Reducerea la tip Cramer. Sisteme cu parametru (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Lecția trecută s-a oprit exact acolo unde e mai interesant: știi să spui dacă un sistem are soluții, dar nu și cum arată ele când sunt infinit de multe. Lecția de față, la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), face pasul următor cu o singură unealtă, cunoscută din clasa a XI-a: formulele lui Cramer. Ideea e simplă — dintr-un sistem care nu se lasă rezolvat direct se decupează un sistem pătratic mai mic, cu determinant nenul, iar restul se mută în membrul drept. La bacalaureatul M2, programa de examen din 2014 se oprește la determinantul unui sistem cu parametru, iar reducerea propriu-zisă intră în probă din 2030, în domeniul Algebră.

Aici trebuie făcută o deosebire pe care merită s-o ții minte pe tot parcursul lecției. Cerințele în care se cere doar determinantul unui sistem cu trei necunoscute și valorile parametrului pentru care el nu se anulează sunt în programa de examen din 2014, deci se dau și în sesiunile 2027, 2028 și 2029; ele sunt marcate mai jos ca atare. În schimb, tot ce ține de rang, de necunoscute secundare și de reducerea propriu-zisă lipsește din acea programă și intră abia la proba MAT_P2 din 2030, odată cu programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28). Marcajele de lângă exerciții spun, de fiecare dată, în ce parte a acestei granițe te afli.

Ce vei învăța

Vei ști să alegi un minor principal și să desparți necunoscutele în principale și secundare.
Vei ști să reduci un sistem compatibil nedeterminat la unul de tip Cramer, trecând necunoscutele secundare în membrul drept.
Vei ști să scrii mulțimea soluțiilor cu unul sau doi parametri.
Vei ști să afli valorile critice ale unui parametru, rezolvând ecuația $Δ = 0$ .
Vei ști să organizezi discuția după parametru într-un tabel de cazuri, cu verdict pentru fiecare caz.
Vei ști de ce o simplificare făcută fără condiție strică toată discuția.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „reducerea la un sistem de tip Cramer"?

Un sistem de tip Cramer are tot atâtea ecuații câte necunoscute și determinantul nenul; atât îi trebuie ca metoda lui Cramer să funcționeze. Sistemele reale rareori arată așa: au prea multe ecuații, prea multe necunoscute sau determinantul nul. Ideea reducerii e să găsim înăuntrul lor un sistem de tip Cramer.

Fie un sistem compatibil, cu $rang A = r$ . Alegem în $A$ un minor nenul de ordinul $r$ și îi spunem minor principal. Necunoscutele principale sunt cele ale căror coloane intră în minorul principal, ecuațiile principale sunt cele ale căror linii intră în el, iar celelalte necunoscute se numesc secundare; ele sunt în număr de $n - r$ , adică exact gradul de nedeterminare de la compatibilitatea prin rang.

Minorul principal nu e unic: pot exista mai mulți minori nenuli de ordinul $r$ , iar fiecare dă altă împărțire în principale și secundare, dar aceeași mulțime de soluții, scrisă altfel. Ce nu e liber e numărul necunoscutelor secundare: el e fixat de rang.

2. De ce ai voie să lași deoparte ecuațiile secundare?

Reducerea face trei lucruri: șterge ecuațiile secundare, mută necunoscutele secundare în dreapta și rezolvă ce rămâne. Primul pas pare cel mai îndrăzneț — cum poți arunca o ecuație?

Răspunsul vine din criteriul lecției trecute. Sistemul fiind compatibil, cele două ranguri sunt egale cu $r$ , deci liniile care nu intră în minorul principal nu aduc nimic nou, nici la coeficienți, nici la termenii liberi: ele sunt consecințe ale ecuațiilor principale, iar o soluție a acestora le verifică automat. Tocmai de aceea reducerea cere compatibilitatea verificată înainte: pe un sistem incompatibil, ștergerea ecuațiilor ar produce „soluții" care nu sunt soluții.

Al doilea pas e pur formal: un termen trecut de cealaltă parte își schimbă semnul, iar dacă îi dăm necunoscutei secundare un nume, $α$ , ea devine un număr oarecare. Ce obținem e un sistem pătratic de ordinul $r$ , cu determinantul chiar minorul principal — nenul prin alegere. Adică un sistem de tip Cramer, în care termenii liberi conțin și litera $α$ .

3. Cum arată reducerea pe un sistem?

Fie sistemul $3 x + y - z = 7$ , $2 x + 3 y + 4 z = 7$ , $5 x + 4 y + 3 z = 14$ . A treia linie e suma primelor două, și la coeficienți, și la termenii liberi, deci $rang A = rang \overline{A} = 2$ , iar minorul $3213 = 7 \neq = 0$ poate fi luat ca minor principal.

