Puteri cu exponent real: regulile de calcul

Numărul $2^{\sqrt{2}}$ este irațional: nu îl poți scrie exact nici ca fracție, nici cu radicali, iar calculatorul îți dă doar o aproximare, $2,665144\dots$ La fel stau lucrurile cu $2^{2-\sqrt{2}}\approx 1,500857$. Și totuși, dacă înmulțești aceste două numere imposibil de scris, obții exact $4$ — un număr întreg, curat, fără nicio zecimală. Nu ai nevoie de calculator ca să afli asta; îți ajunge o singură regulă: exponenții se adună, iar $\sqrt{2}+\left(2-\sqrt{2}\right)=2$.

Aceasta este ideea lecției. În lecția anterioară, despre puteri cu exponent irațional, am dat sens simbolului $a^x$ pentru orice exponent real, prin încadrare între puteri raționale. Acum trebuie să răspundem la întrebarea care urmează firesc: regulile de calcul rezistă la această extindere? Răspunsul e da, iar acesta e norocul nostru — pentru că altfel tot capitolul de exponențiale și logaritmi nu ar exista. Pe lângă cele cinci reguli vechi, câștigăm două rezultate noi și foarte puternice: monotonia și injectivitatea, care sunt cheia tuturor ecuațiilor și inecuațiilor din lecțiile următoare.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți toate proprietățile puterilor cu exponent real, cu condițiile asupra bazei.
• Vei ști să explici, prin ideea de aproximare, de ce regulile se transmit de la exponenți raționali la exponenți reali.
• Vei ști să simplifici expresii cu exponenți conjugați, de tipul $a^{\sqrt{3}+1}\cdot a^{1-\sqrt{3}}$, fără să calculezi nimic aproximativ.
• Vei ști să compari două puteri cu aceeași bază, ținând cont dacă baza este supraunitară sau subunitară.
• Vei ști să compari două puteri cu același exponent și baze diferite.
• Vei ști să folosești injectivitatea ($a^x=a^y\Rightarrow x=y$) ca prim instrument de rezolvare a ecuațiilor.

Hai să descoperim împreună

1. De ce trebuie reluate regulile

Ar fi tentant să spunem: „regulile merg la exponenți întregi, merg la exponenți raționali, deci merg peste tot". Dar am văzut deja, în acest capitol, o extindere care eșuează: trecerea la baze negative. O regulă demonstrată într-un caz nu se transferă automat în altul; ea trebuie verificată de fiecare dată când definiția se schimbă.

Or, definiția s-a schimbat radical. La exponenți raționali, $a^{m/n}$ era un radical — un obiect concret, cu care se putea calcula. La exponenți iraționali, $a^x$ este numărul „prins" între două șiruri de puteri raționale. Nu mai avem cu ce calcula direct; avem doar încadrarea. Deci și verificarea regulilor trebuie făcută prin încadrare.

2. Tabloul proprietăților pentru exponenți reali

Iată rezultatul, pe care îl vei folosi până la Bacalaureatul M1. Peste tot: $a>0$, $b>0$ și $x,y\in \mathbb{R}$.

Condiția $a>0$ nu se negociază. Ea a fost necesară la exponenți raționali (unde baza negativă producea contradicții) și e cu atât mai necesară acum: printre aproximările raționale ale unui exponent irațional apar numitori pari, pentru care puterile unei baze negative nici nu sunt numere reale.

3. De ce funcționează: argumentul prin aproximare

Programa cere ca întreaga construcție a puterii cu exponent real să rămână la nivel intuitiv, deci nu vom face demonstrații riguroase (ele cer noțiunea de limită, din clasa a XI-a). Dar ideea se vede foarte clar, și merită înțeleasă.

Să urmărim regula 1. Fie $x$ și $y$ două numere reale oarecare, iar $r_k\to x$ și $t_k\to y$ aproximări raționale ale lor. Pentru fiecare pas $k$, egalitatea este deja demonstrată, pentru că exponenții sunt raționali:

$$a^{r_k}\cdot a^{t_k}=a^{r_k+t_k}.$$

Când $k$ crește, în membrul stâng $a^{r_k}$ se apropie de $a^x$ și $a^{t_k}$ se apropie de $a^y$, deci produsul se apropie de $a^x\cdot a^y$. În membrul drept, $r_k+t_k$ se apropie de $x+y$, deci $a^{r_k+t_k}$ se apropie de $a^{x+y}$. Cum cele două șiruri sunt egale termen cu termen, valorile către care se îndreaptă sunt și ele egale:

$$a^x\cdot a^y=a^{x+y}.$$

Același raționament, cuvânt cu cuvânt, funcționează pentru celelalte reguli. Reține tiparul: o egalitate adevărată la fiecare pas de aproximare rămâne adevărată și pentru numerele către care se îndreaptă aproximările. Este primul contact cu o idee pe care analiza matematică o va transforma într-o teoremă.

