Regula lui l'Hôspital, fără demonstrație (M2, științe ale naturii)

Până acum, la clasa a XI-a, profil științe ale naturii (M2), nedeterminările s-au ridicat cu unelte de algebră: factorizare, simplificare, numitor comun, expresie conjugată. Metodele acestea funcționează perfect la polinoame și la radicali, dar se opresc brusc atunci când în raport apare o exponențială sau un logaritm — $\frac{e^{3x}-1}{2x}$ nu se poate factoriza, pentru că $e^{3x}-1$ nu se descompune în factori cu $x$ în ei. Aici intervine rezultatul care dă titlul lecției și care deschide, la bacalaureatul M2, drumul spre limitele de la Subiectul al III-lea.

Ideea lui este surprinzător de simplă: dacă numărătorul și numitorul se apropie amândoi de zero, ceea ce contează nu sunt valorile lor, ci vitezele cu care se apropie — iar viteza unei funcții este chiar derivata ei. Programa de științe ale naturii cere rezultatul „fără demonstrație", așa că lecția face exact ce cere ea: enunț complet, condiții de aplicare verificate de fiecare dată, exemple duse până la capăt. Vei găsi numele scris în două feluri — „l'Hôspital" în programa școlară nouă și „l'Hospital" în programa de examen; este aceeași persoană, marchizul francez care a publicat rezultatul în 1696.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți regula lui l'Hôspital cu toate condițiile ei, așa cum se cere în scris la examen.
• Vei ști să recunoști cazurile $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$ înainte de orice derivare și să te oprești când nu ești în niciunul.
• Vei ști să derivezi separat numărătorul și numitorul, fără să confunzi raportul derivatelor cu derivata raportului.
• Vei ști să reiei procedura atunci când noul raport rămâne nedeterminat și să te oprești exact la timp.
• Vei ști să alegi între calea algebrică și regulă, în funcție de ce ai în față.
• Vei ști să redactezi rezolvarea în ordinea potrivită.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este regula lui l'Hôspital?

Privește raportul $\frac{x^2-2x-3}{x^2-9}$ în jurul lui $3$. Numărătorul și numitorul se duc amândoi la zero, deci raportul nu se poate calcula prin înlocuire. Ce le deosebește totuși? Ritmul: în apropierea lui $3$, numărătorul scade spre zero cu o anumită viteză, numitorul cu alta, iar raportul celor două viteze este exact numărul spre care tinde fracția.

Regula lui l'Hôspital este rezultatul care înlocuiește limita unui raport nedeterminat cu limita raportului derivatelor, atunci când a doua limită există. Cu alte cuvinte, în loc să compari două mărimi care se sting amândouă, compari vitezele lor de stingere — iar viteza o dă derivata, calculată cu regulile fixate în lecția despre alegerea regulii de derivare.

Numeric, lucrurile se văd imediat. Numărătorul $x^2-2x-3$ are derivata $2x-2$, care în $3$ valorează $4$; numitorul $x^2-9$ are derivata $2x$, care în $3$ valorează $6$. Raportul vitezelor este $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ — și chiar aceasta este limita, cum se poate verifica și prin simplificare, fiindcă $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ și $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

2. Cum se enunță regula, cu toate condițiile?

Fie $I$ un interval, $x_0$ un punct al lui sau unul dintre capete (finit, $+\infty$ sau $-\infty$), și fie $f$ și $g$ două funcții derivabile pe $I$, în afară, eventual, de $x_0$, cu $g^{\prime }(x)\ne 0$ în jurul lui $x_0$. Dacă sunt îndeplinite condițiile

1. raportul $\frac{f(x)}{g(x)}$ conduce, pentru $x\to x_0$, la $\frac{0}{0}$ sau la $\frac{\infty }{\infty }$;
2. există limita $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$, finită sau infinită,

atunci raportul inițial are aceeași limită:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Rezultatul se admite fără demonstrație: așa îl cere, cuvânt cu cuvânt, programa de științe ale naturii, care precizează că exprimarea „regula lui…" arată tocmai că justificarea rămâne în afara materiei. Ce nu rămâne în afara materiei este aplicarea corectă, iar aceasta înseamnă condițiile de mai sus, scrise, nu subînțelese.

