Rădăcini conjugate: raționali și reali (M2, științe ale naturii)

Un laborator măsoară o mărime și obține $4,236$; teoria spune că valoarea exactă ar trebui să fie $2+\sqrt{5}$. Un inginer rulează o simulare de vibrații și primește, printre rezultate, numărul $6+i$. În amândouă cazurile modelul de la care s-a plecat era o ecuație cu coeficienți obișnuiți — numere întregi sau fracții —, iar răspunsul a ieșit cu radical sau cu parte imaginară. Lecția aceasta, de clasa a 12-a, de la profilul științe ale naturii (M2), arată că într-o astfel de situație răspunsul nu vine niciodată singur: are întotdeauna un însoțitor, obținut schimbând un singur semn. Din perechea aceasta și din relațiile lui Viète se reconstituie apoi întreaga ecuație, iar tema se cere la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al II-lea.

Tema face parte din suplimentul pentru bacalaureatul M2 din sesiunile 2027, 2028 și 2029: programa de examen, cea din 2014, o cere explicit la capitolul de polinoame — „Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$" —, în timp ce programa nouă de la științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu mai are capitolul de polinoame în clasa a XII-a. Dacă dai examenul în una dintre aceste trei sesiuni, lecția e materie de examen; dacă ești în prima promoție a programei noi, ea rămâne lectură utilă, dar nu se cere.

O graniță care merită spusă din prima propoziție, ca să știi ce cauți aici. La Rădăcinile raționale ale unei ecuații algebrice pornești de la coeficienți și cauți printre fracțiile $\frac{p}{q}$ cu $p$ divizor al termenului liber și $q$ divizor al coeficientului dominant. Aici mergi exact invers: pornești de la o rădăcină dată, care nu e rațională, și afli restul. Ecuațiile din lecția de față au, toate, un factor de gradul al doilea pe care ecranarea cu divizori nu-l atinge.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști perechea unei rădăcini de forma $a+b\sqrt{c}$ și condiția care o garantează: coeficienți raționali.
• Vei ști să recunoști perechea unei rădăcini de forma $a+bi$ și condiția care o garantează: coeficienți reali.
• Vei ști să construiești trinomul unei perechi conjugate din suma și produsul ei, cu relațiile lui Viète.
• Vei ști să rezolvi complet o ecuație de gradul al treilea sau al patrulea când ți se dă una dintre rădăcinile ei conjugate.
• Vei ști să reconstitui ecuația de grad minim, cu coeficienți raționali sau reali, care are niște rădăcini date.
• Vei ști să verifici ipoteza înainte de a aplica regula și să recunoști situațiile în care ea nu se aplică.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu poate o rădăcină cu radical să fie singură?

Ia ecuația $x^3-6x^2-5x+22=0$ și numărul $4+\sqrt{5}$. Că el este rădăcină se verifică prin calcul direct, iar calculul are un tipar care spune totul. Ridicăm la pătrat: ${\left(4+\sqrt{5}\right)}^2=16+8\sqrt{5}+5=21+8\sqrt{5}$. Înmulțim încă o dată: ${\left(4+\sqrt{5}\right)}^3=\left(21+8\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)=84+21\sqrt{5}+32\sqrt{5}+40=124+53\sqrt{5}$. Înlocuim:

$$\left(124+53\sqrt{5}\right)-6\left(21+8\sqrt{5}\right)-5\left(4+\sqrt{5}\right)+22=(124-126-20+22)+(53-48-5)\sqrt{5}=0+0\sqrt{5}$$

Privește cu atenție ultimul rând. Rezultatul s-a despărțit singur în două bucăți: o parte fără radical și o parte înmulțită cu $\sqrt{5}$. Amândouă au ieșit nule, și nu puteau ieși altfel: o sumă $u+v\sqrt{5}$, cu $u$ și $v$ raționale, este zero exact atunci când $u=0$ și $v=0$ — altfel am obține $\sqrt{5}=-\frac{u}{v}$, adică un număr irațional scris ca fracție de întregi.

Acum schimbă semnul radicalului peste tot. Fiecare $\sqrt{5}$ devine $-\sqrt{5}$, deci $u+v\sqrt{5}$ devine $u-v\sqrt{5}$. Dar $u$ și $v$ sunt aceleași numere ca înainte, fiindcă provin din coeficienți raționali și din puterile lui $4$ — iar ele sunt nule. Prin urmare și $4-\sqrt{5}$ este rădăcină, fără să mai calculăm nimic.

Perechea conjugată pătratică este alcătuită din numerele $a+b\sqrt{c}$ și $a-b\sqrt{c}$, cu $a$, $b$ raționale, $b\ne 0$, iar $c$ rațional pozitiv care nu este pătratul unui număr rațional: cele două numere diferă numai prin semnul dinaintea radicalului, iar suma și produsul lor sunt raționale.

