Puncte de inflexiune: schimbarea de curbură (M2, științe ale naturii)

Orice epidemie are o zi despre care se vorbește la televizor cu mult înainte ca numărul de cazuri să scadă: ziua în care creșterea „a atins vârful". Nu e ziua cu cele mai multe cazuri și nici ziua în care cazurile încep să scadă — este ziua după care fiecare zi aduce mai puține cazuri noi decât cea dinainte. Matematica are un nume exact pentru acest moment, iar în clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), el se află cu derivata a doua: se numește punct de inflexiune și face parte din studiul funcțiilor cerut la Subiectul al III-lea al bacalaureatului M2.

Lecția continuă direct ce ai învățat despre convexitate, concavitate și derivata a doua: acolo ai împărțit domeniul în intervale pe care graficul „ține apa" sau „varsă apa", aici dai nume punctelor de trecere dintre ele. Programa de examen nu o numește pe nume printre cerințe, dar punctul de inflexiune închide orice studiu complet de funcție și are marcajul lui propriu în tabelul de variație.

Ce vei învăța

• Vei ști să spui, într-o singură propoziție, ce este un punct de inflexiune și ce condiții cere definiția.
• Vei ști să deosebești punctul de inflexiune al funcției ($x_0$) de punctul de inflexiune al graficului ($(x_0,f(x_0))$) și să răspunzi cu forma cerută în enunț.
• Vei ști de ce anularea derivatei a doua este necesară, dar nu suficientă, și vei recunoaște cele două capcane clasice.
• Vei ști să parcurgi rețeta în patru pași, cu tabelul de semn al lui $f^{\prime \prime }$ scris corect.
• Vei ști să citești un punct de inflexiune direct de pe grafic, fără nicio formulă.
• Vei ști ce înseamnă inflexiunea într-un model din biologie sau din chimie: momentul în care ritmul încetează să crească.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se schimbă într-un punct de inflexiune?

Reia cele două comportamente fixate în lecția precedentă. O funcție convexă „ține apa": pantele ei cresc, graficul se curbează în sus. O funcție concavă „varsă apa": pantele scad, graficul se curbează în jos. Nimic nu obligă însă o funcție să păstreze aceeași curbură pe tot domeniul, iar locul unde o schimbă merită un nume.

Definiție. Fie $f$ o funcție continuă pe un interval $I$. Punctul de inflexiune al funcției $f$ este un punct $x_0$ interior lui $I$ în care funcția își schimbă curbura: pe o vecinătate din stânga lui $x_0$ este convexă, iar pe una din dreapta concavă, sau invers.

Trei precizări, toate necesare. Punctul trebuie să fie interior domeniului: într-un capăt nu ai ce compara, pentru că lipsește una dintre cele două părți. Funcția trebuie să fie continuă acolo: dacă graficul e rupt în $x_0$, cele două bucăți nu se continuă una pe alta. Și curburile trebuie să fie diferite efectiv: dacă de amândouă părțile funcția e convexă, punctul nu desparte nimic.

Mai reține o deosebire de vocabular pe care cerințele o folosesc: $x_0$ este punctul de inflexiune al funcției — un singur număr, o abscisă —, iar perechea $(x_0,f(x_0))$ este punctul de inflexiune al graficului — un punct din plan, cu două coordonate. Dacă cerința spune „punctul de inflexiune al graficului", răspunsul cu un singur număr este incomplet.

2. Cum găsești candidații: ce spune derivata a doua?

Criteriul convexității leagă forma graficului de semnul derivatei a doua: unde $f^{\prime \prime }\ge 0$ funcția e convexă, unde $f^{\prime \prime }\le 0$ e concavă. Dacă la stânga lui $x_0$ funcția e convexă și la dreapta concavă, atunci $f^{\prime \prime }$ trece de la valori pozitive la valori negative, adică își schimbă semnul în $x_0$. Iar o funcție continuă care trece de la plus la minus se anulează pe drum.

Condiția necesară. Dacă $x_0$ este punct de inflexiune al funcției $f$ și $f$ admite derivată de ordinul al doilea în $x_0$, atunci $f^{\prime \prime }(x_0)=0$.

De aici vine metoda: rezolvi ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$, obții o listă scurtă de candidați și apoi verifici, unul câte unul, care dintre ei chiar sunt puncte de inflexiune. Atenție la cuvântul „candidați" — el spune că munca abia începe. Ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ nu se rezolvă ca să se dea răspunsul, ci ca să se taie domeniul în bucăți pe care semnul lui $f^{\prime \prime }$ e constant.