Două precizări despre enunț, ca să nu-l citești mai larg decât este. Prima: punctul $x_0$ are voie să fie $+\infty$ sau $-\infty$, deci regula se aplică la fel de bine limitelor la infinit ca și celor într-un punct. A doua: egalitatea se citește de la dreapta la stânga. Existența limitei din dreapta o garantează pe cea din stânga; dacă raportul derivatelor nu are limită, enunțul nu spune nimic, iar limita inițială trebuie căutată altfel.

3. Cum verifici că ai voie să aplici regula?

Trei întrebări, puse în ordine, înainte de a scrie prima derivată.

Sunt într-un caz de nedeterminare? Calculezi separat limita numărătorului și limita numitorului și scrii ce ai obținut. Dacă răspunsul nu este $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$, regula nu are ce căuta acolo, iar limita se obține prin simplă înlocuire, ca la orice raport de funcții continue cu numitor nenul. Verificarea aceasta este prima pentru că e și cea mai ieftină, și cea mai des sărită.

Sunt funcțiile derivabile în jurul punctului? La funcțiile din programa de examen M2 — polinomiale, raționale, cu radical, exponențiale și logaritmice — răspunsul e da în interiorul domeniului, dar el se scrie într-o propoziție, cu domeniul precizat. Grija reală apare la logaritm și la radical, unde funcția nu e definită decât de o parte a punctului: la $x_0=0$ un raport care conține $\ln x$ se studiază numai pentru $x>0$, deci limita este laterală.

Derivata numitorului se anulează? Condiția $g^{\prime }(x)\ne 0$ nu este o formalitate: fără ea, raportul derivatelor nu are sens în vecinătatea punctului, iar concluzia nu se poate transfera. La funcțiile obișnuite se verifică dintr-o privire — dacă $g(x)=x^2+5$, atunci $g^{\prime }(x)=2x$, nenulă pentru $x\ne 0$ —, dar se verifică.

Iată cum arată cele trei răspunsuri scrise, la un caz concret: pentru $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2^x-1}{5x}$ se scrie „numărătorul tinde la $0$, numitorul tinde la $0$, deci cazul $\frac{0}{0}$"; apoi „exponențiala de bază $2$ și funcția liniară sunt derivabile pe $\mathbb{R}$"; apoi „derivata numitorului este $5$, nenulă". Trei rânduri scurte, care cântăresc mai mult decât calculul propriu-zis, fiindcă ele arată că ai dreptul să faci calculul.

4. Cum arată cazul cu infinit la numărător și la numitor?

Regula funcționează identic când ambii termeni cresc nemărginit. Ia $\frac{5x^2-3x}{x^2+8}$ pentru $x\to +\infty$: sus și jos totul crește peste orice margine, deci suntem în cazul $\frac{\infty }{\infty }$. Derivatele dau $\frac{10x-3}{2x}$, tot nedeterminat, iar o a doua derivare dă $\frac{10}{2}=5$.

Exemplul acesta arată și de ce regula nu e întotdeauna cea mai scurtă cale: la un raport de polinoame, împărțirea prin puterea cea mai mare dă răspunsul dintr-o linie, așa cum se face în lecția despre operațiile cu limite și cazurile exceptate. Regula devine indispensabilă abia atunci când în raport apare un $e^x$ sau un $\ln x$ — funcții ale căror proprietăți, fixate în clasa a X-a la funcția exponențială și proprietățile ei, nu cuprind nicio descompunere în factori cu $x$, deci nicio simplificare posibilă.

Merită observat, la cazul $\frac{\infty }{\infty }$, un lucru care surprinde prima dată: exponențiala bate orice polinom. La un raport de forma $\frac{P(x)}{e^x}$, cu $P$ polinom, fiecare derivare coboară numărătorul cu un grad, iar numitorul rămâne neschimbat; după destule derivări sus rămâne o constantă, iar limita este $0$. Faptul acesta, citit invers, spune că un raport de forma $\frac{e^x}{P(x)}$, cu $P$ de coeficient dominant pozitiv, crește nemărginit — o informație pe care o vei folosi des la studiul funcțiilor.