4. Monotonia: compararea puterilor cu aceeași bază

Prima proprietate cu adevărat nouă. Ea răspunde la întrebarea: dacă baza e fixă și exponentul crește, ce se întâmplă cu puterea?

Proprietate (monotonia în exponent). Fie $a>0$, $a\ne 1$, și $x,y\in \mathbb{R}$.

• Dacă $a>1$: $x<y⟺a^x<a^y$. Puterea păstrează ordinea.
• Dacă $0<a<1$: $x<y⟺a^x>a^y$. Puterea răstoarnă ordinea.

Justificarea urmează același drum ca la exponenți raționali. Scriem

$$a^y-a^x=a^x\left(a^{y-x}-1\right),$$

iar factorul $a^x$ este mereu strict pozitiv. Rămâne semnul lui $a^{y-x}-1$: pentru $a>1$ și $y-x>0$, puterea $a^{y-x}$ este mai mare decât $1$ (se vede din încadrarea ei între puteri raționale, toate supraunitare), deci diferența e pozitivă. Pentru $0<a<1$, $a^{y-x}<1$ și diferența e negativă.

Cazul $a=1$ e aparte: $1^x=1$ pentru orice $x$, deci nu există nicio ordine de păstrat sau de răsturnat. De aceea, în toate enunțurile care privesc monotonia, baza $1$ se exclude explicit.

Exemplu de folosire. Ce este mai mare, $2^{\sqrt{7}}$ sau $2^{2,6}$? Comparăm exponenții: $\sqrt{7}\approx 2,6458>2,6$. Baza $2>1$ păstrează ordinea, deci $2^{\sqrt{7}}>2^{2,6}$. Dacă baza ar fi fost $0,5$, concluzia s-ar fi inversat.

5. Compararea puterilor cu același exponent

A doua întrebare firească: dacă exponentul e fix și baza crește, ce se întâmplă?

Proprietate. Fie $0<a<b$ și $x\in \mathbb{R}$.

• Dacă $x>0$, atunci $a^x<b^x$.
• Dacă $x<0$, atunci $a^x>b^x$.
• Dacă $x=0$, ambele sunt egale cu $1$.

Justificarea folosește regula 5 din tablou: raportul $\frac{b^x}{a^x}={\left(\frac{b}{a}\right)}^x$, iar $\frac{b}{a}>1$. Pentru $x>0$, o bază supraunitară ridicată la o putere pozitivă dă un număr mai mare decât $1$, deci $b^x>a^x$. Pentru $x<0$, același raport devine subunitar și inegalitatea se răstoarnă.

Exemplu. $2^{\sqrt{3}}\approx 3,322$ și $3^{\sqrt{3}}\approx 6,705$: într-adevăr, $2^{\sqrt{3}}<3^{\sqrt{3}}$, pentru că $2<3$ și exponentul e pozitiv. În schimb $2^{-\sqrt{3}}\approx 0,301$ și $3^{-\sqrt{3}}\approx 0,149$, deci $2^{-\sqrt{3}}>3^{-\sqrt{3}}$ — ordinea s-a răsturnat.

Atenție: nu confunda cele două comparări. La aceeași bază te uiți la exponenți; la același exponent te uiți la baze. Dacă diferă și baza, și exponentul, niciuna dintre reguli nu se aplică direct — atunci vei avea nevoie de logaritmi, din lecțiile următoare.

6. Injectivitatea: din $a^x=a^y$ rezultă $x=y$

Consecința cea mai utilă a monotoniei, și instrumentul de bază al tuturor ecuațiilor exponențiale.

Proprietate. Fie $a>0$, $a\ne 1$. Dacă $a^x=a^y$, atunci $x=y$.