Ca să vezi cât de necesară e verificarea, ia funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4+4x-3$. Avem $f^{\prime }(x)=4x^3+4$ și $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$, deci $f^{\prime \prime }(0)=0$: punctul $0$ este candidat. Numai că expresia $12x^2$ rămâne pozitivă în orice alt punct, oricât de aproape de origine l-ai alege, din stânga sau din dreapta. Curbura nu se schimbă, funcția rămâne convexă pe tot $\mathbb{R}$, iar $0$ nu este punct de inflexiune: anularea lui $f^{\prime \prime }$ a fost un accident de calcul, nu o schimbare de formă.

3. De ce nu ajunge nici schimbarea de semn?

Există și capcana simetrică, iar ea prinde chiar mai mulți elevi. Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4}{x^3}$, cu $f^{\prime }(x)=-\frac{12}{x^4}$ și $f^{\prime \prime }(x)=\frac{48}{x^5}$. Numărătorul lui $f^{\prime \prime }$ e constant și pozitiv, iar $x^5$ e negativ la stânga lui $0$ și pozitiv la dreapta, deci $f^{\prime \prime }$ e negativă pe $(-\infty ,0)$ și pozitivă pe $(0,+\infty )$: semnul se schimbă.

Cu toate acestea, inflexiune nu există. Motivul stă în definiție, la cuvântul „interior": numărul $0$ a fost scos din domeniu, iar graficul nici măcar nu trece pe acolo — are o ruptură. Cele două ramuri se curbează într-adevăr diferit, însă între ele nu se face nicio trecere, ci o prăpastie.

Reține regula care le adună pe amândouă: un candidat devine punct de inflexiune numai dacă trece ambele probe — aparține domeniului și $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul acolo.

4. Cum determini punctele de inflexiune, în patru pași?

Rețeta nu are nimic nou față de ce știi; are doar o ordine care nu se schimbă:

1. Domeniul, scris ca reuniune de intervale, cu punctele lipsă numite explicit.
2. Derivata a doua, adusă la o formă din care semnul se citește — produs de factori sau fracție cu numărător și numitor factorizate.
3. Zerourile lui $f^{\prime \prime }$ din domeniu; la ele se adaugă, pe axă, punctele în care funcția nu e definită (nu ca răspunsuri, ci ca tăieturi).
4. Tabelul de semn al lui $f^{\prime \prime }$ și concluzia: candidații în care semnul chiar se schimbă sunt puncte de inflexiune; pentru fiecare se calculează și valoarea $f(x_0)$, dacă se cere punctul graficului.

Să o aplicăm pe $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+6x^2+5x-4$. Domeniul e tot $\mathbb{R}$. Avem $f^{\prime }(x)=3x^2+12x+5$ și $f^{\prime \prime }(x)=6x+12=6(x+2)$, cu singurul zerou $-2$. Probele: $f^{\prime \prime }(-3)=-6<0$ și $f^{\prime \prime }(0)=12>0$.

Semnul trece de la minus la plus, deci funcția este concavă pe $(-\infty ,-2]$ și convexă pe $[-2,+\infty )$: punctul $-2$ este punct de inflexiune al funcției. Cum $f(-2)=-8+24-10-4=2$, punctul de inflexiune al graficului este $(-2,2)$.

Observă un lucru valabil la orice funcție de gradul al treilea: derivata a doua este de gradul întâi, deci are exact o rădăcină și își schimbă obligatoriu semnul acolo. Orice grafic de funcție polinomială de gradul al treilea are, prin urmare, exact un punct de inflexiune — o observație care merită ținută minte pentru orice funcție de gradul al treilea întâlnită în subiecte.

5. Cum se vede inflexiunea pe un grafic?

Pe hârtie, fără nicio formulă — ca la lectura graficului unei funcții din clasa a IX-a —, inflexiunea se recunoaște după două semne. Primul: mergând cu privirea de la stânga la dreapta, curba încetează să se îndoaie într-un sens și începe să se îndoaie în celălalt. Al doilea, mai sigur: tangenta în punctul de inflexiune traversează graficul, trece dintr-o parte a curbei în cealaltă, în loc să rămână de aceeași parte, ca în orice alt punct.

Merită spus limpede ce nu înseamnă inflexiunea. Nu înseamnă că funcția își schimbă sensul de variație: la $f(x)=x^3+6x^2+5x-4$ punctul $-2$ nu este nici maxim, nici minim. Nu înseamnă nici că valoarea funcției e deosebită acolo. Singurul lucru care se schimbă este forma curbei — de aceea se citește din derivata a doua, nu din prima.

Confuzia cu punctele de extrem se lămurește pe rânduri: punctele de extrem se citesc din rândul lui $f^{\prime }$, iar punctele de inflexiune din rândul lui $f^{\prime \prime }$ — două rânduri diferite ale aceluiași tabel.

