Cum derivez repede o funcție de forma 1/g(x)?

Folosești (1/g)'=- g'/g², un caz particular al regulii câtului. De exemplu, (1/(x²+1))'=- 2x/((x²+1)²). Derivata este pozitivă pentru x 0, deci funcția crește până în 0 și scade după aceea. Maximul ei, 1, se atinge în origine.

Ce semn are derivata unei funcții de forma (ax+b)/(cx+d)?

Derivata este (ad-bc)/((cx+d)²), deci semnul ei este semnul numărului ad-bc, același pe tot domeniul. Pentru (2x-1)/(x+3), ad-bc=6+1=7>0, deci funcția crește pe fiecare interval al domeniului.

Cum derivez câtul (ln x)/x?

Aplici regula câtului: (1/x· x-ln x· 1)/x²= (1-ln x)/x², pentru x>0. Derivata se anulează în x=e, unde ln x=1. Numitorul x² este pozitiv, deci semnul derivatei este semnul lui 1-ln x: pozitiv pe (0,e) și negativ după e.

Cum se derivează un cât de două funcții?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Reguli de derivare

Cu regula câtului: $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ , acolo unde $g \neq = 0$ . Numărătorul începe cu derivata numărătorului, iar ordinea termenilor nu se schimbă. De exemplu, pentru $\frac{2 x - 1}{x + 3}$ : $\frac{2 ( x + 3 ) - ( 2 x - 1 ) \cdot 1}{( x + 3 ) ^{2}} = \frac{7}{( x + 3 ) ^{2}}$ . Proba numerică: în $x = 1$ , derivata este $\frac{7}{16}$ , iar raportul de diferențe din jurul lui $1$ dă aproximativ același număr.

Patru formule acoperă tot ce se construiește din funcțiile tabelului: $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ , $(α f)^{'} = α f^{'}$ , $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ și $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ , ultima cu $g \neq = 0$ pe intervalul de lucru.

Licența de a lucra „pe bucăți" o are numai suma. Produsul nu se derivează factor cu factor, iar contraexemplul e la îndemână: $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ are derivata $5 x^{4}$ , în timp ce produsul derivatelor ar da $6 x^{3}$ — nici măcar același grad. Regula produsului adună doi termeni: întâi derivezi factorul din stânga și îl păstrezi neschimbat pe al doilea, apoi schimbi rolurile. La trei factori o aplici de două ori, iar rezultatul are trei termeni.

La cât formula nu este simetrică, și aici se pierde cel mai mult: se pornește de la derivata numărătorului înmulțită cu numitorul, iar dacă cei doi termeni se scriu invers rezultatul iese cu semnul schimbat. Minusul se aplică întregului produs al doilea, așa că paranteza din jurul lui nu e decorativă. La numitor stă $g^{2}$ , pătratul numitorului inițial.

Pornești întotdeauna de la regula ultimei operații din expresie; ce rămâne dedesubt se rezolvă la pasul următor. Dacă expresia se simplifică, simplifici înainte de a deriva. Domeniul rezultatului este cel mai mic dintre domeniile termenilor și se scrie odată cu formula. Verificarea durează câteva secunde: desfaci parantezele acolo unde se poate, compari gradul sau probezi numeric într-un punct.

De reținut

$(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ , cu $g \neq = 0$
$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$
$(\frac{1}{g})^{'} = - \frac{g ^{'}}{g ^{2}}$

Greșeala tipică

Se inversează termenii numărătorului și se scrie $f g^{'} - f^{'} g$ ; rezultatul iese cu semnul schimbat, de aceea se începe mereu cu derivata numărătorului.