Justificare. Presupunem, prin reducere la absurd, că $x\ne y$; fie, de exemplu, $x<y$. Dacă $a>1$, monotonia dă $a^x<a^y$; dacă $0<a<1$, dă $a^x>a^y$. În ambele situații $a^x\ne a^y$, ceea ce contrazice ipoteza. Deci $x=y$. $■$

Este exact noțiunea de funcție injectivă, pe care ai studiat-o la funcții injective, surjective, bijective: funcția $x\mapsto a^x$ este injectivă pentru orice bază $a>0$, $a\ne 1$.

Condiția $a\ne 1$ este esențială. Pentru $a=1$ avem $1^5=1^{100}=1$, fără ca $5$ să fie $100$. Orice exercițiu care „scapă" baza $1$ produce soluții false.

Prima aplicație, care va fi dezvoltată pe larg în lecția despre ecuații exponențiale elementare: ecuația $2^{x+1}=8^{x-1}$ se rezolvă aducând ambii membri la aceeași bază, $2^{x+1}=2^{3(x-1)}$, apoi egalând exponenții: $x+1=3x-3$, deci $x=2$. Verificare: $2^3=8$ și $8^1=8$. ✓

7. Rețete de calcul: exponenți conjugați

În practică, aproape toate exercițiile din acest capitol se bazează pe un singur truc: exponenții sunt aleși astfel încât părțile iraționale să se anuleze. Iată cele trei tipare, cu exemplele lor:

Tiparul sumei. Exponenții sunt de forma $u$ și $c-u$, deci se adună la un număr întreg:

$$2^{\sqrt{3}+1}\cdot 2^{1-\sqrt{3}}=2^{\left(\sqrt{3}+1\right)+\left(1-\sqrt{3}\right)}=2^2=4.$$

Tiparul diferenței. Exponenții diferă printr-un număr întreg:

$$\frac{7^{\pi }}{7^{\pi -2}}=7^{\pi -(\pi -2)}=7^2=49.$$

Tiparul produsului. La putere de putere, exponenții se înmulțesc, iar produsul e ales întreg:

$${\left(a^{\sqrt{3}+1}\right)}^{\sqrt{3}-1}=a^{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a^{3-1}=a^2.$$

Un al patrulea tipar, ceva mai ascuns, apare când radicalii din exponenți se simplifică între ei. De exemplu $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ și $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, deci

$$\frac{2^{\sqrt{18}}}{2^{\sqrt{8}}}=2^{3\sqrt{2}-2\sqrt{2}}=2^{\sqrt{2}}.$$

Regula de aur, la orice exercițiu de acest tip: nu calcula nimic aproximativ. Lucrează simbolic cu exponenții până când partea irațională dispare. Dacă la final rămâne un exponent irațional, cel mai probabil acesta e răspunsul, nu o etapă intermediară.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei simplificări cu exponenți conjugați

Calculați: a) $3^{\sqrt{5}}\cdot 3^{2-\sqrt{5}}$; b) $\frac{10^{\pi +1}}{10^{\pi -1}}$; c) ${\left(5^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}$.

Rezolvare. a) $3^{\sqrt{5}+\left(2-\sqrt{5}\right)}=3^2=9$.

b) $10^{\left(\pi +1\right)-\left(\pi -1\right)}=10^2=100$.

c) $5^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=5^2=25$.

În toate trei, exponenții iraționali dispar înainte de orice calcul numeric. Dacă ai fi luat calculatorul de la început, ai fi obținut $9,0000001$ sau $24,999999$ — și nu ai fi putut demonstra nimic.

Exemplul 2 — Baze diferite, aduse la o bază comună

Simplificați: a) $\frac{4^{\sqrt{2}}}{2^{\sqrt{2}}}$; b) $\frac{6^{\sqrt{5}}}{2^{\sqrt{5}}\cdot 3^{\sqrt{5}}}$; c) $\frac{9^{\sqrt{3}}}{3^{\sqrt{3}}}$.

Rezolvare. a) Scriem $4=2^2$, deci $4^{\sqrt{2}}={\left(2^2\right)}^{\sqrt{2}}=2^{2\sqrt{2}}$. Atunci

$$\frac{4^{\sqrt{2}}}{2^{\sqrt{2}}}=2^{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}=2^{\sqrt{2}}\approx 2,665.$$

Alternativ, cu regula 5: $\frac{4^{\sqrt{2}}}{2^{\sqrt{2}}}={\left(\frac{4}{2}\right)}^{\sqrt{2}}=2^{\sqrt{2}}$ — mult mai scurt.

b) Cu regula 4 pe numitor: $2^{\sqrt{5}}\cdot 3^{\sqrt{5}}=6^{\sqrt{5}}$, deci raportul este $1$.

c) ${\left(\frac{9}{3}\right)}^{\sqrt{3}}=3^{\sqrt{3}}\approx 6,705$.

