Reguli de derivare: suma, produsul și câtul (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-un bioreactor cresc, în același timp, două mărimi: numărul de celule și masa medie a unei celule. Biomasa din vas este produsul lor, iar întrebarea practicianului este cât de repede se schimbă ea, când unul dintre factori urcă, iar celălalt coboară. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), răspunsul nu se mai caută prin limita din definiție, ci cu trei formule scurte, numite reguli de derivare, care spun cum se derivează o sumă, un produs și un cât. Sunt formulele cu care se deschide, la Subiectul al III-lea al bacalaureatului M2, rezolvarea cerinței „Arătați că $f^{'} (x) = \dots$ ".

Lecția de astăzi le așază pe toate trei, în ordinea în care le folosești, și insistă pe ceea ce se pierde ușor la examen: semnele. Vei vedea de ce derivata unui produs nu este produsul derivatelor, de ce la cât ordinea celor doi termeni de la numărător nu se poate schimba și cum verifici, în treizeci de secunde, un rezultat pe care nu-l simți sigur.

Ce vei învăța

Vei ști să derivezi o sumă de funcții și o funcție înmulțită cu un număr, termen cu termen, folosind formulele din tabelul derivatelor funcțiilor uzuale.
Vei ști să aplici regula produsului $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ și să explici, pe un caz simplu, de ce nu se înmulțesc derivatele.
Vei ști să aplici regula câtului și să scrii numărătorul în ordinea corectă, care este singura sursă de puncte pierdute la această formulă.
Vei ști să citești structura unei expresii și să alegi regula de la ultima operație, înainte de a scrie ceva pe foaie.
Vei ști să verifici singur un rezultat: prin desfacerea parantezelor, printr-o probă numerică sau prin gradul expresiei obținute.
Vei ști să duci la capăt cerința care deschide Subiectul al III-lea la bacalaureatul M2, de forma „Arătați că $f^{'} (x) = \dots$ ", cu redactarea completă.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu se derivează „pe bucăți"?

Ai calculat până acum derivate pornind de la derivata unei funcții într-un punct, ca pantă a tangentei, apoi ai învățat pe de rost derivatele funcțiilor uzuale. Întrebarea firească este ce se întâmplă când o funcție este construită din două funcții cunoscute.

Regulile de derivare sunt formulele care arată cum se calculează derivata unei sume, a unui produs sau a unui cât de funcții derivabile, folosind numai derivatele funcțiilor din care este construită expresia. Ele transformă derivarea într-un calcul mecanic: nu mai ai nevoie de nicio limită, ci doar de tabel și de ordinea corectă a pașilor.

Tentația este să crezi că derivarea „intră" peste orice operație, adică să derivezi fiecare bucată și să refaci operația. Pentru sumă chiar așa se întâmplă, dar pentru produs regula aceasta este falsă, și se vede dintr-un singur exemplu. Ia $f (x) = x^{2}$ și $g (x) = x^{3}$ . Produsul lor este $x^{5}$ , cu derivata $5 x^{4}$ . Dacă am înmulți derivatele, am obține $2 x \cdot 3 x^{2} = 6 x^{3}$ , care nici măcar nu are același grad. Concluzia merită ținută minte în forma ei tare: derivata unui produs nu este produsul derivatelor, iar la cât lucrurile stau la fel.

2. Cum se derivează o sumă?

Prima regulă este și cea mai blândă. Dacă $f$ și $g$ sunt derivabile pe un interval, atunci suma lor este derivabilă acolo și $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ . La fel se comportă diferența și înmulțirea cu un număr fixat: $(α f)^{'} = α f^{'}$ , pentru orice număr real $α$ .

Consecința practică este că un polinom se derivează termen cu termen, fiecare termen cu formula puterii. Pentru $f (x) = 2 x^{3} - 7 x + 4$ scrii direct $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 7$ . Observă ce s-a întâmplat cu ultimul termen: constanta $4$ nu lasă nicio urmă, pentru că derivata oricărei constante este $0$ . Observă și că numărul $2$ din fața lui $x^{3}$ a rămas neatins — el este factorul $α$ din a doua formulă, iar factorii numerici nu se derivează, ci se copiază.

Cele două formule se folosesc împreună fără nicio grijă, oricâți termeni ar fi. Singura atenție este la semnul minus: într-o diferență, minusul se aplică derivatei întregului termen care urmează, nu doar primei lui bucăți.