5. Ce faci dacă raportul rămâne nedeterminat?

Reiei procedura, cu noul raport, de la prima întrebare. Nu e nimic special aici: raportul derivatelor este el însuși un raport, deci i se aplică aceleași trei verificări. Ai văzut tiparul mai sus, la $\frac{5x^2-3x}{x^2+8}$: prima derivare a dat $\frac{10x-3}{2x}$, tot $\frac{\infty }{\infty }$, iar a doua a scos nedeterminarea și a dat $5$.

Capcana este însă la celălalt capăt, și costă la fel de mult: derivarea nu continuă la nesfârșit. În clipa în care noul raport nu mai este nedeterminat, calculul s-a încheiat; a mai deriva o dată înseamnă a înlocui o expresie cu alta care, de regulă, are altă limită. Pentru că este greșeala cea mai frecventă la această temă, ea are un exemplu propriu mai jos, cu cifrele la vedere.

Între două aplicări merită întotdeauna o simplificare. Dacă la numărător și la numitor a apărut un factor comun — un $e^{2x}$, un $x$, un $2$ —, scoate-l înainte de a deriva din nou; altfel derivezi expresii care cresc de la un rând la altul, iar riscul de greșeală crește odată cu ele.

6. Când NU folosești regula?

În trei situații, toate ușor de recunoscut. Când nu există nedeterminare — acolo regula dă un rezultat fals, nu doar inutil. Când calea algebrică e mai scurtă: la $\frac{x^2-6x+8}{x-4}$ simplificarea cu $x-4$ rezolvă limita în cinci secunde, iar la un raport de polinoame la infinit, împărțirea prin puterea dominantă face același lucru. Și când raportul derivatelor nu are limită, caz în care enunțul pur și simplu nu se aplică.

La examen alegerea se face după un criteriu practic: dacă vezi $e^x$ sau $\ln x$ în raport, pornește cu regula; dacă vezi numai polinoame și radicali, încearcă întâi factorizarea sau conjugata. Amândouă metodele duc la același rezultat, deci câștigi timp, nu altceva — dar timpul e exact ce lipsește la o probă de trei ore.

7. Cum se redactează la examen?

Ordinea de pe foaie este fixă și fiecare rând are rostul lui: mai întâi limitele numărătorului și numitorului cu numele cazului scris („cazul $\frac{0}{0}$"), apoi propoziția despre derivabilitate și despre $g^{\prime }\ne 0$, apoi cele două derivate calculate separat, apoi limita noului raport și, la final, concluzia despre limita cerută.

Semnul egal dintre limita inițială și limita raportului derivatelor se scrie după ce ai constatat cazul, nu înainte. Este o chestiune de logică, nu de stil: egalitatea e adevărată tocmai pentru că s-au verificat condițiile, iar fără verificarea scrisă ea rămâne nejustificată.

Merită și un cuvânt despre notație. Raportul derivatelor se scrie $\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$, cu cele două derivate pe rânduri diferite ale fracției, niciodată sub forma ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }$: a doua expresie înseamnă cu totul altceva și, pusă pe foaie, arată că nu ai înțeles enunțul, chiar dacă restul calculului iese bine. Iar rezultatul final se scrie ca limită a raportului inițial, nu a ultimului raport obținut — cerința era despre primul, iar acel rând este răspunsul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un caz $\frac{0}{0}$ cu polinoame

Calculați $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2+5x+6}{x^2+7x+10}$.

Rezolvare. Cazul: $\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2+5x+6\right)=0$ și $\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2+7x+10\right)=0$, deci $\frac{0}{0}$.

Condițiile: ambele funcții sunt polinomiale, deci derivabile pe $\mathbb{R}$; derivata numitorului, $2x+7$, valorează $3$ în $-2$, deci nu se anulează în jurul lui.

Aplicarea: $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x+5}{2x+7}=\frac{1}{3}$, limită care există. Prin urmare $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2+5x+6}{x^2+7x+10}=\frac{1}{3}$.