Coloanele lui sunt cele ale lui $x$ și $y$ , iar liniile, primele două: principale sunt $x$ și $y$ , secundară e $z$ . Punem $z = α$ , trecem termenii cu $α$ la dreapta și rămâne $3 x + y = 7 + α$ , $2 x + 3 y = 7 - 4 α$ — un sistem de tip Cramer, cu $Δ = 7$ . Rezolvându-l, $x = 2 + α$ și $y = 1 - 2 α$ , deci $S = {(2 + α, 1 - 2 α, α) ∣ α \in R}$ . Controlul se face în ecuația pe care am lăsat-o deoparte: $5 (2 + α) + 4 (1 - 2 α) + 3 α = 14$ , adevărat pentru orice $α$ . (Sistemul acesta a fost folosit doar aici, ca să arate drumul.)

Reține forma răspunsului: nu „o infinitate de soluții", ci mulțimea scrisă cu un parametru, iar litera $α$ e alegerea ta, nu a enunțului.

4. Ce se schimbă când un coeficient e o literă?

Până acum, toate numerele unui sistem erau cunoscute. În practică, unul dintre ele depinde des de un reglaj sau de o mărime încă nemăsurată; îl notăm cu $m$ și îi spunem parametru. Sistemul devine atunci o familie întreagă, câte unul pentru fiecare valoare reală a lui $m$ , iar întrebarea e: cum se schimbă răspunsul când $m$ se plimbă peste toate valorile?

A discuta un sistem cu parametru înseamnă a împărți valorile lui $m$ în cazuri și a da, pentru fiecare, verdictul și, unde există, mulțimea soluțiilor. Drumul are cinci pași:

calculezi $Δ$ ca expresie în $m$ ;
factorizezi expresia obținută — altfel nu-i vezi rădăcinile;
rezolvi ecuația $Δ = 0$ și numești valori critice soluțiile ei;
pentru $m$ în afara valorilor critice, sistemul e de tip Cramer și se rezolvă cu formulele cunoscute;
fiecare valoare critică se ia separat: înlocuiești, compari rangurile și, dacă sistemul e compatibil, reduci și scrii mulțimea soluțiilor.

Pasul 4 ascunde o capcană: ai voie să simplifici un factor din $\frac{Δ _{k}}{Δ}$ numai scriind condiția care îl face nenul. Factorul acela se anulează exact în valoarea critică, unde formula nici nu are sens, numitorul fiind zero.

5. Cum arată o discuție dusă până la capăt?

Fie sistemul $x + 2 y + 2 z = 12$ , $x + 3 y + 4 z = 14$ , $2 x + 5 y + m z = 26$ . Determinantul lui este

$112235 24 m = 1 (3 m - 20) - 2 (m - 8) + 2 (5 - 6) = m - 6$

deci singura valoare critică este $m = 6$ . Pentru $m \neq = 6$ determinantul e nenul, sistemul e de tip Cramer și se rezolvă cu formulele lui Cramer — până aici nu e nimic nou.

Interesantă e valoarea critică. Pentru $m = 6$ , a treia linie de coeficienți devine $(2, 5, 6)$ , adică suma primelor două, iar la termenii liberi $12 + 14 = 26$ : relația se păstrează, deci $rang A = rang \overline{A} = 2$ și sistemul e compatibil nedeterminat, de grad $1$ . Minorul $1123 = 1 \neq = 0$ e principal, deci $z$ e secundară; cu $z = α$ obținem $S = {(8 + 2 α, 2 - 2 α, α) ∣ α \in R}$ , iar controlul în ecuația a treia dă $2 (8 + 2 α) + 5 (2 - 2 α) + 6 α = 26$ . (Și acest sistem rămâne doar aici.)

6. Cum se scrie discuția pe foaie?

Cea mai sigură formă e tabelul de cazuri: pe prima coloană valorile parametrului, pe a doua verdictul, pe a treia soluțiile. Fiecare rădăcină a lui $Δ$ are rândul ei, cazul general e un rând.

Valorile lui $m$	Verdict	Soluții
$m$ în afara valorilor critice	compatibil determinat	soluția unică, dată de formulele lui Cramer
prima valoare critică	se stabilește prin ranguri	mulțimea soluțiilor, dacă există
a doua valoare critică	se stabilește prin ranguri	mulțimea soluțiilor, dacă există

7. Ce faci când sistemul nu e pătratic?

Cazul de margine merită privit separat. Un sistem cu patru ecuații și trei necunoscute nu are determinant — acesta cere matrice pătratică —, deci nu există nici $Δ$ , nici valori critice în sensul de mai sus. Te întorci atunci la ranguri: le calculezi pentru fiecare valoare a parametrului, iar el apare acum în minorii de ordinul $r + 1$ ai matricei extinse, deci valorile „critice" sunt cele care îi anulează. Drumul e același — verdict, apoi reducere —, doar poarta de intrare diferă; cum arată toate acestea pe o problemă venită din laborator vei vedea la modelarea cu sisteme liniare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Reducerea unui sistem de ordinul al treilea

Rezolvă sistemul $3 x + 2 y + 5 z = 10$ , $2 x + y + 4 z = 7$ , $5 x + 3 y + 9 z = 17$ .

Rezolvare. A treia linie e suma primelor două, și la coeficienți, și la termenii liberi ( $10 + 7 = 17$ ), deci $det A = 0$ . Minorul $3221 = - 1 \neq = 0$ dă $rang A = 2$ , iar orice minor de ordinul $3$ al matricei extinse are ultima linie egală cu suma primelor două, deci $rang \overline{A} = 2$ : sistemul e compatibil nedeterminat, de grad $1$ .