3. Cum se derivează un produs?

Regula produsului are doi termeni, nu unul, și merită înțeleasă, nu memorată. Gândește-te la un dreptunghi ale cărui laturi se lungesc amândouă în timp: una măsoară $f$ , cealaltă măsoară $g$ , iar aria este produsul lor. Când cele două laturi cresc puțin, aria câștigă două fâșii — una de-a lungul primei laturi, una de-a lungul celei de-a doua — plus un colț mic, de dimensiuni neglijabile față de fâșii. Fâșiile sunt exact cei doi termeni ai formulei.

Enunțul se scrie așa: dacă $f$ și $g$ sunt derivabile pe un interval, atunci produsul lor este derivabil pe acel interval și

$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'} .$

Prima dată derivezi primul factor și îl lași pe al doilea neatins; a doua oară faci invers; apoi aduni. Ordinea celor doi termeni nu contează, pentru că se adună, dar niciunul nu poate lipsi.

Verificarea e la îndemână pe orice produs care se poate desface. Pentru $f (x) = (x^{2} + 1) (x - 3)$ regula dă $f^{'} (x) = 2 x (x - 3) + (x^{2} + 1) \cdot 1 = 2 x^{2} - 6 x + x^{2} + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 1$ . Dacă desfaci mai întâi parantezele, obții $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ , iar derivarea termen cu termen dă tot $3 x^{2} - 6 x + 1$ . Cele două drumuri se întâlnesc, cum era de așteptat.

Atunci de ce nu desfacem mereu parantezele? Pentru că, de cele mai multe ori, nu se poate. La $x^{2} ln x$ sau la $(2 x + 3) e^{x}$ nu există nicio desfacere; regula produsului este singura cale. Ea se aplică la fel și când unul dintre factori este un număr: $(5 e^{x})^{'} = 0 \cdot e^{x} + 5 e^{x} = 5 e^{x}$ , adică exact ce spune regula înmulțirii cu o constantă.

4. Cum se derivează un cât?

Aici se greșește cel mai ușor, dintr-un singur motiv: formula nu este simetrică. Dacă $f$ și $g$ sunt derivabile pe un interval și $g (x) \neq = 0$ pe acel interval, atunci câtul lor este derivabil acolo și

$(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}} .$

La numărător este o scădere, deci ordinea celor doi termeni nu se poate schimba: se începe întotdeauna cu derivata numărătorului înmulțită cu numitorul. Dacă inversezi, obții exact rezultatul cu semn schimbat. La numitor se pune pătratul numitorului inițial, adică $g^{2}$ , nu pătratul fracției și nici pătratul derivatei.

Să vedem formula la lucru pe $f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 3}$ , definită pentru $x \neq = - 3$ — funcția căreia i-ai calculat limita la limite de funcții. Avem $f^{'} (x) = \frac{2 ( x + 3 ) - ( 2 x + 1 )}{( x + 3 ) ^{2}} = \frac{2 x + 6 - 2 x - 1}{( x + 3 ) ^{2}} = \frac{5}{( x + 3 ) ^{2}}$ . Observă pasul de mijloc: paranteza din jurul lui $2 x + 1$ nu este decorativă, ci ține minusul care trebuie împărțit la ambii termeni. Fără ea ar fi ieșit $2 x + 6 - 2 x + 1$ , adică $7$ , un rezultat greșit obținut printr-o singură neatenție.

Un caz particular util este cel în care numărătorul este $1$ : $(\frac{1}{g})^{'} = \frac{- g ^{'}}{g ^{2}}$ , pentru că derivata numărătorului este nulă. Din el se vede și de ce apare $g^{2}$ : cu cât numitorul este mai mare, cu atât fracția se schimbă mai lent.

5. Cele patru reguli, într-un tablou

Merită să ai formulele una sub alta, în forma în care le scrii la examen. Peste tot $f$ și $g$ sunt derivabile, iar $α$ este un număr real fixat.

operația	formula derivatei	unde este valabilă
suma	$(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$	oriunde sunt derivabile amândouă
înmulțirea cu un număr	$(α f)^{'} = α f^{'}$	oriunde este derivabilă $f$
produsul	$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$	oriunde sunt derivabile amândouă
câtul	$(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$	oriunde sunt derivabile amândouă și $g \neq = 0$

Coloana a treia nu este de ornament. Domeniul pe care lucrezi se scrie în rezolvare, pentru că el vine din funcțiile inițiale: la $\frac{ln x}{x + 2}$ logaritmul cere $x > 0$ , iar numitorul cere $x \neq = - 2$ , condiție deja îndeplinită; rezultatul este valabil pe $(0, + \infty)$ , nu „pe $R$ ".