Control algebric. Factorizând, $\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+5)}=\frac{x+3}{x+5}\to \frac{1}{3}$. Același rezultat, pe alt drum — semn că regula nu contrazice algebra, ci o continuă acolo unde ea nu mai ajunge.

Exemplul 2 — Un caz $\frac{0}{0}$ cu exponențială

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{2x}$.

Rezolvare. Cazul: $e^{3\cdot 0}-1=0$ și $2\cdot 0=0$, deci $\frac{0}{0}$. Aici factorizarea nu are ce face: $e^{3x}-1$ nu se descompune în factori cu $x$.

Condițiile: exponențiala și funcția liniară sunt derivabile pe $\mathbb{R}$, iar derivata numitorului este $2$, constantă nenulă.

Aplicarea: derivata numărătorului este $3e^{3x}$, deci $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3e^{3x}}{2}=\frac{3}{2}$. Așadar $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{2x}=\frac{3}{2}$.

Reține factorul $3$ venit din interiorul exponentului: el este exact ce ar uita cineva care derivează $e^{3x}$ ca pe $e^x$, iar rezultatul ar ieși de trei ori mai mic.

Exemplul 3 — Un caz $\frac{0}{0}$ cu logaritm

Calculați $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x^2-1}$.

Rezolvare. Cazul: $\ln 1=0$ și $1-1=0$, deci $\frac{0}{0}$.

Condițiile: logaritmul este derivabil pe $(0,+\infty )$, polinomul pe $\mathbb{R}$, iar derivata numitorului, $2x$, nu se anulează în jurul lui $1$. Punctul $1$ este interior domeniului $(0,+\infty )$, deci limita se ia din ambele părți.

Aplicarea: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{2x^2}=\frac{1}{2}$, deci $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x^2-1}=\frac{1}{2}$.

Observă pasul de scriere care evită greșelile: raportul „etajat" $\frac{1/x}{2x}$ se aduce la o singură fracție, $\frac{1}{2x^2}$, înainte de a trece la limită.

Exemplul 4 — Un caz $\frac{\infty }{\infty }$ cu două aplicări

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2+1}{e^x}$.

Rezolvare. Cazul: numărătorul și numitorul cresc amândoi nemărginit, deci $\frac{\infty }{\infty }$.

Prima aplicare: derivatele sunt $6x$ și $e^x$, iar raportul $\frac{6x}{e^x}$ este tot de tipul $\frac{\infty }{\infty }$. Reluăm verificarea pentru noul raport: ambele funcții sunt derivabile pe $\mathbb{R}$, iar ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ nu se anulează niciodată.

A doua aplicare: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6}{e^x}=0$, pentru că numitorul crește nemărginit, iar numărătorul e constant.

Concluzia: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2+1}{e^x}=0$. Polinomul, oricât de mare i-ar fi gradul, pierde cursa în fața exponențialei: fiecare derivare îi taie un grad, în timp ce $e^x$ rămâne neschimbat.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x^2+x}$ și scrie: „cazul $\frac{0}{0}$; derivând, obțin $\frac{e^x}{2x+1}$; derivând încă o dată, obțin $\frac{e^x}{2}$, deci limita este $\frac{1}{2}$". Găsiți greșeala și dați răspunsul corect.

Rezolvare. Primul pas este corect: în $0$ numărătorul dă $0$ și numitorul dă $0$, deci cazul este $\frac{0}{0}$, iar prima derivare este bine făcută.

Greșeala vine la pasul următor. După prima aplicare, raportul obținut este $\frac{e^x}{2x+1}$, iar în $0$ el valorează $\frac{1}{1}=1$: nu mai este o nedeterminare. Prin urmare calculul era încheiat, iar a doua derivare a înlocuit un raport care avea deja limită cu altul, care are altă limită.