Teorema rădăcinilor pătratice conjugate. Dacă o ecuație algebrică are toți coeficienții raționali și dacă numărul $a+b\sqrt{c}$, cu $a$, $b$ raționale, $b\ne 0$, iar $c$ rațional pozitiv care nu este pătratul unui număr rațional, este rădăcină a ei, atunci și $a-b\sqrt{c}$ este rădăcină a aceleiași ecuații.

Cele trei condiții contează toate: coeficienții să fie raționali, $b$ să fie nenul (altfel nu există radical) și $c$ să nu fie pătrat perfect (altfel $\sqrt{c}$ e rațional și nu avem ce conjuga). Perechea aceasta a mai fost folosită, cu alt scop, la raționalizarea numitorilor din clasa a IX-a.

2. Ce trinom ascunde o pereche?

Perechea nu se folosește ca două numere separate, ci ca un singur bloc. Dacă $x_1=a+b\sqrt{c}$ și $x_2=a-b\sqrt{c}$, atunci

$$x_1+x_2=2a,x_1\cdot x_2=a^2-b^{2}c$$

— amândouă raționale, pentru că radicalul se reduce. Cu relațiile lui Viète pentru gradul al doilea, studiate la Relațiile lui Viète, până la gradul 4, cele două numere sunt rădăcinile trinomului

$$x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2=x^2-2ax+\left(a^2-b^{2}c\right)$$

Aici stă toată puterea metodei: perechea, oricât de urât arată luată bucată cu bucată, dă un trinom cu coeficienți raționali. Iar dacă ecuația inițială are și ea coeficienți raționali, trinomul o divide, deci împărțirea coboară gradul cu doi dintr-o singură mișcare.

Reține și semnul discriminantului, fiindcă e proba ta de control: la o pereche pătratică $\Delta =4b^{2}c>0$ și nu e pătrat perfect, la o pereche complexă (secțiunea următoare) $\Delta <0$. Un trinom cu $\Delta$ pătrat perfect nu poate proveni dintr-o pereche conjugată — are rădăcini raționale, adică este treaba lecției despre rădăcini raționale.

3. Aceeași poveste cu partea imaginară

Numerele complexe scrise sub forma algebrică $z=a+bi$ și conjugatul $\bar{z}=a-bi$ le-ai întâlnit în suplimentul clasei a X-a. Conjugarea are trei proprietăți pe care le vom folosi: $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$, $\overline{zw}=\bar{z}\cdot \bar{w}$ și $\bar{r}=r$ pentru orice număr real $r$.

Fie $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0$ cu toți coeficienții reali și fie $z$ o rădăcină, adică $f(z)=0$. Conjugăm egalitatea. Suma trece în sumă, produsul în produs, iar fiecare coeficient rămâne pe loc, fiind real:

$$\overline{f(z)}=a_n{\bar{z}}^n+\cdots +a_1\bar{z}+a_0=f\left(\bar{z}\right)$$

Cum $\overline{f(z)}=\bar{0}=0$, rezultă $f\left(\bar{z}\right)=0$.

Teorema rădăcinilor complexe conjugate. Dacă o ecuație algebrică are toți coeficienții reali și dacă numărul nereal $z=a+bi$ este rădăcină a ei, atunci și $\bar{z}=a-bi$ este rădăcină.

Trinomul perechii se scrie la fel, prin sumă și produs: $z+\bar{z}=2a$ și $z\bar{z}=a^2+b^2$, deci blocul este $x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)$, cu coeficienți reali și cu $\Delta =-4b^2<0$. Pentru perechea $7\pm i$, de pildă, suma este $14$, produsul $49+1=50$, iar trinomul $x^2-14x+50$; nu e nevoie să înmulțești paranteze ca să-l obții.

4. Ce spune asta despre numărul rădăcinilor?

Două consecințe se citesc direct din teoremă și amândouă se folosesc în exercițiile de mai jos.

Prima: la o ecuație cu coeficienți reali, rădăcinile nereale apar în număr par, fiindcă vin grupate câte două. A doua, care e chiar consecința primei: când gradul este impar, cel puțin un loc rămâne neocupat de perechi, iar rădăcina care îl ocupă nu poate fi decât reală.

Merită observat și ce nu spune teorema. Ea nu garantează că o ecuație de grad par are rădăcini nereale, nici că are rădăcini reale; spune doar că, dacă apar rădăcini nereale, ele apar în perechi.

5. Unde se rupe regula

Ipoteza despre coeficienți nu e o formalitate. Ia ecuația

$$x^2-\left(3+\sqrt{2}\right)x+3\sqrt{2}=0$$

Ea se descompune imediat, fiindcă suma rădăcinilor este $3+\sqrt{2}$ și produsul $3\sqrt{2}$: rădăcinile sunt $3$ și $\sqrt{2}$. Numărul $\sqrt{2}$ este rădăcină, dar $-\sqrt{2}$ nu este: înlocuind, obții $2+3\sqrt{2}+2+3\sqrt{2}=4+6\sqrt{2}\ne 0$. Nicio contradicție: coeficientul lui $x$ este $-\left(3+\sqrt{2}\right)$, care nu e rațional, deci teorema nu se aplică.