6. Ce regulă aplici prima?

Răspunsul este simplu și te scapă de jumătate din greșeli: prima regulă este cea a ultimei operații pe care ai face-o dacă ai calcula valoarea funcției într-un punct. Întreabă-te ce faci la sfârșit — aduni, înmulțești sau împarți — și aceea este regula de la care pornești; restul se rezolvă înăuntru.

La $f (x) = x^{2} e^{x} - 3 x$ ultima operație este o scădere, deci pornești cu regula sumei; abia apoi, pentru primul termen, folosești regula produsului. La $f (x) = \frac{x ln x}{x + 1}$ ultima operație este o împărțire, deci pornești cu regula câtului, iar la numărător aplici regula produsului. Ordinea inversă — să te repezi la produsul dinăuntru — nu duce nicăieri.

Mai există o economie de efort de care merită să profiți: dacă expresia se simplifică, simplific-o înainte. La $f (x) = \frac{x ^{3} + x}{x}$ , definită pentru $x \neq = 0$ , nu are rost regula câtului: funcția este $f (x) = x^{2} + 1$ , iar derivata iese dintr-o singură privire, $f^{'} (x) = 2 x$ .

7. Cum verifici că n-ai greșit?

Trei probe rapide, care prind aproape tot. Prima: dacă produsul se poate desface, desfă-l și derivează termen cu termen; cele două rezultate trebuie să coincidă. A doua: gradul. Derivata unui polinom de gradul $n$ este un polinom de gradul $n - 1$ , așa că un rezultat de același grad cu funcția înseamnă că ai uitat să derivezi undeva.

A treia probă este numerică și merge la orice funcție. Alege un punct din domeniu, calculează valoarea derivatei acolo cu formula ta, apoi compară cu raportul $\frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} - h )}{2 h}$ pentru $h$ mic, de exemplu $0, 001$ . Pentru $f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 3}$ în $x_{0} = 1$ formula dă $\frac{5}{16} = 0, 3125$ , iar raportul dă $0, 3125$ până la a patra zecimală. Dacă cele două numere nu se potrivesc, greșeala este în formulă, nu în calculator.

Mai există o probă pe care o poți face fără să calculezi nimic: semnul. Dacă expresia ta dă o derivată negativă într-un punct în care funcția vizibil crește, ai pierdut un minus pe drum. La fel se citește și un rezultat imposibil: o derivată constantă la o funcție care nu este de gradul I, sau un numitor care a dispărut din rezultatul unui cât. Aceste verificări durează câteva secunde și prind exact greșelile care, la examen, strică o cerință întreagă, nu doar un rând.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Puterea electrică, ca produs de două mărimi care variază

Într-un montaj de laborator, un elev deplasează încet cursorul unui reostat și înregistrează, secundă de secundă, tensiunea și intensitatea din circuit: $U (t) = 20 - 2 t$ volți și $I (t) = 1 + t$ amperi, cu $t$ în secunde, $t \in [0, 5]$ . Puterea disipată este $P (t) = U (t) I (t)$ , în wați. a) Calculați $P^{'} (t)$ cu regula produsului. b) Determinați $P^{'} (1)$ și interpretați rezultatul.

Rezolvare. a) Cei doi factori sunt funcții de gradul I, cu $U^{'} (t) = - 2$ și $I^{'} (t) = 1$ . Regula produsului dă

$P^{'} (t) = U^{'} (t) I (t) + U (t) I^{'} (t) = - 2 (1 + t) + (20 - 2 t) \cdot 1 = - 2 - 2 t + 20 - 2 t = 18 - 4 t .$

b) În $t = 1$ obținem $P^{'} (1) = 14$ wați pe secundă: deși tensiunea scade, puterea încă crește, pentru că intensitatea crește mai repede decât scade tensiunea. Cei doi termeni ai formulei arată limpede cine trage în ce parte: primul este negativ, al doilea pozitiv, iar semnul sumei decide.

Control. Produsul se poate desface aici: $P (t) = (20 - 2 t) (1 + t) = 20 + 18 t - 2 t^{2}$ , iar derivarea termen cu termen dă tot $18 - 4 t$ . Unitatea de măsură se citește ca la orice derivată: wați împărțiți la secunde. Modelul este valabil doar pe $[0, 5]$ , unde tensiunea $20 - 2 t$ rămâne pozitivă; în afara intervalului formula nu mai descrie niciun circuit real.