Răspunsul corect este deci $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x^2+x}=1$. Regula de disciplină care previne greșeala: după fiecare aplicare, întrebarea „mai am o nedeterminare?" se pune din nou, iar dacă răspunsul e nu, se scrie valoarea și se oprește.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x\left(2x^2+7x\right)$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x\left(2x^2+11x+7\right)$, $x\in \mathbb{R}$. b) Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=7$. c) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{e^{2x}}$.

Rezolvare.

a) Ultima operație este înmulțirea a doi factori cu $x$, deci regula produsului: $$f^{\prime }(x)=e^x\left(2x^2+7x\right)+e^x(4x+7)=e^x\left(2x^2+7x+4x+7\right)=e^x\left(2x^2+11x+7\right).$$

b) Cazul: $f(0)=e^0\cdot 0=0$ și numitorul tinde la $0$, deci $\frac{0}{0}$. Condițiile: $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar derivata numitorului este $1$. Aplicarea: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{1}=f^{\prime }(0)=e^0(0+0+7)=7$, deci $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=7$.

c) Simplificând mai întâi cu $e^x$, raportul devine $\frac{2x^2+7x}{e^x}$, de tipul $\frac{\infty }{\infty }$. O primă aplicare dă $\frac{4x+7}{e^x}$, tot nedeterminat; a doua dă $\frac{4}{e^x}$, care tinde la $0$. Prin urmare $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{e^{2x}}=0$.

De la examen la lecție. În modelul oficial al probei M_șt-nat publicat pentru sesiunea 2026, prima problemă de analiză cere derivata unei funcții, o limită și o inegalitate; primele două cerințe de aici au exact forma aceea, iar a treia pune în locul inegalității o a doua limită, ca să vezi regula aplicată de două ori în aceeași problemă. Cerințele sunt construite pe tema din programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului. Punctul b) merită privit de două ori: limita de acolo este, prin definiție, chiar $f^{\prime }(0)$, așa că regula și definiția derivatei dau același număr — o coincidență care la examen se transformă în verificare gratuită.

Să exersăm

La fiecare limită, scrie mai întâi cazul în care te afli; dacă nu e $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$, nu deriva nimic.

1. Calculează $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}$ și verifică rezultatul și prin simplificare.

2. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}$.

3. Calculează $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-x}{x^2-1}$.

4. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+1)}{x}$.

5. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}$.

6. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-x}{x^2+5}$, o dată cu regula și o dată prin împărțire la $x^2$.

7. Calculează $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Regula lui l'Hôspital se poate aplica oricărui raport de funcții derivabile."

9. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{e^x-1}$.

10. Deduce $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\ln (x+1)}$ din rezultatul exercițiului 4, fără să aplici din nou regula, și spune pe ce proprietate a limitelor te sprijini.

11. (Problemă aplicată.) Cantitatea de substanță transformată într-o reacție este $q(t)=5\left(1-e^{-0,4t}\right)$ grame, unde $t$ se măsoară în minute. Rata medie de transformare pe intervalul $[0,t]$ este $\frac{q(t)}{t}$. Calculează limita acestei rate pentru $t\to 0$ și spune ce mărime ai obținut, cu unitatea ei.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{3x}-3x-1$. Arată că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=\frac{9}{2}$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln x$. Arată că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=1$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2x^2-7x+4$. Calculează $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}$.

15. Arată că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^3}=+\infty$.

16. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{e^x-1}$.

17. Explică de ce regula nu se poate aplica lui $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+2}{x^2+1}$ și calculează limita.

18. (Provocare.) Determină numărul real $m$ pentru care $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1-mx}{x^2}$ este finită și calculează apoi valoarea limitei.

Răspunsuri și explicații

1. Cazul $\frac{0}{0}$; derivatele dau $\frac{2x}{1}\to 4$, deci $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=4$. Prin simplificare: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to 4$.

2. Cazul $\frac{0}{0}$; raportul derivatelor este $\frac{e^x}{1}\to 1$, deci $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$.

3. Cazul $\frac{0}{0}$; derivatele dau $\frac{3x^2-1}{2x}\to \frac{2}{2}=1$, deci $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-x}{x^2-1}=1$.