Morala: când bazele diferă, întreabă-te întâi dacă una e putere a celeilalte (cazul a) sau dacă se pot grupa într-un produs (cazul b).

Exemplul 3 — Comparare cu aceeași bază

Comparați, cu justificare: a) $2^{\sqrt{2}}$ și $2^{1,5}$; b) ${\left(0,7\right)}^{\sqrt{2}}$ și ${\left(0,7\right)}^{1,5}$.

Rezolvare. În ambele cazuri comparăm întâi exponenții: $\sqrt{2}\approx 1,4142<1,5$.

a) Baza $2>1$ păstrează ordinea, deci $2^{\sqrt{2}}<2^{1,5}$. (Numeric: $2,665<2,828$. ✓)

b) Baza $0,7\in (0,1)$ răstoarnă ordinea, deci ${\left(0,7\right)}^{\sqrt{2}}>{\left(0,7\right)}^{1,5}$. (Numeric: $0,6039>0,5857$. ✓)

Reține tiparul de redactare cerut la Bacalaureatul M1: „comparăm exponenții — precizăm dacă baza e supraunitară sau subunitară — tragem concluzia". Sărirea pasului al doilea costă puncte.

Exemplul 4 — Comparare cu același exponent

Ordonați crescător numerele $2^{\sqrt{5}}$, $3^{\sqrt{5}}$ și ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{5}}$.

Rezolvare. Toate au același exponent, $\sqrt{5}>0$, deci ordinea puterilor urmează ordinea bazelor. Bazele sunt $2$, $3$ și $\frac{1}{2}$, iar $\frac{1}{2}<2<3$. Prin urmare

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{5}}<2^{\sqrt{5}}<3^{\sqrt{5}}.$$

Verificare numerică: $0,212<4,711<11,665$. ✓

Exemplul 5 — Injectivitatea la lucru

Rezolvați în $\mathbb{R}$: a) $3^{2x-1}=3^{x+4}$; b) $5^{x^2-3}=5^{2x}$.

Rezolvare. a) Baza $3>0$ și $3\ne 1$, deci funcția exponențială este injectivă și putem egala exponenții:

$$2x-1=x+4⟹x=5.$$

Verificare: ambii membri devin $3^9$. ✓

b) Din injectivitate, $x^2-3=2x$, adică $x^2-2x-3=0$, cu $\Delta =4+12=16$ și rădăcinile $x_1=3$, $x_2=-1$.

Verificare: pentru $x=3$, ambii membri sunt $5^6$; pentru $x=-1$, ambii sunt $5^{-2}$. ✓ Mulțimea soluțiilor este $S=\{-1,3\}$.

Observă că, spre deosebire de ecuațiile logaritmice, aici nu apar condiții de existență: $a^x$ e definit pentru orice $x$ real. Verificarea rămâne totuși obligatorie, ca disciplină de redactare.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numerele $A=3^{\sqrt{5}+1}\cdot 3^{1-\sqrt{5}}$ și $B={\left(2^{\sqrt{6}}\right)}^{\sqrt{6}}$. a) Arătați că $A=9$. b) Arătați că $B=64$. c) Arătați că $A\cdot B$ este pătrat perfect.

Rezolvare. a) Aplicăm regula produsului puterilor cu aceeași bază:

$$A=3^{\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(1-\sqrt{5}\right)}=3^2=9.$$

b) Aplicăm regula puterii unei puteri:

$$B=2^{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=2^6=64.$$

c) $A\cdot B=9\cdot 64=576$. Cum $576=24^2$, numărul este pătrat perfect. (Se putea vedea și fără înmulțire: $9=3^2$ și $64=8^2$, iar produsul a două pătrate perfecte este pătrat perfect, ${\left(3\cdot 8\right)}^2=24^2$.)

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Regula de aur: lucrează simbolic cu exponenții, nu cu aproximări numerice. Valorile numerice se folosesc doar la comparări și doar pentru a decide ordinea exponenților.

