Cum simplific (6^(√2)· 2^(√2))/(3^(√2))?

Toate puterile au exponentul √2, deci lucrezi cu bazele: ((6· 2)/3)^(√2)=4^(√2). Apoi 4^(√2)=(2²)^(√2)=2^(2 √2). Regulile puterilor rămân valabile pentru exponenți iraționali, cu condiția ca bazele să fie pozitive.

Cum compar 2^(√3) cu 3^(√3/2)?

Aduci la același exponent: 3^(√3/2)=(3^(1/2))^(√3)=(√3)^(√3). Acum compari bazele 2 și √3≈ 1,73, iar exponentul comun √3 este pozitiv. Deci 2^(√3)>3^(√3/2), fără nicio aproximare a puterilor și fără calculator.

Cum scriu 1/(5^(- √3)) fără exponent negativ?

Folosești a^(-x)= 1/a^(x): inversul unei puteri cu exponent negativ este puterea cu exponent opus. Deci 1/(5^(- √3))=5^(√3). Regula este aceeași ca la exponenți întregi, doar că acum exponentul este irațional, iar baza trebuie să fie pozitivă.

Cum compar puteri cu același exponent irațional?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Puteri reale: reguli și comparări

Când exponentul $x$ este comun, iar bazele sunt pozitive, decide semnul exponentului. Pentru $x > 0$ ordinea bazelor se păstrează, pentru $x < 0$ se inversează, fiindcă raportul $(\frac{b}{a})^{x}$ este peste sau sub $1$ . Exemplu: $3^{2} > 2^{2}$ , pentru că $3 > 2$ și $2 > 0$ ; numeric, aproximativ $4, 73$ și $2, 67$ . În schimb, $3^{- 2} < 2^{- 2}$ , pentru că exponentul este negativ.

Tot ce ai învățat despre puteri cu exponent fracționar se aplică și exponenților iraționali, dacă bazele sunt strict pozitive. Produsul a două puteri cu aceeași bază adună exponenții, câtul îi scade, iar ridicarea unei puteri la altă putere îi înmulțește; un exponent comun se împarte pe factorii unui produs sau ai unui cât. De ce rezistă totul? Un număr ca $2$ poate fi apropiat oricât de mult de fracții, iar pentru fiecare fracție egalitatea e deja sigură; când fracțiile se strâng spre $2$ , egalitatea merge odată cu ele.

Egalitățile funcționează în ambele direcții: poți uni mai multe puteri într-una singură sau poți sparge o bază mare în factori mici, cum ar fi $1 2^{x} = 4^{x} \cdot 3^{x}$ . Lucrezi mai întâi cu exponenții, apoi, doar la final, treci la valori aproximative.

Dacă exponentul e același și bazele diferă, contează semnul lui. Exponentul pozitiv lasă ordinea bazelor neschimbată; exponentul negativ o inversează; totul se vede comparând cu $1$ raportul $(\frac{b}{a})^{x}$ . Dacă nici baza, nici exponentul nu coincid, încerci să rescrii un număr astfel încât exponenții să devină egali. Legile din geografie și din științe cu exponenți fracționari, precum cea a lungimii râurilor, se calculează exact așa.

De reținut

pentru $a, b > 0$ : $a^{x} b^{x} = (ab)^{x}$ și $\frac{a ^{x}}{b ^{x}} = (\frac{a}{b})^{x}$ , cu $x$ real
exponent comun pozitiv: ordinea bazelor se păstrează
exponent comun negativ: ordinea bazelor se inversează

Greșeala tipică

Se păstrează ordinea bazelor și la exponent negativ, scriind $3^{- 2} > 2^{- 2}$ ; exponentul negativ întoarce inegalitatea.

Exerciții din această mini-lecție

Dintre egalitățile de mai jos, una singură are loc pentru toate valorile reale ale lui $x$ . Care?
- a) $2^{x} + 5^{x} = 7^{x}$
- b) $2^{x} \cdot 5^{x} = 1 0^{x}$
- c) $2^{x} \cdot 5^{x} = 1 0^{2 x}$
- d) $2^{x} \cdot 5^{x} = 7^{x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2^{x} \cdot 5^{x} = 1 0^{x}$