6. Ce înseamnă inflexiunea într-un model din științe?

O cultură de bacterii pusă într-un vas cu hrană limitată nu crește la nesfârșit: la început se înmulțește tot mai repede, apoi hrana se împuținează, înmulțirea încetinește, iar numărul de indivizi se apropie de o valoare maximă. Curba care descrie această creștere se numește curbă logistică și este modelul standard din biologie pentru populații cu resurse limitate.

Derivata întâi a acestei funcții este rata de creștere, adică numărul de indivizi adăugați pe unitatea de timp; derivata a doua spune dacă rata însăși crește sau scade. Punctul de inflexiune este atunci momentul în care rata de creștere atinge valoarea cea mai mare: până acolo populația crește tot mai repede, după aceea tot mai încet. Este exact „ziua de vârf" din deschiderea lecției, iar epidemiologii o caută tocmai pentru că vine mai devreme decât scăderea și o anunță.

Același tipar apare în toate disciplinele profilului: la o reacție autocatalitică, inflexiunea curbei de concentrație este momentul de viteză maximă; la un medicament administrat lent, clipa în care concentrația din sânge crește cel mai repede. De fiecare dată propoziția e aceeași: în punctul de inflexiune, ritmul nu mai crește — de acolo încolo se domolește.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O funcție de gradul al treilea

Determinați punctul de inflexiune al graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-9x^2+12x+1$.

Rezolvare. Domeniul este $\mathbb{R}$, deci nu avem puncte lipsă de marcat.

Derivatele: $f^{\prime }(x)=3x^2-18x+12$, apoi $f^{\prime \prime }(x)=6x-18=6(x-3)$. Singurul zerou al derivatei a doua este $3$.

Semnul: pentru $x<3$ avem $x-3<0$, deci $f^{\prime \prime }(x)<0$; pentru $x>3$, $f^{\prime \prime }(x)>0$:

Semnul se schimbă, iar $3$ aparține domeniului, deci $3$ este punct de inflexiune al funcției.

Valoarea: $f(3)=27-81+36+1=-17$. Cerința a cerut punctul graficului, deci răspunsul se scrie cu două coordonate: $(3,-17)$. Funcția este concavă pe $(-\infty ,3]$ și convexă pe $[3,+\infty )$.

Exemplul 2 — Două puncte de inflexiune

Determinați intervalele de convexitate și de concavitate ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-6x^3+12x^2-5$, și punctele ei de inflexiune.

Rezolvare. Avem $f^{\prime }(x)=4x^3-18x^2+24x$, iar $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-36x+24=12(x-1)(x-2)$, cu zerourile $1$ și $2$.

Probe: $f^{\prime \prime }(0)=24>0$, $f^{\prime \prime }\left(\frac{3}{2}\right)=27-54+24=-3<0$, $f^{\prime \prime }(3)=108-108+24=24>0$.

Funcția este convexă pe $(-\infty ,1]$, concavă pe $[1,2]$ și convexă pe $[2,+\infty )$. În ambele puncte semnul se schimbă efectiv, deci amândouă sunt puncte de inflexiune. Valorile: $f(1)=1-6+12-5=2$ și $f(2)=16-48+48-5=11$, deci graficul are punctele de inflexiune $(1,2)$ și $(2,11)$.

Exemplul 3 — Doi candidați, unul singur acceptat

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^5+10x^4+6x$. Arătați că ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ are două soluții reale, dar graficul funcției are un singur punct de inflexiune.

Rezolvare. Calculăm $f^{\prime }(x)=15x^4+40x^3+6$ și $f^{\prime \prime }(x)=60x^3+120x^2=60x^2(x+2)$. Ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ are soluțiile $-2$ și $0$ (a doua, dublă). Iată deci doi candidați.

Semnul se citește din produs: factorul $60x^2$ este pozitiv pentru orice $x\ne 0$, deci semnul lui $f^{\prime \prime }$ este dat numai de factorul $x+2$.

În $-2$ semnul trece de la minus la plus: avem punct de inflexiune, cu $f(-2)=-96+160-12=52$, deci punctul $(-2,52)$ al graficului. În $0$, semnul este plus de amândouă părțile: funcția rămâne convexă, iar $0$ nu este punct de inflexiune, deși $f^{\prime \prime }(0)=0$.

Morala se vede din tabel: coloana lui $0$ conține un zerou, dar cele două coloane vecine conțin același semn. Zeroul „nu desparte" nimic. Tocmai de aceea rețeta cere tabelul, nu doar lista soluțiilor.

Exemplul 4 — Curba logistică dintr-o cultură de bacterii

Numărul de bacterii dintr-un vas de cultură, la $t$ ore de la însămânțare, este $N(t)=\frac{1000}{1+4e^{-t}}$, exprimat în milioane, $t\ge 0$. Determinați momentul în care ritmul de înmulțire este cel mai mare și numărul de bacterii din acel moment.