Aceeași atenție și în celălalt sens: pentru perechea pătratică se cere ca toți coeficienții să fie raționali, nu doar reali. O ecuație cu coeficienți reali poate avea rădăcina $\sqrt{7}$ fără să o aibă și pe $-\sqrt{7}$, tocmai pentru că printre coeficienți se poate ascunde un irațional. Verifică întotdeauna unde stau coeficienții înainte de a scrie perechea.

6. Cum arată drumul, de la cap la coadă

Când ți se dă o rădăcină conjugată și ți se cere restul, drumul are patru pași și nu are variante:

1. citești câmpul coeficienților — raționali sau reali — și scrii perechea;
2. formezi trinomul din suma și produsul perechii, fără să înmulțești paranteze;
3. împarți ecuația la trinom, prin algoritmul de la Teorema împărțirii cu rest și schema lui Horner, și rezolvi câtul;
4. verifici, fie înmulțind factorii înapoi, fie cu suma rădăcinilor din prima relație a lui Viète.

Când ți se cere invers — ecuația, pornind de la rădăcini — pașii 1 și 2 rămân, iar la 3 înmulțești blocurile în loc să împarți.

7. La ce folosește într-un model din științe

Un model de vibrații sau de circuit ajunge des la o ecuație cu coeficienți obținuți din mărimi fizice, deci reale. Când rezolvarea numerică scoate o valoare nereală $a+bi$, teorema spune că lista de rezultate mai conține una: $a-bi$. Asta e un control gratuit al calculului — dacă în listă apare $-1,5+4i$ și nu apare $-1,5-4i$, undeva s-a pierdut o soluție sau coeficienții nu sunt toți reali.

Merită spus și ce nu se citește din ecuație. Că o mărime fizică este pozitivă, că o concentrație nu depășește $100\%$, că un timp nu curge înapoi — niciuna dintre aceste condiții nu e cuprinsă în coeficienți. Ecuația dă toate rădăcinile; alegerea celor cu sens fizic se face după, cu motivarea scrisă.

8. Ce se cere efectiv la examenul M2 din materia aceasta

La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen — cea din 2014 — conține, la capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ", rândul „Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$", precedat de rândul „Rădăcini ale polinoamelor, relațiile lui Viète pentru polinoame de grad cel mult $4$". Lecția de față acoperă exact partea de coeficienți în $\mathbb{Q}$ și în $\mathbb{R}$ a primului rând, cu uneltele din al doilea.

Despre forma probei, sursa cea mai apropiată este modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii. Acolo se scrie că toate subiectele sunt obligatorii, că se acordă zece puncte din oficiu și că timpul de lucru este de trei ore; cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte. Subiectul al II-lea are două probleme, fiecare cu trei cerințe: prima este un calcul cu matrice, a doua o cerință despre un polinom. Nici sistemele de ecuații, nici structurile algebrice nu apar în acel model; amândouă vin din programa de examen din 2014. Cerințele din lecție sunt construite pe rândul din programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O rădăcină cu radical, la coeficienți raționali

Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^3-15x^2+61x-75=0$, știind că $6+\sqrt{11}$ este rădăcină.

Rezolvare. Coeficienții $1$, $-15$, $61$, $-75$ sunt întregi, deci raționali: se aplică prima teoremă și $6-\sqrt{11}$ este și ea rădăcină.

Trinomul perechii: suma este $12$, produsul este $36-11=25$, deci blocul este $x^2-12x+25$.

Împărțim. Câtul are gradul întâi și este monic, iar termenul lui liber $q$ se află din termenul liber al ecuației: $25\cdot q=-75$, deci $q=-3$ și câtul este $x-3$. Proba, prin înmulțire:

$$\left(x^2-12x+25\right)(x-3)=x^3-3x^2-12x^2+36x+25x-75=x^3-15x^2+61x-75$$

A treia rădăcină este $3$. Soluțiile sunt $x\in \left\{3,6+\sqrt{11},6-\sqrt{11}\right\}$. Control cu Viète: suma lor este $3+12=15$, iar $-\frac{-15}{1}=15$.

Exemplul 2 — O rădăcină nereală, la coeficienți reali

Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^3+13x+34=0$, știind că $1+4i$ este rădăcină.

Rezolvare. Coeficienții sunt reali (chiar întregi, iar cel al lui $x^2$ este $0$), deci și $1-4i$ este rădăcină.

Trinomul perechii: suma este $2$, produsul este $1^2+4^2=17$, deci blocul este $x^2-2x+17$.

Câtul este de forma $x+q$, cu $17q=34$, deci $q=2$. Proba:

$$\left(x^2-2x+17\right)(x+2)=x^3+2x^2-2x^2-4x+17x+34=x^3+13x+34$$

A treia rădăcină este $-2$. Soluțiile sunt $x\in \{-2,1+4i,1-4i\}$ — o rădăcină reală și o pereche, cum trebuie la grad impar cu coeficienți reali.