Puterea unui produs se desface pe factori, deci $2^{x} \cdot 5^{x} = (2 \cdot 5)^{x} = 1 0^{x}$ . Pentru sume nu există regulă: la $x = 2$ , $2^{2} + 5^{2} = 29$ , dar $7^{2} = 49$ .
Ordinea crescătoare a numerelor $p = 1, 2^{π}$ , $q = 0, 9^{π}$ și $r = 1^{π}$ este:
- a) $p < r < q$
- b) $r < q < p$
- c) $q < p < r$
- d) $q < r < p$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $q < r < p$

Exponentul comun $π$ este pozitiv, deci ordinea bazelor $0, 9 < 1 < 1, 2$ se păstrează: $0, 9^{π} < 1 < 1, 2^{π}$ , adică $q < r < p$ . Numeric, $q \approx 0, 718$ și $p \approx 1, 773$ .
Numărul $\frac{2 0 ^{3}}{5 ^{3}}$ , scris ca putere a lui $2$ , este:
- a) $2^{23}$
- b) $2^{3}$
- c) $2^{43}$
- d) $2^{3 + 2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2^{23}$

Exponenții sunt egali, deci se împart bazele: $\frac{2 0 ^{3}}{5 ^{3}} = 4^{3} = (2^{2})^{3} = 2^{23}$ .

Întrebări conexe

Cum simplific $\frac{6 ^{2} \cdot 2 ^{2}}{3 ^{2}}$ ?

Toate puterile au exponentul $2$ , deci lucrezi cu bazele: $(\frac{6 \cdot 2}{3})^{2} = 4^{2}$ . Apoi $4^{2} = (2^{2})^{2} = 2^{22}$ . Regulile puterilor rămân valabile pentru exponenți iraționali, cu condiția ca bazele să fie pozitive.

Cum compar $2^{3}$ cu $3^{\frac{3}{2}}$ ?

Aduci la același exponent: $3^{\frac{3}{2}} = (3^{\frac{1}{2}})^{3} = (3)^{3}$ . Acum compari bazele $2$ și $3 \approx 1, 73$ , iar exponentul comun $3$ este pozitiv. Deci $2^{3} > 3^{\frac{3}{2}}$ , fără nicio aproximare a puterilor și fără calculator.

Cum crește lungimea unui râu cu suprafața bazinului după legea lui Hack?

Legea are forma $L = c \cdot A^{0, 6}$ , cu $A$ aria bazinului. Dacă aria crește de $32$ de ori, lungimea crește de $3 2^{0, 6} = (2^{5})^{\frac{3}{5}} = 2^{3} = 8$ ori. Constanta $c$ dispare din raport, deci factorul nu depinde de râul ales.

Pentru ce $a > 0$ are loc inegalitatea $a^{2} < 7^{2}$ ?

Exponentul comun $2$ este pozitiv, deci ordinea puterilor este ordinea bazelor: inegalitatea are loc exact când $a < 7$ . Cu condiția $a > 0$ din definiție, răspunsul este $a \in (0, 7)$ . Dacă exponentul ar fi fost $- 2$ , răspunsul ar fi fost $a > 7$ .

Cum scriu $\frac{1}{5 ^{- 3}}$ fără exponent negativ?

Folosești $a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}$ : inversul unei puteri cu exponent negativ este puterea cu exponent opus. Deci $\frac{1}{5 ^{- 3}} = 5^{3}$ . Regula este aceeași ca la exponenți întregi, doar că acum exponentul este irațional, iar baza trebuie să fie pozitivă.

Oamenii mai întreabă și: compararea puterilor cu același exponent și baze diferite · exponent comun negativ ordinea bazelor · care e mai mare 3 la radical din 2 sau 2 la radical din 2 · puteri cu exponent real comparare

Cum compar puteri cu același exponent irațional?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum simplific 32​62​⋅22​​?

Cum compar 23​ cu 323​​?

Cum crește lungimea unui râu cu suprafața bazinului după legea lui Hack?

Pentru ce a>0 are loc inegalitatea a2​<72​?

Cum scriu 5−3​1​ fără exponent negativ?

Continuă cu

Cum simplific $\frac{6 ^{2} \cdot 2 ^{2}}{3 ^{2}}$ ?

Cum compar $2^{3}$ cu $3^{\frac{3}{2}}$ ?

Pentru ce $a > 0$ are loc inegalitatea $a^{2} < 7^{2}$ ?

Cum scriu $\frac{1}{5 ^{- 3}}$ fără exponent negativ?