Rezolvare. Numitorul $1+4e^{-t}$ este strict pozitiv, deci funcția este definită pe tot $[0,+\infty )$. Derivăm ca pe o funcție compusă:

$$N^{\prime }(t)=\frac{4000e^{-t}}{{\left(1+4e^{-t}\right)}^2},N^{\prime \prime }(t)=\frac{4000e^{-t}\left(4e^{-t}-1\right)}{{\left(1+4e^{-t}\right)}^3}.$$

Prima derivată e mereu pozitivă: populația crește tot timpul. A doua are semnul factorului $4e^{-t}-1$, pentru că toți ceilalți factori sunt pozitivi. Iar $4e^{-t}-1>0$ înseamnă $e^{-t}>\frac{1}{4}$, adică $t<\ln 4$. Așadar $N^{\prime \prime }$ este pozitivă pe $[0,\ln 4)$ și negativă pe $(\ln 4,+\infty )$: semnul se schimbă, deci $\ln 4\approx 1,39$ ore este punct de inflexiune.

Numărul de bacterii din acel moment: pentru $t=\ln 4$ avem $e^{-t}=\frac{1}{4}$, deci $N(\ln 4)=\frac{1000}{1+1}=500$ de milioane de bacterii.

Interpretarea, care este de fapt cerința. Până la $t=\ln 4$ populația crește tot mai repede, după aceea tot mai încet, fără să depășească vreodată $1000$ de milioane de indivizi. Ritmul maxim se atinge exact când populația ajunge la jumătate din valoarea-limită a vasului — regula practică pe care o folosesc biologii.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev rezolvă: „Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{-4\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{x+4}$. Avem $f^{\prime }(x)=-\frac{3}{(x+4{)}^2}$ și $f^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{(x+4{)}^3}$. Cum $f^{\prime \prime }$ este negativă pentru $x<-4$ și pozitivă pentru $x>-4$, semnul se schimbă în $-4$, deci $-4$ este punct de inflexiune." Găsiți greșeala și scrieți concluzia corectă.

Rezolvare. Derivatele sunt calculate corect, iar semnele sunt citite corect: $(x+4{)}^3$ este negativ la stânga lui $-4$ și pozitiv la dreapta, deci $f^{\prime \prime }$ chiar își schimbă semnul acolo.

Greșeala este în ultimul pas. Definiția cere ca punctul să fie interior domeniului, iar $-4$ a fost scos din domeniu chiar de elev, în enunț: acolo funcția nu este definită și graficul are o ruptură. Nu există nicio vecinătate a lui $-4$ pe care funcția să fie continuă, deci nu există nicio trecere de la o curbură la alta — există două ramuri separate.

Concluzia corectă: funcția este concavă pe $(-\infty ,-4)$, convexă pe $(-4,+\infty )$ și nu are niciun punct de inflexiune. În tabel, coloana lui $-4$ nu primește un zerou, ci bara $|$, semnul convenit pentru punctele în care funcția nu este definită:

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2-4x+2\right)e^x$. a) Arătați că $f^{\prime \prime }(x)=\left(x^2-4\right)e^x$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determinați punctele de inflexiune ale graficului funcției $f$. c) Arătați că funcția $f$ este convexă pe intervalul $[2,+\infty )$.

Rezolvare.

a) Derivăm de două ori, cu regula produsului: $$f^{\prime }(x)=(2x-4)e^x+\left(x^2-4x+2\right)e^x=\left(x^2-2x-2\right)e^x,$$ $$f^{\prime \prime }(x)=(2x-2)e^x+\left(x^2-2x-2\right)e^x=\left(x^2-4\right)e^x.$$

b) Cum $e^x>0$ pentru orice $x$ real, semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul trinomului $x^2-4=(x-2)(x+2)$, cu rădăcinile $-2$ și $2$.

În amândouă punctele semnul se schimbă, deci amândouă sunt puncte de inflexiune ale funcției. Valorile: $f(-2)=(4+8+2)e^{-2}=14e^{-2}$ și $f(2)=(4-8+2)e^2=-2e^2$. Punctele de inflexiune ale graficului sunt $\left(-2,14e^{-2}\right)$ și $\left(2,-2e^2\right)$.

c) Pentru $x\ge 2$ avem $x^2\ge 4$, deci $x^2-4\ge 0$; cum $e^x>0$, rezultă $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pe tot intervalul $[2,+\infty )$, adică $f$ este convexă acolo, ceea ce trebuia arătat.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe au forma din modelul oficial al probei M_șt-nat: la a) se verifică o formulă de derivată, la b) se determină niște puncte, la c) se demonstrează o proprietate pe un interval. Redactarea care ia punctajul întreg spune explicit că $e^x>0$ înainte de a reduce semnul lui $f^{\prime \prime }$ la semnul trinomului — fără propoziția aceasta, tabelul de semn apare din senin.