Exemplul 3 — Ecuația de grad minim cu rădăcini date

Determină ecuația de grad minim, monică, cu coeficienți raționali, care are printre rădăcini numerele $1+\sqrt{6}$ și $5$.

Rezolvare. Coeficienții trebuie să fie raționali, deci $1-\sqrt{6}$ este obligatoriu și ea rădăcină: avem cel puțin trei rădăcini, iar gradul minim este $3$.

Perechea dă suma $2$ și produsul $1-6=-5$, deci trinomul $x^2-2x-5$. Înmulțim cu $x-5$:

$$\left(x^2-2x-5\right)(x-5)=x^3-5x^2-2x^2+10x-5x+25=x^3-7x^2+5x+25$$

Ecuația cerută este $x^3-7x^2+5x+25=0$. Verificare: toți coeficienții sunt raționali, iar pentru $x=5$ obținem $125-175+25+25=0$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Ecuația $x^3-8x^2+x+22=0$ are coeficienți raționali și rădăcina $3+2\sqrt{5}$, deci are și rădăcina $-3-2\sqrt{5}$. Trinomul lor are suma $0$ și produsul $-{\left(3+2\sqrt{5}\right)}^2$, deci este $x^2-29-12\sqrt{5}$." Unde a greșit și cum arată rezolvarea corectă?

Rezolvare. Greșeala e la primul pas: conjugatul nu se obține schimbând semnul întregului număr, ci numai semnul dinaintea radicalului. Perechea lui $3+2\sqrt{5}$ este $3-2\sqrt{5}$, nu $-3-2\sqrt{5}$. Se vede imediat că perechea propusă de elev e greșită: trinomul la care ajunge are coeficienți iraționali, ceea ce contrazice chiar teorema pe care voia s-o folosească.

Corect: suma este $6$, produsul este $9-4\cdot 5=-11$, deci trinomul este $x^2-6x-11$. Câtul este $x+q$ cu $-11q=22$, deci $q=-2$. Proba: $\left(x^2-6x-11\right)(x-2)=x^3-2x^2-6x^2+12x-11x+22=x^3-8x^2+x+22$. Soluțiile sunt $x\in \left\{2,3+2\sqrt{5},3-2\sqrt{5}\right\}$.

Exemplul 5 — Cele două teoreme, în aceeași ecuație

Determină ecuația de grad minim, monică, cu coeficienți raționali, care are printre rădăcini numerele $2+\sqrt{13}$ și $-4+i$.

Rezolvare. Coeficienții raționali sunt în particular reali, deci se aplică amândouă teoremele: apar obligatoriu și $2-\sqrt{13}$, și $-4-i$. Patru rădăcini, deci gradul minim este $4$.

Primul bloc: suma $4$, produsul $4-13=-9$, deci $x^2-4x-9$. Al doilea: suma $-8$, produsul $16+1=17$, deci $x^2+8x+17$. Înmulțim:

$$\left(x^2-4x-9\right)\left(x^2+8x+17\right)=x^4+4x^3-24x^2-140x-153$$

Desfacerea, pe rânduri: $x^2\cdot \left(x^2+8x+17\right)=x^4+8x^3+17x^2$; apoi $-4x\cdot \left(x^2+8x+17\right)=-4x^3-32x^2-68x$; apoi $-9\cdot \left(x^2+8x+17\right)=-9x^2-72x-153$. Adunând pe coloane: $x^4$, $(8-4)x^3=4x^3$, $(17-32-9)x^2=-24x^2$, $(-68-72)x=-140x$ și $-153$.

Ecuația este $x^4+4x^3-24x^2-140x-153=0$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră ecuația $x^4-12x^3+33x^2+48x-148=0$.

a) Arată că $6+i$ este rădăcină a ei.

b) Rezolvă ecuația în $\mathbb{C}$.

c) Verifică rezultatul de la b) cu prima relație a lui Viète.

Rezolvare. a) Calculăm puterile: $(6+i{)}^2=36+12i-1=35+12i$; apoi $(6+i{)}^3=(35+12i)(6+i)=210+35i+72i-12=198+107i$; apoi $(6+i{)}^4=(35+12i{)}^2=1225+840i-144=1081+840i$. Înlocuim:

$$(1081+840i)-12(198+107i)+33(35+12i)+48(6+i)-148=(1081-2376+1155+288-148)+(840-1284+396+48)i=0$$

b) Coeficienții sunt reali, deci și $6-i$ este rădăcină; trinomul lor are suma $12$ și produsul $36+1=37$, adică $x^2-12x+37$. Câtul împărțirii are gradul al doilea, este monic, iar termenul lui liber $q$ iese din termenul liber: $37q=-148$, deci $q=-4$; coeficientul lui $x$ din cât este $0$, fiindcă termenul în $x^3$ al produsului este dat numai de $-12$. Câtul este $x^2-4$. Proba:

$$\left(x^2-12x+37\right)\left(x^2-4\right)=x^4-12x^3+37x^2-4x^2+48x-148=x^4-12x^3+33x^2+48x-148$$

Din $x^2-4=0$ obținem $x=2$ și $x=-2$. Soluțiile sunt $x\in \{2,-2,6+i,6-i\}$.

c) Suma rădăcinilor este $2-2+12=12$, iar prima relație a lui Viète cere $-\frac{-12}{1}=12$.