Luăm ca minor principal pe cel de mai sus: necunoscute principale $x$ și $y$ , ecuații principale primele două, necunoscută secundară $z = α$ . Sistemul redus este $3 x + 2 y = 10 - 5 α$ și $2 x + y = 7 - 4 α$ , de unde $x = 4 - 3 α$ și $y = 2 α - 1$ . Așadar $S = {(4 - 3 α, 2 α - 1, α) ∣ α \in R}$ ; controlul în ecuația a treia dă $5 (4 - 3 α) + 3 (2 α - 1) + 9 α = 17$ .

Exemplul 2 — Două necunoscute secundare

Rezolvă sistemul $x + y + 2 z - t = 5$ , $2 x + 3 y + z + t = 8$ , $3 x + 4 y + 3 z = 13$ , cu necunoscute reale.

Rezolvare. A treia ecuație e suma primelor două, deci nu aduce informație nouă. Minorul $1213 = 1 \neq = 0$ dă $rang A = rang \overline{A} = 2$ , iar gradul de nedeterminare este $4 - 2 = 2$ : avem două necunoscute secundare.

Principale sunt $x$ și $y$ , secundare $z = α$ și $t = β$ . Sistemul redus, $x + y = 5 - 2 α + β$ și $2 x + 3 y = 8 - α - β$ , are determinantul $1$ și dă $S = {(7 - 5 α + 4 β, - 2 + 3 α - 3 β, α, β) ∣ α, β \in R}$ . Control în ecuația a treia: $3 (7 - 5 α + 4 β) + 4 (- 2 + 3 α - 3 β) + 3 α = 13$ .

Exemplul 3 — O discuție de două rânduri

Discută, după valorile lui $m \in R$ , sistemul $m x + 4 y = 10$ , $3 x + 6 y = 18$ .

Rezolvare. $Δ = m 3 46 = 6 m - 12 = 6 (m - 2)$ , deci singura valoare critică e $m = 2$ .

Pentru $m \neq = 2$ sistemul e de tip Cramer. Cu $Δ_{1} = 101846 = - 12$ și $Δ_{2} = m 3 1018 = 18 m - 30$ obținem, după simplificarea cu $6$ (permisă, fiindcă $m - 2 \neq = 0$ ), $x = \frac{- 2}{m - 2}$ și $y = \frac{3 m - 5}{m - 2}$ . Verificare pentru $m = 1$ : $x = 2$ , $y = 2$ , iar $1 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 10$ și $3 \cdot 2 + 6 \cdot 2 = 18$ .

Pentru $m = 2$ prima ecuație devine $2 x + 4 y = 10$ , adică $x + 2 y = 5$ , iar a doua se scrie $x + 2 y = 6$ : aceeași expresie ar trebui să valoreze și $5$ , și $6$ . Sistemul e incompatibil.

Exemplul 4 — Două valori critice, verdicte diferite

Discută sistemul $m x + y + z = 6$ , $x + m y + z = 8$ , $x + y + 2 z = 14$ .

Rezolvare. $Δ = m 11 1 m 1 112 = m (2 m - 1) - 1 (2 - 1) + 1 (1 - m) = 2 m^{2} - 2 m = 2 m (m - 1)$ , deci valorile critice sunt $m = 0$ și $m = 1$ .

Pentru $m \in / {0, 1}$ , determinanții auxiliari sunt $Δ_{1} = - 2 m$ , $Δ_{2} = 2 m$ și $Δ_{3} = 14 m^{2} - 14 m$ . Simplificând cu $2 m (m - 1)$ , factor nenul în acest caz, rezultă $x = \frac{- 1}{m - 1}$ , $y = \frac{1}{m - 1}$ și $z = 7$ . Verificare pentru $m = 2$ : $x = - 1$ , $y = 1$ , $z = 7$ , iar $2 (- 1) + 1 + 7 = 6$ , $- 1 + 2 + 7 = 8$ și $- 1 + 1 + 14 = 14$ .

Pentru $m = 0$ , sistemul devine $y + z = 6$ , $x + z = 8$ , $x + y + 2 z = 14$ ; a treia ecuație e suma primelor două, deci $rang A = rang \overline{A} = 2$ și sistemul e nedeterminat, de grad $1$ . Cu $z = α$ secundară, $S = {(8 - α, 6 - α, α) ∣ α \in R}$ .

Pentru $m = 1$ , primele două ecuații cer amândouă suma $x + y + z$ , dar una o vrea $6$ și cealaltă $8$ : sistemul e incompatibil. Observă că cele două valori critice dau răspunsuri de naturi diferite — motiv pentru care fiecare se tratează separat.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev discută sistemul $m x + 6 y = 3$ , $4 x + 8 y = 9$ și scrie: „Avem $Δ = 8 m - 24$ , deci valoarea critică e $m = 3$ . Pentru $m = 3$ prima ecuație devine $3 x + 6 y = 3$ , iar coeficienții ei sunt proporționali cu ai celei de-a doua, deci ecuațiile spun același lucru și sistemul e compatibil nedeterminat." Găsește greșeala.