Să exersăm

Ordinea de lucru, la fiecare exercițiu: domeniul, derivata a doua factorizată, zerourile, tabelul de semn, concluzia.

1. Determină punctul de inflexiune al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+7x+1$.

2. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+9x^2-4x$, află punctul de inflexiune al graficului (cu ambele coordonate).

3. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-8x+11$, nu are niciun punct de inflexiune.

4. Determină punctele de inflexiune ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-10x^3+24x^2+3$.

5. Graficul unei funcții de două ori derivabile pe $\mathbb{R}$ trece prin punctele $A(1,3)$ și $B(4,5)$. Tangenta dusă în $A$ traversează curba, iar cea dusă în $B$ rămâne de aceeași parte a ei. Care dintre cele două puncte este punct de inflexiune al graficului și de ce?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-3{)}^4+2x$, are două puncte de inflexiune, pentru că derivata a doua a funcției este de gradul al doilea."

7. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3+15x^2+x-6$, determină intervalele de convexitate și de concavitate și punctul de inflexiune.

8. Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5}{x-3}$. Arată că $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul în $3$ și explică de ce funcția nu are totuși punct de inflexiune.

9. Determină punctele de inflexiune ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^4}{4}-x^3-6x^2+5$.

10. Pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6\ln x$, arată că graficul nu are puncte de inflexiune.

11. (Problemă aplicată.) Masa de produs formată într-o reacție, la $t$ minute de la pornire, este $m(t)=-t^3+12t^2+15t$ grame, pentru $t\in [0,8]$. Află momentul în care viteza de formare încetează să crească și spune ce se întâmplă cu procesul după acel moment.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x^2-6x+4$. Arată că $f^{\prime \prime }(x)=6x+6$, $x\in \mathbb{R}$, și determină punctul de inflexiune al graficului funcției $f$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2+6x\right)e^x$. Arată că $f^{\prime \prime }(x)=\left(x^2+10x+14\right)e^x$, $x\in \mathbb{R}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-2x^3-12x^2+7x$. Arată că funcția $f$ este convexă pe intervalul $[2,+\infty )$.

15. Determină numărul real $m$ pentru care graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+m{x}^2+4x$, are punctul de inflexiune de abscisă $2$.

16. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \left(x^2+9\right)$, arată că $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\left(9-x^2\right)}{{\left(x^2+9\right)}^2}$ și determină punctele de inflexiune ale funcției.

17. O funcție $f$ de două ori derivabilă pe $\mathbb{R}$ are $f^{\prime \prime }(x)=(x-1{)}^2(x+5)$. Precizează, fără să cunoști formula lui $f$, care sunt punctele de inflexiune ale funcției.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4+p{x}^2$, unde $p$ este un număr real. Determină valorile lui $p$ pentru care graficul funcției are exact două puncte de inflexiune.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$, cu zeroul $1$; semnul trece de la minus la plus, deci $1$ este punct de inflexiune al funcției.

2. $f^{\prime \prime }(x)=6x+18$, cu zeroul $-3$; semnul se schimbă acolo. Cum $f(-3)=-27+81+12=66$, punctul graficului este $(-3,66)$.

3. $f^{\prime \prime }(x)=2$, o constantă pozitivă, deci $f^{\prime \prime }$ nu se anulează niciodată; funcția este convexă pe tot $\mathbb{R}$ și nu are puncte de inflexiune. La fel se întâmplă la orice funcție de gradul al doilea.

4. $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-60x+48=12(x-1)(x-4)$, cu zerourile $1$ și $4$; semnul este plus, minus, plus, deci se schimbă în amândouă. Punctele de inflexiune ale funcției sunt $1$ și $4$.

5. Punctul $A(1,3)$. Semnul sigur al inflexiunii este tangenta care traversează graficul: ea trece dintr-o parte a curbei în cealaltă exact acolo unde curbura se schimbă din $\cup$ în $\cap$ ori invers. În $B$ tangenta rămâne de aceeași parte a curbei, deci pe o vecinătate a lui $4$ funcția păstrează aceeași curbură, iar $4$ nu este punct de inflexiune. Cerința cere punctul graficului, deci răspunsul se scrie cu două coordonate, nu cu abscisa singură.

6. Fals. Derivând funcția compusă, $f^{\prime }(x)=4(x-3{)}^3+2$ și $f^{\prime \prime }(x)=12(x-3{)}^2$, adică într-adevăr o funcție de gradul al doilea — numai că ea are o singură rădăcină, $3$, și acolo nu își schimbă semnul: $(x-3{)}^2>0$ pentru orice $x\ne 3$, deci $f^{\prime \prime }$ rămâne pozitivă de amândouă părțile. Funcția este convexă pe tot $\mathbb{R}$ și nu are niciun punct de inflexiune. Gradul lui $f^{\prime \prime }$ dă numărul maxim de candidați, nu numărul de inflexiuni.