Exemplul 2 — O sumă cu radical și cu putere negativă

Calculați derivata funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 2 x^{4} - 6 x + 3$ .

Rezolvare. Funcția este o sumă de trei termeni, deci se derivează termen cu termen, cu factorii numerici copiați:

$f^{'} (x) = 2 \cdot 4 x^{3} - 6 \cdot \frac{1}{2 x} + 0 = 8 x^{3} - \frac{3}{x} .$

Termenul liber $3$ dispare, iar radicalul aduce singura restricție: $x$ este derivabilă doar pe $(0, + \infty)$ , așa că rezultatul este valabil pentru $x > 0$ , chiar dacă $2 x^{4} + 3$ ar fi fost derivabilă peste tot. Regula generală merită reținută în această formă: domeniul pe care lucrezi este cel mai mic dintre domeniile termenilor, iar el se stabilește înainte de a scrie derivata, nu după.

Observă și cum s-a purtat factorul $- 6$ : a rămas neatins și s-a înmulțit cu derivata radicalului. Simplificarea de la final, $6 \cdot \frac{1}{2 x} = \frac{3}{x}$ , nu este obligatorie, dar o rezolvare care se oprește la forma nesimplificată este mai greu de folosit mai departe.

Exemplul 3 — Un produs cu logaritm

Calculați derivata funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = (x + 1) ln x$ .

Rezolvare. Ultima operație este o înmulțire, deci se aplică regula produsului, cu $(x + 1)^{'} = 1$ și $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ :

$f^{'} (x) = 1 \cdot ln x + (x + 1) \cdot \frac{1}{x} = ln x + \frac{x + 1}{x} .$

Rezultatul se mai poate scrie $ln x + 1 + \frac{1}{x}$ , formă la fel de bună. Aici nu există nicio desfacere de paranteze care să înlocuiască regula: produsul dintre un polinom și un logaritm nu se poate transforma în sumă.

Exemplul 4 — Un cât de funcții polinomiale

Calculați derivata funcției $f : R ∖ {- 2} \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x + 2}$ .

Rezolvare. Aplicăm regula câtului, începând cu derivata numărătorului:

$f^{'} (x) = \frac{2 x ( x + 2 ) - ( x ^{2} - 1 ) \cdot 1}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} + 4 x - x ^{2} + 1}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 4 x + 1}{( x + 2 ) ^{2}} .$

Paranteza din jurul lui $x^{2} - 1$ a schimbat semnul ambilor termeni, de unde $- x^{2} + 1$ . Numărătorul obținut nu se mai descompune cu numitorul, deci forma aceasta este răspunsul final; a „simplifica" $x^{2}$ de sus cu $x^{2}$ din $(x + 2)^{2}$ ar fi o greșeală, pentru că se simplifică numai factori, nu termeni.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev calculează derivata funcției $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x + 4}{x ^{2} + 1}$ , și scrie: „ $f^{'} (x) = \frac{( x + 4 ) \cdot 2 x - 1 \cdot ( x ^{2} + 1 )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 8 x - 1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ ". Găsiți greșeala și dați rezultatul corect.

Rezolvare. Calculele elevului sunt corecte, dar formula pe care a aplicat-o nu este a lui. El a început cu numărătorul înmulțit cu derivata numitorului, adică a scris $f g^{'} - f^{'} g$ în loc de $f^{'} g - f g^{'}$ . Ordinea inversată schimbă semnul întregului rezultat.

Corect, se începe cu derivata numărătorului:

$f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x ^{2} + 1 ) - ( x + 4 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 1 - 2 x ^{2} - 8 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{- x ^{2} - 8 x + 1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} .$

Proba care prinde imediat greșeala este numerică. În $x_{0} = 0$ rezultatul corect dă $f^{'} (0) = 1$ , iar cel al elevului ar da $- 1$ . Cum $f (0) = 4$ și $f (0, 01) \approx 4, 0096$ , valorile cresc trecând prin $0$ , deci derivata trebuie să fie pozitivă. Semnul este primul lucru de verificat la regula câtului.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = e^{x} (x^{2} - 3 x + 1)$ . a) Arătați că $f^{'} (x) = e^{x} (x^{2} - x - 2)$ , $x \in R$ . b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $f^{'} (x) = 0$ . c) Arătați că $f^{'} (x) < 0$ pentru orice $x \in (- 1, 2)$ .