1. Calculați: $2^{\sqrt{5}}\cdot 2^{-\sqrt{5}}$, $3^{\sqrt{2}}\cdot 3^{2-\sqrt{2}}$, $\frac{7^{\pi }}{7^{\pi -1}}$.

2. Calculați: ${\left(2^{\sqrt{3}}\right)}^{\sqrt{3}}$, ${\left(5^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}$, ${\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{7}}\right)}^{\sqrt{7}}$.

3. Simplificați: $\frac{4^{\sqrt{2}}}{2^{\sqrt{2}}}$, $\frac{9^{\sqrt{3}}}{3^{\sqrt{3}}}$, $\frac{6^{\sqrt{5}}}{2^{\sqrt{5}}\cdot 3^{\sqrt{5}}}$.

4. Arătați că, pentru orice $a>0$, ${\left(a^{\sqrt{3}+1}\right)}^{\sqrt{3}-1}=a^2$.

5. Comparați, cu justificare: $2^{\sqrt{7}}$ cu $2^{2,6}$ și $2^{\sqrt{7}}$ cu $2^{2,7}$.

6. Comparați, cu justificare: ${\left(0,7\right)}^{\sqrt{2}}$ cu ${\left(0,7\right)}^{1,5}$ și ${\left(0,7\right)}^{\sqrt{2}}$ cu ${\left(0,7\right)}^{1,4}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $a>0$ și orice $x\in \mathbb{R}$ avem $a^x>0$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a>0$ și $a^x=a^y$, atunci $x=y$."

9. Comparați $2^{\sqrt{3}}$ cu $3^{\sqrt{3}}$, apoi $2^{-\sqrt{3}}$ cu $3^{-\sqrt{3}}$. Explicați de ce ordinea se schimbă.

10. Ordonați crescător: $2^{1,4}$, $2^{\sqrt{2}}$, $2^{1,5}$, $2^{\sqrt{3}}$.

11. Rezolvați în $\mathbb{R}$: $3^{2x-1}=3^{x+4}$.

12. Rezolvați în $\mathbb{R}$: $5^{x^2-3}=5^{2x}$.

13. (Problemă aplicată.) O colonie de bacterii are, după $t$ ore, $N(t)=N_0\cdot 2^t$ indivizi. Arătați că, indiferent de momentul de pornire, populația se înmulțește cu $8$ în orice interval de $3$ ore — verificând, în particular, raportul dintre momentele $t=\sqrt{2}+3$ și $t=\sqrt{2}$.

14. Simplificați $\frac{2^{\sqrt{18}}}{2^{\sqrt{8}}}$, scriind rezultatul ca o singură putere.

15. Arătați că $10^{\sqrt{3}}\cdot 10^{2-\sqrt{3}}=100$ și deduceți valoarea lui $10^{2-\sqrt{3}}$, știind că $10^{\sqrt{3}}\approx 53,96$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=5^{\sqrt{7}+1}\cdot 5^{1-\sqrt{7}}$ și $B={\left(3^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}$. a) Arătați că $A=25$. b) Arătați că $B=9$. c) Determinați numărul întreg $n$ pentru care $A-B=n^2$.

17. Rezolvați în $\mathbb{R}$: $2^{x+1}=8^{x-1}$.

18. (Provocare.) Se știe că ${\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}\approx 1,6325$, dar nu se poate decide prin mijloace elementare dacă acest număr este rațional sau irațional. Demonstrați totuși, folosind doar regulile din lecție, că există două numere iraționale $u$ și $v$ pentru care $u^v$ este rațional. (Indicație: analizează cele două cazuri posibile pentru ${\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}$.)

Răspunsuri și explicații

1. $2^{\sqrt{5}-\sqrt{5}}=2^0=1$; $3^{\sqrt{2}+2-\sqrt{2}}=3^2=9$; $7^{\pi -(\pi -1)}=7^1=7$.

2. $2^{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=2^3=8$; $5^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=5^2=25$; ${\left(\frac{1}{2}\right)}^7=\frac{1}{128}$.

3. ${\left(\frac{4}{2}\right)}^{\sqrt{2}}=2^{\sqrt{2}}$; ${\left(\frac{9}{3}\right)}^{\sqrt{3}}=3^{\sqrt{3}}$; $\frac{6^{\sqrt{5}}}{6^{\sqrt{5}}}=1$ (la numitor am folosit $2^{\sqrt{5}}\cdot 3^{\sqrt{5}}=6^{\sqrt{5}}$).