Să exersăm

1. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) O ecuație cu coeficienți raționali are rădăcina $5-\sqrt{2}$. Scrie o altă rădăcină a ei și precizează ipoteza care îți dă dreptul s-o scrii.

2. O ecuație cu coeficienți reali are rădăcina $3-7i$. Scrie o altă rădăcină a ei.

3. Formează trinomul monic cu coeficienți raționali care are rădăcinile $8\pm \sqrt{3}$ și precizează semnul discriminantului lui.

4. Formează trinomul monic cu coeficienți reali care are rădăcinile $4\pm 5i$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) O ecuație de gradul al treilea cu coeficienți raționali care are rădăcina $2+\sqrt{7}$ are toate cele trei rădăcini iraționale.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Există o ecuație de gradul al patrulea cu coeficienți raționali care are printre rădăcini și pe $5+\sqrt{3}$, și pe $2+6i$.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^3-16x^2+79x-124=0$, știind că $6-\sqrt{5}$ este rădăcină.

8. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^3+x^2+20x+78=0$, știind că $1+5i$ este rădăcină.

9. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^3-12x^2+33x-26=0$, știind că $5+2\sqrt{3}$ este rădăcină.

10. Determină ecuația de grad minim, monică, cu coeficienți raționali, care are printre rădăcini numerele $-2+\sqrt{15}$ și $1$.

11. Determină ecuația de grad minim, monică, cu coeficienți raționali, care are printre rădăcini numerele $4+3\sqrt{2}$ și $-1$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră ecuația $x^3-11x^2+36x-26=0$. a) Arată că $5+i$ este rădăcină. b) Rezolvă ecuația în $\mathbb{C}$. c) Calculează produsul rădăcinilor și confruntă-l cu ultima relație a lui Viète.

13. Determină numerele raționale $a$, $b$, $c$ pentru care ecuația $x^3+a{x}^2+bx+c=0$ are printre rădăcini numerele $9+\sqrt{7}$ și $2$.

14. (Problemă aplicată.) Într-un model de titrare, volumul $x$ de reactiv, măsurat în mililitri, verifică ecuația $x^2-2x-17=0$, obținută din bilanțul a două concentrații. Arată că ecuația are coeficienți raționali, scrie ambele rădăcini și spune, cu motivare, care dintre ele are sens ca volum.

15. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^3-17x^2+89x-73=0$, știind că $8+3i$ este rădăcină.

16. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^3-16x^2+75x-94=0$, știind că $7-\sqrt{2}$ este rădăcină.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră ecuația $x^4-14x^3+49x^2+56x-212=0$. a) Arată că $7+2i$ este rădăcină. b) Rezolvă ecuația în $\mathbb{C}$. c) Precizează câte dintre rădăcini sunt reale și explică de ce numărul lor nu putea fi impar.

18. (Provocare.) Determină numerele raționale $a$ și $b$ pentru care ecuația $x^3+ax+b=0$ are rădăcina $3+\sqrt{5}$, apoi rezolv-o complet.

Răspunsuri și explicații

1. Rădăcina $5+\sqrt{2}$. Ipoteza folosită: coeficienții sunt raționali — dacă ar fi doar reali, ei ar putea conține chiar radicali, iar perechea nu ar mai fi garantată.

2. Rădăcina $3+7i$: conjugarea egalității $f(z)=0$ lasă coeficienții reali pe loc și duce $z$ în $\bar{z}$.

3. Suma este $16$, produsul $64-3=61$, deci trinomul este $x^2-16x+61$; discriminantul este $256-244=12>0$, cum trebuie la o pereche cu radical, și nu este pătrat perfect.

4. Suma este $8$, produsul $16+25=41$, deci trinomul este $x^2-8x+41$, cu $\Delta =64-164=-100<0$.

5. Fals. Coeficienții fiind raționali, apare și $2-\sqrt{7}$, iar suma celor trei rădăcini este rațională (este $-a_2$). Cum $\left(2+\sqrt{7}\right)+\left(2-\sqrt{7}\right)=4$, a treia rădăcină este diferența dintre un număr rațional și $4$, deci rațională — nu irațională.