Rezolvare.

a) Funcția este un produs, cu $(e^{x})^{'} = e^{x}$ și $(x^{2} - 3 x + 1)^{'} = 2 x - 3$ :

$f^{'} (x) = e^{x} (x^{2} - 3 x + 1) + e^{x} (2 x - 3) = e^{x} (x^{2} - 3 x + 1 + 2 x - 3) = e^{x} (x^{2} - x - 2) .$

Factorul comun $e^{x}$ s-a scos imediat, iar în paranteză s-au adunat termenii asemenea. Aceasta este forma cerută.

b) Cum $e^{x} > 0$ pentru orice $x$ real, ecuația $f^{'} (x) = 0$ se reduce la $x^{2} - x - 2 = 0$ , adică $(x + 1) (x - 2) = 0$ . Soluțiile sunt $x = - 1$ și $x = 2$ .

c) Pentru $x \in (- 1, 2)$ avem $x + 1 > 0$ și $x - 2 < 0$ , deci produsul $(x + 1) (x - 2)$ este negativ. Înmulțit cu $e^{x}$ , care este pozitiv, rezultatul rămâne negativ: $f^{'} (x) < 0$ pe tot intervalul, ceea ce trebuia arătat.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe au forma din modelul oficial al probei M_șt-nat, unde prima problemă a Subiectului al III-lea pornește de la produsul dintre exponențiala naturală și un polinom de gradul al doilea — aceeași funcție pe care ai văzut-o scrisă întreagă la limitele funcțiilor exponențială și logaritmică, unde ți s-au cerut limitele ei, nu derivata — și cere, la punctul a), exact „Arătați că $g^{'} (x) = e^{x} (x^{2} + 3 x)$ ". Tiparul se repetă: un produs cu exponențială, derivat cu regula produsului, cu factorul comun scos la final. Punctul c) cere doar semnul unei expresii, nu o concluzie despre creșterea funcției — legătura dintre semnul derivatei și monotonie este tema unității următoare.

Să exersăm

Ordinea de lucru: citește ultima operație, scrie regula, aplic-o, apoi simplifică.

1. Calculează derivata funcției $f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} + 7 x - 1$ , $x \in R$ .

2. Calculează derivata funcției $f (x) = x^{5} + 4 x$ , $x \in (0, + \infty)$ .

3. Calculează derivata funcției $f (x) = x^{3} - \frac{6}{x}$ , $x \in R^{*}$ .

4. Calculează derivata funcției $f (x) = (x + 5) (2 x - 1)$ în două feluri: cu regula produsului și după desfacerea parantezelor.

5. Calculează derivata funcției $f (x) = x^{2} e^{x}$ , $x \in R$ .

6. Calculează derivata funcției $f (x) = e^{x} ln x$ , $x \in (0, + \infty)$ .

7. Calculează derivata funcției $f (x) = (x^{2} + 3) sin x$ , $x \in R$ .

8. Calculează derivata funcției $f (x) = \frac{x - 1}{x + 4}$ , $x \in R ∖ {- 4}$ .

9. Calculează derivata funcției $f (x) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 1}$ , $x \in R$ .

10. Calculează derivata funcției $f (x) = \frac{e ^{x}}{x + 1}$ , $x \in R ∖ {- 1}$ .

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice funcții derivabile $f$ și $g$ , cu $g$ nenulă, are loc $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'}}{g ^{'}}$ ."

12. Calculează derivata funcției $f (x) = (3 x - 1) e^{x}$ , $x \in R$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} + 2) e^{x}$ . Arată că $f^{'} (x) = e^{x} (x^{2} + 2 x + 2)$ , $x \in R$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x - ln x$ . Arată că $f^{'} (x) = \frac{x - 1}{x}$ , $x \in (0, + \infty)$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : R ∖ {- 1} \to R$ , $f (x) = \frac{x - 3}{x + 1}$ . Arată că $f^{'} (x) = \frac{4}{( x + 1 ) ^{2}}$ .

16. (Problemă aplicată.) Într-un bioreactor, numărul de celule este $N (t) = 2 t + 5$ milioane, iar masa medie a unei celule este $m (t) = 60 - 4 t$ picograme, cu $t$ în ore, $t \in [0, 6]$ . Biomasa, în micrograme, este $B (t) = N (t) m (t)$ . Calculează $B^{'} (t)$ și $B^{'} (2)$ , apoi spune ce înseamnă semnul rezultatului.

17. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care funcția $f (x) = (a x + b) e^{x}$ are derivata $f^{'} (x) = (2 x + 1) e^{x}$ , pentru orice $x$ real.

18. (Provocare.) Fie $g$ o funcție derivabilă pe $R$ , cu $g (2) = 3$ și $g^{'} (2) = - 5$ . Calculează derivata în $2$ a funcției $f (x) = x g (x)$ și a funcției $h (x) = \frac{g ( x )}{x}$ .

Răspunsuri și explicații

1. Se derivează termen cu termen: $f^{'} (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} + 7$ . Termenul liber $- 1$ dispare.

2. $f^{'} (x) = 5 x^{4} + 4 \cdot \frac{1}{2 x} = 5 x^{4} + \frac{2}{x}$ , valabil pentru $x > 0$ .

3. Scriem $\frac{6}{x} = 6 x^{- 1}$ , cu derivata $- 6 x^{- 2}$ . Minusul din fața termenului se păstrează, deci $f^{'} (x) = 3 x^{2} + \frac{6}{x ^{2}}$ .

4. Cu regula produsului: $f^{'} (x) = 1 \cdot (2 x - 1) + (x + 5) \cdot 2 = 4 x + 9$ . Desfăcând parantezele, $f (x) = 2 x^{2} + 9 x - 5$ , cu aceeași derivată $4 x + 9$ .

5. $f^{'} (x) = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 x)$ . Scoaterea factorului comun este forma în care se dă răspunsul.

6. $f^{'} (x) = e^{x} ln x + e^{x} \cdot \frac{1}{x} = e^{x} (ln x + \frac{1}{x})$ , pentru $x > 0$ .

7. $f^{'} (x) = 2 x sin x + (x^{2} + 3) cos x$ . Aici nu se simplifică nimic.

8. $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 4 ) - ( x - 1 ) \cdot 1}{( x + 4 ) ^{2}} = \frac{5}{( x + 4 ) ^{2}}$ . Numărătorul este constant, iar derivata este pozitivă peste tot.

9. $f^{'} (x) = \frac{2 ( x ^{2} + 1 ) - ( 2 x + 1 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{- 2 x ^{2} - 2 x + 2}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .

10. $f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x + 1 ) - e ^{x} \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x e ^{x}}{( x + 1 ) ^{2}}$ , după ce se dă factor comun $e^{x}$ la numărător.

11. Fals. Derivatele nu se împart. Contraexemplu: pentru $f (x) = x^{2}$ și $g (x) = x$ câtul este $x$ , cu derivata $1$ , în timp ce $\frac{f ^{'}}{g ^{'}} = \frac{2 x}{1} = 2 x$ . Formula corectă are trei etaje: $\frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ .

12. $f^{'} (x) = 3 e^{x} + (3 x - 1) e^{x} = e^{x} (3 x + 2)$ .

13. Cu regula produsului, $f^{'} (x) = 2 x e^{x} + (x^{2} + 2) e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 x + 2)$ , ceea ce trebuia arătat.

14. $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x}$ , iar aducerea la același numitor dă $f^{'} (x) = \frac{x - 1}{x}$ , pentru $x > 0$ .

15. $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - ( x - 3 ) \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x + 1 - x + 3}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{4}{( x + 1 ) ^{2}}$ .

16. $B^{'} (t) = 2 (60 - 4 t) + (2 t + 5) (- 4) = 120 - 8 t - 8 t - 20 = 100 - 16 t$ , iar $B^{'} (2) = 68$ micrograme pe oră. Semnul pozitiv arată că biomasa încă se adună: celulele se înmulțesc mai repede decât scade masa medie a uneia. Pe tot intervalul $[0, 6]$ masa medie $60 - 4 t$ rămâne pozitivă, deci modelul are sens.

17. $f^{'} (x) = a e^{x} + (a x + b) e^{x} = e^{x} (a x + a + b)$ . Identificând cu $(2 x + 1) e^{x}$ , obținem $a = 2$ și $a + b = 1$ , deci $b = - 1$ . Funcția este $f (x) = (2 x - 1) e^{x}$ , cu $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + 1)$ .

18. Cu regula produsului, $f^{'} (x) = g (x) + x g^{'} (x)$ , deci $f^{'} (2) = 3 + 2 \cdot (- 5) = - 7$ . Cu regula câtului, $h^{'} (x) = \frac{g ^{'} ( x ) \cdot x - g ( x )}{x ^{2}}$ , deci $h^{'} (2) = \frac{- 10 - 3}{4} = - \frac{13}{4}$ . Nu ai avut nevoie de formula lui $g$ , ci doar de două numere: regulile lucrează cu valori, nu cu expresii.