7. $f^{\prime \prime }(x)=12x+30$, cu zeroul $-\frac{5}{2}$. Funcția este concavă pe $\left(-\infty ,-\frac{5}{2}\right]$ și convexă pe $\left[-\frac{5}{2},+\infty \right)$, iar $-\frac{5}{2}$ este punct de inflexiune.

8. $f^{\prime }(x)=-\frac{5}{(x-3{)}^2}$ și $f^{\prime \prime }(x)=\frac{10}{(x-3{)}^3}$, care este negativă pentru $x<3$ și pozitivă pentru $x>3$. Semnul se schimbă, dar $3$ nu aparține domeniului: funcția nu e definită acolo, graficul are o ruptură, deci nu există punct de inflexiune.

9. $f^{\prime }(x)=x^3-3x^2-12x$, deci $f^{\prime \prime }(x)=3x^2-6x-12=3\left(x^2-2x-4\right)$, cu rădăcinile $1-\sqrt{5}$ și $1+\sqrt{5}$. Semnul trinomului este plus, minus, plus, deci amândouă rădăcinile sunt puncte de inflexiune ale funcției; nu orice punct de inflexiune are abscisă rațională.

10. $f^{\prime }(x)=2x-\frac{6}{x}$ și $f^{\prime \prime }(x)=2+\frac{6}{x^2}$, sumă de două numere pozitive pe tot domeniul $(0,+\infty )$. Derivata a doua nu se anulează niciodată, deci funcția este convexă pe tot domeniul, iar graficul nu are puncte de inflexiune.

11. $m^{\prime }(t)=-3t^2+24t+15$ este viteza de formare; ea este pozitivă pe tot intervalul (rădăcinile trinomului sunt $4-\sqrt{21}$ și $4+\sqrt{21}$, adică în afara lui $[0,8]$), deci masa crește mereu, cum și trebuie. Derivata a doua, $m^{\prime \prime }(t)=-6t+24$, se anulează în $t=4$ și își schimbă semnul acolo (plus înainte, minus după), deci $t=4$ minute este punct de inflexiune. Până atunci reacția se accelerează, după aceea se domolește, fără ca masa să scadă vreodată. În acel moment $m(4)=-64+192+60=188$ de grame, iar viteza de formare atinge valoarea cea mai mare, $m^{\prime }(4)=-48+96+15=63$ de grame pe minut.

12. $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-6$, deci $f^{\prime \prime }(x)=6x+6$, cu zeroul $-1$, unde semnul trece de la minus la plus. Cum $f(-1)=-1+3+6+4=12$, punctul de inflexiune al graficului este $(-1,12)$.

13. $f^{\prime }(x)=(2x+6)e^x+\left(x^2+6x\right)e^x=\left(x^2+8x+6\right)e^x$, apoi $f^{\prime \prime }(x)=(2x+8)e^x+\left(x^2+8x+6\right)e^x=\left(x^2+10x+14\right)e^x$.

14. $f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2-24x+7$ și $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12x-24=12(x-2)(x+1)$. Pentru $x\ge 2$ avem $x-2\ge 0$ și $x+1>0$, deci $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$: funcția este convexă pe $[2,+\infty )$.

15. $f^{\prime \prime }(x)=6x+2m$, care se anulează pentru $x=-\frac{m}{3}$. Condiția $-\frac{m}{3}=2$ dă $m=-6$. Cum $f^{\prime \prime }$ este de gradul întâi, semnul se schimbă automat, deci $2$ este într-adevăr punct de inflexiune.

16. $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+9}$, iar prin regula câtului $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\left(x^2+9\right)-2x\cdot 2x}{{\left(x^2+9\right)}^2}=\frac{2\left(9-x^2\right)}{{\left(x^2+9\right)}^2}$. Numitorul e pozitiv, deci semnul e dat de $9-x^2$, cu zerourile $-3$ și $3$; semnul este minus, plus, minus, deci amândouă sunt puncte de inflexiune.

17. Factorul $(x-1{)}^2$ este pozitiv pentru $x\ne 1$, deci semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui $x+5$: minus pe $(-\infty ,-5)$, plus pe $(-5,+\infty )$, cu excepția lui $1$, unde $f^{\prime \prime }$ se anulează fără să schimbe semnul. Singurul punct de inflexiune al funcției este $-5$.

