Sistemul $$4x + y - 5z = 13$$, $$3x + 2y = 11$$, $$7x + 3y - 5z = 24$$ are minorul principal $$\begin{vmatrix}4&1\\3&2\end{vmatrix} = 5$$. Cum arată sistemul redus, după ce necunoscuta secundară $$z = \alpha$$ trece în membrul drept?

$$4x + y = 13 + 5\alpha$$ și $$3x + 2y = 11$$

$$4x + y = 13 - 5\alpha$$ și $$3x + 2y = 11$$

$$4x + y = 13 + 5\alpha$$ și $$3x + 2y = 11 - \alpha$$

$$4x + y - 5\alpha = 13$$ și $$3x + 2y = 11$$

Pentru $$m = 3$$, sistemul $$x + y + 2z = 7$$, $$2x - y + z = 4$$, $$3x + mz = 12$$ este:

compatibil nedeterminat, de grad $$1$$

Cum reduc un sistem nedeterminat la tip Cramer?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Reducere și sisteme cu parametru

Alegi un minor principal, adică un minor nenul de ordin egal cu rangul, și păstrezi ecuațiile lui. Necunoscutele din afara lui le treci în dreapta, ca parametri. Exemplu: la $x + y + z = 6$ , $x - y + 3 z = 2$ minorul $11 1 - 1 = - 2$ e nenul, deci $z = α$ și rămâne $x + y = 6 - α$ , $x - y = 2 - 3 α$ . Cu Cramer, $x = 4 - 2 α$ și $y = 2 + α$ . Probă în a doua ecuație: $4 - 2 α - 2 - α + 3 α = 2$ .

Înăuntrul unui sistem compatibil de rang $r$ stă ascuns un sistem de tip Cramer. Îl scoți alegând în tabloul coeficienților un minor nenul cu ordinul $r$ , numit minor principal: necunoscutele ale căror coloane intră în el sunt principale, ecuațiile ale căror rânduri intră în el sunt principale, iar restul necunoscutelor se cheamă secundare. Câte sunt, $n - r$ , nu depinde de tine; depinde doar care anume, de vreme ce un astfel de minor poate fi ales în mai multe feluri.

Reducerea merge în trei pași: ecuațiile din afara minorului se lasă la o parte, fiind consecințe ale celorlalte — de aceea compatibilitatea se cercetează mai întâi —, necunoscutele secundare trec la dreapta cu semnul schimbat, iar ce rămâne se rezolvă cu formulele știute. Determinantul sistemului rămas este chiar minorul principal, deci nenul. Răspunsul nu e cuvântul „infinit", ci mulțimea scrisă cu $α$ , la nevoie și cu $β$ .

Când un coeficient e o literă, ai în față o familie întreagă de sisteme. Scrii $Δ$ ca expresie în parametru, îl aduci la formă de produs — desfăcut, rădăcinile nu se văd —, rezolvi $Δ = 0$ și obții valorile critice. În rest sistemul e de tip Cramer; fiecare valoare critică primește un tratament al ei, prin ranguri și, la nevoie, prin reducere. Orice simplificare de fracție se scrie împreună cu condiția care ține factorul departe de zero.

De reținut

minorul principal este un minor nenul de ordin egal cu rangul
necunoscutele secundare trec în dreapta cu semn schimbat și devin parametri
sistemul rămas are ca determinant minorul principal, deci este de tip Cramer

Greșeala tipică

Se aleg drept principale necunoscutele cele mai comode fără să se verifice că minorul coloanelor lor e nenul; dacă acel minor este $0$ , sistemul rămas nu e de tip Cramer și trebuie ales alt minor.

Exerciții din această mini-lecție

Care este valoarea critică a parametrului pentru sistemul $m x + 10 y = 7$ , $4 x + 8 y = 6$ ?
- a) $m = 5$
- b) $m = - 5$
- c) $m = 40$
- d) $m = \frac{5}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $m = 5$

Determinantul sistemului este $Δ = m 4 108 = 8 m - 40$ , iar valorile critice sunt rădăcinile ecuației $Δ = 0$ : $8 m = 40$ , deci $m = 5$ . Varianta b) rezolvă $8 m + 40 = 0$ , adică pierde semnul produsului $10 \cdot 4$ ; c) oprește calculul la $8 m = 40$ și citește $40$ drept răspuns; d) compară coeficienții pe coloane, $\frac{10}{4}$ , în loc să calculeze determinantul.
Sistemul $4 x + y - 5 z = 13$ , $3 x + 2 y = 11$ , $7 x + 3 y - 5 z = 24$ are minorul principal $4312 = 5$ . Cum arată sistemul redus, după ce necunoscuta secundară $z = α$ trece în membrul drept?
- a) $4 x + y = 13 + 5 α$ și $3 x + 2 y = 11$
- b) $4 x + y = 13 - 5 α$ și $3 x + 2 y = 11$
- c) $4 x + y = 13 + 5 α$ și $3 x + 2 y = 11 - α$
- d) $4 x + y - 5 α = 13$ și $3 x + 2 y = 11$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4 x + y = 13 + 5 α$ și $3 x + 2 y = 11$