6. Adevărat. Coeficienții raționali sunt în particular reali, deci se aplică amândouă regulile: apare și $5-\sqrt{3}$, și $2-6i$. Sunt patru rădăcini, exact cât gradul, deci nu rămâne loc liber și nici nu se depășește. Perechea cu radical dă suma $10$ și produsul $25-3=22$, adică $x^2-10x+22$; perechea complexă dă suma $4$ și produsul $4+36=40$, adică $x^2-4x+40$. Amândouă trinoamele au coeficienți raționali, deci și produsul lor, $\left(x^2-10x+22\right)\left(x^2-4x+40\right)$, iar ecuația căutată este chiar acest produs egalat cu zero.

7. Coeficienții sunt întregi, deci și $6+\sqrt{5}$ este rădăcină; trinomul are suma $12$ și produsul $36-5=31$, adică $x^2-12x+31$. Câtul este $x-4$, fiindcă $31\cdot (-4)=-124$; proba: $\left(x^2-12x+31\right)(x-4)=x^3-16x^2+79x-124$. Soluții: $x\in \left\{4,6+\sqrt{5},6-\sqrt{5}\right\}$.

8. Și $1-5i$ este rădăcină; trinomul are suma $2$ și produsul $1+25=26$, adică $x^2-2x+26$. Câtul este $x+3$, fiindcă $26\cdot 3=78$; proba: $\left(x^2-2x+26\right)(x+3)=x^3+x^2+20x+78$. Soluții: $x\in \{-3,1+5i,1-5i\}$.

9. Și $5-2\sqrt{3}$ este rădăcină; suma $10$, produsul $25-12=13$, deci $x^2-10x+13$. Câtul este $x-2$, fiindcă $13\cdot (-2)=-26$. Soluții: $x\in \left\{2,5+2\sqrt{3},5-2\sqrt{3}\right\}$.

10. Apare și $-2-\sqrt{15}$, deci gradul minim este $3$. Perechea dă suma $-4$ și produsul $4-15=-11$, adică $x^2+4x-11$. Înmulțind cu $x-1$: $x^3+3x^2-15x+11$. Ecuația: $x^3+3x^2-15x+11=0$.

11. Apare și $4-3\sqrt{2}$. Suma este $8$, produsul $16-9\cdot 2=-2$, deci trinomul este $x^2-8x-2$. Înmulțind cu $x+1$: $x^3-7x^2-10x-2$. Ecuația: $x^3-7x^2-10x-2=0$.

12. a) $(5+i{)}^2=24+10i$; $(5+i{)}^3=(24+10i)(5+i)=120+24i+50i-10=110+74i$. Atunci $(110+74i)-11(24+10i)+36(5+i)-26=(110-264+180-26)+(74-110+36)i=0$. b) Și $5-i$ este rădăcină; trinomul are suma $10$ și produsul $26$, adică $x^2-10x+26$; câtul este $x-1$, fiindcă $26\cdot (-1)=-26$. Soluții: $x\in \{1,5+i,5-i\}$. c) Produsul este $1\cdot (5+i)(5-i)=26$, iar relația cere $-\frac{-26}{1}=26$.

13. Apare și $9-\sqrt{7}$; perechea dă trinomul cu suma $18$ și produsul $81-7=74$, adică $x^2-18x+74$. Înmulțind cu $x-2$: $x^3-20x^2+110x-148$. Deci $a=-20$, $b=110$, $c=-148$.

14. Coeficienții $1$, $-2$, $-17$ sunt întregi, deci raționali. Discriminantul este $4+68=72$, iar $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$, deci rădăcinile sunt $\frac{2\pm 6\sqrt{2}}{2}=1\pm 3\sqrt{2}$ — o pereche conjugată, cum era de așteptat. Cum $3\sqrt{2}\approx 4,243$, rădăcinile sunt aproximativ $5,243$ și $-3,243$. Numai $1+3\sqrt{2}$ are sens: un volum de reactiv nu poate fi negativ, iar această condiție nu se citește din ecuație, ci din situația fizică. Răspuns: $x=1+3\sqrt{2}\approx 5,24$ mL.

15. Și $8-3i$ este rădăcină; suma $16$, produsul $64+9=73$, deci $x^2-16x+73$. Câtul este $x-1$, fiindcă $73\cdot (-1)=-73$. Soluții: $x\in \{1,8+3i,8-3i\}$.

16. Și $7+\sqrt{2}$ este rădăcină; suma $14$, produsul $49-2=47$, deci $x^2-14x+47$. Câtul este $x-2$, fiindcă $47\cdot (-2)=-94$. Soluții: $x\in \left\{2,7+\sqrt{2},7-\sqrt{2}\right\}$.

17. a) $(7+2i{)}^2=49+28i-4=45+28i$; $(7+2i{)}^3=(45+28i)(7+2i)=315+90i+196i-56=259+286i$; $(7+2i{)}^4=(45+28i{)}^2=2025+2520i-784=1241+2520i$. Înlocuind: $(1241-3626+2205+392-212)+(2520-4004+1372+112)i=0$. b) Și $7-2i$ este rădăcină; trinomul are suma $14$ și produsul $49+4=53$, adică $x^2-14x+53$. Câtul este $x^2-4$, fiindcă $53\cdot (-4)=-212$ și termenul în $x^3$ vine numai din $-14$. Soluții: $x\in \{2,-2,7+2i,7-2i\}$. c) Două rădăcini sunt reale. Numărul lor nu putea fi impar: cele nereale vin în perechi, deci sunt în număr par, iar din patru rămâne tot un număr par.