Rezolvare. Valoarea critică e calculată corect: $Δ = m 4 68 = 8 m - 24 = 8 (m - 3)$ , cu rădăcina $m = 3$ . Coeficienții sunt, într-adevăr, proporționali: raportul e $\frac{3}{4}$ pe amândouă coloanele. Elevul s-a oprit însă acolo, iar ce a sărit e coloana termenilor liberi: împărțind prima ecuație la $3$ obținem $x + 2 y = 1$ , iar a doua, împărțită la $4$ , cere $x + 2 y = \frac{9}{4}$ . Rangul matricei sistemului e $1$ , al matricei extinse e $2$ , deci sistemul e incompatibil, nu nedeterminat. Regula care lipsea: proporționalitatea se verifică și pe coloana termenilor liberi, nu doar pe cea a coeficienților.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră sistemul $3 x + y + 2 z = 12$ , $x + 2 y + z = 11$ , $2 x + m y + z = 9$ , cu $m$ real.

a) Calculează determinantul matricei sistemului, în funcție de $m$ . b) Determină valorile lui $m$ pentru care sistemul are soluție unică. c) Rezolvă sistemul pentru $m = 1$ și arată că pentru $m = - 1$ el nu are nicio soluție.

Rezolvare. a) $Δ = 312 12 m 211 = 3 (2 - m) - 1 (1 - 2) + 2 (m - 4) = - m - 1$ .

b) Sistemul are soluție unică exact când e de tip Cramer, adică atunci când $Δ \neq = 0$ : pentru $m \neq = - 1$ .

c) Pentru $m = 1$ avem $Δ = - 2$ , iar $Δ_{1} = - 4$ , $Δ_{2} = - 8$ , $Δ_{3} = - 2$ , deci $x = 2$ , $y = 4$ , $z = 1$ . Verificare în cele trei ecuații: $6 + 4 + 2 = 12$ , $2 + 8 + 1 = 11$ și $4 + 4 + 1 = 9$ . Pentru $m = - 1$ , scăzând a doua ecuație din prima obținem $2 x - y + z = 1$ , în timp ce a treia ecuație cere $2 x - y + z = 9$ : aceeași expresie nu poate lua două valori diferite, deci sistemul nu are nicio soluție.

Să exersăm

Scrie de fiecare dată minorul principal cu valoarea lui, iar discuțiile ca tabel de cazuri.

1. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Pentru sistemul $2 x + y - z = 8$ , $3 x + y - 2 z = 11$ , $5 x + 2 y - 3 z = 19$ , arată că $rang A = 2$ și scrie mulțimea soluțiilor.

2. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Rezolvă sistemul $x + 2 y - 3 z = 5$ , $4 x + y + 2 z = 13$ , $5 x + 3 y - z = 18$ .

3. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Discută, după $m$ real, sistemul $m x + 3 y = 9$ , $2 x + 6 y = 12$ .

4. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Discută, după $m$ real, sistemul $m x + 2 y = 8$ , $5 x + 10 y = 40$ , și explică de ce prima necunoscută iese aceeași pentru orice valoare necritică.

5. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Discută, după $m$ real, sistemul $3 x + y + 4 z = 13$ , $2 x + y + 3 z = 10$ , $x + y + m z = 7$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Valorile critice ale parametrului sunt rădăcinile ecuației $Δ = 0$ , iar pentru orice altă valoare sistemul pătratic are soluție unică."

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Scrie mulțimea soluțiilor sistemului $2 x + y + z - t = 8$ , $x + 2 y + z - 3 t = 9$ , $x + y + 3 z - 6 t = 8$ .

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Discută, după $m$ real, sistemul $x + 3 y + 2 z = 9$ , $2 x + y + z = 6$ , $3 x + 4 y + m z = 16$ .

9. Un elev scrie: „Pentru sistemul cu $Δ = (m - 3) (m + 2)$ și $Δ_{1} = 4 (m - 3)$ avem $x = \frac{4}{m + 2}$ , oricare ar fi $m$ real." Găsește greșeala și scrie afirmația corectă.

10. (Problemă aplicată.) Un bazin de laborator se umple prin două robinete: primul dă $4$ litri pe minut, al doilea $q$ litri pe minut, cu $q > 0$ . Primul funcționează $x$ minute, al doilea $y$ minute, iar datele sunt $x + y = 35$ (minute) și $4 x + q y = 180$ (litri). a) Arată că pentru $q = 4$ sistemul e incompatibil și explică fizic. b) Rezolvă pentru $q = 8$ , cu unitatea de măsură la fiecare rezultat.

11. Arată că sistemul $m x + 2 y + z = 5$ , $- 2 x + m y + z = 1$ , $x + y + 4 z = 17$ are soluție unică pentru orice $m$ real.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul $2 x + y + z = 12$ , $3 x + 2 y + z = 17$ , $x + y + m z = 8$ , cu $m$ real. a) Calculează $Δ$ în funcție de $m$ . b) Determină $m$ pentru care sistemul e de tip Cramer. c) Rezolvă sistemul pentru $m = 1$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Scrie mulțimea soluțiilor sistemului $x + 2 y + z + 3 t = 9$ , $2 x + 5 y + 3 z + 4 t = 19$ , $3 x + 7 y + 4 z + 7 t = 28$ .