De reținut

Cele patru reguli se scriu în ordinea $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ , $(α f)^{'} = α f^{'}$ , $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ și $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ , ultima cu condiția $g \neq = 0$ pe intervalul de lucru.
Regula de la care pornești este cea a ultimei operații din expresie; restul calculului se face înăuntru, iar dacă expresia se simplifică, se simplifică înainte de a deriva.
La cât se începe întotdeauna cu derivata numărătorului; ordinea inversată dă exact rezultatul cu semn schimbat, iar paranteza din jurul celui de-al doilea produs ține minusul.
Un rezultat de derivare se verifică în câteva secunde: prin desfacerea parantezelor acolo unde se poate, prin gradul polinomului obținut sau printr-o probă numerică într-un punct.
La bacalaureatul M2, cerința care deschide prima problemă a Subiectului al III-lea are forma „Arătați că $f^{'} (x) = \dots$ ", iar rezolvarea completă înseamnă regula aplicată, calculul scris și factorul comun scos, nu doar rezultatul final.

Greșeli frecvente

Pierzi paranteza la numărătorul câtului. În $\frac{2 x ( x + 2 ) - ( x ^{2} - 1 )}{( x + 2 ) ^{2}}$ minusul se aplică ambilor termeni din paranteză; scrierea $2 x^{2} + 4 x - x^{2} - 1$ în loc de $2 x^{2} + 4 x - x^{2} + 1$ strică rezultatul final, chiar dacă formula aleasă era cea bună.
Aplici regula produsului o singură dată la trei factori. La $f (x) = x (x - 1) e^{x}$ trebuie grupat mai întâi doi dintre factori, apoi derivat produsul obținut; rezultatul are trei termeni, nu doi. Dacă răspunsul tău are mai puțini termeni decât factorii, ai pierdut unul pe drum.
Confunzi constanta adunată cu constanta înmulțită. Derivata lui $x + 3$ este $1$ , dar derivata lui $3 x$ este $3$ : constanta adunată dispare, constanta înmulțită rămâne. Amestecul celor două cazuri este cea mai ieftină greșeală din toată unitatea.
Simplifici termeni, nu factori. În $\frac{x ^{2} + 4 x + 1}{( x + 2 ) ^{2}}$ nu se poate „tăia" $x^{2}$ de sus cu pătratul de jos: simplificarea se face numai între factori ai unui produs, iar numărătorul este o sumă.
Derivezi înainte de a citi expresia. La $\frac{x ^{3} + x}{x}$ regula câtului duce la un calcul lung și la semne inutile, când funcția este de fapt $x^{2} + 1$ . Zece secunde de citit înaintea primei linii scrise economisesc jumătate din greșeli.

Aplică acasă

Dreptunghiul care crește. Decupează din carton un dreptunghi cu laturile de $8$ și $5$ centimetri, apoi lipește-i pe două laturi alăturate câte o fâșie lată de $0, 5$ centimetri, plus pătrățelul care închide colțul. Măsoară ariile celor trei bucăți adăugate și compară-le: cele două fâșii sunt termenii $f^{'} g$ și $f g^{'}$ , iar colțul este partea neglijabilă pe care regula produsului o lasă deoparte. Repetă cu fâșii de $0, 2$ centimetri și observă cât de mult scade, proporțional, colțul.
Doi factori care se bat între ei. Numără-ți pașii pe un minut de mers, apoi măsoară lungimea unui pas; viteza este produsul celor două mărimi. Repetă de trei ori, o dată mergând agale, o dată normal și o dată grăbit, și notează perechile de valori. Vei vedea că un pas mai lung vine adesea cu o cadență mai mică: explică, folosind regula produsului, cum poate rămâne viteza aproape neschimbată când un factor crește și celălalt scade.
Cinci câturi din manualele de științe. Caută în manualul de fizică sau de chimie cinci mărimi definite ca raport — densitatea, concentrația, presiunea, randamentul, debitul — și scrie pentru fiecare ce înseamnă că numărătorul și numitorul se schimbă amândouă în timp. Alege una singură și scrie derivata ei cu regula câtului, apoi spune, în cuvinte, în ce caz raportul crește deși numărătorul scade.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.3 „Derivabilitate" — „operații cu funcții derivabile și reguli de derivare". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde „operațiile cu funcții derivabile" sunt cerute explicit de programa de examen (OMEN 4430/2014), iar tema apare la Subiectul al III-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial al probei, nu se presupune.