18. Coeficienții fiind raționali, apare și $3-\sqrt{5}$; trinomul lor are suma $6$ și produsul $9-5=4$, adică $x^2-6x+4$. Ecuația nu are termen în $x^2$, deci suma tuturor rădăcinilor este $0$; cum perechea dă $6$, a treia rădăcină este $-6$. Atunci $\left(x^2-6x+4\right)(x+6)=x^3+6x^2-6x^2-36x+4x+24=x^3-32x+24$, deci $a=-32$ și $b=24$. Soluții: $x\in \left\{-6,3+\sqrt{5},3-\sqrt{5}\right\}$.

De reținut

• La coeficienți raționali, rădăcina $a+b\sqrt{c}$ vine împreună cu $a-b\sqrt{c}$; la coeficienți reali, rădăcina nereală $a+bi$ vine împreună cu $a-bi$. Se schimbă semnul dinaintea radicalului sau al părții imaginare, nu semnul întregului număr.
• Perechea se folosește ca un singur bloc: trinomul $x^2-Sx+P$, cu $S$ suma și $P$ produsul ei, are coeficienți raționali, respectiv reali, și divide ecuația.
• Pentru perechea $a\pm b\sqrt{c}$ avem $S=2a$ și $P=a^2-b^{2}c$; pentru perechea $a\pm bi$ avem $S=2a$ și $P=a^2+b^2$.
• Rădăcinile nereale ale unei ecuații cu coeficienți reali sunt în număr par; de aceea numărul celor reale are aceeași paritate ca gradul, iar la grad impar rămâne întotdeauna măcar una reală.
• Ipoteza se verifică înainte: o ecuație cu un singur coeficient irațional poate avea o rădăcină cu radical fără să o aibă și pe conjugata ei.

Greșeli frecvente

• Conjugata confundată cu opusul. Perechea lui $3+2\sqrt{5}$ este $3-2\sqrt{5}$, nu $-3-2\sqrt{5}$; perechea lui $6+i$ este $6-i$, nu $-6-i$. Semnul se schimbă într-un singur loc.
• Perechea pătratică aplicată la coeficienți doar reali. Teorema cu radical cere coeficienți raționali. Confuzia apare pentru că „real" sună mai general decât „rațional" — dar aici generalitatea strică ipoteza.
• Trinomul calculat prin înmulțirea parantezelor. Desfăcând $\left(x-a-b\sqrt{c}\right)\left(x-a+b\sqrt{c}\right)$ termen cu termen, aproape toți elevii pierd un semn. Suma și produsul se scriu direct, din două numere.
• Câtul scris fără probă. După împărțire, verificarea prin înmulțire înapoi durează un rând și prinde orice greșeală de semn; fără ea, o eroare din cât se propagă în toate rădăcinile rămase.
• Rădăcinile numărate greșit la reconstituire. Când se cere gradul minim, fiecare rădăcină dată își aduce perechea, deci numărul final de rădăcini poate fi dublul celui din enunț — „două rădăcini date" pot însemna gradul $4$, nu $2$.

Aplică acasă

1. Alege un număr de forma $a+b\sqrt{c}$ cu $a$, $b$ întregi mici și $c\in \{2,3,5,6,7\}$ și scrie trinomul perechii lui. Înmulțește apoi trinomul cu un factor $(x-k)$, $k$ întreg, și dă ecuația obținută unui coleg, spunându-i doar rădăcina cu radical. Verificați împreună dacă a găsit aceleași trei rădăcini ca tine.

2. Ia cinci ecuații de gradul al treilea cu coeficienți întregi dintr-o culegere și, fără să le rezolvi, spune pentru fiecare câte rădăcini reale poate avea și câte nereale. Scrie și de ce niciuna nu poate avea exact două rădăcini nereale și una nereală în plus.

3. Caută în manualul de fizică sau de chimie o mărime care se obține rezolvând o ecuație de gradul al doilea cu coeficienți întregi și al cărei discriminant nu este pătrat perfect. Scrie ambele rădăcini, precizează care dintre ele are sens fizic și notează condiția din realitate — pozitivitate, mărginire, sens de curgere — care a eliminat-o pe cealaltă.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul citește corect câmpul coeficienților înainte de a scrie perechea, dacă formează trinomul din sumă și produs fără să desfacă paranteze și dacă duce rezolvarea până la capăt, cu probă. Sunt deprinderi scurte, dar ele decid o problemă întreagă de la Subiectul al II-lea: o pereche scrisă greșit face ca toate rădăcinile rămase să fie greșite.