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un sistem compatibil nedeterminat, necunoscuta secundară este întotdeauna ultima, în ordinea din enunț."

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Discută, după $m$ real, sistemul $x + 2 y + m z = 6$ , $x + y + z = 5$ , $x + m y + 10 z = 8$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină valoarea lui $m$ pentru care sistemul $m x + 5 y = 7$ , $4 x + 10 y = 12$ nu are soluție unică și stabilește ce se întâmplă atunci.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Pentru sistemul $x + 2 y + 3 z = 16$ , $2 x + 4 y + 5 z = 29$ , $3 x + 6 y + 8 z = 45$ , arată că perechea $(x, y)$ nu poate fi principală și scrie mulțimea soluțiilor.

18. (Provocare.) (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră sistemul $x + 3 y + z = 12$ , $2 x + 5 y + z = 19$ , $x + 2 y + m z = k$ , cu $m$ și $k$ reale. a) Determină $m$ pentru care sistemul nu e de tip Cramer. b) Pentru acel $m$ , determină $k$ astfel încât sistemul să fie compatibil și scrie mulțimea soluțiilor.

Răspunsuri și explicații

1. A treia linie e suma primelor două, și la coeficienți, și la termenii liberi ( $8 + 11 = 19$ ), deci $det A = 0$ ; minorul $2311 = - 1 \neq = 0$ dă $rang A = 2$ , iar același argument pe matricea extinsă dă $rang \overline{A} = 2$ . Principale sunt $x$ și $y$ , secundară $z = α$ ; sistemul redus $2 x + y = 8 + α$ , $3 x + y = 11 + 2 α$ dă $S = {(3 + α, 2 - α, α) ∣ α \in R}$ . Control în ecuația a treia: $5 (3 + α) + 2 (2 - α) - 3 α = 19$ .

2. A treia linie e suma primelor două ( $5 + 13 = 18$ ), deci $rang A = rang \overline{A} = 2$ , cu minorul principal $1421 = - 7 \neq = 0$ . Cu $z = α$ secundară, $x + 2 y = 5 + 3 α$ și $4 x + y = 13 - 2 α$ , de unde $S = {(3 - α, 1 + 2 α, α) ∣ α \in R}$ . Control: $5 (3 - α) + 3 (1 + 2 α) - α = 18$ .

3. $Δ = m 2 36 = 6 m - 6 = 6 (m - 1)$ , valoare critică $m = 1$ . Pentru $m \neq = 1$ , $Δ_{1} = 91236 = 18$ și $Δ_{2} = m 2 912 = 12 m - 18$ , deci $x = \frac{3}{m - 1}$ și $y = \frac{2 m - 3}{m - 1}$ ; pentru $m = 2$ se obține $x = 3$ , $y = 1$ , iar $2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 9$ și $2 \cdot 3 + 6 \cdot 1 = 12$ . Pentru $m = 1$ prima ecuație cere $x + 3 y = 9$ , iar a doua $x + 3 y = 6$ : incompatibil.

4. $Δ = m 5 210 = 10 m - 10 = 10 (m - 1)$ , valoare critică $m = 1$ . Aici $Δ_{1} = 840210 = 0$ , deci $x = 0$ pentru orice $m \neq = 1$ , iar $Δ_{2} = m 5 840 = 40 m - 40$ dă $y = 4$ : prima necunoscută iese mereu nulă fiindcă $Δ_{1}$ nu depinde de $m$ și se anulează. Pentru $m = 1$ cele două ecuații coincid, sistemul e nedeterminat și $S = {(8 - 2 α, α) ∣ α \in R}$ , mulțime din care perechea $(0, 4)$ face parte, pentru $α = 4$ .

5. $Δ = 321111 43 m = 3 (m - 3) - 1 (2 m - 3) + 4 (2 - 1) = m - 2$ , valoare critică $m = 2$ . Pentru $m \neq = 2$ , $Δ_{1} = 3 (m - 2)$ , $Δ_{2} = 4 (m - 2)$ și $Δ_{3} = 0$ , deci $x = 3$ , $y = 4$ , $z = 0$ , aceeași soluție pentru orice valoare necritică ( $9 + 4 + 0 = 13$ , $6 + 4 + 0 = 10$ ). Pentru $m = 2$ , a treia linie e de două ori a doua minus prima, și la coeficienți, și la termenii liberi ( $2 \cdot 10 - 13 = 7$ ): sistem compatibil nedeterminat, cu $z = α$ și $S = {(3 - α, 4 - α, α) ∣ α \in R}$ .

6. Adevărat. Sistemul pătratic e de tip Cramer exact când $Δ \neq = 0$ , iar atunci formulele lui Cramer dau o singură soluție. Valorile care anulează determinantul sunt tocmai rădăcinile ecuației $Δ = 0$ ; despre ele afirmația nu spune nimic, ceea ce e corect, fiindcă acolo verdictul se stabilește separat.

