îndeplinită.

Oamenii mai întreabă și: punctul de inflexiune al unei curbe de creștere · inflexiune curba logistică · când crește cel mai repede o populație · inflexiune în biologie