Exerciții din această mini-lecție

Derivata funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x^{4} - 7 x^{2} + 8$ , este:
- a) $20 x^{3} - 14 x$
- b) $20 x^{3} - 14 x + 8$
- c) $20 x^{4} - 14 x^{2}$
- d) $4 x^{3} - 2 x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $20 x^{3} - 14 x$

Se derivează termen cu termen, cu factorii numerici copiați: $(5 x^{4})^{'} = 20 x^{3}$ , $(- 7 x^{2})^{'} = - 14 x$ , iar constanta $8$ dispare. Varianta b) păstrează constanta, c) nu scade exponenții, iar d) coboară exponentul fără să înmulțească cu coeficientul.
Derivata funcției $f : R ∖ {5} \to R$ , $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 5}$ , este:
- a) $\frac{16}{( x - 5 ) ^{2}}$
- b) $- \frac{14}{( x - 5 ) ^{2}}$
- c) $- \frac{16}{( x - 5 ) ^{2}}$
- d) $- \frac{16}{x - 5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- \frac{16}{( x - 5 ) ^{2}}$

Regula câtului, începută cu derivata numărătorului: $\frac{3 ( x - 5 ) - ( 3 x + 1 ) \cdot 1}{( x - 5 ) ^{2}} = \frac{3 x - 15 - 3 x - 1}{( x - 5 ) ^{2}} = - \frac{16}{( x - 5 ) ^{2}}$ . Varianta a) inversează ordinea celor doi termeni, ceea ce schimbă semnul întregului rezultat; b) pierde paranteza și scade doar primul termen; d) uită pătratul de la numitor.
Derivata funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = (x^{2} + 4) ln x$ , este:
- a) $2 x ln x$
- b) $\frac{2 x}{x}$
- c) $2 x ln x + \frac{1}{x}$
- d) $2 x ln x + \frac{x ^{2} + 4}{x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2 x ln x + \frac{x ^{2} + 4}{x}$

Ambii factori depind de $x$ , deci se aplică regula produsului: $f^{'} (x) = 2 x ln x + (x^{2} + 4) \cdot \frac{1}{x}$ . Varianta a) păstrează numai primul termen; b) înmulțește derivatele, ceea ce regula produsului nu permite; c) uită să înmulțească $\frac{1}{x}$ cu primul factor.

Întrebări conexe

Cum se derivează un produs de două funcții?

Cu regula $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ : fiecare factor se derivează pe rând, cu celălalt păstrat. De exemplu, $(x e^{x})^{'} = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = e^{x} (1 + x)$ . Produsul derivatelor, $1 \cdot e^{x}$ , ar fi greșit, fiindcă pierde termenul $x e^{x}$ . Regula se poate verifica pe $x \cdot x$ , care trebuie să dea $2 x$ .

Când pot evita regula câtului la derivare?

Când numărătorul este constant sau fracția se simplifică. De exemplu, $\frac{5}{x ^{2}} = 5 x^{- 2}$ , cu derivata $- \frac{10}{x ^{3}}$ , iar $\frac{x ^{2} + x}{x} = x + 1$ pentru $x \neq = 0$ , cu derivata $1$ . Rescrierea scurtează calculul și reduce greșelile.

Cum derivez repede o funcție de forma $\frac{1}{g ( x )}$ ?

Folosești $(\frac{1}{g})^{'} = - \frac{g ^{'}}{g ^{2}}$ , un caz particular al regulii câtului. De exemplu, $(\frac{1}{x ^{2} + 1})^{'} = - \frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ . Derivata este pozitivă pentru $x < 0$ și negativă pentru $x > 0$ , deci funcția crește până în $0$ și scade după aceea. Maximul ei, $1$ , se atinge în origine.

Ce semn are derivata unei funcții de forma $\frac{a x + b}{c x + d}$ ?

Derivata este $\frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{2}}$ , deci semnul ei este semnul numărului $a d - b c$ , același pe tot domeniul. Pentru $\frac{2 x - 1}{x + 3}$ , $a d - b c = 6 + 1 = 7 > 0$ , deci funcția crește pe fiecare interval al domeniului.

Cum derivez câtul $\frac{l n x}{x}$ ?

Aplici regula câtului: $\frac{\frac{1}{x} \cdot x - l n x \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{1 - l n x}{x ^{2}}$ , pentru $x > 0$ . Derivata se anulează în $x = e$ , unde $ln x = 1$ . Numitorul $x^{2}$ este pozitiv, deci semnul derivatei este semnul lui $1 - ln x$ : pozitiv pe $(0, e)$ și negativ după $e$ .

Oamenii mai întreabă și: derivata unui cât formula · regula câtului la derivare · derivata unei fracții · cum derivez f supra g