7. Minorul din coloanele lui $x$ , $y$ și $z$ este $211121113 = 2 (6 - 1) - 1 (3 - 1) + 1 (1 - 2) = 7$ , nenul, deci $rang A = 3$ , cât numărul de linii, iar $rang \overline{A} = 3$ : sistemul e compatibil, cu gradul de nedeterminare $4 - 3 = 1$ . Necunoscuta secundară e $t = β$ , iar $S = {(2 - β, 3 + β, 1 + 2 β, β) ∣ β \in R}$ . Control în ecuația a treia: $(2 - β) + (3 + β) + 3 (1 + 2 β) - 6 β = 8$ .

8. $Δ = 123314 21 m = 1 (m - 4) - 3 (2 m - 3) + 2 (8 - 3) = - 5 m + 15$ , valoare critică $m = 3$ . Pentru $m \neq = 3$ sistemul e de tip Cramer, deci compatibil determinat. Pentru $m = 3$ , a treia linie de coeficienți devine $(3, 4, 3)$ , adică suma primelor două, dar la termenii liberi $9 + 6 = 15 \neq = 16$ : minorul $1231 = - 5 \neq = 0$ dă $rang A = 2$ , iar $1233149616 = 1 (16 - 24) - 3 (32 - 18) + 9 (8 - 3) = - 8 - 42 + 45 = - 5$ , nenul, deci $rang \overline{A} = 3$ și sistemul e incompatibil.

9. Simplificarea cu $m - 3$ e făcută fără condiție. Din $Δ \cdot x = Δ_{1}$ rezultă $x = \frac{4 ( m - 3 )}{( m - 3 ) ( m + 2 )}$ , iar simplificarea cere $m \neq = 3$ ; or, $m = 3$ e tocmai o valoare critică, unde $Δ = 0$ și formula nu are sens. Afirmația corectă: $x = \frac{4}{m + 2}$ pentru $m \in / {3, - 2}$ , iar cele două valori critice se cercetează separat, prin ranguri.

10. a) Pentru $q = 4$ sistemul devine $x + y = 35$ și $4 x + 4 y = 180$ , adică $x + y = 45$ : aceeași sumă ar trebui să fie și $35$ , și $45$ , deci sistemul e incompatibil. Fizic, două robinete de câte $4$ litri pe minut adună, în $35$ de minute de funcționare însumată, cel mult $140$ de litri — cei $180$ ceruți nu se pot obține. b) Pentru $q = 8$ , $Δ = 4$ , $Δ_{1} = 100$ și $Δ_{2} = 40$ , deci $x = 25$ de minute și $y = 10$ minute. Verificare: $25 + 10 = 35$ de minute și $4 \cdot 25 + 8 \cdot 10 = 180$ de litri.

11. $Δ = m - 2 1 2 m 1 114 = m (4 m - 1) - 2 (- 8 - 1) + 1 (- 2 - m) = 4 m^{2} - 2 m + 16$ . Trinomul are discriminantul $4 - 256 = - 252 < 0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci e strict pozitiv: $Δ \neq = 0$ pentru orice $m$ real, iar sistemul e de tip Cramer.

12. a) $Δ = 231121 11 m = 2 (2 m - 1) - 1 (3 m - 1) + 1 (3 - 2) = m$ . b) Sistemul e de tip Cramer pentru $m \neq = 0$ . c) Pentru $m = 1$ avem $Δ = 1$ , $Δ_{1} = 4$ , $Δ_{2} = 1$ și $Δ_{3} = 3$ , deci $x = 4$ , $y = 1$ , $z = 3$ ; verificare: $8 + 1 + 3 = 12$ , $12 + 2 + 3 = 17$ și $4 + 1 + 3 = 8$ .

13. A treia ecuație e suma primelor două, iar minorul $1225 = 1 \neq = 0$ dă $rang A = rang \overline{A} = 2$ , deci gradul de nedeterminare e $4 - 2 = 2$ . Cu $z = α$ și $t = β$ secundare, sistemul redus $x + 2 y = 9 - α - 3 β$ , $2 x + 5 y = 19 - 3 α - 4 β$ dă $S = {(7 + α - 7 β, 1 - α + 2 β, α, β) ∣ α, β \in R}$ . Control în ecuația a treia: $3 (7 + α - 7 β) + 7 (1 - α + 2 β) + 4 α + 7 β = 28$ .

14. Fals. Secundare sunt necunoscutele ale căror coloane nu intră în minorul principal, iar minorul principal se alege astfel încât să fie nenul. Exercițiul $17$ e un contraexemplu: acolo coloanele lui $x$ și $y$ sunt proporționale, deci ele nu pot fi amândouă principale, iar $y$ rămâne secundară, deși nu e ultima.