Minorul principal ocupă coloanele lui $x$ și ale lui $y$ și liniile primelor două ecuații, deci principale sunt $x$ și $y$ , iar $z$ este secundară. Termenul $- 5 z$ din prima ecuație devine $- 5 α$ și, trecut în dreapta, își schimbă semnul: $4 x + y = 13 + 5 α$ . În a doua ecuație $z$ nu apare, deci ea rămâne neschimbată. Varianta b) nu schimbă semnul la trecere; c) adaugă un termen inexistent în ecuația a doua; d) lasă necunoscuta secundară în membrul stâng, iar sistemul nu mai este de tip Cramer. Rezolvarea dă $S = {(3 + 2 α, 1 - 3 α, α) ∣ α \in R}$ , iar controlul în ecuația lăsată deoparte dă $7 (3 + 2 α) + 3 (1 - 3 α) - 5 α = 24$ .
Pentru $m = 3$ , sistemul $x + y + 2 z = 7$ , $2 x - y + z = 4$ , $3 x + m z = 12$ este:
- a) compatibil determinat
- b) compatibil nedeterminat, de grad $1$
- c) incompatibil
- d) omogen
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) incompatibil

Pentru $m = 3$ linia a treia de coeficienți devine $(3, 0, 3)$ , adică suma primelor două, $(1, 1, 2)$ și $(2, - 1, 1)$ , deci $Δ = 0$ și sistemul nu este de tip Cramer. La termenii liberi, însă, $7 + 4 = 11$ , iar a treia ecuație cere $12$ : aceeași expresie ar trebui să ia două valori diferite. Minorul $12 1 - 1 = - 3 \neq = 0$ dă $rang A = 2$ , iar rangul matricei extinse urcă la $3$ , deci sistemul este incompatibil. Variantele a) și b) cer ranguri egale; d) ar cere toți termenii liberi nuli.

Întrebări conexe

Ce fac cu ecuațiile care nu intră în minorul principal?

După ce ai arătat că sistemul e compatibil, le lași deoparte: ele sunt consecințe ale ecuațiilor principale. De exemplu, dacă a treia ecuație este $2 x + 4 z = 8$ , iar primele două sunt $x + y + z = 6$ și $x - y + 3 z = 2$ , ea e chiar suma lor și nu aduce nicio condiție nouă.

Ce este o valoare critică a parametrului într-un sistem?

Este o valoare pentru care determinantul sistemului se anulează. Dacă $Δ = m^{2} - 4$ , valorile critice sunt $m = 2$ și $m = - 2$ ; pentru orice alt $m$ sistemul e de tip Cramer și are o singură soluție, iar cele două valori se studiază separat.

De ce necunoscuta secundară trece în membrul drept cu semn schimbat?

Pentru că termenul care o conține se mută peste semnul egal. În $3 x - 2 y + 5 z = 7$ , cu $z = α$ secundară, termenul $5 α$ trece în dreapta ca $- 5 α$ : $3 x - 2 y = 7 - 5 α$ . Uitarea semnului strică toate formulele care urmează.

Poate minorul principal să conțină parametrul?

Poate, dar atunci trebuie cercetat separat cazul în care minorul se anulează. De aceea se caută, pe cât posibil, un minor nenul fără literă: el rămâne principal pentru orice valoare a parametrului, iar discuția se scurtează.

Ce pierd dacă simplific o fracție cu $m - 2$ fără condiție?

Pierzi exact cazul $m = 2$ . Scrierea $x = \frac{m - 2}{( m - 2 ) ( m + 1 )} = \frac{1}{m + 1}$ e valabilă doar pentru $m \neq = 2$ , iar pentru $m = 2$ fracția inițială nu are sens: acolo sistemul nu e de tip Cramer și se studiază separat.

Cum arată familia de soluții la echilibrarea arderii metanului?

Pentru $a C H_{4} + b O_{2} \to c C O_{2} + d H_{2} O$ , carbonul, hidrogenul și oxigenul dau $a = c$ , $4 a = 2 d$ , $2 b = 2 c + d$ . Rangul e $3$ , deci un coeficient e liber: $(a, b, c, d) = (α, 2 α, α, 2 α)$ , iar alegerea $α = 1$ dă coeficienții $1$ , $2$ , $1$ , $2$ .

Oamenii mai întreabă și: reducerea la sistem Cramer · cum rezolv un sistem nedeterminat cu Cramer · minor principal și necunoscute secundare · trecerea necunoscutelor secundare în membrul drept