4. Cazul $\frac{0}{0}$; derivata numărătorului este $\frac{1}{x+1}$, deci raportul devine $\frac{1}{x+1}\to 1$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+1)}{x}=1$.

5. Cazul $\frac{\infty }{\infty }$; raportul derivatelor este $\frac{1/x}{1}=\frac{1}{x}\to 0$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$. Logaritmul crește, dar mult mai încet decât $x$.

6. Cu regula: $\frac{4x-1}{2x}$, tot $\frac{\infty }{\infty }$, apoi $\frac{4}{2}=2$. Prin împărțire la $x^2$: $\frac{2-1/x}{1+5/x^2}\to 2$. Deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-x}{x^2+5}=2$, iar a doua cale e vizibil mai scurtă.

7. Cazul $\frac{0}{0}$; derivatele dau $\frac{1/(2\sqrt{x})}{1}$, care în $4$ valorează $\frac{1}{4}$. Deci $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{1}{4}$.

8. Fals. Prima condiție din enunț este existența nedeterminării. Contraexemplu: pentru $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+2}{x+1}$ răspunsul corect este $\frac{3}{2}$, obținut prin înlocuire, în timp ce raportul derivatelor, $\frac{2x}{1}$, ar da $2$.

9. Cazul $\frac{0}{0}$; derivatele dau $\frac{2e^{2x}}{e^x}=2e^x\to 2$, deci $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{e^x-1}=2$. Simplificarea cu $e^x$ înainte de trecerea la limită scurtează calculul.

10. Expresia este răsturnatul celei de la exercițiul 4, a cărei limită este $1$, deci un număr nenul. Limita unui cât de funcții cu limite finite și cu numitor de limită nenulă fiind câtul limitelor, rezultă $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\ln (x+1)}=\frac{1}{1}=1$. Condiția „limita numitorului nenulă" este tocmai ce trebuie verificat înainte de a răsturna un raport.

11. Cazul $\frac{0}{0}$, fiindcă $q(0)=0$. Derivata numărătorului este $q^{\prime }(t)=2e^{-0,4t}$, iar a numitorului, $1$; limita raportului este $2$. Ai obținut viteza inițială de transformare, adică $2\text{g/min}$: la începutul reacției se transformă două grame pe minut, ritm care scade pe măsură ce reactantul se consumă.

12. Cazul $\frac{0}{0}$; prima aplicare dă $\frac{3e^{3x}-3}{2x}$, tot $\frac{0}{0}$; a doua dă $\frac{9e^{3x}}{2}\to \frac{9}{2}$. Deci $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=\frac{9}{2}$.

13. Cazul $\frac{0}{0}$, fiindcă $f(1)=1\cdot \ln 1=0$. Derivata numărătorului este $\ln x+1$, iar a numitorului, $1$; limita raportului este $\ln 1+1=1$. Deci $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=1$.

14. Cazul $\frac{0}{0}$; prima aplicare dă $\frac{3x^2+4x-7}{2(x-1)}$, tot $\frac{0}{0}$; a doua dă $\frac{6x+4}{2}=3x+2\to 5$. Deci $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}=5$. Control: $x^3+2x^2-7x+4=(x-1{)}^2(x+4)$, iar $x+4\to 5$.

15. Cazul $\frac{\infty }{\infty }$; trei aplicări succesive dau $\frac{e^x}{3x^2}$, apoi $\frac{e^x}{6x}$, apoi $\frac{e^x}{6}$, care crește nemărginit. Deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^3}=+\infty$.

16. Cazul $\frac{0}{0}$; raportul derivatelor este $\frac{2x}{e^x}\to \frac{0}{1}=0$, deci $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{e^x-1}=0$. Aici o a doua aplicare ar fi exact greșeala din exemplul 5.

17. Nu există nedeterminare: numărătorul tinde la $2$, numitorul la $1$. Ambele funcții sunt continue, iar numitorul nu se anulează în $0$, deci $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+2}{x^2+1}=2$, prin înlocuire.