15. $Δ = 111 21 m m 110 = 1 (10 - m) - 2 (10 - 1) + m (m - 1) = m^{2} - 2 m - 8 = (m - 4) (m + 2)$ , cu valorile critice $m = 4$ și $m = - 2$ ; în afara lor sistemul e de tip Cramer, deci compatibil determinat. Pentru $m = 4$ , a treia linie e de trei ori prima minus de două ori a doua, și la coeficienți, și la termenii liberi ( $3 \cdot 6 - 2 \cdot 5 = 8$ ), iar minorul $1121 = - 1 \neq = 0$ dă $rang A = rang \overline{A} = 2$ : cu $z = α$ , $S = {(4 + 2 α, 1 - 3 α, α) ∣ α \in R}$ . Pentru $m = - 2$ același minor dă tot $rang A = 2$ , însă $111 21 - 2 658 = 1 (8 + 10) - 2 (8 - 5) + 6 (- 2 - 1) = 18 - 6 - 18 = - 6$ e nenul, deci $rang \overline{A} = 3$ și sistemul e incompatibil.

16. $Δ = m 4 510 = 10 m - 20$ , care se anulează pentru $m = 2$ . Atunci prima ecuație devine $2 x + 5 y = 7$ , iar a doua, împărțită la $2$ , cere $2 x + 5 y = 6$ : aceeași expresie ar lua două valori diferite, deci sistemul e incompatibil. Pentru orice alt $m$ el are soluție unică.

17. Coloana lui $y$ este dublul coloanei lui $x$ , deci orice minor format cu amândouă se anulează: perechea $(x, y)$ nu poate fi principală. Minorul $1235 = - 1 \neq = 0$ , format cu coloanele lui $x$ și $z$ , este principal, iar a treia linie fiind suma primelor două ( $16 + 29 = 45$ ) avem $rang A = rang \overline{A} = 2$ . Cu $y = α$ secundară, $x + 3 z = 16 - 2 α$ și $2 x + 5 z = 29 - 4 α$ dau $S = {(7 - 2 α, α, 3) ∣ α \in R}$ ; control în ecuația a treia: $3 (7 - 2 α) + 6 α + 24 = 45$ .

18. a) $Δ = 121352 11 m = 1 (5 m - 2) - 3 (2 m - 1) + 1 (4 - 5) = - m$ , deci sistemul nu e de tip Cramer exact pentru $m = 0$ . b) Pentru $m = 0$ , a treia linie de coeficienți, $(1, 2, 0)$ , este diferența dintre a doua și prima, iar minorul $1235 = - 1 \neq = 0$ dă $rang A = 2$ . Sistemul e compatibil exact când termenii liberi respectă aceeași relație, adică $k = 19 - 12 = 7$ . Atunci, cu $z = α$ secundară, $S = {(2 α - 3, 5 - α, α) ∣ α \in R}$ ; control în ecuația a treia: $(2 α - 3) + 2 (5 - α) = 7$ .

De reținut

Minorul principal e un minor nenul de ordinul $r$ al matricei sistemului; coloanele lui dau necunoscutele principale, liniile lui, ecuațiile principale, iar restul necunoscutelor sunt secundare.
Reducerea are trei pași: ștergi ecuațiile secundare, treci necunoscutele secundare în membrul drept cu semn schimbat, rezolvi sistemul de tip Cramer rămas.
Numărul necunoscutelor secundare este $n - r$ și nu se alege; alegerea liberă e doar care anume dintre necunoscute joacă rolul acesta.
Discuția după parametru are cinci pași: $Δ$ , factorizare, valorile critice, cazul general cu Cramer, apoi fiecare valoare critică luată separat.
Simplificarea unei fracții cu un factor se scrie numai împreună cu condiția care îl face nenul; factorul acela se anulează tocmai în valoarea critică.

Greșeli frecvente

Reducerea făcută înainte de verdict. Se aleg ecuațiile principale și se rezolvă, fără a fi verificat întâi compatibilitatea. Pe un sistem incompatibil, procedeul dă un răspuns care arată frumos, dar nu verifică ecuațiile lăsate deoparte.
Minorul principal ales fără să fie calculat. Se iau „primele două linii și primele două coloane" din obișnuință; dacă minorul acela e nul, împărțirea în principale și secundare e greșită, iar sistemul redus nu mai e de tip Cramer.
Necunoscuta secundară lăsată în stânga. Termenul cu $α$ e trecut în dreapta, dar fără schimbarea semnului, sau e lăsat printre necunoscutele de aflat. Sistemul redus trebuie să aibă în stânga numai necunoscutele principale.
Verdictul dat doar pentru cazul general. Elevul rezolvă frumos cazul $Δ \neq = 0$ și scrie „iar în rest sistemul nu e de tip Cramer". Fiecare valoare critică are nevoie de propriul verdict, scris explicit, chiar dacă e „incompatibil".
Litera parametrului folosită și pentru necunoscuta secundară. $m$ vine din enunț și rămâne acolo; necunoscuta secundară primește o literă nouă, $α$ sau $β$ . Amestecul lor face răspunsul necitibil și, de cele mai multe ori, fals.