4. Exponentul rezultat este $\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)={\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2=3-1=2$, deci expresia este $a^2$. Condiția $a>0$ e obligatorie pentru ca puterile cu exponent irațional să aibă sens.

5. $\sqrt{7}\approx 2,6458$. Cum $2,6<\sqrt{7}<2,7$ și baza $2>1$ păstrează ordinea, avem $2^{2,6}<2^{\sqrt{7}}<2^{2,7}$. (Numeric: $6,063<6,258<6,498$.)

6. $1,4<\sqrt{2}\approx 1,4142<1,5$, iar baza $0,7<1$ răstoarnă ordinea, deci ${\left(0,7\right)}^{1,5}<{\left(0,7\right)}^{\sqrt{2}}<{\left(0,7\right)}^{1,4}$. Așadar ${\left(0,7\right)}^{\sqrt{2}}>{\left(0,7\right)}^{1,5}$ și ${\left(0,7\right)}^{\sqrt{2}}<{\left(0,7\right)}^{1,4}$.

7. Adevărat. Puterea cu exponent real este prinsă între puteri cu exponent rațional, toate strict pozitive, deci este strict pozitivă. Nicio putere cu bază pozitivă nu poate fi nulă sau negativă.

8. Fals, așa cum e formulat: lipsește condiția $a\ne 1$. Contraexemplu: $1^2=1^5=1$, dar $2\ne 5$. Enunțul devine adevărat dacă adăugăm $a\ne 1$.

9. Exponentul $\sqrt{3}>0$ și $2<3$, deci $2^{\sqrt{3}}<3^{\sqrt{3}}$ ($3,322<6,705$). La exponentul $-\sqrt{3}<0$ ordinea se răstoarnă: $2^{-\sqrt{3}}>3^{-\sqrt{3}}$ ($0,301>0,149$). Explicația: ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ este supraunitar pentru $x>0$ și subunitar pentru $x<0$.

10. Ordonăm exponenții: $1,4<\sqrt{2}\approx 1,4142<1,5<\sqrt{3}\approx 1,7321$. Baza $2>1$ păstrează ordinea, deci $2^{1,4}<2^{\sqrt{2}}<2^{1,5}<2^{\sqrt{3}}$.

11. Baza $3\ne 1$, deci egalăm exponenții: $2x-1=x+4$, de unde $x=5$. Verificare: $3^9=3^9$. ✓

12. Egalăm exponenții: $x^2-3=2x$, adică $x^2-2x-3=0$, cu $\Delta =16$ și soluțiile $x=3$, $x=-1$. Verificare: $5^6=5^6$ și $5^{-2}=5^{-2}$. ✓ $S=\{-1,3\}$.

13. Raportul dintre populația de la momentul $t+3$ și cea de la momentul $t$ este $\frac{N_0\cdot 2^{t+3}}{N_0\cdot 2^t}=2^{(t+3)-t}=2^3=8$, indiferent de $t$. În particular, pentru $t=\sqrt{2}$: $\frac{2^{\sqrt{2}+3}}{2^{\sqrt{2}}}=8$, deși ambele valori sunt iraționale.

14. $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ și $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, deci $\frac{2^{3\sqrt{2}}}{2^{2\sqrt{2}}}=2^{3\sqrt{2}-2\sqrt{2}}=2^{\sqrt{2}}$.

15. $10^{\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}=10^2=100$. De aici $10^{2-\sqrt{3}}=\frac{100}{10^{\sqrt{3}}}\approx \frac{100}{53,96}\approx 1,853$.

16. a) $A=5^{\left(\sqrt{7}+1\right)+\left(1-\sqrt{7}\right)}=5^2=25$. b) $B=3^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=3^2=9$. c) $A-B=25-9=16=4^2$, deci $n=4$ (sau $n=-4$).

17. Aducem la baza $2$: $8=2^3$, deci $8^{x-1}=2^{3(x-1)}=2^{3x-3}$. Din injectivitate, $x+1=3x-3$, adică $2x=4$, deci $x=2$. Verificare: $2^3=8$ și $8^1=8$. ✓

18. Notăm $c={\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}$ și analizăm cele două cazuri posibile. Cazul 1: dacă $c$ este rațional, luăm $u=v=\sqrt{2}$ și am terminat, pentru că $\sqrt{2}$ este irațional. Cazul 2: dacă $c$ este irațional, luăm $u=c$ și $v=\sqrt{2}$; atunci

$$u^v={\left({\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}={\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}={\left(\sqrt{2}\right)}^2=2,$$

care este rațional. În ambele cazuri există perechea căutată. Frumusețea demonstrației: ea garantează existența fără să spună care dintre cele două perechi funcționează — un exemplu celebru de demonstrație neconstructivă.