18. $f^{\prime }(x)=4x^3+2px$ și $f^{\prime \prime }(x)=12x^2+2p$, deci ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ revine la $x^2=-\frac{p}{6}$. Dacă $p>0$, ea nu are nicio soluție reală, iar $f^{\prime \prime }$ rămâne strict pozitivă: graficul e convex peste tot. Dacă $p=0$, singura soluție e $0$, iar derivata a doua se reduce la $12x^2$, expresie care nu schimbă semnul. Dacă $p<0$, apar două soluții distincte, $-\sqrt{-\frac{p}{6}}$ și $\sqrt{-\frac{p}{6}}$, iar $f^{\prime \prime }$, funcție de gradul al doilea cu coeficient dominant pozitiv, își schimbă semnul în amândouă. Răspunsul este deci $p<0$.

De reținut

• Inflexiunea cere trei lucruri deodată: un punct interior domeniului, continuitate acolo și curburi diferite de cele două părți — convexă într-o parte, concavă în cealaltă.
• Condiția $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ este necesară, nu suficientă: dă lista candidaților, iar decizia o ia schimbarea semnului lui $f^{\prime \prime }$, citită în tabel.
• Cele două capcane, amândouă des întâlnite: $f^{\prime \prime }$ se anulează fără să schimbe semnul (candidat respins) și $f^{\prime \prime }$ schimbă semnul într-un punct care nu aparține domeniului (tot respins).
• Se răspunde cu forma cerută: $x_0$ pentru punctul de inflexiune al funcției, $(x_0,f(x_0))$ pentru punctul de inflexiune al graficului.
• Orice funcție polinomială de gradul al treilea are exact un punct de inflexiune, pentru că derivata ei a doua este de gradul întâi; orice funcție de gradul al doilea nu are niciunul.

Greșeli frecvente

• Citești semnul lui $f^{\prime \prime }$ din forma desfăcută, fără să factorizezi. Din $60x^3+120x^2$ nu se vede nimic; din $60x^2(x+2)$ se vede totul, pentru că pătratul nu schimbă semnul și rămâne doar factorul $x+2$. Pasul de factorizare nu e o eleganță, ci condiția ca tabelul să poată fi completat.
• Reduci semnul lui $f^{\prime \prime }$ la semnul unui trinom fără să spui de ce ai voie. La $f^{\prime \prime }(x)=\left(x^2-4\right)e^x$ trebuie scris explicit că $e^x>0$ pentru orice $x$; fără propoziția aceasta, tabelul de semn apare din senin, fără justificare.
• Îți probezi candidatul cu două valori luate de aceeași parte a lui. Ca să decizi dacă semnul se schimbă, ai nevoie de un punct la stânga și de unul la dreapta; două probe la dreapta spun doar că funcția are acolo o curbură, nu că a schimbat-o.
• Cauți puncte în care $f^{\prime \prime }$ nu există. La funcțiile din programa profilului științe ale naturii derivata a doua există în tot domeniul, deci singurii candidați vin din ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$; punctele de nederivabilitate sunt o temă a profilului matematică-informatică.
• Dai răspunsul ca interval. „Funcția are inflexiune pe $[1,2]$" nu înseamnă nimic: inflexiunea este un punct, nu o porțiune de grafic. Intervalele descriu convexitatea, punctele descriu trecerea dintre ele.

Aplică acasă

1. Pliul foii. Ia o coală A4 și îndoaie-o ușor, ținând-o de margini, ca să formeze un jgheab care „ține apa". Fără să o îndrepți, răsucește treptat capătul din dreapta până când acea jumătate începe să „verse apa". Marchează cu creionul locul în care foaia nu se mai curbează în niciun sens: ai făcut cu mâna un punct de inflexiune. Sprijină o riglă pe foaie exact acolo și observă că ea trece dintr-o parte a hârtiei în cealaltă — proba tangentei care traversează.

2. Bateria telefonului. Pune telefonul la încărcat de la un nivel scăzut și notează procentul din zece în zece minute, până se umple. Procentul crește tot timpul, deci derivata întâi nu schimbă nimic; ritmul, în schimb, se schimbă — la început încărcarea merge repede, spre final se domolește. Scrie între ce două măsurători a început ritmul să scadă: acolo se află punctul de inflexiune al curbei de încărcare.