Aplică acasă

Un sistem, două drumuri. Ia un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute în care a treia e suma primelor două și caută minorii nenuli de ordinul $2$ ai matricei lui. Fă reducerea pornind de la doi minori principali diferiți și verifică, prin substituție, că mulțimile de soluții coincid, deși arată altfel.
Harta valorilor critice. Scrie un sistem de ordinul al doilea cu parametru, calculează $Δ$ și marchează pe o axă valorile critice. Ia apoi câte o valoare numerică din fiecare porțiune a axei, rezolvă sistemul pentru fiecare și observă că răspunsurile se schimbă lin, atâta vreme cât nu treci printr-o valoare critică.
Proba de la sfârșit. Alege o mulțime de soluții cu parametru dintr-un exercițiu rezolvat, dă-i lui $α$ cinci valori întregi și verifică fiecare triplet în toate ecuațiile, inclusiv în cele secundare. E proba pe care mulți o sar și tocmai ea prinde erorile de semn.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul alege minorul principal calculându-l, nu din obișnuință; dacă scrie corect sistemul redus, cu necunoscutele secundare trecute în dreapta; și dacă, la o discuție după parametru, dă un verdict scris pentru fiecare valoare critică. Aritmetica e cea din clasa a XI-a — determinanți de ordinul $2$ și $3$ ; noutatea e organizarea răspunsului.

Aici se vede deosebirea dintre a ști să calculezi și a ști să redactezi: un elev poate calcula corect toți determinanții și să lase discuția neterminată fiindcă a tratat un singur caz. Un exercițiu bun acasă e să i se dea rezolvarea gata scrisă și să i se ceară să găsească ce lipsește din ea.

Întrebări de control: „Câte necunoscute secundare are un sistem cu patru necunoscute și rangul $2$ ?"; „De ce nu ai voie să simplifici cu $m - 3$ fără să spui nimic?". Semne că a înțeles: nu mai scrie „o infinitate de soluții" fără mulțimea lor și verifică soluția în ecuația lăsată deoparte, nu doar în cele folosite.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), unde tema apare în domeniul Algebră, unitatea XII.1. Sisteme de ecuații liniare, la rândul „Reducerea unui sistem de ecuații liniare la un sistem de tip Cramer", pentru sisteme cu cel mult $4$ ecuații și $4$ necunoscute. Programa de examen în vigoare pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) conține „Sisteme liniare cu cel mult $3$ necunoscute" și „Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare", dar nu conține rangul unei matrice; de aceea cerințele care se opresc la determinantul unui sistem cu parametru și la rezolvarea prin Cramer sunt marcate ca exerciții de bacalaureat M2, iar cele care cer reducerea, rangul sau necunoscutele secundare sunt marcate MAT_P2 2030. Metoda lui Gauss, folosită la matematică-informatică pentru aceleași scopuri, nu apare nici în Anexa 28, nici în programa de examen de la științe ale naturii, deci nu se foloseste în lecție. Din 2030, la științe ale naturii, matematica e una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Cele trei ore pe săptămână pe care se sprijină planificarea vin din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o necunoscută este secundară?

Înseamnă că nu intră în minorul principal și că, la rezolvare, nu se află: primește o literă, $α$ sau $β$ , și trece în membrul drept ca un număr cunoscut. Fiecare valoare dată ei produce câte o soluție, iar mulțimea tuturor soluțiilor se scrie tocmai cu acea literă.

Pot alege eu care necunoscută rămâne secundară?

În parte, da. Numărul lor este $n - r$ și nu se poate schimba, dar care anume joacă rolul depinde de minorul principal ales, iar minori nenuli de ordinul $r$ pot fi mai mulți. Singura condiție e ca minorul ales să fie nenul; dacă două coloane sunt proporționale, necunoscutele lor nu pot fi amândouă principale.

De unde știu că am găsit toate valorile critice?

Valorile critice sunt exact rădăcinile ecuației $Δ = 0$ , deci le găsești rezolvând-o. De aceea determinantul se scrie factorizat: din forma desfăcută rădăcinile nu se văd. Dacă $Δ$ nu se anulează pentru nicio valoare reală, sistemul e de tip Cramer oricare ar fi parametrul și n-ai niciun caz separat de tratat.

Se face la fel și la mate-info (M1)?

Nu chiar. Ideea e aceeași, dar la matematică-informatică ea vine în clasa a XI-a, însoțită de un al doilea criteriu, pentru sistemele cu mai multe ecuații decât necunoscute, și de o metodă de eliminare pe care programa de la științe nu o cuprinde: Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: sisteme liniare cu parametru.

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

Partea care se sprijină doar pe determinant și pe formulele lui Cramer e în programa de examen din 2014, deci și în sesiunile 2027–2029; în modelul oficial publicat pentru proba actuală, prima problemă a Subiectului al II-lea este despre matrice și determinanți. Reducerea propriu-zisă, cu rang și necunoscute secundare, intră în probă din 2030, la MAT_P2, în domeniul „Algebră"; marcajele exercițiilor arată deosebirea, cerință cu cerință.

De ce se cere determinantul factorizat?

Pentru că pasul următor este rezolvarea ecuației $Δ = 0$ , iar un produs se anulează exact când unul dintre factori se anulează. Scris desfăcut, ca sumă, determinantul te obligă să rezolvi de la zero o ecuație de gradul al doilea sau al treilea în parametru — muncă în plus și un loc bun pentru greșeli de semn.