Cât este limita lui (ln x)/(x-1) în 1?

Înlocuind apare 0/0, fiindcă ln 1=0. Raportul derivatelor este (1/x)/1= 1/x, care în 1 valorează 1. Deci limita este 1: lângă x=1, logaritmul se comportă aproape ca x-1.

Cum calculez o limită cu derivate?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Regula lui l'Hôspital

Regula lui l'Hôspital: la o nedeterminare $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ , treci la limita raportului derivatelor, luate separat. De exemplu, $x \to 2 lim \frac{x ^{3} - 8}{x ^{2} - 4}$ dă $\frac{0}{0}$ ; raportul derivatelor este $\frac{3 x ^{2}}{2 x}$ , care în $2$ valorează $\frac{12}{4} = 3$ . Calculul algebric confirmă: $\frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x + 2}$ tinde la $3$ , după simplificarea cu $x - 2$ .

Programa de examen M_șt-nat pentru sesiunile $2027$ – $2029$ cere regula lui l'Hôspital pentru cazurile $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty}{\infty}$ , iar din $2030$ , la proba MAT_P2, tema stă în domeniul Analiză matematică, cu precizarea „fără demonstrație".

Enunțul. Dacă raportul $\frac{f ( x )}{g ( x )}$ conduce la $\frac{0}{0}$ sau la $\frac{\infty}{\infty}$ , cele două funcții sunt derivabile în jurul punctului, $g^{'}$ nu se anulează acolo și există $lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$ , atunci raportul inițial are aceeași limită. Egalitatea se parcurge dinspre dreapta spre stânga: limita raportului derivatelor o garantează pe cealaltă, nu invers.

Trei verificări înaintea primei derivate: cazul de nedeterminare, derivabilitatea pe o vecinătate a punctului și condiția $g^{'} \neq = 0$ . Se derivează separat numărătorul și numitorul; formula derivatei unui cât descrie altă expresie și duce la alt număr.

Capcanele. Procedura se reia cât timp nedeterminarea persistă și se oprește în clipa în care ea dispare: o derivare în plus înlocuiește un raport a cărui limită era deja găsită cu unul nou. Factorul din interiorul unui exponent nu se pierde — derivata lui $e^{8 x}$ este $8 e^{8 x}$ . Iar la polinoame și la radicali factorizarea, simplificarea sau expresia conjugată scurtează drumul; regula devine unealta potrivită abia când în raport apare $e^{x}$ ori $ln x$ , expresii care nu se descompun în factori cu $x$ .

De reținut

se aplică doar la $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$
se derivează separat numărătorul și numitorul, nu raportul
cazul se verifică din nou înainte de fiecare aplicare

Greșeala tipică

Se derivează raportul cu regula câtului; regula lui l'Hôspital cere $\frac{f ^{'}}{g ^{'}}$ , adică derivatele numărătorului și numitorului luate separat.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează $x \to 5 lim \frac{x ^{2} - 7 x + 10}{x ^{2} - 3 x - 10}$ .
- a) $- 1$
- b) $1$
- c) $\frac{3}{7}$
- d) $\frac{7}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{3}{7}$

Cazul este $\frac{0}{0}$ , iar raportul derivatelor este $\frac{2 x - 7}{2 x - 3}$ , care în $5$ valorează $\frac{3}{7}$ . Control algebric: $\frac{( x - 2 ) ( x - 5 )}{( x - 5 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 2}{x + 2} \to \frac{3}{7}$ . Varianta d) răstoarnă raportul, b) vine dintr-o a doua derivare, $\frac{2}{2}$ , deși nedeterminarea dispăruse, iar a) ia raportul termenilor liberi, $\frac{10}{- 10}$ .
Calculează $x \to + \infty lim \frac{ln ( 4 x )}{ln ( 9 x )}$ .
- a) $1$
- b) $\frac{4}{9}$
- c) $0$
- d) $ln \frac{4}{9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1$

Cazul este $\frac{\infty}{\infty}$ . Derivatele sunt $\frac{1}{x}$ și $\frac{1}{x}$ , iar raportul lor este constant, egal cu $1$ . Varianta b) compară coeficienții dinăuntrul logaritmilor, d) scade logaritmii în loc să-i împartă, iar c) presupune că numitorul crește mai repede — aici cele două creșteri sunt identice.
Calculează $x \to 1 lim \frac{x ^{3} + 11}{x ^{2} + 3}$ .
- a) $\frac{11}{3}$
- b) $- \frac{3}{4}$
- c) $\frac{3}{2}$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $3$

Numărătorul tinde la $12$ , numitorul la $4$ : nu există nicio nedeterminare, deci limita se obține prin înlocuire și este $3$ . Varianta c) aplică regula fără drept, $\frac{3 x ^{2}}{2 x} \to \frac{3}{2}$ ; b) folosește formula derivatei unui cât și dă $- \frac{3}{4}$ ; a) raportează termenii liberi.

Întrebări conexe

Cum verific cazul înainte să aplic regula lui l'Hôspital?

Înlocuiești punctul în numărător și în numitor. Pentru $\frac{x + 3}{x - 1}$ în $1$ obții $\frac{4}{0}$ , care nu este caz exceptat: limitele laterale sunt $- \infty$ și $+ \infty$ . Regula se aplică doar dacă apare $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ .

Cât este limita lui $\frac{l n x}{x - 1}$ în 1?

Înlocuind apare $\frac{0}{0}$ , fiindcă $ln 1 = 0$ . Raportul derivatelor este $\frac{1/ x}{1} = \frac{1}{x}$ , care în $1$ valorează $1$ . Deci limita este $1$ : lângă $x = 1$ , logaritmul se comportă aproape ca $x - 1$ .

Cât este limita lui $\frac{l n x}{x}$ la plus infinit?

Cazul este $\frac{\infty}{\infty}$ . Raportul derivatelor este $\frac{1/ x}{1/ ( 2 x )} = \frac{2}{x}$ , care tinde la $0$ . Deci logaritmul crește mai încet decât radicalul, deși amândouă cresc nemărginit. De exemplu, la $x = 1 0^{6}$ radicalul valorează $1000$ , iar $ln x \approx 13, 8$ .

Pot aplica regula lui l'Hôspital de două ori la rând?

Da, dacă după prima aplicare cazul rămâne $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ . Pentru $x \to 0 lim \frac{1 - c o s x}{x ^{2}}$ : prima derivare dă $\frac{s i n x}{2 x}$ , tot $\frac{0}{0}$ , iar a doua dă $\frac{c o s x}{2}$ , cu limita $\frac{1}{2}$ .

Folosesc l'Hôspital sau regula gradelor la un raport de polinoame?

Amândouă dau același rezultat, dar regula gradelor e mai scurtă. Pentru $\frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} + 5}$ la $+ \infty$ , regula gradelor dă direct $3$ ; l'Hôspital dă $\frac{6 x}{2 x} = 3$ după o derivare. Derivatele sunt utile mai ales la logaritmi și exponențiale.

Oamenii mai întreabă și: limite calculate cu derivate · regula lui l'Hôspital · l'Hôspital limită · cum aplic l'Hôspital