De reținut

• Toate regulile de calcul se păstrează pentru exponenți reali, cu baze strict pozitive: $a^x{a}^y=a^{x+y}$, $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$, ${\left(a^x\right)}^y=a^{xy}$, $(ab{)}^x=a^x{b}^x$, ${\left(\frac{a}{b}\right)}^x=\frac{a^x}{b^x}$, iar $a^x>0$ întotdeauna.
• Monotonia în exponent: pentru $a>1$, exponent mai mare înseamnă putere mai mare; pentru $0<a<1$, ordinea se răstoarnă; pentru $a=1$, puterea e constant egală cu $1$.
• Comparare cu același exponent: pentru $x>0$, baza mai mare dă puterea mai mare; pentru $x<0$, ordinea se răstoarnă.
• Injectivitatea: dacă $a>0$, $a\ne 1$ și $a^x=a^y$, atunci $x=y$. Este instrumentul de bază al ecuațiilor exponențiale. Condiția $a\ne 1$ nu se omite niciodată.
• Rețeta exercițiilor: caută exponenții conjugați (suma, diferența sau produsul lor să fie întreg) și lucrează simbolic. Nu calcula valori aproximative decât pentru comparări.

Greșeli frecvente

• Uitarea răsturnării la baze subunitare. Din $\sqrt{2}<1,5$ nu rezultă ${\left(0,7\right)}^{\sqrt{2}}<{\left(0,7\right)}^{1,5}$, ci invers. Verifică întotdeauna dacă baza e mai mare sau mai mică decât $1$.
• Omiterea condiției $a\ne 1$ la injectivitate. Baza $1$ face orice exponent să dea $1$, deci egalarea exponenților produce soluții false.
• Amestecarea celor două comparări. La aceeași bază compari exponenții; la același exponent compari bazele. Dacă diferă amândouă, niciuna dintre reguli nu se aplică — ai nevoie de logaritmi.
• Calculul aproximativ prematur. A înlocui $2^{\sqrt{2}}\approx 2,665$ la începutul unui exercițiu de tip „arătați că numărul este natural" duce la un rezultat aproximativ, deci la zero puncte pe demonstrație.
• Aplicarea regulilor la sume de baze. ${\left(a+b\right)}^x\ne a^x+b^x$ — la fel ca la exponenți raționali, regulile privesc doar produse și câturi.

Aplică acasă

1. Fabrica de exerciții. Inventează cinci exerciții de tip Bacalaureat M1, alegând tu perechile de exponenți conjugați: sume de forma $u+(c-u)$, diferențe de forma $u-(u-c)$ și produse de forma $\left(\sqrt{n}+1\right)\left(\sqrt{n}-1\right)$. Dă-le unui coleg și verifică-i rezolvarea — vei înțelege mecanismul mult mai bine construind exerciții decât rezolvându-le.

2. Testul calculatorului. Verifică pe telefon egalitatea $2^{\sqrt{2}}\cdot 2^{2-\sqrt{2}}=4$. Vei obține, probabil, $3,9999999$ sau $4,0000001$. Explică-i cuiva din familie de ce calculatorul greșește ultima cifră, deși matematica dă exact $4$: el lucrează cu aproximări, tu lucrezi cu reguli.

3. Ordinea din natură. Caută pe internet două mărimi care cresc exponențial (populația unei specii, un cont cu dobândă compusă, numărul de tranzistori dintr-un procesor). Pentru fiecare, calculează raportul dintre valorile la două momente aflate la aceeași distanță în timp, în două locuri diferite ale graficului. Vei constata că raportul e mereu același — exact proprietatea 2 din tablou.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide construcția puterii cu exponent real și pregătește tot ce urmează: funcția exponențială, logaritmii, ecuațiile și inecuațiile. Cele două rezultate noi — monotonia și injectivitatea — sunt, de fapt, teoremele pe care se sprijină toată rezolvarea de ecuații exponențiale din clasa a X-a și o bună parte din subiectele de Bacalaureat M1.