Lecția nu conține demonstrațiile celor patru reguli: programa de examen precizează că exprimarea „regula lui…" arată un rezultat folosit în aplicații, a cărui demonstrație este în afara programei acestui profil. În schimb, fiecare formulă este însoțită de o justificare intuitivă și de o probă pe un caz în care rezultatul se poate obține și altfel — exact ce cere un elev care va folosi derivatele în biologie, chimie sau medicină.

Lecția verifică patru lucruri: (1) recunoașterea ultimei operații din expresie, înaintea oricărui calcul; (2) aplicarea corectă a regulii produsului, cu ambii termeni; (3) ordinea termenilor la numărătorul câtului; (4) scrierea domeniului pe care rezultatul este valabil. Patru întrebări de control, de pus oral: „Ce operație faci ultima când calculezi valoarea funcției?"; „De ce derivata produsului are doi termeni?"; „Cu ce începe numărătorul la regula câtului și de ce contează?"; „Cum ai verifica rezultatul fără să refaci calculul?". Semne că elevul a înțeles: scoate factorul comun la final, pune paranteze fără să i se ceară și spune singur pe ce interval este valabil rezultatul. Continuarea firească este lecția despre derivarea funcțiilor compuse, cu regula lanțului, iar exponențiala cu care se lucrează aici a fost introdusă la numărul irațional e și funcția exponențială naturală.

Întrebări frecvente

Regulile de derivare sunt aceleași la M1 și la M2? Formulele sunt identice, dar tratarea diferă. La profilul matematică-informatică ele se demonstrează, pornind de la definiția derivatei, și se aplică și funcțiilor cu modul sau definite pe ramuri. La științe ale naturii se folosesc ca instrument, pe funcțiile studiate. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: regulile de derivare pentru sumă, produs și cât conține și demonstrațiile.

La ce subiect apare derivarea unui produs la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, care are două probleme de analiză matematică a câte trei subpuncte de câte cinci puncte. În modelul oficial al probei, prima cerință a primei probleme este „Arătați că $f^{'} (x) = \dots$ " pentru o funcție de forma $e^{x} (x^{2} + x - 1)$ , adică exact un produs derivat cu regula din această lecție.

Se cer demonstrațiile regulilor de derivare la examen? Nu. Programa de examen a profilului științe ale naturii precizează că formulările de tipul „regula lui…" arată rezultate folosite în aplicații, a căror demonstrație nu intră în programă. Ți se cere să aplici corect formulele, să scrii pașii calculului și să precizezi domeniul; deducerea lor din definiția derivatei rămâne la profilul matematică-informatică.

De ce apare pătratul numitorului la regula câtului? Pentru că împărțirea la o funcție mare schimbă fracția încet, iar împărțirea la una mică o schimbă repede, iar $g^{2}$ măsoară tocmai acest efect. Se vede cel mai simplu în cazul particular $(\frac{1}{g})^{'} = \frac{- g ^{'}}{g ^{2}}$ : aceeași variație a numitorului mișcă fracția cu atât mai puțin, cu cât numitorul e mai mare.

Ce unitate de măsură are derivata unui produs de mărimi fizice? Aceeași ca derivata oricărei funcții: unitatea mărimii derivate, împărțită la unitatea variabilei. Dacă un volum în litri se înmulțește cu o concentrație în grame pe litru, produsul este în grame, iar derivata lui, față de timpul măsurat în minute, se exprimă în grame pe minut. Unitatea nu se schimbă după numărul de factori.

Se poate aplica regula produsului la trei funcții? Da, aplicând-o de două ori: grupezi doi dintre factori, derivezi produsul celor două funcții obținute, apoi desfaci grupul. În rezultat apar trei sume, iar în fiecare dintre ele se derivează un singur factor, ceilalți doi fiind copiați ca atare. Numărul de sume urcă odată cu numărul de factori.

Trebuie să simplific rezultatul obținut cu regula câtului? Nu întotdeauna, dar merită. Forma cu numărătorul desfăcut și termenii asemenea adunați este mai ușor de folosit mai departe, de exemplu când rezolvi ecuația $f^{'} (x) = 0$ . Ai grijă însă ce simplifici: se simplifică numai factori comuni, niciodată termeni dintr-o sumă, iar pătratul de la numitor se lasă, de obicei, nedesfăcut.