18. Numărătorul tinde la $0$ pentru orice $m$, deci cazul este $\frac{0}{0}$. Prima aplicare dă $\frac{2e^{2x}-m}{2x}$, unde numitorul tinde la $0$; pentru ca limita să fie finită, trebuie ca și numărătorul să tindă la $0$, adică $2-m=0$, deci $m=2$. Cu această valoare, o a doua aplicare dă $\frac{4e^{2x}}{2}\to 2$, deci limita este $2$.

De reținut

• Regula lui l'Hôspital înlocuiește $\lim \frac{f}{g}$ cu $\lim \frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ și se aplică numai în cazurile $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$, cu $f$ și $g$ derivabile în jurul punctului și $g^{\prime }$ nenulă acolo.
• Se derivează separat numărătorul și numitorul; formula pentru derivata unui cât nu are nicio legătură cu acest calcul și folosirea ei aici duce la alt rezultat.
• Rezultatul se admite fără demonstrație, cum cere programa de științe ale naturii, dar condițiile de aplicare se verifică în scris la fiecare pas: fără ele, regula nu se poate folosi.
• Dacă noul raport este tot nedeterminat, procedura se reia de la prima întrebare; în clipa în care nedeterminarea dispare, calculul s-a terminat și nu se mai derivează.
• Regula nu e obligatorie: la polinoame și radicali, factorizarea, simplificarea sau conjugata sunt de obicei mai scurte, iar la exponențială și logaritm regula rămâne singura cale rezonabilă.

Greșeli frecvente

• Derivezi numai numărătorul. La $\frac{e^{3x}-1}{2x}$, raportul derivatelor este $\frac{3e^{3x}}{2}$, nu $\frac{3e^{3x}}{2x}$. Numitorul se derivează și el, chiar când pare „prea simplu ca să conteze".
• Nu scrii cazul. Un șir de egalități care începe direct cu derivatele nu spune de ce ai avut dreptul să treci de la un raport la altul; constatarea nedeterminării este un pas de sine stătător, iar un pas nescris nu există pe foaie.
• Ceri o limită bilaterală acolo unde funcția e definită doar de o parte. Un raport care conține $\ln x$ nu are sens la stânga lui $0$, iar unul cu $\sqrt{x-1}$ nu are sens la stânga lui $1$: acolo se lucrează cu limită laterală, altfel enunțul nu se aplică.
• Derivezi din nou fără să simplifici. După o aplicare, raportul poate avea factori comuni; scoși la timp, ei fac a doua derivare banală, iar lăsați acolo, ei umflă expresia și odată cu ea și riscul de greșeală.
• Derivezi după parametru. Într-o limită de tipul $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1-mx}{x^2}$, litera $m$ este o constantă, iar derivarea se face după $x$: derivata lui $mx$ este $m$, nu $x$.

Aplică acasă

1. Fișa cu trei întrebări. Scrie pe un cartonaș, mare și citeț, cele trei întrebări de verificare din secțiunea 3. Ține-l lângă caiet o săptămână și, la fiecare limită pe care o rezolvi, bifează-le pe rând, în scris. După zece rezolvări, cartonașul devine inutil — exact asta e ținta.

2. Proba pe calculator. Ia limita din exemplul 4 și calculează valoarea raportului pentru $x=5$, $x=10$, $x=20$ și $x=30$; notează cifrele într-un tabel și urmărește cum se apropie de rezultat. Repetă apoi pentru o limită într-un punct finit, cu $x$ la $0,1$, $0,01$ și $0,001$ distanță de el, din ambele părți.

3. Redactarea punctată. Rescrie rezolvarea exercițiului 14 exact cum ai preda-o la examen, cu toate rândurile de verificare. Dă foaia unui coleg și roagă-l să acorde câte un punct pentru: cazul constatat, condițiile scrise, derivatele corecte, limita nouă și concluzia. Comparați unde s-au pierdut puncte.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la capitolul „Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor", unde este trecută explicit „Teorema lui l'Hôspital (fără demonstrație)". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, a cărei programă (OMEN 4430/2014) cere „regulile lui l'Hospital pentru cazurile $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$" la capitolul „Funcții derivabile"; în modelul oficial al probei, o limită de acest tip apare la Subiectul al III-lea, în a doua cerință a primei probleme. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Un cuvânt despre ce nu conține lecția. La profilul științe ale naturii nu se predau teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange — niciuna nu apare în programa clasei —, deci elevul primește rezultatul ca pe un instrument, nu ca pe o consecință. Alegerea nu este o simplificare a noastră: programa scrie „fără demonstrație" și explică, într-o notă proprie, că formularea „regula lui…" marchează tocmai un rezultat folosit în aplicații, a cărui justificare rămâne în afara materiei.