3. Câți candidați, câte inflexiuni. Alege trei funcții polinomiale de gradul al patrulea scrise de tine la întâmplare și, pentru fiecare, calculează $f^{\prime \prime }$ și rezolvă $f^{\prime \prime }(x)=0$. Completează un tabel cu trei coloane: câți candidați ai găsit, câți au trecut proba semnului, câte puncte de inflexiune are graficul. Explică apoi de ce la unele funcții primul și ultimul număr coincid, iar la altele nu.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.4, unde conținutul este formulat exact așa: „Convexitatea/concavitatea funcțiilor pe un interval: determinarea punctelor de inflexiune și recunoașterea naturii punctelor de extrem utilizând semnul derivatei de ordinul al doilea". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema intră prin capitolul „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor": programa de examen (OMEN 4430/2014) enumeră acolo „rolul derivatelor de ordin I și de ordinul al II-lea în studiul funcțiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate" și „reprezentarea grafică a funcțiilor". Cuvântul „inflexiune" nu apare ca atare în acel text, iar în modelul oficial al probei M_șt-nat cele trei cerințe ale primei probleme de la Subiectul al III-lea sunt o derivată, o limită și o inegalitate — nicio cerință de inflexiune. Spunem asta cinstit: punctul de inflexiune este parte a studiului cerut, nu o cerință numită. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția verifică patru lucruri: (1) enunțarea completă a definiției, cu „punct interior" și „continuă" spuse, nu subînțelese; (2) parcurgerea tabelului de semn până la capăt, nu oprirea la soluțiile ecuației $f^{\prime \prime }(x)=0$; (3) distincția dintre punctul funcției și punctul graficului; (4) interpretarea în limbajul unui proces real. Patru întrebări de control, de pus oral: „La trecerea prin inflexiune se schimbă valoarea, sensul de variație sau forma?"; „De ce nu e destul ca $f^{\prime \prime }$ să se anuleze?"; „Dă-mi o funcție la care $f^{\prime \prime }$ schimbă semnul și care totuși nu are inflexiune"; „Într-o curbă de creștere, ce înseamnă practic punctul de inflexiune?". Semn că elevul a înțeles: rostește cuvântul „candidat" pentru soluțiile ecuației și trece singur la valoarea $f(x_0)$, fără să fie împins. Continuarea firească este tabelul de variație, unde inflexiunea devine un marcaj într-un tablou care adună tot ce știm despre funcție.

Întrebări frecvente

Cum recunoști un punct de inflexiune direct pe grafic, fără calcule? Te uiți unde curba încetează să se îndoaie într-un sens și începe să se îndoaie în celălalt, adică unde forma $\cup$ lasă locul formei $\cap$ ori invers. Proba sigură este tangenta: în punctul de inflexiune ea traversează graficul, trecând dintr-o parte a curbei în cealaltă, pe când în orice alt punct rămâne de aceeași parte.

Ce diferență este între punctele de inflexiune la M2 și la mate-info (M1)? Definiția și criteriul sunt aceleași, dar la profilul științe ale naturii lista de funcții este mai scurtă: polinoame, funcții raționale simple, exponențiale și logaritmi. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții tratează în plus funcțiile trigonometrice și punctele în care derivata a doua nu există, teme care nu intră în programa de științe ale naturii.

La ce subiect apare inflexiunea la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, prima problemă, care este dedicată studiului unei funcții cu ajutorul derivatelor. Programa de examen cere rolul derivatelor de ordinul I și al II-lea, inclusiv convexitatea, iar punctul de inflexiune este locul unde aceasta se schimbă. În modelul oficial al probei, publicat, prima problemă de analiză cere o derivată, o limită și o inegalitate — nicio cerință de inflexiune; un singur model publicat nu spune însă nimic despre cât de des se cere ea.

Cum verific un candidat, după ce am rezolvat ecuația derivatei a doua? Îi cauți semnul lui $f^{\prime \prime }$ de o parte și de alta, cu câte o probă interioară, și te uiți dacă se schimbă. La $f(x)=x^4+4x-3$, candidatul $0$ pică imediat: $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$ rămâne pozitivă și înainte, și după, deci funcția e convexă peste tot. Verifici apoi și dacă punctul aparține domeniului.

Câte puncte de inflexiune poate avea graficul unei funcții polinomiale? Depinde de gradul funcției. La gradul al doilea, niciunul: derivata a doua e o constantă. La gradul al treilea, exact unul, pentru că derivata a doua e de gradul întâi și își schimbă obligatoriu semnul în singura ei rădăcină. La gradul al patrulea pot fi două, unul sau niciunul, după cum arată rădăcinile trinomului $f^{\prime \prime }$.

Trebuie să demonstrez la examen de ce semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă curbura? Nu. La profilul științe ale naturii legătura dintre semnul derivatei a doua și forma graficului se admite și se folosește ca instrument; demonstrația ei rămâne la profilul matematică-informatică. Ce se cere în schimb este să scrii complet ipoteza — „pe intervalul $I$" — și proba de semn, cu câte un punct de fiecare parte a candidatului.

Cum arăt că o funcție nu are niciun punct de inflexiune? Arăți că derivata a doua păstrează același semn pe fiecare interval din domeniu. Cel mai simplu e când $f^{\prime \prime }$ nu se anulează deloc — de exemplu, la $f(x)=e^x+x^4$ avem $f^{\prime \prime }(x)=e^x+12x^2>0$ pe tot $\mathbb{R}$. Dacă $f^{\prime \prime }$ se anulează totuși, arăți în tabel că semnul din stânga și cel din dreapta coincid.