Puteri cu exponent real: reguli de calcul: pe scurt

Toate regulile de calcul de la exponenți raționali se transmit, prin aproximare, la exponenți reali, cu baze strict pozitive: $a^x{a}^y=a^{x+y}$, $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$, ${\left(a^x\right)}^y=a^{xy}$, $(ab{)}^x=a^x{b}^x$, ${\left(\frac{a}{b}\right)}^x=\frac{a^x}{b^x}$, iar $a^x>0$ pentru orice $x$ real.

Cu asta câștigăm două rezultate esențiale, care deschid ecuațiile din lecțiile viitoare. Monotonia: pentru $a>1$, exponent mai mare dă putere mai mare; pentru $0<a<1$, ordinea se răstoarnă; pentru $a=1$, puterea e constant $1$. **Injectivitatea**: dacă $a>0$, $a\ne 1$ și $a^x=a^y$, atunci $x=y$ — condiția $a\ne 1$ nu se omite niciodată, pentru că orice exponent dă $1^x=1$.

Există și o comparare cu același exponent, baze diferite: pentru $x>0$, baza mai mare dă puterea mai mare; pentru $x<0$, ordinea se răstoarnă.

Rețeta la exerciții: caută exponenți conjugați (a căror sumă sau diferență e un număr întreg) și lucrează simbolic, fără calcul aproximativ — de exemplu $a^{\sqrt{3}+1}\cdot a^{1-\sqrt{3}}=a^2$. Greșeli frecvente: uitarea răsturnării la baze subunitare, omiterea condiției $a\ne 1$ la injectivitate și calculul aproximativ prematur al unor exponenți iraționali, acolo unde se cere o valoare exactă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Proprietatea injectivă a puterilor spune: dacă $a>0,a\ne 1$ și $a^x=a^y$, atunci:

   • a) $x=y$
   • b) nu putem concluziona nimic
   • c) $x=-y$
   • d) $x\cdot y=1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $x=y$

   Injectivitatea funcției $x\mapsto a^x$ (pentru $a\ne 1$) garantează că puteri egale cu aceeași bază au exponenți egali.

2. Calculați $2^{\sqrt{3}+1}\cdot 2^{1-\sqrt{3}}$.

   • a) $2$
   • b) $2^{2\sqrt{3}}$
   • c) $4$
   • d) $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $4$

   Exponenții se adună: $(\sqrt{3}+1)+(1-\sqrt{3})=2$, deci rezultatul este $2^2=4$.

3. Ecuația $1^x=1^y$ implică $x=y$?

   • a) da, întotdeauna, prin injectivitate
   • b) doar dacă $x,y$ sunt numere naturale
   • c) doar dacă $x=0$
   • d) nu, baza $1$ face ca proprietatea de injectivitate să nu se aplice
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) nu, baza $1$ face ca proprietatea de injectivitate să nu se aplice

   Injectivitatea cere explicit $a\ne 1$. Pentru baza $1$, orice exponent dă valoarea $1$, deci $x$ și $y$ pot fi oricât de diferite.