Ce verifică lecția: (1) elevul enunță regulile cu tot cu condiția $a>0$; (2) știe să distingă între compararea cu aceeași bază și cea cu același exponent; (3) nu omite condiția $a\ne 1$ atunci când egalează exponenții; (4) lucrează simbolic, fără aproximări premature. Întrebări bune de control: „Ce se întâmplă cu ordinea dacă baza e $0,5$?", „De ce nu putem egala exponenții dacă baza e $1$?", „Cum compari $2^{\sqrt{3}}$ cu $3^{\sqrt{3}}$?".

Semne că elevul a înțeles: rezolvă $3^{\sqrt{5}+1}\cdot 3^{1-\sqrt{5}}$ în trei secunde, fără calculator; explică singur de ce calculatorul afișează $3,9999999$ acolo unde răspunsul e $4$; nu se blochează când exponentul rămâne irațional la final. La Bacalaureat M1, exercițiile de acest tip apar constant la Subiectul I, formulate ca „arătați că numărul $N$ este natural" sau „comparați numerele". Lecția următoare, despre funcția putere cu exponent real, schimbă perspectiva: acolo exponentul va fi fix, iar baza va deveni variabilă.

Întrebări frecvente

Care sunt proprietățile puterilor cu exponent real? Sunt aceleași cinci ca la exponenți raționali, valabile pentru baze strict pozitive: produsul ($a^x{a}^y=a^{x+y}$), câtul ($a^x:a^y=a^{x-y}$), puterea unei puteri (${\left(a^x\right)}^y=a^{xy}$), puterea unui produs și puterea unui cât. La ele se adaugă faptul că $a^x>0$ întotdeauna, monotonia în exponent și injectivitatea.

Cum compar două puteri cu aceeași bază? Compari exponenții și te uiți la bază. Dacă baza este mai mare decât $1$, puterea mai mare corespunde exponentului mai mare. Dacă baza este între $0$ și $1$, ordinea se răstoarnă: exponent mai mare înseamnă putere mai mică.

Cum compar două puteri cu același exponent? Compari bazele și te uiți la semnul exponentului. Pentru exponent pozitiv, baza mai mare dă puterea mai mare ($2^{\sqrt{3}}<3^{\sqrt{3}}$). Pentru exponent negativ, ordinea se răstoarnă ($2^{-\sqrt{3}}>3^{-\sqrt{3}}$).

Din $a^x=a^y$ rezultă întotdeauna $x=y$? Numai dacă $a\ne 1$ (și, evident, $a>0$). Pentru $a=1$ toate puterile sunt egale cu $1$, deci egalitatea nu spune nimic despre exponenți. Această condiție este prima pe care o scrii la orice ecuație exponențială.

De ce nu calculez direct $2^{\sqrt{2}}$ la exerciții? Pentru că valoarea sa este irațională, deci orice calcul numeric este aproximativ. Exercițiile de acest tip se rezolvă simbolic: aduni sau înmulțești exponenții până când partea irațională dispare, exact ca la $2^{\sqrt{2}}\cdot 2^{2-\sqrt{2}}=4$.

Ce înseamnă „exponenți conjugați"? Este numele practic dat perechilor de exponenți alese astfel încât părțile iraționale să se anuleze: $\sqrt{3}+1$ și $1-\sqrt{3}$ (suma $2$), $\pi$ și $\pi -2$ (diferența $2$), $\sqrt{3}+1$ și $\sqrt{3}-1$ (produsul $2$). Recunoașterea lor rezolvă majoritatea exercițiilor de la Subiectul I.

De ce se păstrează regulile la trecerea de la exponenți raționali la exponenți reali? Pentru că fiecare regulă este adevărată la fiecare pas al aproximării, cu exponenți raționali. Cum aproximările se strâng oricât de mult în jurul exponenților reali, egalitatea se transmite și valorilor către care ele se îndreaptă. Argumentul riguros folosește limite și se face în clasa a XI-a.

Unde apar aceste reguli la Bacalaureat M1? Peste tot în capitolul de exponențiale și logaritmi: la Subiectul I ca exerciții scurte de simplificare sau comparare, la Subiectele II și III ca pași intermediari în ecuații, inecuații și probleme de modelare. O eroare de semn la monotonia bazelor subunitare este printre cele mai frecvente pierderi de puncte.