Lecția verifică patru lucruri: (1) constatarea cazului înaintea oricărei derivări; (2) derivarea separată a numărătorului și a numitorului; (3) reluarea procedurii atât timp cât nedeterminarea persistă și oprirea în clipa în care dispare; (4) alegerea între regulă și calea algebrică. Întrebări de control, de pus oral: „Ce verifici înainte de a deriva?"; „De ce nu e voie să folosești formula derivatei unui cât aici?"; „Cum știi că trebuie să te oprești?"; „Când e mai rapidă factorizarea?". Semne că elevul a înțeles: scrie cazul înainte de orice calcul, simplifică între două aplicări și, la o limită cu polinoame, încearcă întâi algebra. Continuarea firească este lecția despre nedeterminările care se reduc la un raport.

Întrebări frecvente

De ce se compară derivatele, și nu valorile funcțiilor? Pentru că într-un caz $\frac{0}{0}$ valorile nu mai spun nimic: și sus, și jos ele se sting. Ce le deosebește este ritmul stingerii, iar ritmul este exact ce măsoară derivata. Raportul vitezelor rămâne finit acolo unde raportul valorilor devine nedeterminat, și tocmai el dă răspunsul.

Ce diferă la această teoremă între mate-info (M1) și M2? Enunțul este același, dar la științe ale naturii el vine singur și se admite fără demonstrație, cum cere programa. La mate-info teorema stă într-un capitol întreg, alături de teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange, care o justifică. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: regulile lui L'Hôpital arată tot ce se adaugă acolo.

La ce subiect apare la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, în cadrul primei probleme de analiză matematică. În modelul oficial al probei M_șt-nat, după cerința de derivare urmează o cerință de tipul „Arătați că limita este…", care se dovedește a fi un caz $\frac{0}{0}$ și se rezolvă exact cu această regulă.

De ce nu am voie să derivez raportul cu formula derivatei unui cât? Pentru că teorema vorbește despre raportul derivatelor, adică despre $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$, nu despre derivata fracției. Sunt două expresii complet diferite, cu limite diferite, iar folosirea celei greșite nu produce o mică inexactitate, ci un rezultat fals. Verificarea e simplă: dacă în rezolvarea ta apare la numitor pătratul numitorului inițial, ai aplicat formula câtului, ai ieșit din teoremă și trebuie să reiei calculul de la constatarea cazului.

Ce se întâmplă dacă mai derivez o dată după ce nedeterminarea a dispărut? Obții alt număr, adică un răspuns greșit. Odată ce noul raport are limită prin înlocuire, egalitatea din teoremă nu se mai poate folosi, fiindcă prima ei condiție nu mai e îndeplinită. Exemplul 5 din lecție arată exact acest caz: $1$ devine, printr-o derivare în plus, $\frac{1}{2}$.

La ce funcții din programa M2 este regula singura cale rezonabilă? La cele care conțin $e^x$ sau $\ln x$. Lista funcțiilor din programa de examen cuprinde și polinoame, rapoarte de polinoame și radicali, iar acolo factorizarea, simplificarea ori expresia conjugată rezolvă limita mai repede. Exponențiala și logaritmul nu se descompun în factori, așa că derivarea rămâne singurul instrument.

Ce trebuie scris neapărat într-o rezolvare cu regula lui l'Hôspital? Constatarea cazului, cu cele două limite calculate separat; o propoziție despre derivabilitate și despre derivata nenulă a numitorului; cele două derivate; limita noului raport; concluzia. Fiecare pas se scrie, iar pasul sărit cel mai des, la toate promoțiile, este chiar primul.