Dificultatea reală nu este calculul, ci distincția dintre „rațional" și „real". Elevul a folosit ani de zile cele două cuvinte aproape ca sinonime, iar aici ele dau două teoreme diferite, cu ipoteze diferite. Un exercițiu în care ipoteza nu este îndeplinită — ca cel din secțiunea a cincea — lămurește lucrurile mai bine decât zece exerciții reușite.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Ce condiție trebuie să aibă coeficienții ca $a+b\sqrt{c}$ să vină la pachet cu $a-b\sqrt{c}$?"; „Cum scrii trinomul unei perechi fără să înmulțești paranteze?"; „De ce nu poate o ecuație de gradul al șaptelea să aibă toate rădăcinile nereale?"; „Ce faci după ce ai împărțit ecuația la trinom?". Semne că a înțeles: nu mai schimbă semnul întregului număr; verifică semnul discriminantului ca probă rapidă; și, pus în fața unei ecuații cu un coeficient irațional, spune singur că teorema nu se aplică.

Programa și examenul. Lecția face parte din suplimentul pentru bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din sesiunile 2027–2029, pe programa de examen OMEN 4430/2014: tema este cerută acolo la capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ", la rândul „Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$". În programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, capitolul de polinoame al clasei a XII-a nu mai există, iar polinoamele cu coeficienți reali se studiază în clasa a IX-a; prin urmare, elevii primei promoții a programei noi nu au tema nici la clasă, nici la proba MAT_P2 din 2030. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că două rădăcini sunt conjugate?

Înseamnă că se obțin una din alta schimbând un singur semn: la perechea pătratică, semnul dinaintea radicalului, deci $a+b\sqrt{c}$ și $a-b\sqrt{c}$; la perechea complexă, semnul părții imaginare, deci $a+bi$ și $a-bi$. Cele două numere au aceeași sumă și același produs indiferent de ordine, iar suma și produsul lor sunt numere fără radical, respectiv fără parte imaginară.

Cum aleg între cele două teoreme, când ecuația are și radicali, și numere complexe?

Te uiți la felul rădăcinii date, nu la ecuație: dacă are radical, folosești teorema pentru coeficienți raționali; dacă are parte imaginară, pe cea pentru coeficienți reali. Când ecuația are coeficienți raționali, amândouă se aplică în același timp, fiindcă numerele raționale sunt în particular reale — de aceea o ecuație de gradul al patrulea poate avea deodată o pereche cu radical și una complexă, ca în al cincilea exemplu al lecției.

De ce nu se înmulțesc paranteze când formez blocul unei perechi?

Pentru că desfacerea produsului cu radicali sau cu $i$ în paranteze pierde aproape sigur un semn, în timp ce suma și produsul se calculează din cap: $S=2a$ în amândouă cazurile, $P=a^2-b^{2}c$ la perechea cu radical și $P=a^2+b^2$ la cea complexă. Scrii apoi direct $x^2-Sx+P$ și mergi mai departe; verificarea e semnul discriminantului.

Ce pot spune despre numărul rădăcinilor reale, uitându-mă doar la grad?

La coeficienți reali poți spune paritatea: numărul rădăcinilor reale are aceeași paritate ca gradul, fiindcă cele nereale se scad în perechi. La gradul al treilea rămân una sau trei rădăcini reale, la gradul al patrulea zero, două sau patru. De aceea trei rădăcini nereale la gradul al patrulea este o situație imposibilă, iar zero rădăcini reale la gradul al treilea, la fel.

La ce subiect apare tema la bacalaureatul M2 și în ce sesiuni?

Tema se cere în sesiunile 2027, 2028 și 2029, pe programa de examen din 2014, la capitolul de polinoame; cerințele de acest fel apar la Subiectul al II-lea, care are, în modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, o problemă despre un polinom; despre structuri algebrice modelul acela nu spune nimic, ele fiind cerute de programa din 2014. Din 2030, la proba MAT_P2, capitolul de polinoame al clasei a XII-a nu mai există.

Se dă la fel la mate-info (M1)?

Nu chiar. La matematică-informatică tema stă în clasa a X-a, în capitolul de numere complexe, unde se predă imediat după forma algebrică și conjugatul; acolo se lucrează și cu cazurile în care o rădăcină se repetă, temă care la științe ale naturii nu intră deloc. La M2 tema vine mult mai târziu, la polinoame, și se oprește la perechea simplă. Pentru comparație: rădăcinile conjugate la mate-info (M1).

Cu ce se leagă lecția aceasta de rădăcinile raționale?

Sunt cele două fețe ale aceluiași rând de programă, despărțite după ce știi despre rădăcină. Când nu știi nimic și coeficienții sunt întregi, cauți întâi rădăcinile raționale, cu divizorii termenului liber și ai coeficientului dominant — Rădăcinile raționale ale unei ecuații algebrice. Când ți se dă o rădăcină cu radical sau cu parte imaginară, metoda aceea nu ajută: folosești perechea ei, cum se face aici.