Cât este suma pătratelor rădăcinilor?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Relațiile lui Viète

Suma pătratelor rădăcinilor se scrie cu relațiile lui Viète: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots = S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ , unde $S_{1}$ este suma rădăcinilor, iar $S_{2}$ suma produselor lor două câte două. Exemplu: $X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6$ are $S_{1} = 6$ și $S_{2} = 11$ , deci suma pătratelor este $36 - 22 = 14$ . Controlul: rădăcinile sunt $1$ , $2$ , $3$ , iar $1 + 4 + 9 = 14$ . Rădăcinile nu trebuie aflate ca să obții rezultatul.

Lecția leagă rădăcinile unui polinom de grad cel mult $4$ de coeficienții lui, fără nicio rezolvare. Pentru $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}$ , cu $a_{n} \neq = 0$ , suma tuturor produselor de câte $k$ rădăcini se citește din coeficientul lui $X^{n - k}$ , cu semn care se schimbă din treaptă în treaptă; explicația nu e un tabel de memorat, ci scrierea fiecărui factor sub forma $X - x_{i}$ .

Trei precauții țin socoteala în picioare. Întâi, coeficientul dominant împarte fiecare egalitate, nu numai pe prima — cine împarte o singură dată obține valori duble față de adevăr. Apoi, termenii absenți din scriere au coeficientul $0$ și se trec explicit pe rândul coeficienților, de la puterea cea mai mare spre termenul liber. În sfârșit, orice expresie care nu se schimbă când rădăcinile își schimbă locurile între ele se exprimă prin $S_{1}, \dots, S_{n}$ : așa ies $x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ și suma inverselor, $\frac{S _{n - 1}}{S _{n}}$ , a doua numai după ce ai verificat că $S_{n}$ nu este nul.

Lecția arată și drumul întors: o cerință pusă rădăcinilor devine o egalitate între sume, din care iese parametrul, iar valoarea găsită se confruntă la final cu ipoteza din enunț. Când rădăcinile se pot afla, recalcularea directă rămâne cel mai ieftin control al răspunsului.

De reținut

suma pătratelor: $S_{1}^{2} - 2 S_{2}$
suma inverselor: $\frac{S _{n - 1}}{S _{n}}$
$S_{k} = (- 1)^{k} \frac{a _{n - k}}{a _{n}}$

Greșeala tipică

Se calculează suma pătratelor ca $S_{1}^{2}$ , uitând termenul $- 2 S_{2}$ ; la rădăcinile $1$ , $2$ , $3$ , $S_{1}^{2} = 36$ , dar suma pătratelor este $14$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pentru polinomul $f = 3 X^{3} + 15 X^{2} - 8 X + 6$ , cât este suma rădăcinilor?
- a) $- 15$
- b) $- 5$
- c) $5$
- d) $15$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 5$

Coeficientul dominant este $a_{3} = 3$ , deci suma rădăcinilor este $- \frac{a _{2}}{a _{3}} = - \frac{15}{3} = - 5$ . Varianta a) împarte o singură dată, adică deloc; c) pierde semnul minus din formulă; d) le pierde pe amândouă.
Calculează suma pătratelor rădăcinilor polinomului $f = X^{3} + X^{2} - 24 X + 36$ .
- a) $- 47$
- b) $1$
- c) $73$
- d) $49$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $49$

Din coeficienți: $S_{1} = - 1$ și $S_{2} = - 24$ , iar suma pătratelor este $S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 1 + 48 = 49$ . Varianta a) adună în loc să scadă dublul lui $S_{2}$ ; b) folosește numai $S_{1}^{2}$ ; c) pune $S_{3} = - 36$ în locul lui $S_{2}$ . Control pe rădăcini, care sunt $2$ , $3$ și $- 6$ : $4 + 9 + 36 = 49$ .
Determină numărul real $m$ pentru care suma rădăcinilor polinomului $f = X^{3} + (2 m - 1) X^{2} + 5 X - 8$ este egală cu $9$ .
- a) $m = 5$
- b) $m = 4$
- c) $m = - 4$
- d) $m = - 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $m = - 4$

Polinomul este monic, deci suma rădăcinilor este $- (2 m - 1) = 1 - 2 m$ . Condiția $1 - 2 m = 9$ dă $- 2 m = 8$ , adică $m = - 4$ . Varianta a) rezolvă $2 m - 1 = 9$ , uitând semnul minus din formulă; b) schimbă semnul rezultatului; d) nu verifică: pentru $m = - 5$ suma ar fi $11$ .

Întrebări conexe

Cât este produsul rădăcinilor unui polinom de gradul al treilea?

Este $- \frac{a _{0}}{a _{3}}$ , cu minus, fiindcă gradul este impar. Pentru $2 X^{3} - 5 X^{2} + X + 8$ , produsul rădăcinilor este $- \frac{8}{2} = - 4$ . La gradul al patrulea semnul ar fi plus. Relația vine din descompunerea $a_{3} (X - x_{1}) (X - x_{2}) (X - x_{3})$ , în care termenul liber este $- a_{3} x_{1} x_{2} x_{3}$ .

Cum aflu suma inverselor rădăcinilor?

Aduci fracțiile la același numitor: suma inverselor este $\frac{S _{n - 1}}{S _{n}}$ . Pentru $X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6$ se obține $\frac{11}{6}$ , adică exact $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ , dacă se verifică pe rădăcinile $1$ , $2$ , $3$ .

Cum aflu un parametru din suma pătratelor rădăcinilor?

Pentru $X^{3} + m X^{2} + 2 X - 1$ , $S_{1} = - m$ și $S_{2} = 2$ , deci suma pătratelor este $m^{2} - 4$ . Dacă ea trebuie să fie $5$ , atunci $m^{2} = 9$ , adică $m = 3$ sau $m = - 3$ . Ambele valori se păstrează, fiindcă fiecare dă un polinom care îndeplinește condiția.

Cum verific relațiile lui Viète pe rădăcini cunoscute?

Pornești de la rădăcini, de exemplu $1$ , $2$ , $4$ : $(X - 1) (X - 2) (X - 4) = X^{3} - 7 X^{2} + 14 X - 8$ . Coeficienții dau $S_{1} = 7 = 1 + 2 + 4$ , $S_{2} = 14 = 2 + 4 + 8$ și $S_{3} = 8 = 1 \cdot 2 \cdot 4$ , cu semnele alternate. Proba arată și de unde vin semnele: fiecare factor are forma $X - x_{i}$ .

Cât este suma rădăcinilor la un polinom de gradul 4 cu coeficientul dominant $2$ ?

Este $- \frac{a _{3}}{a _{4}}$ . Pentru $2 X^{4} - 6 X^{3} + X - 1$ se obține $- \frac{- 6}{2} = 3$ . Coeficientul dominant împarte fiecare relație, nu doar pe prima. Fără împărțirea la $2$ s-ar obține $6$ , dublul valorii corecte.

Oamenii mai întreabă și: suma pătratelor rădăcinilor · x1 pătrat plus x2 pătrat plus x3 pătrat · suma pătratelor rădăcinilor cu Viète · S1 la pătrat minus 2 S2